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그라스만 다양체

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목차

1. 개요

그라스만 다양체는 선형대수학에서 특정 차원의 부분 공간을 나타내는 미분 가능 다양체이다. \text{Gr}_k(V)로 표기하며, k 차원 부분 공간으로 구성된다. 그라스만 다양체는 좌표 아틀라스를 통해 미분 다양체의 구조를 가지며, 기본 열 연산을 통해 얻어지는 축약된 열 사다리꼴 행렬을 사용하여 정의된다. 실수 또는 복소수 그라스만 다양체는 직교 사영 연산자의 집합으로 정의될 수 있으며, 일반 선형 군의 작용에 대한 동차 공간으로 표현될 수 있다. 그라스만 스킴은 스킴 이론에서 표현 가능한 함자로 정의되며, 플뤼커 매장을 통해 사영 공간의 닫힌 부분 스킴으로 표현된다. 그라스만 다양체는 특이 코호몰로지 환을 가지며, 낮은 차원의 경우 사영 공간과 동일하다. 슈베르트 세포를 사용한 분해를 통해 다양한 성질을 연구하며, 플뤼커 매장, 쌍대성, 위상수학적 성질 등을 갖는다. 그라스만 다양체는 콤팩트 다양체의 접속이 있는 다발을 위한 보편 매장 공간으로 활용되며, 카돔체프-페트비아쉬빌리 방정식의 해, 컴퓨터 비전, 소립자 산란 진폭 계산 등 다양한 분야에 응용된다.

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그라스만 다양체
정의
유형다양체
분야대수기하학, 미분기하학, 위상수학
명칭과 표기
영어Grassmannian
기호Gr(k, V)
성질
차원k(n-k)
예시
Gr(1, V)사영 공간

2. 정의

체 K영어 위의 n영어차원 선형 공간 V영어에 대해, 그라스마니안 \text{Gr}(k,V)는 V의 모든 k영어차원 선형 부분 공간들의 집합이다.[1] 그라스마니안은 \text{Gr}(k,n) 또는 \text{Gr}_k(n)로도 표기된다.[1]

벡터 공간의 부분 공간 모임에 위상 구조를 부여하면 부분 공간의 연속적인 선택 또는 부분 공간의 열린 및 닫힌 모임에 대해 이야기할 수 있다.[1] 미분 가능한 다양체의 구조를 추가하면 부분 공간의 매끄러운 선택에 대해 이야기할 수 있다.[1]

2. 1. 미분 다양체

유클리드 공간에 매장된 매끄러운 다양체의 접다발에서 그라스마니안의 자연스러운 예를 확인할 수 있다. \R^n에 매장된 k차원 다양체 M이 있을 때, M의 각 점 x에서 M에 대한 접공간은 \R^n의 접공간의 부분 공간(\R^n)으로 생각할 수 있다. 이때 x에 접공간을 할당하는 함수는 M에서 \text{Gr}(k,n)로 가는 사상을 정의한다.[1]

그라스마니안 \text{Gr}_k(V)에 미분 다양체의 구조를 부여하기 위해 V에 대한 기저를 선택한다. 이는 열 벡터 (e_1, \dots, e_n) 으로 표시되는 표준 기저를 통해 V=K^n으로 식별하는 것과 같다. \text{Gr}_k(V)의 원소로 볼 수 있는 임의의 k차원 부분 공간 w\subset V에 대해 k개의 선형 독립 열 벡터들 W_1, \dots, W_k 로 구성된 기저를 선택할 수 있다. 원소 w\in\text{Gr}_k(V)의 동차 좌표는 W_i, i = 1, \dots, k 가 열벡터인 최대 랭크를 가진 n\times k 행렬 W의 성분들로 이뤄져 있다. 기저의 선택은 임의적이므로, 두 개의 최대 랭크 행렬 W과 \tilde{W} 는 general linear group|일반 선형군영어의 어떤 원소 g\in\text{GL}(k,K)에 대해 \tilde{W} = W g 가 성립하는 경우에, 그리고 그때에만 동일한 원소 w\in\text{Gr}_k(V)를 나타낸다.[1]

좌표 아틀라스를 정의하기 위해, 임의의 n\times k 행렬 W에 대해 기본 열 연산을 적용하여 축약된 열 사다리꼴 행렬을 얻는다. 만약 W의 처음 k 행이 선형 독립인 경우, 그 결과는 다음과 같은 행렬이 된다:[1]

::\begin{bmatrix} 1 \\ & 1 \\ & & \ddots \\ & & & 1 \\ a_{1,1} & \cdots & \cdots & a_{1,k} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{n-k,1} & \cdots & \cdots & a_{n-k,k} \end{bmatrix}.

여기서 (n-k)\times k 행렬 A=(a_{ij}) 는 w를 결정한다. 일반적으로 처음 k 행은 독립적일 필요는 없지만, 랭크가 k 인 W의 경우, W의 i_1, \ldots, i_k 번째 행으로 구성된 부분행렬 W_{i_1, \dots, i_k} 은 비특이인 정렬된 정수 집합 1 \le i_1 < \cdots < i_k \le n 이 존재한다. 열 연산을 적용하여 이 부분행렬을 항등원으로 축약 할 수 있으며 나머지 성분은 유일하게 w에 해당한다.[1]

따라서 순서가 지정된 각 정수 집합에 대해, U_{i_1, \dots, i_k} 를 k \times k 부분 행렬 W_{i_1, \dots, i_k} 이 특이행렬이 아닌 n \times k 행렬 W들의 집합이라 정의한다. 여기서 W_{i_1, \dots, i_k} 의 j번째 행은 W의 i_j 번째 행이다. U_{i_1, \dots, i_k} 위의 좌표 함수는 W를 행렬 W W^{-1}_{i_1, \dots, i_k}의 행인 (n-k)\times k 직사각형 행렬로 보내는 사상 A^{i_1, \dots, i_k} 으로 정의된다. 이 때, (i_1, \dots, i_k)의 보완 원소 w\in\text{Gr}_k(V)를 나타내는 동차 좌표 행렬 W의 선택은 좌표 행렬의 값에 영향을 주지 않는다. 좌표 이웃 U_{i_1, \dots, i_k} 에서 w를 나타내는 A^{i_1, \dots, i_k} 는 임의의 값을 취할 수 있으며, U_{i_1, \dots, i_k} 에서 K값 (n-k)\times k 행렬의 공간으로의 미분 동형 사상을 정의한다.[1]

