안정 곡선

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 안정 곡선
- 2.2. 반안정 곡선
3. 성질
4. 예시
- 4.1. 바이어슈트라스 곡선족
- 4.2. 안정 곡선이 아닌 예시
참조

1. 개요

안정 곡선은 스킴 S 위의 종수 g인 스킴으로, 고유하고 평탄하며, 모든 기하학적 올이 축소 스킴, 연결 공간, 크룰 차원 1, 산술 종수 g를 가지며, 모든 특이점은 보통 이중점이고, 비특이 유리 기약 성분은 다른 기약 성분과 적어도 세 점에서 교차하는 조건을 만족한다. 반안정 곡선은 안정 곡선과 유사하지만, 비특이 유리 기약 성분이 다른 기약 성분과 적어도 두 점에서 교차하는 조건만 만족한다. 안정 곡선의 자기 동형군은 유한군이며, 모듈라이 스택을 정의할 수 있고, 국소적으로 완전 교차하며, 세르 쌍대성 이론을 적용할 수 있다. 안정 곡선의 예시로는 바이어슈트라스 곡선족이 있으며, 이중점이 아닌 특이점을 가지는 곡선은 안정 곡선이 아니다.

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안정 곡선

2. 정의

대수기하학에서 '''안정 곡선'''과 '''반안정 곡선'''은 곡선의 특이점을 연구하는 데 중요한 개념이다. 안정 곡선은 특이점이 비교적 단순한 형태로 제한된 곡선이고, 반안정 곡선은 안정 곡선보다 조금 더 넓은 범위를 다룬다.

간단히 말해, 안정 곡선은 다음 조건을 만족한다.

모든 기하학적 올이 축소 스킴이다.
연결 공간이다.
크룰 차원이 1차원이다.
산술 종수가 g이다.
모든 특이점은 보통 이중점이다.
비특이 유리 기약 성분이 다른 기약 성분들과 적어도 세 점에서 교차한다.

반안정 곡선은 위 조건 중 마지막 조건을 완화하여, 비특이 유리 기약 성분이 다른 기약 성분들과 적어도 두 점에서 교차하면 된다.

2. 1. 안정 곡선

스킴

S

위의 종수

g

의 '''안정 곡선'''은 다음 조건을 만족시키는

S

-스킴

X\to S

이다.

$X\to S$ 는 고유 사상이며 평탄 사상이다.
$X\to S$ 의 모든 기하학적 올 $X_s$ 는 다음 네 조건을 만족시킨다.
* 축소 스킴이다.
* 연결 공간이다.
* 크룰 차원이 1차원이다.
* 산술 종수 $\dim H^1(\mathcal O_{X_s})$ 가 $g$ 이다.
* 모든 특이점은 보통 이중점(ordinary double point^영어)이다.
$E$ 가 $X$ 의 비특이 유리 기약 성분이라면, $E$ 는 $X$ 의 다른 기약 성분들과 적어도 세 개의 점에서 교차한다.

S

를 임의의 스킴,

g \geq 2

를 정수라고 할 때,

S

위의 종수 g의 ''안정'' 곡선은 고유 평탄 사상

\pi: C \to S

이며, 그 기하학적 파이버

C_s

가 축약된 연결 1차원 스킴으로 다음 조건을 만족하는 것을 말한다.

#

C_s

는 일반적으로 2중점만을 특이점으로 가진다.

# 모든 유리 곡선 성분(rational component)

E

는 다른 성분과

2

개 이상의 점에서 교차한다.

#

\dim H^1(\mathcal{O}_{C_s}) = g

이러한 기술적인 조건은 (1) 기술적인 복잡성을 줄이고 피카르-레프셰츠 이론의 적용을 가능하게 하며, (2) 나중에 구축할 모듈라이 스택이 무한소 자기 동형을 갖지 않도록 곡선을 경화(rigidify)하며, (3) 모든 파이버가 동일한 산술 종수를 갖도록 보장하기 위해 필요하다. (1)과 관련하여 타원 곡면에서 발생할 수 있는 특이점의 종류를 완전히 분류할 수 있다는 점에 언급해 둔다.

2. 2. 반안정 곡선

스킴

S

위의 종수

g

의 '''반안정 곡선'''(semistable curve^영어)은 다음 조건을 만족시키는

S

-스킴

X\to S

이다.

$X\to S$ 는 고유 사상이며 평탄 사상이다.
$X\to S$ 의 모든 기하학적 올 $X_s$ 는 다음 네 조건을 만족시킨다.

:** 축소 스킴이다.

:** 연결 공간이다.

:** 크룰 차원이 1차원이다.

:** 산술 종수

\dim H^1(\mathcal O_{X_s})

가

g

이다.

:** 모든 특이점은 보통 이중점(ordinary double point^영어)이다.

$E$ 가 $X$ 의 비특이 유리 기약 성분이라면, $E$ 는 $X$ 의 다른 기약 성분들과 적어도 두 개의 점에서 교차한다.

이는 안정 곡선의 조건 중 마지막 조건을 완화한 것이다. 안정 곡선에서는 다른 기약 성분들과 적어도 세 개의 점에서 교차해야 하지만, 반안정 곡선에서는 두 개의 점에서 교차하면 된다.

