완비 거리 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 코시 수열
- 2.2. 완비 거리 공간
3. 성질
4. 예시
5. 역사
6. 대안 및 일반화
참조

1. 개요

완비 거리 공간은 코시 수열이 해당 공간 내에서 수렴하는 극한값을 갖는 거리 공간을 의미한다. 코시 수열은 임의의 양수 r에 대해 충분히 큰 m, n에 대해 두 점 사이의 거리가 r보다 작아지는 수열을 말한다. 완비 거리 공간은 모든 코시 수열이 공간 내에서 수렴하거나, 닫힌 집합의 감소 수열이 공집합이 아닌 교집합을 갖는 등의 동치 조건을 만족한다. 완비 거리 공간의 성질로는 닫힌 집합이 완비 거리 공간을 이루고, 콤팩트 거리 공간은 완비이며, 완비 거리 공간은 베르 공간이라는 점 등이 있다. 완비 거리 공간의 예시로는 실수의 공간, 복소수의 공간, 유클리드 공간 등이 있으며, 유리수의 공간은 완비 공간이 아니다. 또한, 완비 거리 공간은 바나흐 고정점 정리, 하이네-보렐 정리, 베르 범주 정리 등과 관련이 있으며, 코시 수열, 균등 공간, 코시 망 등을 통해 일반화될 수 있다.

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완비 거리 공간
정의
정의	어떤 거리 공간 에서 모든 코시 수열이 안의 어떤 점으로 수렴하면, 을 완비 거리 공간이라고 한다.
성질
완비화	임의의 거리 공간 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 완비 거리 공간 ′이 존재하며, 이는 유일하다 (동형사상 아래).
조건	′은 완비 거리 공간이다. 과 ′ 사이의 거리 보존 매장 사상 가 존재한다. ()은 ′에서 조밀하다.
예시	실수 집합 는 완비 거리 공간이다. 유리수 집합 는 완비 거리 공간이 아니다. 의 완비화는 이다.
참고 문헌
참고 문헌	(영어) Complete Metric Space - Wolfram MathWorld

2. 정의

거리 공간 $(X,d)$ 위의 수열 $(x_n)$이 모든 양의 실수 $r>0$에 대해, 다음 조건을 만족하는 양의 정수 $N$이 존재하면 '''코시 수열'''이라고 한다.

:$d(x_m, x_n) < r$ (단, $m, n > N$)

거리 공간 $(X, d)$가 다음 조건 중 하나를 만족하면 '''완비 공간'''이라고 한다.

$X$의 모든 코시 수열은 $X$ 안에 있는 극한값을 갖는다.
$X$의 모든 코시 수열은 $X$에서 수렴한다.
지름이 0으로 가는 $X$의 공집합이 아닌 닫힌 집합들의 감소 수열은 공집합이 아닌 교집합을 갖는다. 즉, $F_n$이 닫힌 집합이고 공집합이 아니며, 모든 $n$에 대해 $F_{n+1} \subseteq F_n$이고 $\operatorname{diam}(F_n) \to 0$이면, 모든 집합 $F_n$에 공통적으로 속하는 유일한 점 $x \in X$가 존재한다.

2. 1. 코시 수열

거리 공간

(X,d)

위의 수열

(x_i)_{i=0}^\infty

이 있다고 하자. 만약 임의의 양의 실수

\epsilon>0

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수

N(\epsilon)\in\mathbb N

가 존재한다고 하자.

:

d(x_i,x_j)<\epsilon\qquad\forall i,j\ge N(\epsilon)

그렇다면 이 수열

(x_i)_{i=0}^\infty

을 '''코시 열'''이라고 한다.

거리 공간

(X, d)

의 원소들로 이루어진 수열

x_1, x_2, x_3, \ldots

에서 모든 양의 실수

r > 0

에 대해, 모든 양의 정수

m, n > N

에 대해

d(x_m, x_n) < r.

을 만족하는 양의 정수

N

이 존재할 때 이 수열을 '''코시 수열'''이라고 한다.

임의의 거리 공간 속에서, 모든 수렴하는 수열은 코시 열을 이루며, 모든 코시 열은 유계 집합을 이룬다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:상수 점렬 ⊆ 수렴 점렬 ⊆ 코시 점렬 ⊆ 유계 점렬

2. 2. 완비 거리 공간

거리 공간

(X,d)

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 거리 공간을 '''완비 거리 공간'''이라고 한다.