두 좌표 이웃들의 교집합 U_{i_1, \dots, i_k} \cap U_{j_1, \dots, j_k} 에서 좌표 행렬 값은 다음의 추이 관계에 의해 관련된다.[1]

:: A^{i_1, \dots, i_k} W_{i_1, \dots, i_k} = A^{j_1, \dots, j_k} W_{j_1, \dots, j_k}

여기서 W_{i_1, \dots, i_k} 와 W_{j_1, \dots, j_k} 는 모두 가역적이다. 따라서 추이 함수는 다항식의 몫으로 미분 가능하다. 결론적으로, (U_{i_1, \dots, i_k}, A^{i_1, \dots, i_k}) 는 \text{Gr}_k(V)에 미분 가능 다양체의 아틀라스를 제공한다.[1]

2. 2. 직교 사영 집합

실수 또는 복소수 그라스만 다양체는 직교 투영 연산자의 집합으로 정의할 수 있다.The real or complex Grassmannian can be defined as the set of orthogonal projection operators.영어[1] 이를 위해, V가 실수인지 복소수인지에 따라 V에 양의 정부호 실수 또는 에르미트 내적 \langle \cdot , \cdot \rangle을 선택한다. k차원 부분 공간 U는 랭크 k인 유일한 직교 사영 P_U를 결정한다. 반대로 모든 랭크 k 사영 P는 해당 상 U_P = \mathrm{Im}(P)로 부분 공간을 정의한다. 사영의 경우 랭크는 대각합과 같으므로 그라스마니안을 다음과 같이 명시적인 사영 집합으로 정의할 수 있다.[1]

: \mathrm{Gr}(k, V) = \left\{ P \in \mathrm{End}(V) \mid P = P^2 = P^*,\, \mathrm{tr}(P) = k \right\}

특히 V = \Reals^n 또는 V = \Complex^n로 놓으면 이것은 각각의 행렬 공간 \Reals^{n \times n}, \Complex^{n \times n}에 그라스마니안을 매장하기 위한 완전히 명시적인 방정식을 제공한다. 이것은 그라스마니안을 구의 닫힌 부분 집합 \{X \in \mathrm{End}(V) \mid \mathrm{tr}(XX^*) = k\}으로 정의하므로, 그라스마니안이 콤팩트 하우스도르프 공간임을 확인하는 한 가지 방법이다.

이 구성은 또한 그라스마니안을 거리 공간으로 만든다. V의 부분 공간 W에 대해 P_W를 W 에 대한 V의 사영이라고 하자. 그러면,

:d(W, W') = \lVert P_W - P_{W'} \rVert.

여기서 |\cdot|는 연산자 노름을 나타내며 \text{Gr}(r,V)에 대한 거리이다. 사용된 정확한 내적은 중요하지 않다. 왜냐하면 다른 내적은 V에 대해 동등한 노름을 제공하고 따라서 동등한 거리를 제공하기 때문이다.[1]

2. 3. 동차 공간

일반선형군(GL(V))는 주어진 선형 공간 V의 r차원 부분 공간에 대해 추이적으로 작용한다. 따라서, Gr(r, V)는 동차 공간 GL(V)/H로 표현될 수 있다. 여기서 H는 r차원 부분공간 W ⊂ V의 안정자 집합이다.

만약 기저체가 실수 ℝ 또는 복소수 ℂ이고, GL(V)를 리 군으로 간주하면, 이 구성은 그라스마니안을 매끄러운 다양체로 만든다. 더 일반적으로, 기저체 k 위에서 군 GL(V)는 대수적 군이며, 그라스마니안이 비특이 대수적 다양체임을 보여준다.

실수 또는 복소수의 경우, 직교군 O(V) 또는 유니터리 군 U(V)를 사용하여 그라스마니안을 콤팩트 공간으로 나타낼 수 있다. ℝ-선형공간 V에 내적 q를 고정하면, 직교 군 O(V,q)는 k차원 부분 공간 집합 Gr(k,V)에 추이적으로 작용한다. k-공간 W의 안정자는 O(W, q|_W) × O(W⊥, q|W⊥)이다. 따라서, Gr(r, V)는 동차 공간 O(V, q) / (O(W, q|_W) × O(W⊥ q|W⊥))로 표현된다.

마찬가지로, 복소수 공간에서 에르미트 내적 h를 선택하면, 유니터리 군 U(V, h)가 추이적으로 작용하여 Gr(r, V) = U(V, h) / (U(W, h|_W) × U(W⊥|W⊥))로 표현된다. 특히, V = ℂn, W = ℂr ⊂ ℂn에 대해 Gr(r, n) = U(n) / (U(r) × U(n-r))이다.

2. 4. 스킴

스킴 S와 S 위의 준연접층 \mathcal E, 그리고 자연수 r \in \mathbb N이 주어졌을 때, 그라스마니안은 함자

:\operatorname{Gr}(r,\mathcal E_{-})\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

로 정의될 수 있다. 이 함자는 S 위의 스킴 T/S에 대하여, \mathcal O_S-가군층

:\mathcal E_T=\mathcal E\otimes_{\mathcal O_S}\mathcal O_T

의 몫가군층들 가운데 계수 r인 국소 자유 가군층들의 집합

:\operatorname{Gr}(r,\mathcal E_T)

를 대응시킨다.

