에너지-운동량 텐서

3. 보존 법칙

특수 상대성 이론에서, 비중력 에너지-운동량 텐서의 발산은 0이다. 다시 말해, 비중력 에너지와 운동량은 보존된다.

:$$0\; =\; T^\{\backslash mu\; \backslash nu\}\{\}\_\{;\backslash nu\}\backslash \; \backslash equiv\backslash \; \backslash nabla\_\backslash nu\; T^\{\backslash mu\; \backslash nu\}\{\}\; ~.$$

중력이 무시할 수 있고 공간시간에 대해 직교 좌표계를 사용할 때, 이것은 편미분으로 표현될 수 있다.

:$$0\; =\; T^\{\backslash mu\; \backslash nu\}\{\}\_\{,\backslash nu\}\backslash \; \backslash equiv\backslash \; \backslash partial\_\{\backslash nu\}\; T^\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; ~.$$

일반 상대성 이론에서도 에너지-운동량 텐서의 발산은 여전히 0이 된다. 그러나 이 경우에는 좌표계에 무관한 발산의 정의가 사용되는데, 이는 공변도함수를 포함한다.

:$$0\; =\; \backslash operatorname\{div\}\; T\; =\; T^\{\backslash mu\; \backslash nu\}\{\}\_\{;\backslash nu\}\; =\; \backslash nabla\_\{\backslash nu\}\; T^\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; =\; T^\{\backslash mu\; \backslash nu\}\{\}\_\{,\backslash nu\}\; +\; \backslash Gamma^\{\backslash mu\}\{\}\_\{\backslash sigma\; \backslash nu\}T^\{\backslash sigma\; \backslash nu\}\; +\; \backslash Gamma^\{\backslash nu\}\{\}\_\{\backslash sigma\; \backslash nu\}\; T^\{\backslash mu\; \backslash sigma\}$$

여기서 $\backslash Gamma^\{\backslash mu\}\{\}\_\{\backslash sigma\; \backslash nu\}$는 크리스토펠 기호이며, 중력 힘장이다.

결과적으로, $\backslash xi^\{\backslash mu\}$가 임의의 킬링 벡터장이라면, 킬링 벡터장에 의해 생성된 대칭과 관련된 보존 법칙은 다음과 같이 표현될 수 있다.

:$$0\; =\; \backslash nabla\_\backslash nu\; \backslash left(\backslash xi^\{\backslash mu\}\; T^\{\backslash nu\}\{\}\_\{\backslash mu\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{-g\}\}\; \backslash partial\_\backslash nu\; \backslash left(\backslash sqrt\{-g\}\backslash \; \backslash xi^\{\backslash mu\}\; T\_\{\backslash mu\}^\{\backslash nu\}\backslash right)$$

4. 특수 상대성 이론

뇌터 정리에 따라, 에너지-운동량 텐서는 민코프스키 공간의 시공간 병진(translation) 대칭에 대응하는 보존량이다. 다만, 뇌터 정리로 유도하는 에너지-운동량 텐서는 일반적으로 대칭 텐서가 아니며, 아인슈타인 방정식에 등장하는 에너지-운동량 텐서와 다를 수 있다.

에너지-운동량 텐서는 2차 텐서이므로, 그 성분들은 다음과 같은 4×4 행렬 형태로 나타낼 수 있다.

:$$$$

T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\ T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{pmatrix}\,,

여기서 지표 μ와 ν는 0, 1, 2, 3의 값을 가진다. k와 ℓ은 1부터 3까지의 범위를 갖는다.

특수 상대성이론에서 에너지-운동량 텐서는 주어진 계의 에너지와 운동량 밀도뿐만 아니라 운동량과 에너지 플럭스 밀도에 대한 정보를 포함한다.^[4]

일련의 장 $\backslash phi\_\{\backslash alpha\}$와 그들의 도함수의 함수이지만, 명시적으로 시공간 좌표 중 어느 것에도 의존하지 않는 라그랑지안 밀도 $\backslash mathcal\{L\}$가 주어지면, 정준 에너지-운동량 텐서를 구성할 수 있다. 조건은 다음과 같다.

$$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial\; x^\{\backslash nu\}\}\; =\; 0$$

연쇄 법칙을 사용하면 다음을 얻는다.

$$\backslash frac\{d\; \backslash mathcal\{L\}\}\{dx^\{\backslash nu\}\}\; =\; d\_\{\backslash nu\}\backslash mathcal\{L\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial(\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\})\}\backslash frac\{\backslash partial(\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\})\}\{\backslash partial\; x^\{\backslash nu\}\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial\; \backslash phi\_\{\backslash alpha\}\}\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash phi\_\{\backslash alpha\}\}\{\backslash partial\; x^\{\backslash nu\}\}$$