모든 코시 점렬이 수렴한다.
확대 상수가 유한하다.^[8]
확대 상수가 2 이하이다.^[8]
임의의 닫힌 공들의 감소열 $X\supseteq\bar B(x_0,r_0)\supseteq\bar B(x_1,r_1)\supseteq\cdots$ 이 주어졌고, 그 반지름들이 0으로 수렴하며 ( $\textstyle\lim_{i\to\infty}r_i=0$ ), 모두 공집합이 아니라고 하자 ( $r_i>0\;\forall i\in\mathbb N$ ). 그렇다면 이들의 교집합은 공집합이 아니다 ( $\textstyle\bigcap_{i=0}^\infty\bar B(x_i,r_i)\ne\varnothing$ ).
임의의 닫힌집합들의 감소열 $X\supseteq C_0\supseteq C_1\supseteq C_2\cdots$ 이 주어졌고, 그 지름들이 0으로 수렴하며 ( $\textstyle\lim_{i\to\infty}\operatorname{diam}C_i=0$ ), 모두 공집합이 아니라고 하자 ( $C_i\ne\varnothing\;\forall i\in\mathbb N$ ). 그렇다면 이들의 교집합은 공집합이 아니다 ( $\textstyle\bigcap_{i=0}^\infty C_i\ne\varnothing$ ).
('''카리스티 고정점 정리''', Caristi fixed-point theorem^영어) 모든 카리스티 사상은 고정점을 갖는다.
('''칸난 고정점 정리''', Kannan fixed-point theorem^영어) 모든 칸난 사상은 고정점을 갖는다.

거리 공간

(X, d)

가 다음과 같은 동치 조건 중 하나를 만족하면 '''완비 공간'''이다.

$X$ 의 모든 코시 수열은 $X$ 안에 있는 극한값을 갖는다.
$X$ 의 모든 코시 수열은 $X$ 에서 수렴한다(즉, $X$ 의 어떤 점으로 수렴한다).
지름이 0으로 가는 $X$ 의 공집합이 아닌 닫힌 집합들의 감소 수열은 공집합이 아닌 교집합을 갖는다. 만약 $F_n$ 이 닫힌 집합이고 공집합이 아니며, 모든 $n$ 에 대해 $F_{n+1} \subseteq F_n$ 이고 $\operatorname{diam}\left(F_n\right) \to 0$ 이면, 모든 집합 $F_n$ 에 공통적으로 속하는 유일한 점 $x \in X$ 가 존재한다.

거리 공간 $X$ 가 완비가 되는 필요충분조건은 $X$ 의 공집합이 아닌 닫힌 부분집합으로 이루어지고, 지름의 길이가 0으로 수렴하는 임의의 감소열이 반드시 공집합이 아닌 교집합을 갖는 것이다. 식으로 쓰면, $F_n$ 을 공집합이 아닌 닫힌 집합이라고 하고, 각 $n$ 에 대해 $F_{n+1} \subseteq F_n$ 이고 $\operatorname{diam}\left(F_n\right) \to 0$ 을 만족한다면, 적당한 점 $x \in X$ 이 존재하여, $x$ 는 모든 $F_n$ 에 속한다.
임의의 컴팩트 거리 공간은 완비이지만, 역은 반드시 성립하지 않는다(완비 거리 공간이 컴팩트라고는 할 수 없다). 사실, 거리 공간이 컴팩트가 되는 것과 완비이고 전유계가 되는 것은 동치이다. 이것은 $\mathbb{R}^n$ 의 임의의 유계 닫힌 집합이 컴팩트이고, 따라서 완비라는 것을 기술하는 하이네-보렐의 피복 정리의 일반화이다.^[4]
완비 거리 공간의 닫힌 부분 공간은 또한 완비이다.^[5] 반대로, 거리 공간의 완비 부분 집합은 반드시 닫혀 있다.^[6]
바이어슈트라스의 정리에 의하면 임의의 완비 거리 공간은 바이어슈트라스 공간이다. 즉, 이 공간의 가산 개의 희소(nowhere dense)인 부분 집합의 합집합은 공집합인 내부를 갖는다.
바나흐의 고정점 정리는 완비 거리 공간 위의 수축 사상이 고정점을 갖는다는 것을 기술한다. 이 고정점 정리는 바나흐 공간과 같은 완비 거리 공간 위의 역함수 정리의 증명에 자주 사용된다.
거리 공간의 확장 상수란 닫힌 구체족 $\{\overline{B}(x_\alpha,\, r_\alpha)\}$ 이 어떤 두 개도 교집합을 가질 때, 교집합 $\bigcap_\alpha \overline{B}(x_\alpha, \mu r_\alpha)$ 이 공집합이 되지 않는 정수 $\mu$ 의 모든 하한으로 주어진다. 거리 공간이 완비가 되는 필요충분조건은 그 확장 상수가 $\le 2$ 가 되는 것이다.^[7]