이 함자는 표현 가능 함자이며, 분리 S-스킴 \operatorname{Gr}_S(r,\mathcal E)으로 표현된다. 이를 '''그라스만 스킴'''이라고 한다.

표현 가능 함자의 정의에 따라, 다음과 같은 표준적인 스킴 동형이 존재한다.

:\operatorname{Gr}(r, \mathcal E) \times_S T\simeq \operatorname{Gr}(r, \mathcal E_T)

\mathcal E=\mathcal O_S^{\oplus n}이며 r=1인 경우, 그라스만 스킴 \operatorname{Gr}_S(1,\mathcal O_S^{\oplus n})은 사영 공간 \mathbb P_S^n과 같다.

고전적인 경우로, 어떤 체 K에 대하여 S=\operatorname{Spec}K이고, \mathcal E가 K 위의 선형 공간 V에 의해 주어지는 경우가 있다. 즉,

:\Gamma(\operatorname{Spec}K;\mathcal E)=V

인 경우이다. 이 경우, 그라스만 스킴 \operatorname{Gr}_K(r,V)의 K-점들은 V 속의 r차원 부분 선형 공간들과 일대일 대응한다.

특히, 다음과 같은 성질을 갖는다.

  • V가 유한 차원 실수 선형 공간일 경우, 그라스만 스킴은 콤팩트 매끄러운 다양체의 구조를 가진다.
  • V가 유한 차원 복소수 선형 공간일 경우, 그라스만 스킴은 콤팩트 복소다양체의 구조를 가진다.
  • K가 대수적으로 닫힌 체이며, V가 유한 차원 K-선형 공간일 경우, 그라스만 스킴은 K 위의 비특이 사영 대수다양체의 구조를 가진다. 이 경우, 사영 공간으로의 매장은 플뤼커 매장으로 주어진다.


그라스만 스킴은 함자를 나타내므로, 보편 대상 \mathcal G와 함께 제공된다. \mathcal G는 \mathbf{Gr} \left (r, \mathcal{E}_{\mathbf {Gr}(r, \mathcal E)} \right)의 대상이다. 따라서 \mathcal E_{\mathbf {Gr}(r, \mathcal E)}의 몫 가군 \mathcal G는 \mathbf{Gr}(r, \mathcal{E}) 위의 랭크 r 국소 자유 가군이다. 몫 준동형 사상은 사영 다발 \mathbf{P}(\mathcal G)에서 닫힌 매몰을 유도한다.

:\mathbf{P}(\mathcal G) \to \mathbf{P} \left (\mathcal E_{\mathbf{Gr}(r, \mathcal E)} \right) = \mathbf P({\mathcal E}) \times_S \mathbf{Gr}(r, \mathcal E).

S-스킴의 모든 사상 T \to \mathbf{Gr}(r, \mathcal{E})에 대해, 이 닫힌 몰입은 닫힌 몰입을 유도한다.

: \mathbf{P}(\mathcal G_T) \to \mathbf{P} (\mathcal{E}) \times_S T

반대로, 그러한 닫힌 몰입은 \mathcal E_T에서 랭크 r의 국소적 자유 가군으로 가는 O_T-가군의 전사 동형에서 비롯된다.[25] 따라서 \mathbf{Gr}(r, \mathcal E)(T)의 원소들은 \mathbf{P} (\mathcal{E}) \times_S T에서 정확히 랭크 r의 사영 부분 다발이다.

T=S가 체 k의 스펙트럼이고 \mathcal E가 선형 공간 V에 의해 주어지면, 유리점의 집합 \mathbf{Gr}(r, \mathcal{E})(k)는 \mathbf{P}(V)의 (r-1)차원 사영 선형 부분공간에 해당하고, \mathbf{P}(V) \times_k \mathbf{Gr}(r, \mathcal E) 안의 \mathbf{P}(\mathcal G)(k)의 상은 집합

:\left\{ (x, v) \in \mathbf{P}(V)(k) \times \mathbf{Gr}(r, \mathcal E)(k) \mid x\in v \right\}

이다.

대수기하학에서 그라스만 다양체는 표식으로 구성될 수 있으며, 표현 가능 함자로 표현할 수 있다.[2]

\mathcal E를 스킴 S 위의 유사 가환층이라고 하고, 양의 정수 k를 고정하면, 각 S-스킴 T에 대해 그라스만 다양체 함자는 다음과 같은 몫 모듈들의 집합을 대응시킨다.

:\mathcal{E}_T := \mathcal E \otimes_{O_S} O_T

(T 위에서 랭크 k인 국소 자유 가군). 이 집합은 \mathbf{Gr}(k, \mathcal{E}_T)로 표기한다.

이 함자는 분리된 S-스킴 \mathbf{Gr}(k, \mathcal{E})에 의해 표현될 수 있다. 이 스킴은 \mathcal {E}가 유한 생성일 경우 사영이다. S가 체 K의 스펙트럼일 때, 층 \mathcal{E}는 벡터 공간 V에 의해 주어지며, V의 쌍대 공간의 일반적인 그라스만 다양체, 즉 \mathbf{Gr}(k, V)를 얻는다.

구성에 의해 그라스만 스킴은 기저 변환과 호환된다. 임의의 S-스킴 S'에 대해 다음과 같은 표준 동형 사상이 존재한다.

::\mathbf{Gr}(k, \mathcal{E} ) \times_S S' \simeq \mathbf{Gr}(k, \mathcal{E}_{S'})

특히, S의 임의의 점 s에 대해, 표준 사상 \{s\} = \text{Spec}K(s) \rightarrow S은 섬유 \mathbf{Gr}(k, \mathcal {E})_s에서 잉여류체 K(s) 위의 일반적인 그라스만 \mathbf{Gr}(k, \mathcal{E} \otimes_{O_S} K(s))로의 동형 사상을 유도한다.