이를 간략하게 표현하면,

$$d\_\{\backslash nu\}\backslash mathcal\{L\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial(\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\})\}\backslash partial\_\{\backslash nu\}\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial\; \backslash phi\_\{\backslash alpha\}\}\backslash partial\_\{\backslash nu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\}$$

오일러-라그랑주 방정식을 사용하면,

$$\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial(\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\})\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial\; \backslash phi\_\{\backslash alpha\}\}$$

편미분은 교환 가능하다는 사실을 이용하면 다음을 얻는다.

$$d\_\{\backslash nu\}\backslash mathcal\{L\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial(\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\})\}\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash partial\_\{\backslash nu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\}\; +\; \backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial(\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\})\}\backslash right)\backslash partial\_\{\backslash nu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\}$$

우변은 곱셈 법칙으로 함수의 곱의 미분으로 표현하면 다음과 같다.

$$d\_\{\backslash nu\}\backslash mathcal\{L\}\; =\; \backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash left[\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial(\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\})\}\backslash partial\_\{\backslash nu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\}\backslash right]$$

평평한 공간에서 $d\_\{\backslash nu\}\backslash mathcal\{L\}\; =\; \backslash partial\_\{\backslash mu\}[\backslash delta^\{\backslash mu\}\_\{\backslash nu\}\backslash mathcal\{L\}]$로 쓸 수 있다. 이를 정리하면,

$$\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash left[\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial(\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\})\}\backslash partial\_\{\backslash nu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\}\backslash right]\; -\; \backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash left(\backslash delta^\{\backslash mu\}\_\{\backslash nu\}\backslash mathcal\{L\}\backslash right)\; =\; 0$$

항을 재배열하면,

$$\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash left[\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial(\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\})\}\backslash partial\_\{\backslash nu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\}\; -\; \backslash delta^\{\backslash mu\}\_\{\backslash nu\}\backslash mathcal\{L\}\backslash right]\; =\; 0$$

즉, 대괄호 안의 텐서의 발산은 0이다. 이를 통해 에너지-운동량 텐서를 다음과 같이 정의한다.

$$T^\{\backslash mu\}\{\}\_\{\backslash nu\}\; \backslash equiv\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial(\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\})\}\backslash partial\_\{\backslash nu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\}\; -\; \backslash delta^\{\backslash mu\}\_\{\backslash nu\}\backslash mathcal\{L\}$$

이 텐서는 정의에 의해 다음과 같은 성질을 갖는다.

$$\backslash partial\_\{\backslash mu\}T^\{\backslash mu\}\{\}\_\{\backslash nu\}\; =\; 0$$

이 텐서의 무발산 성질은 네 개의 연속 방정식과 동등하다. 즉, 장은 연속 방정식을 만족하는 양의 적어도 네 개의 집합을 갖는다. 예를 들어, $T^\{0\}\{\}\_\{0\}$는 계의 에너지 밀도이며, 따라서 에너지-운동량 텐서에서 해밀토니안 밀도를 얻을 수 있다.

$\backslash partial\_\{\backslash mu\}T^\{\backslash mu\}\{\}\_\{0\}\; =\; 0$임을 통해 다음을 얻는다.

$$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{H\}\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash nabla\backslash cdot\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial\backslash nabla\; \backslash phi\_\{\backslash alpha\}\}\backslash dot\{\backslash phi\}\_\{\backslash alpha\}\backslash right)\; =\; 0$$

$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial\backslash nabla\; \backslash phi\_\{\backslash alpha\}\}\backslash dot\{\backslash phi\}\_\{\backslash alpha\}$ 항은 계의 에너지 플럭스 밀도를 나타낸다.

응력-에너지 텐서의 트레이스는 $T^\{\backslash mu\}\{\}\_\{\backslash mu\}$로 정의되므로,

$$T^\{\backslash mu\}\{\}\_\{\backslash mu\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial(\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\})\}\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\}-\backslash delta^\{\backslash mu\}\_\{\backslash mu\}\backslash mathcal\{L\}\; .$$

$\backslash delta^\{\backslash mu\}\_\{\backslash mu\}\; =\; 4$이므로,

$$T^\{\backslash mu\}\{\}\_\{\backslash mu\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial(\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\})\}\backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash phi\_\{\backslash alpha\}-4\backslash mathcal\{L\}\; .$$

5. 일반 상대성 이론

일반 상대성 이론에서 아인슈타인-힐베르트 작용을 통해 유도하는 아인슈타인 방정식에 등장하는 에너지-운동량 텐서는 다음과 같다.