3. 성질

모든 컴팩트 거리 공간은 완비 공간이지만, 완비 공간이 반드시 컴팩트 공간일 필요는 없다. 거리 공간이 컴팩트 공간이 되기 위한 필요충분조건은 완비이면서 전체적으로 유계인 경우이다. 이는 하이네-보렐 정리의 일반화인데, 하이네-보렐 정리에 따르면 $\mathbb{R}^n$ 에서 임의의 닫힌 유계 부분 공간은 컴팩트하고 따라서 완비이다.^[1]

$(X, d)$ 가 완비 거리 공간일 때, $A \subseteq X$ 가 닫힌 집합이면, $A$ 또한 완비이다. $(X, d)$ 를 거리 공간이라고 할 때, $A \subseteq X$ 가 완비 부분 공간이면, $A$ 는 닫힌 집합이다.

$X$ 가 집합이고 $M$ 이 완비 거리 공간이면, $X$ 에서 $M$ 으로 가는 모든 유계 함수 $f$ 의 집합 $B(X, M)$ 은 완비 거리 공간이다. $B(X, M)$ 의 거리는 최상계 노름을 사용하여 $M$ 의 거리로 정의한다. 즉,

$d(f, g) \equiv \sup\{d[f(x), g(x)]: x \in X\}$

이다.

$X$ 가 위상 공간이고 $M$ 이 완비 거리 공간이면, 모든 연속 유계 함수 $f : X \to M$ 로 구성된 집합 $C_b(X, M)$ 은 $B(X, M)$ 의 닫힌 부분 공간이므로 완비이다.

바이어 범주 정리에 따르면, 모든 완비 거리 공간은 바이어 공간이다. 즉, 공간의 가산 개만큼의 어디에도 조밀하지 않은 부분 집합들의 합집합은 빈 내부를 갖는다.

바나흐 고정점 정리는 완비 거리 공간에서 수축 사상이 고정점을 갖는다고 명시한다.^[4] 이 정리는 바나흐 공간과 같은 완비 거리 공간에서 역함수 정리를 증명하는 데 사용되기도 한다.

3. 1. 부분 공간의 완비성

거리 공간의 부분 집합이 완비 거리 공간을 이루면, 이는 닫힌집합이다.^[1] 반대로, 완비 거리 공간 속의 닫힌집합은 완비 거리 공간이다.^[5]^[6]

3. 2. 완비화

거리 공간

(X,d)

의 '''완비화'''는

X

의 모든 코시 점렬들의 집합

\operatorname{Cauchy}(X)

에 다음과 같은 유사 거리 함수를 주는 것으로 시작한다.

:

d((x_i)_{i\in\mathbb N},(y_i)_{i\in\mathbb N})=\lim_{i\to\infty}d(x_i,y_i)

코시 점렬의 정의에 따라 이 극한은 항상 존재한다.

\operatorname{Cauchy}(X)

는 유사 거리 공간을 이루지만, 거리가 0인 서로 다른 코시 점렬이 존재하므로 거리 공간은 아니다. 이 경우, 거리가 0인 코시 점렬들을 서로 동치로 간주하는 동치 관계를 정의한다.

:

(x_i)_{i\in\mathbb N}\sim(y_i)_{i\in\mathbb N}\iff\lim_{i\to\infty}d(x_i,y_i)=0

즉, 무한히 가까워지는 두 코시 점렬들을 같은 동치류에 넣는다. 이렇게 하면, 몫집합

\operatorname{Cauchy}(X)/{\sim}

위에 거리가 유일하게 정의되며, 이는 거리 공간을 이루며 또한 완비 거리 공간이 된다. 이를

X

의 '''완비화'''

\bar X

라고 한다.