그라스만 다양체는 함자를 나타내므로, 보편적인 대상 \mathcal G가 함께 제공되며, 이는 \mathbf{Gr} \left (k, \mathcal{E}_{\mathbf {Gr}(k, \mathcal E)} \right)의 대상이며, 따라서 \mathbf{Gr}(k, \mathcal{E}) 위에서 랭크가 k이고 국소적으로 자유로운 \mathcal E_{\mathbf {Gr}(k, \mathcal E)}의 몫 모듈 \mathcal G이다. 이 몫 준동형사상은 사영 다발로부터 닫힌 매장을 유도한다.

::\mathbf{P}(\mathcal G) \to \mathbf{P} \left (\mathcal E_{\mathbf{Gr}(k, \mathcal E)} \right) = \mathbf P({\mathcal E}) \times_S \mathbf{Gr}(k, \mathcal E).

S-스키마의 임의의 사상에 대해:

::T \to \mathbf{Gr}(k, \mathcal{E}),

이 닫힌 매장은 닫힌 매장을 유도한다.

:: \mathbf{P}(\mathcal G_T) \to \mathbf{P} (\mathcal{E}) \times_S T.

반대로, 이러한 모든 닫힌 매장은 \mathcal E_T에서 랭크가 k인 국소적으로 자유로운 모듈로의 전사 준동형사상으로부터 온다.[3] 따라서, \mathbf{Gr}(k, \mathcal E)(T)의 요소들은 정확히 \mathbf{P} (\mathcal{E}) \times_S T.에서 랭크가 k인 사영 부분 다발이다.

T=S가 체 K의 스펙트럼이고 \mathcal E가 벡터 공간 V에 의해 주어지면, 유리점의 집합 \mathbf{Gr}(k, \mathcal{E})(K)는 \mathbf{P}(V)에서 차원이 (k-1)인 사영 선형 부분 공간에 해당하며, \mathbf{P}(\mathcal G)(K)의 이미지는

:: \mathbf{P}(V) \times_K \mathbf{Gr}(k, \mathcal E)

는 집합

::\left\{ (x, v) \in \mathbf{P}(V)(K) \times \mathbf{Gr}(k, \mathcal E)(K) \mid x\in v \right\}.이다.

3. 성질

그라스마니안은 스킴 이론적 성질, 쌍대성, 플뤼커 매장, 위상수학적 성질 등 다양한 성질을 가진다.


  • 스킴 이론적 성질: 스킴 이론에서 그라스만 스킴은 특정 조건을 만족하는 사상으로 정의된다.
  • 쌍대성: 유한 차원 벡터 공간에서 그라스만 다양체는 쌍대 공간을 통해 다른 차원의 그라스만 다양체와 동형을 이룬다.
  • 플뤼커 매장: 그라스만 다양체는 외대수의 사영 공간으로 매장될 수 있으며, 이 매장은 플뤼커 관계로 설명된다.
  • 위상수학적 성질: 복소수 그라스만 다양체의 코호몰로지 환은 천 특성류로 생성되며, 슈베르트 세포 분해를 통해 연구될 수 있다.


이러한 성질들은 그라스만 다양체를 기하학, 대수학, 위상수학 등 다양한 분야에서 중요한 연구 대상으로 만든다.

3. 1. 스킴 이론적 성질

스킴 S 위의 준연접층 \mathcal E와 자연수 r \in \mathbb N에 대하여, 그라스만 스킴 \operatorname{Gr}_S(r,\mathcal E)의 구조 사상

:\operatorname{Gr}_S(r,\mathcal E)\to S

는 분리 사상이다.[2] \mathcal E가 유한 생성 가군층이라면, 이는 사영 사상이다.[2]

임의의 스킴 사상 f\colon S\to S'에 대하여, 스킴의 표준적 동형 사상

:\operatorname{Gr}_S(r,\mathcal E) \times_S S' \cong \operatorname{Gr}_{S'}(r,f_*\mathcal E)

이 존재한다.[2] 특히, 임의의 점 s\in S에 대하여, 표준적 스킴 사상

:\operatorname{Spec}\kappa(s) \to S

를 통해 동형 사상

:\operatorname{Gr}_S(r,\mathcal E) \times_S \kappa(s) \cong \operatorname{Gr}_{\kappa(s)}(r,\mathcal E \otimes_{\mathcal O_S}\kappa(s))

이 존재한다.[2] 여기서 \kappa(s)는 s에서 S의 국소 가환환 \mathcal O_{S,s}의 (극대 아이디얼에 대한) 잉여류체이다. 이 동형에서 우변은 (무한 차원일 수 있는) \kappa(s)-선형 공간의 그라스만 다양체이므로, 일반적 그라스만 스킴은 고전적 그라스만 다양체들의 족(族)으로 여길 수 있다.[2]

3. 2. 쌍대성

체 K에 대하여, 유한 차원 K-선형 공간 V와 자연수 r\in\mathbb N이 주어졌을 때, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.[2]

:\operatorname{Gr}_K(r,V) \cong \operatorname{Gr}_K(\dim_KV - r, V^\vee)

:W \mapsto \ker W = \{\alpha\in V^\vee \colon \langle\alpha,W\rangle = 0\}

여기서 V^\vee는 쌍대 공간이다.

모든 k차원 부분 공간 W \subset V는 V의 (n-k)차원 몫 공간 V/W를 결정하며, 이는 다음과 같은 자연스러운 짧은 완전 순서를 갖는다.

:: 0 \rightarrow W \rightarrow V \rightarrow V/W \rightarrow 0.

각 공간의 쌍대와 쌍대 선형 변환을 취하면, (V/W)^*가 V^*에 포함되고 몫은 W^*가 된다.

:: 0 \rightarrow (V/W)^* \rightarrow V^* \rightarrow W^* \rightarrow 0.

유한 차원 벡터 공간과 이중 쌍대 사이의 자연스러운 동형 사상을 사용하면, 쌍대를 다시 취했을 때 원래의 짧은 완전 순서를 복구할 수 있다. 결과적으로 V의 k차원 부분 공간과 V^*의 (n-k)차원 부분 공간 사이에는 일대일 대응이 성립한다. 이는 그라스만 다양체에서 다음과 같은 정규 동형 사상을 제공한다.