:$T\_\{\backslash mu\backslash nu\}=-\backslash frac2\{\backslash sqrt\{-\backslash det\; g\}\}\backslash frac\{\backslash delta\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}(\backslash sqrt\{-\backslash det\; g\}\backslash mathcal\; L)=-2\backslash frac\{\backslash delta\backslash mathcal\; L\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}+g\_\{\backslash mu\backslash nu\}\backslash mathcal\; L$

이는 항상 대칭 텐서이며, 아인슈타인 방정식에 따라 아인슈타인 텐서에 비례한다.

에너지-운동량 텐서는 아인슈타인 장 방정식의 맥락에서 연구되는데, 이 방정식은 종종 다음과 같이 표현된다.^[1]

:$$G\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; +\; \backslash Lambda\; g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; =\; \backslash kappa\; T\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; ,$$

여기서 $G\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; =\; R\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; -\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; R\backslash ,g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}$는 아인슈타인 텐서, $R\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}$는 리치 텐서, $R\; =\; g^\{\backslash alpha\; \backslash beta\}R\_\{\backslash alpha\; \backslash beta\}$는 스칼라 곡률, $g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\backslash ,$는 메트릭 텐서, $\backslash Lambda$는 우주 상수(은하 또는 그보다 작은 규모에서는 무시할 수 있음), 그리고 $\backslash kappa\; =\; 8\backslash pi\; G/c^4$는 아인슈타인 중력 상수이다.^[1]

대칭인 응력-에너지 텐서는 시공간의 곡률의 원천 역할을 하며, 일반적인 곡선 좌표 변환인 중력의 게이지 변환과 관련된 전류 밀도이다.^[1] (만약 토션이 존재한다면, 텐서는 더 이상 대칭적이지 않다. 이것은 아인슈타인-카르탕 중력 이론에서 0이 아닌 스핀 텐서의 경우에 해당한다.)^[1]

일반 상대성 이론에서 특수 상대성 이론에 사용되는 편미분은 공변 미분으로 대체된다.^[1] 이것은 연속 방정식이 더 이상 텐서에 의해 표현되는 비중력 에너지와 운동량이 절대적으로 보존됨을 의미하지 않음을 의미한다.^[1] 즉, 중력장은 물질에 일을 할 수 있고 그 반대도 가능하다.^[1] 뉴턴 중력의 고전적 한계에서 이것은 간단한 해석을 갖는다.^[1] 운동 에너지는 텐서에 포함되지 않는 중력 퍼텐셜 에너지와 교환되고, 운동량은 장을 통해 다른 물체로 전달된다.^[1] 일반 상대성 이론에서 란다우-리프시츠 유사텐서는 ''중력''장 에너지와 운동량 밀도를 정의하는 고유한 방법이다.^[1] 이러한 응력-에너지 유사텐서는 좌표 변환을 통해 국소적으로 사라지도록 만들 수 있다.^[1]

곡선 시공간에서 공간적 적분은 일반적으로 공간적 슬라이스에 따라 달라진다.^[1] 사실 일반적인 곡선 시공간에서 전역 에너지-운동량 벡터를 정의하는 방법은 없다.^[1]

6. 특수한 경우

다음은 특수 상대성 이론과 관련된 에너지-운동량 텐서의 여러 형태이다.

• '''고립된 입자'''

• '''평형 상태의 유체'''

• '''전자기장'''

• '''스칼라장'''

7. 중력 응력-에너지

등가 원리에 의해, 중력 응력-에너지는 어떤 선택된 좌표계에서 선택된 임의의 점에서 항상 국소적으로 0이 되므로, 영이 아닌 텐서로 표현될 수 없다. 대신 유사텐서를 사용해야 한다.^[3]

일반 상대성이론에서 중력 응력-에너지-운동량 유사텐서의 정의는 여러 가지가 있다. 여기에는 아인슈타인 유사텐서와 란다우-리프시츠 유사텐서가 포함된다. 란다우-리프시츠 유사텐서는 적절한 좌표계를 선택함으로써 시공간의 어떤 사건에서든 0으로 줄일 수 있다.^[3]

참조

_[1] 서적 Gravitation Princeton University Press
_[2] 서적 Gravitation W.H. Freeman and Company
_[3] 서적 Introducing Einstein's Relativity Oxford University Press
_[4] 서적 The Classical Theory of Fields Butterworth-Heinemann 2010
_[5] 학술지 Noether and Hilbert (metric) energy–momentum tensors are not, in general, equivalent https://doi.org/10.1[...]