3. 성질

자기 동형 사상의 성질에 따라 안정 곡선과 반안정 곡선을 구별할 수 있다. 안정 곡선은 비특이 대수 곡선이다. 안정 곡선은 국소 완비 교차라는 중요한 성질을 가지는데, 이는 표준적인 세르 쌍대성 이론을 적용할 수 있게 한다. 또한, 힐베르트 스킴을 이용하여 안정 곡선의 모듈라이 스택을 구성할 수 있다.

3. 1. 자기 동형군

안정 곡선의 자기 동형군은 유한군이며, 반안정 곡선의 자기 동형군은 가약군이다.^[1]

3. 2. 국소 완전 교차

안정 곡선은 국소 완전 교차라는 중요한 성질을 가지며, 이는 표준적인 세르 쌍대성 이론을 적용할 수 있게 한다. 특히, 임의의 안정 곡선에 대해

\omega_{C/S}^{\otimes 3}

는 상대적으로 매우 풍부한 층이 되며, 이를 통해 해당 곡선을

\mathbb{P}^{5g - 6}_S

에 매장할 수 있다.

3. 3. 모듈라이 스택

힐베르트 스킴을 이용하여 안정 곡선의 모듈라이 스킴을 구성할 수 있다. 모든 안정 곡선

C \to S

에 대해 상대적으로 매우 풍부한 다발인

\omega_{C/S}^{\otimes 3}

를 이용하여 곡선을

\mathbb{P}^{5g - 6}_S

에 임베딩할 수 있다. 이때 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

:

P_g(n) = (6n-1)(g-1)

힐베르트 스킴에 포함된 안정 곡선의 부분 궤적은 다음과 같다.

:

H_g \subset \textbf{Hilb}^{P_g}_{\mathbb{P}^{5g - 6}_\mathbb{Z}}

이는 다음과 같은 펀터를 나타낸다.

:

\mathcal{H}_g(S) \cong \left. \left\{\begin{matrix}& \text{안정 곡선 } \pi: C \to S \\& \text{ 와 동형 사상 } \\& \mathbb{P}(\pi_*(\omega_{C/S}^{\otimes 3})) \cong \mathbb{P}^{5g-6}\times S\end{matrix}\right\}\Bigg/ {\sim} \right. \cong \operatorname{Hom}(S,H_g)

여기서

\sim

는 안정 곡선의 동형 사상이다. 임베딩에 관계없이 곡선의 모듈라이 공간을 만들기 위해,

PGL(5g - 6)

으로 나눈다. 이는 모듈라이 스택을 제공하며, 다음과 같다.

:

\mathcal{M}_g := [\underline{H}_g / \underline{PGL}(5g-6)]

이것이 안정 곡선들의 모듈라이 스택

\mathcal{M}_g

이다.

4. 예시

안정 곡선의 예시로는 다음과 같은 경우가 있다.

바이어슈트라스 곡선족:

::

\begin{matrix}    \operatorname{Proj}\left( \frac{\mathbb{Q}[t][x,y,z]}{(y^2z - x(x-z)(x-tz)} \right) \\    \downarrow \\    \operatorname{Spec}(\mathbb{Q}[t])    \end{matrix}

: 이 곡선족은

t \neq 0,1

인 모든 점에서 매끄러운 타원 곡선을 나타내며,

t=0

또는

t=1

일 때는 단 하나의 이중점 특이점을 갖는 퇴화된 곡선이 된다.

매개변수가 둘 이상인 경우, 이중 특이점보다 좋지 않은 곡선을 제거해야 한다. 예를 들어,

::

y^2 = x(x-s)(x-t)(x-1)(x-2)

: 위 식은

s=t

인 대각선 상에서 이중점이 아닌 특이점을 갖기 때문에 안정 곡선족이 아니다.

다음 다항식으로 주어진 $\mathbb{A}^1_t$ 위의 족

::

x^3 -y^2 + t

: 첨점을 가진 유리 곡선으로 퇴화하는 타원 곡선의 족이기에 안정 곡선이 아니다.

4. 1. 바이어슈트라스 곡선족

안정 곡선의 고전적인 예는 다음과 같은 바이어슈트라스 곡선군으로 주어진다.

:

\operatorname{Proj}\left( \frac{\mathbb{Q}[t][x,y,z]}{(y^2z - x(x-z)(x-tz)} \right) \\ \downarrow \\ \operatorname{Spec}(\mathbb{Q}[t])

여기서 0, 1을 제외한 모든 점에 대한 올은 매끄럽고, 퇴화점은 단 하나의 이중점 특이점을 갖는다. 이 예는 유한 개의 점에서 퇴화되는, 매끄러운 1-모수 초타원 곡선군의 경우로 일반화될 수 있다.

4. 2. 안정 곡선이 아닌 예시

일반적으로 매개변수가 둘 이상인 경우에는 이중 특이점보다 좋지 않은 곡선을 제거하는 데 주의해야 한다. 예를 들어, 다항식으로 구성된

\mathbb{A}^2_{s,t}

위의 족을 생각해 볼 수 있다.

:

y^2 = x(x-s)(x-t)(x-1)(x-2)

이 족은 대각선

s = t

를 따라 이중점이 아닌 특이점을 가진다.

또 다른 예로, 다항식으로 주어진

\mathbb{A}^1_t

위의 족이 있다.

:

x^3 -y^2 + t

이는 첨점을 가진 유리 곡선으로 퇴화하는 타원 곡선의 족이다.

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