:: \mathbf{Gr}_k(V) \leftrightarrow \mathbf{Gr}{(n-k}, V^*)

이 사상은 각 부분 공간 W \subset V에 그 소멸자 W^0\subset V^*를 연결한다.

V와 V^*의 동형 사상을 선택하면, \mathbf{Gr}_k( V)와 \mathbf{Gr}_{n-k}(V) 사이의 (비정규) 동형 사상이 결정된다. V와 V^*의 동형 사상은 내적의 선택과 동일하며, 선택된 내적과 관련하여 이 그라스만 다양체의 동형 사상은 모든 k차원 부분 공간을 해당 (n-k)차원 직교 여공간으로 보낸다.

3. 3. 플뤼커 매장

체 K 위의 선형 공간 V와 자연수 r\in\mathbb N가 주어졌을 때, 그라스만 다양체 \operatorname{Gr}(r,E)를 정의할 수 있다.

이는 V 위의 외대수 \bigwedge^rV 위의 사영 공간 \mathbb P\left(\bigwedge^rV\right)의 닫힌 부분 스킴이며, 이를 정의하는 매장을 '''플뤼커 매장'''(Plücker embedding영어)이라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.

:\iota \colon \operatorname{Gr}(r, V) \to \mathbb P\left(\bigwedge^rV\right)

:\iota\colon\operatorname{Span}\{v_1, \ldots, v_r\}\mapsto v_1\wedge \cdots \wedge v_r

여기서 우변은 \mathbb P(\bigwedge^rV)의 동차 좌표이다.

플뤼커 매장은 다음과 같은 '''플뤼커 방정식'''을 만족시킨다. V의 임의의 두 r차원 부분 선형 공간

:W=\operatorname{Span}\{w_1,\dots,w_r\}

:Z=\operatorname{Span}\{z_1,\dots,z_r\}

및 임의의 음이 아닌 정수 0\le k\le r에 대하여,

:\iota(W)\cdot\iota(Z) = \sum_{i_1 < \cdots < i_k} (v_1 \wedge \cdots \wedge v_{i_1 - 1} \wedge w_1 \wedge v_{i_1 + 1} \wedge \cdots \wedge v_{i_k - 1} \wedge w_k \wedge v_{i_k + 1} \wedge \cdots \wedge v_r)\cdot(v_{i_1} \wedge \cdots \wedge v_{i_k} \wedge w_{k+1}\wedge \cdots \wedge w_r)

이는 2차 동차 다항식이다. 표수가 0인 경우, 그라스만 다양체는 플뤼커 방정식만으로 완전히 정의된다.

Plücker 매립은 그라스만 다양체 \mathbf{Gr}(k, V)를 V의 k번째 외력 \Lambda^k V의 사영화로 자연스럽게 매립하는 것이다.

::\iota : \mathbf{Gr}(k, V) \to \mathbf{P} \left(\Lambda^k V \right ).

w\subset V가 n차원 벡터 공간 V의 k차원 부분 공간이라고 가정하자. \iota(w)를 정의하기 위해, w에 대한 기저 (w_1, \cdots, w_k)를 선택하고, \iota(w)를 이 기저 원소들의 외적의 사영화로 놓는다.

\iota(w) = [w_1 \wedge \cdots \wedge w_k],

여기서 [ \, \cdot \, ]는 사영 동치류를 나타낸다.

w에 대한 다른 기저는 다른 외적을 줄 것이지만, 두 외적은 0이 아닌 스칼라 배수(기저 변환 행렬의 행렬식)만큼만 다를 것이다. 우변이 사영화된 공간에서 값을 가지므로, \iota는 잘 정의된다. 그것이 매립임을 알기 위해, \iota(w)로부터 w를

:: v \wedge \iota (w) = 0.

인 모든 벡터 v\in V 집합의 span으로 복구할 수 있음을 주목하라.

그라스만 임베딩은 '''플뤼커 관계'''라고 불리는 일련의 간단한 이차 관계를 만족한다. 이는 그라스만 다양체 \mathbf{Gr}_k(V)가 V의 k차 외대수 \mathbf{P}(\Lambda^k V)의 사영화의 비특이 사영 대수 부분다양체로 임베딩됨을 보여주며, 그라스만 다양체를 구성하는 또 다른 방법을 제공한다. 플뤼커 관계를 나타내기 위해, V의 기저 (e_1, \cdots, e_n)을 고정하고, w\subset V를 기저 (w_1, \cdots, w_k)를 갖는 V의 k차원 부분 공간이라고 하자. (w_{i1}, \cdots, w_{in})을 V의 선택된 기저에 대한 w_i의 성분이라고 하고, (W^1, \dots, W^n)을 해당 동차 좌표 행렬의 전치 행렬을 형성하는 k-성분 열 벡터라고 하자.

:: W^T = \begin{bmatrix} w_{11} &\cdots & w_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ w_{k1} & \cdots & w_{kn}

\end{bmatrix} ,

k개의 양의 정수로 이루어진 순서열 1\le i_1 < \cdots < i_k \le n에 대해, w_{i_1, \dots , i_k}를 열이 [W^{i_1}, \dots , W^{i_k}]인 k \times k 행렬의 행렬식이라고 하자. 원소 \{w_{i_1, \dots , i_k} \, \vert \, 1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n\}는 그라스만 다양체의 원소 w \in \mathbf{Gr}_k(V)의 '''플뤼커 좌표'''라고 한다( V의 기저 (e_1, \cdots, e_n)에 대해). 이들은 플뤼커 사상 아래에서 w의 상 \iota(w)의 선형 좌표이며, V의 기저 (e_1, \cdots, e_n)에 의해 생성된 외대수 \Lambda^k V 공간의 기저에 대한 좌표이다. w의 기저 변경은 플뤼커 좌표에 0이 아닌 상수를 곱하는 결과를 가져오므로(기저 변환 행렬의 행렬식), 이 좌표들은 사영 동치까지 정의되므로 \mathbf{P}(\Lambda^k V)의 점을 결정한다.