거리 공간

X

에서 그 완비화

\bar X

로 가는 표준적인 함수

:

X\hookrightarrow\bar X

:

x\mapsto[(x,x,x,\ldots)]_\sim

가 존재한다. 이 함수는

X

의 각 점을 (자명하게 코시 점렬을 이루는) 상수 점렬의 동치류로 대응시킨다. 이는 단사 등거리변환이며, 만약

X

가 완비 거리 공간이라면 이는 거리 공간의 동형이다.

X

는

\bar X

의 부분 집합으로서, 조밀 집합이다.

임의의 거리 공간 ''M''에 대해, ''M''을 조밀 부분 공간으로 포함하는 완비 거리 공간 ''M′'' (

\overline{M}

으로도 표기됨)을 구성할 수 있다. 이 공간은 다음과 같은 보편적 성질을 가진다. 만약 ''N''이 임의의 완비 거리 공간이고 ''f''가 ''M''에서 ''N''으로의 임의의 균등 연속 함수라면, ''f''를 확장하는 ''M′''에서 ''N''으로의 유일한 균등 연속 함수 ''f′''이 존재한다. 공간 ''M′''은 (''M''을 등거리적으로 포함하는 모든 완비 거리 공간 중에서) 이 성질에 의해 최대 등거리사상까지 결정되며, ''M''의 ''완비화''라고 한다.^[1]

''M''의 완비화는 ''M''에서의 코시 수열들의 동치류 집합으로 구성될 수 있다. ''M''의 임의의 두 코시 수열

x_{\bull} = \left(x_n\right)

와

y_{\bull} = \left(y_n\right)

에 대해, 그들의 거리를 다음과 같이 정의할 수 있다.

d\left(x_{\bull}, y_{\bull}\right) = \lim_n d\left(x_n, y_n\right)

^[2]

(실수는 완비이기 때문에 이 극한값이 존재한다.) 이것은 아직 거리가 아니라 준거리일 뿐이다. 왜냐하면 서로 다른 두 코시 수열이 거리가 0일 수 있기 때문이다. 그러나 "거리가 0인" 것은 모든 코시 수열의 집합에 대한 동치 관계이며, 동치류의 집합은 거리 공간이고, ''M''의 완비화이다. 원래 공간은 ''M''의 원소 ''x''를 ''x''로 수렴하는 ''M''의 수열들의 동치류(즉, 상수값 ''x''를 갖는 수열을 포함하는 동치류)와 식별함으로써 이 공간에 포함된다. 이것은 필요에 따라 조밀 부분 공간으로의 등거리사상을 정의한다.^[3]

칸토어의 실수 구성은 위의 구성과 유사하다. 실수는 거리를 측정하기 위해 보통의 절댓값을 사용하여 유리수의 완비화이다. 고려해야 할 추가적인 미묘한 점은 실수의 완비성을 그 자체 구성에 사용하는 것이 논리적으로 허용되지 않는다는 것이다. 그럼에도 불구하고, 위와 같이 코시 수열의 동치류가 정의되며, 동치류의 집합은 유리수를 부분체로 갖는 체임을 쉽게 보일 수 있다. 이 체는 완비이고, 자연스러운 전순서를 가지며, (동형사상까지) 유일한 전순서 완비 체이다. 이것은 실수의 체로 ''정의된다'' (자세한 내용은 실수의 구성 참조).^[4]

소수

p

에 대해, -adic 수는 다른 거리에 대해 유리수를 완비화하여 나타난다.^[5]

이전의 완비화 절차를 노름 벡터 공간에 적용하면 원래 공간을 조밀 부분 공간으로 포함하는 바나흐 공간이 되고, 내적 공간에 적용하면 원래 공간을 조밀 부분 공간으로 포함하는 힐베르트 공간이 된다.^[6]

3. 3. 하이네-보렐 정리

하이네-보렐 정리에 따르면, 거리 공간에서 콤팩트 공간인 것과 완비 완전 유계 공간인 것은 서로 동치이다.^[1] 이는 ℝⁿ의 임의의 유계 닫힌 집합이 콤팩트이고 완비라는 것을 나타내는 하이네-보렐 피복 정리의 일반화이다.^[4]

3. 4. 베르 범주 정리

베르 범주 정리에 따르면, 모든 완비 거리 공간은 베르 공간이다. 바이어 범주 정리는 모든 완비 거리 공간이 바이어 공간임을 말한다. 즉, 공간의 가산적으로 많은 어디에도 조밀하지 않은 부분 집합들의 합집합은 빈 내부를 갖는다.