각각 k-1개와 k+1개의 양의 정수로 이루어진 두 개의 순서열 1 \leq i_1 < i_2 \cdots < i_{k-1} \leq n 및 1 \leq j_1 < j_2 \cdots < j_{k+1} \leq n에 대해, 플뤼커 관계, 또는 플뤼커-그라스만 관계로 알려진 다음과 같은 동차 이차 방정식이 유효하며 플뤼커 사상 임베딩 아래에서 \mathbf{Gr}_k(V)의 상 \iota(\mathbf{Gr}_k(V))를 결정한다.

::\sum_{l=1}^{k+1} (-1)^\ell w_{i_1, \dots , i_{k-1}, j_l} w_{j_1, \dots , \widehat{j_l}, \dots j_{k+1}} = 0,

여기서 j_1, \ldots , \widehat{j_l}, \ldots j_{k+1}는 항 j_l이 생략된 수열 j_1, \ldots, j_{k+1}을 나타낸다. 이들은 일관적이며 비특이 사영 다양체를 결정하지만, 대수적으로 독립적이지 않다. 이것들은 \iota(w)가 \Lambda^k V의 완전 분해 가능 원소의 사영화라는 명제와 동등하다.

\dim(V) =4이고 k=2일 때(사영 공간이 아닌 가장 간단한 그라스만 다양체), 위의 식은 단일 방정식으로 축소된다. 플뤼커 사상 아래에서 상 \iota(\mathbf{Gr}_2(V) \subset \mathbf{P}(\Lambda^2 V)의 동차 좌표를 (w_{12}, w_{13}, w_{14}, w_{23}, w_{24}, w_{34})로 나타내면, 이 단일 플뤼커 관계는 다음과 같다.

::w_{12}w_{34} - w_{13}w_{24} + w_{14}w_{23} = 0.

일반적으로, 플뤼커 임베딩 아래에서 그라스만 다양체의 상 \iota(\mathbf{Gr}_k(V))를 \mathbf{P}(\Lambda^k V)에서 정의하려면 더 많은 방정식이 필요하다.

3. 4. 위상수학적 성질

\operatorname{Gr}_{\mathbb C}(r,n)의 (정수 계수) 특이 코호몰로지 :\operatorname H^\bullet(\operatorname{Gr}_{\mathbb C}(r,n);\mathbb Z)를 생각하자. 짝수 등급 코호몰로지만이 자명하지 않으며, 따라서 이는 가환환을 이룬다.[5]

\operatorname{Gr}_{\mathbb C}(r,n) 위에는 r차원 복소수 벡터 다발인 보편 다발 E가 존재한다. 그 (총) 천 특성류는 다음과 같다.

:\operatorname c(E) = \sum_{i=0}^\infty \operatorname c_i(E) \in \bigoplus_i\operatorname H^i(\operatorname{Gr}_{\mathbb C}(r,n);\mathbb Z)

마찬가지로, \mathbb C^n에 임의의 내적 공간 구조를 부여하면, 각 올의 직교 여공간으로 구성되는 n-r차원 복소수 벡터 다발 F가 존재하며, 그 (총) 천 특성류는 다음과 같다.

:\operatorname c(F) = \sum_{i=0}^\infty \operatorname c_i(F) \in \bigoplus_i\operatorname H^i(\operatorname{Gr}_{\mathbb C}(r,n);\mathbb Z)

정의에 따라, E\oplus F는 n차원의 자명한 복소수 벡터 다발이다. 따라서 그 천 특성류는 0이며, 천 특성류의 함자성으로 인하여 다음이 성립한다.

:\operatorname c(E)\operatorname c(F) = 1

복소수 그라스만 다양체의 코호몰로지 환은 \operatorname c_1(E),\operatorname c_2(E),\dotsc,\operatorname c_1(F), \operatorname c_2(F),\dotsc로부터 생성되며, 그 위의 유일한 관계는 \operatorname c(E)\operatorname c(F) = 1이다.

그라스만 다양체의 상세한 연구는 아핀 부분 공간으로의 분해를 활용하는데, 이를 ''슈베르트 세포''라고 하며, 이는 처음에는 계수 기하학에 적용되었다.[5] \mathbf{Gr}_k(V)에 대한 슈베르트 세포는 차원이 \mathrm{dim}(V_i) = i인 부분 공간의 지정된 완전한 깃발 V_1 \subset V_2 \subset \cdots \subset V_n=V의 관점에서 정의된다.

임의의 정수 분할 \lambda =(\lambda_1, \cdots, \lambda_k) (여기서 |\lambda|=\sum_{i=1}^k\lambda_i 이고, \lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_k \geq 0 인 음이 아닌 정수)의 영 다이어그램은 직사각형 (n-k)^k 안에 들어가며, 슈베르트 세포 X_\lambda(k,n)\subset \mathbf{Gr}_k(V)는 부분 공간 \{V_i\}와의 교집합이 다음과 같은 차원을 갖는 요소 W \in \mathbf{Gr}_k(V)로 구성된다.

:: X_\lambda(k,n) = \{W \in \mathbf{Gr}_k(V)\, | \, \dim(W \cap V_{n-k+j-\lambda_j}) = j\}.

이들은 아핀 공간이며, (자리스키 위상 내에서의) 그 폐포는 슈베르트 다양체로 알려져 있다.

양자 코호몰로지 링은 에드워드 위튼에 의해 계산되었다.[5] 생성자는 고전적인 코호몰로지 링과 동일하지만, 최상위 관계는 다음과 같이 변경된다.

::c_k(E) c_{n-k}(F) = (-1)^{n-k}

이는 해당 양자장론에서 2n개의 페르미온 영 모드를 갖는 인스턴톤의 존재를 반영하며, 이는 상태에 해당하는 코호몰로지의 차수를 2n 단위로 위반한다.

4. 낮은 차원

Grassmannian|그라스만 다양체영어 Gr(1, n)은 n-1차원 사영 공간과 같다. 유클리드 3차원 공간에서 Gr(2, 3)은 사영 평면(P2)과 같다. 사영 공간이 아닌 가장 단순한 그라스만 다양체는 Gr(2, 4)이다.

5. 슈베르트 세포

슈베르트 세포는 그라스마니안을 부분 집합으로 분해하는 방법으로, 계수 기하학에 처음 적용되었다. \text{Gr}(r,n)에 대한 슈베르트 세포는 보조 기를 이용하여 정의된다. 우선 V_i\subset V_{i+1}인 부분 공간들 V_1,V_2,\dots를 고른다. 그런 다음 i=1,\dots r에 대해 최소 i 차원인 V_i와 교차하는 W로 구성된 \text{Gr}(r,n)의 해당 부분 집합을 고려한다. 이러한 슈베르트 세포의 조작은 슈베르트 미적분학의 기초가 된다.

예를 들어, \R^n의 r 차원 부분공간의 그라스마니안의 오일러 지표를 결정하는 문제를 생각해 보자. 1 차원 부분공간 \R \subset\R^n을 고정하고 \R을 포함하는 \R^n의 r 차원 부분공간과 그렇지 않은 부분공간으로 \text{Gr}(r,n)을 분할한다. 전자는 \text{Gr}(r-1,n-1)이고 후자는 \text{Gr}(r,n-1) 위의 r 차원 선형 다발이다. 이를 통해 다음 재귀 공식을 얻을 수 있다.

:\chi_{r,n} = \chi_{r-1,n-1} + (-1)^r \chi_{r, n-1}, \qquad \chi_{0,n} = \chi_{n,n} = 1.

이 점화식을 풀면 n이 짝수이고 r이 홀수인 경우에만 \gamma_{r,n}=0이라는 공식을 얻는다. 그렇지 않으면 다음과 같다.

:\chi_{r, n} = \binom{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}{\left\lfloor \frac{r}{2} \right\rfloor}.

좀 더 상세하게는, \mathbf{Gr}_k(V)에 대한 슈베르트 세포는 차원이 \mathrm{dim}(V_i) = i인 부분 공간의 지정된 완전한 깃발 V_1 \subset V_2 \subset \cdots \subset V_n=V의 관점에서 정의된다. 임의의 정수 분할[1]

:\lambda =(\lambda_1, \cdots, \lambda_k)

무게[1]

:|\lambda|=\sum_{i=1}^k\lambda_i

로 구성되며 약하게 감소하는 음이 아닌 정수[1]

:\lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_k \geq 0,

의 영 다이어그램은 직사각형 (n-k)^k 안에 들어가며, 슈베르트 세포 X_\lambda(k,n)\subset \mathbf{Gr}_k(V)는 부분 공간 \{V_i\}와의 교집합이 다음과 같은 차원을 갖는 요소 W \in \mathbf{Gr}_k(V)로 구성된다.[1]

: X_\lambda(k,n) = \{W \in \mathbf{Gr}_k(V)\, | \, \dim(W \cap V_{n-k+j-\lambda_j}) = j\}.

이들은 아핀 공간이며, (자리스키 위상 내에서의) 그 폐포는 슈베르트 다양체로 알려져 있다.[1]

6. 복소 그라스마니안의 코호몰로지 환

복소수 그라스만 다양체 \operatorname{Gr}_{\mathbb C}(r,n)의 (정수 계수) 특이 코호몰로지

:\operatorname H^\bullet(\operatorname{Gr}_{\mathbb C}(r,n);\mathbb Z)는 짝수 등급 코호몰로지만이 자명하지 않으며, 따라서 가환환을 이룬다.

\operatorname{Gr}_{\mathbb C}(r,n) 위에는 r차원 복소수 벡터 다발인 보편 다발 E가 존재한다. 그 (총) 천 특성류는 다음과 같다.

:\operatorname c(E) = \sum_{i=0}^\infty \operatorname c_i(E) \in \bigoplus_i\operatorname H^i(\operatorname{Gr}_{\mathbb C}(r,n);\mathbb Z)

마찬가지로, \mathbb C^n에 임의의 내적 공간 구조를 부여하면, 각 올의 직교 여공간으로 구성되는 n-r차원 복소수 벡터 다발 F가 존재하며, 그 (총) 천 특성류는 다음과 같다.

:\operatorname c(F) = \sum_{i=0}^\infty \operatorname c_i(F) \in \bigoplus_i\operatorname H^i(\operatorname{Gr}_{\mathbb C}(r,n);\mathbb Z)

정의에 따라, E\oplus F는 n차원의 자명한 복소수 벡터 다발이다. 따라서 그 천 특성류는 0이며, 천 특성류의 함자성으로 인하여 다음이 성립한다.

:\operatorname c(E)\operatorname c(F) = 1

복소수 그라스만 다양체의 코호몰로지 환은

:\operatorname c_1(E),\operatorname c_2(E),\dotsc,\operatorname c_1(F), \operatorname c_2(F),\dotsc

로부터 생성되며, 그 위의 유일한 관계는 \operatorname c(E)\operatorname c(F) = 1이다.

양자 코호몰로지 환은 에드워드 위튼에 의해 계산되었다.[5] 생성원은 고전 코호몰로지 환의 생성원과 동일하지만 top 관계는 다음과 같이 변경된다.

:c_k(E) c_{n-k}(F) = (-1)^{n-k}

이는 해당 양자장론에서 2n개의 페르미온 영 모드를 갖는 인스턴톤의 존재를 반영하며, 이는 상태에 해당하는 코호몰로지의 차수를 2n 단위로 위반한다.

7. 관련된 측도

V영어가 n영어 차원 유클리드 공간일 때, 그라스만 다양체 Gr(r,n)영어에 대한 균등 측도를 다음과 같은 방식으로 정의할 수 있다. 직교군 O(n)영어에 대한 단위 하르 측도를 θn영어이라고 하고, Gr(r,n)영어의 원소 W영어를 고정한다. 그런 다음 집합 A⊂Gr(r,n)영어에 대해 다음 식을 정의한다.

:γr, n(A) = θn{g ∈ O(n) : gW ∈ A영어}.

이 측도는 군 O(n)영어 작용에 대해 불변이다. 즉, 모든 g∈O(n)영어에 대해, γr,n(gA)=γr,n(A)영어가 성립한다. θn(O(n))=1영어이므로 γr,n(Gr(r,n))=1영어이다. 더욱이, γr,n영어은 거리 공간 위상에 대한 라돈 측도이며, 동일한 반지름(이 거리에 대해)의 모든 공이 동일한 측도를 갖는다는 점에서 균일하다.

8. 예

표수 0에서, 사영 공간이 아닌 가장 간단한 그라스만 다양체 \operatorname{Gr}(2,4)를 생각해 보자. 이 경우, 그라스만 다양체는 5차원 사영 공간(\textstyle\binom42-1=5) 속에서, 플뤼커 방정식

:x_{12}x_{34}-x_{13}x_{24}+x_{23}x_{14}=0

을 통해 정의된다. 여기서 [x_{12}:x_{13}:x_{14}:x_{23}:x_{24}:x_{34}]는 5차원 사영 공간의 동차 좌표이다.

9. 응용

그라스마니안은 콤팩트 다양체의 접속이 있는 다발을 위한 "보편" 매장 공간으로 활용된다.[27][28]

카돔체프-페트비아쉬빌리 방정식의 해는 무한 차원 그라스마니안에서 아벨 군 흐름으로 표현될 수 있다. 타우 함수 측면에서 히로타 쌍선형 형식으로 표현되는 KP 방정식은 플뤼커 관계식과 동일하다.[29][30] 양의 그라스마니안은 KP 흐름 매개변수의 실제 값에 대해 특이하지 않은 KP 방정식의 솔리톤 해를 표현하는 데 사용할 수 있다.[31][32]

그라스마니안은 비디오 기반 얼굴 인식 및 모양 인식의 컴퓨터 비전 작업에서 응용을 찾았다.[33] 또한 그랜드 투어로 알려진 데이터 시각화 기술에도 사용된다.

그라스마니안은 아원자 입자의 산란 진폭이 진폭 면체라고 하는 양의 그라스마니안 구조를 통해 계산되도록 한다.[34]

참조

[1] 논문
[2] 서적 Éléments de géométrie algébrique Springer-Verlag
[3] 문서 Éléments de géométrie algébrique
[4] 서적 Principles of algebraic geometry John Wiley & Sons
[5] arXiv The Verlinde algebra and the cohomology of the Grassmannian
[6] 서적 The theory of spinors https://books.google[...] Dover Publications
[7] 간행물 Isotropic geometry and twistors in higher dimensions. I. The generalized Klein correspondence and spinor flags in even dimensions American Institute of Physics
[8] 간행물 Isotropic geometry and twistors in higher dimensions. II. Odd dimensions, reality conditions, and twistor superspaces American Institute of Physics
[9] 간행물 Existence of Universal Connections
[10] 간행물 Existence of Universal Connections II.
[11] 간행물 Schubert Calculus and representations of the general linear group American Mathematical Society
[12] 간행물 Soliton equations as dynamical systems on infinite dimensional Grassmann manifolds
[13] 간행물 Operator Approach to the Kadomtsev-Petviashvili Equation–Transformation Groups for Soliton Equations III– Physical Society of Japan
[14] 간행물 Solitons and infinite-dimensional Lie algebras European Mathematical Society Publishing House
[15] 서적 Tau functions and Their Applications, Chapts. 4 and 5 Cambridge University Press
[16] 간행물 Soliton Equations as Dynamical Systems on Infinite Dimensional Grassmann Manifolds (Random Systems and Dynamical Systems) http://hdl.handle.ne[...] 1981-10
[17] 서적 Tau functions and Their Applications, Chapt. 7 Cambridge University Press
[18] 간행물 Soliton Solutions of the KP Equation and Application to Shallow Water Waves 2009-07
[19] 간행물 KP solitons and total positivity for the Grassmannian 2014-12
[20] 웹사이트 A Mathematician's Unanticipated Journey Through the Physical World https://www.quantama[...] 2020-12-16
[21] 간행물 The Amplituhedron
[22] 간행물 Statistical analysis on Stiefel and Grassmann manifolds with applications in computer vision
[23] 간행물 A1-homotopy theory of schemes http://archive.numda[...] 2008-09-05
[24] 논문
[25] 문서 Éléments de géométrie algébrique
[26] 서적 Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas Springer-Verlag
[27] 간행물 Existence of Universal Connections https://archive.org/[...]
[28] 간행물 Existence of Universal Connections II. https://archive.org/[...]
[29] 간행물 Soliton Solutions of the KP Equation and Application to Shallow Water Waves 2009-07
[30] 간행물 Soliton Equations as Dynamical Systems on a Infinite Dimensional Grassmann Manifolds (Random Systems and Dynamical Systems) http://hdl.handle.ne[...] 1981-10
[31] 간행물 KP solitons and total positivity for the Grassmannian 2014-12
[32] 웹인용 A Mathematician's Unanticipated Journey Through the Physical World https://www.quantama[...] 2020-12-17
[33] 간행물 Statistical analysis on Stiefel and Grassmann manifolds with applications in computer vision
[34] 간행물 The Amplituhedron
[35] 간행물 A1-homotopy theory of schemes http://archive.numda[...] 2008-09-05


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