3. 5. 바나흐 고정점 정리

바나흐 고정점 정리에 따르면, 완비 거리 공간

X

위의 축약 사상

f\colon X\to X

은 유일한 고정점을 갖는다.^[1] 모든 축약 사상은 카리스티 사상이므로, 이는 카리스티 고정점 정리의 특수한 경우이다. 하지만 바나흐 고정점 정리는 완비 거리 공간의 정의로 삼을 수 없다.

바나흐 고정점 정리는 완비 거리 공간에서 수축 사상이 고정점을 갖는다고 명시하며,^[4] 이는 종종 바나흐 공간과 같은 완비 거리 공간 위의 역함수 정리 증명에 사용된다.

4. 예시

실수의 거리 공간 $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ 과 복소수의 공간 '''C'''는 완비 공간이며, 일반적인 거리를 사용하는 유클리드 공간 '''R'''^''n'' 또한 완비 공간이다. 반면, 무한 차원 노름 벡터 공간은 완비 공간일 수도 있고 아닐 수도 있다. 완비 공간인 것은 바나흐 공간이다.^[3]

유리수의 공간 '''Q'''는 표준 거리(절댓값으로 주어지는 차의 절댓값)에 대해 완비 공간이 아니다. 예를 들어, $x_1 = 1$ 이고 $x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}$ 으로 정의되는 수열은 유리수의 코시 수열이지만, 어떤 유리수로도 수렴하지 않는다.

열린 구간 또한 절댓값 차 거리에 대해 완비 공간이 아니다. $x_n = \tfrac{1}{n}$ 으로 정의된 수열은 코시 수열이지만, 주어진 공간에서 극한을 갖지 않는다. 그러나 닫힌 구간 은 완비 공간이며, 이 수열은 이 구간에서 극한(0)을 갖는다.

''p''-adic 수의 공간 '''Q'''_''p''는 임의의 소수 $p$ 에 대해 완비 공간이다. 이 공간은 ''p''-adic 거리를 사용하여 '''Q'''를 완비하며, 이는 일반적인 거리를 사용하여 '''R'''이 '''Q'''를 완비하는 것과 같은 방식이다.^[1]

임의의 집합 $S$ 에 대해, $S$ 의 모든 수열의 집합 은 $\left(x_n\right)$ 과 $\left(y_n\right)$ 수열 사이의 거리를 $x_N$ 가 $y_N$ 와 다른 최소 인덱스 $N$ 에 대한 $\tfrac{1}{N}$ (또는 그러한 인덱스가 없으면 0)으로 정의하면 완비 거리 공간이 된다. 이 공간은 셀 수 있는 개의 이산 공간 $S$ 의 복사본의 곱에 동형사상이다.^[1]

완비인 리만 다양체를 측지 다양체라고 한다. 완비성은 호프-리노 정리에서 따른다.

4. 1. 실수 및 유리수 공간

실수의 거리 공간

(\mathbb{R}, |\cdot|)

은 완비 거리 공간이지만, 유리수의 거리 공간

(\mathbb{Q}, |\cdot|)

는 완비 거리 공간이 아니다. 이는 유리수 공간에서 무리수로 수렴하는 코시 수열을 만들 수 있기 때문이다.

예를 들어, 다음과 같이 정의된 수열을 생각해 보자.

:

x_1 = 1,\quad x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}

이 수열은 유리수로 이루어진 코시 수열이지만, 어떤 유리수로도 수렴하지 않는다. 만약 이 수열이 극한

x

를 가진다면,

x = \frac{x}{2} + \frac{1}{x}

를 풀어서

x^2 = 2

를 얻어야 하는데, 이를 만족하는 유리수는 존재하지 않는다. 그러나 이 수열을 실수 수열로 간주하면 무리수인

\sqrt{2}

로 수렴한다.

또 다른 예로,

x_n = \lfloor n\sqrt{2}\rfloor/n

로 정의된 수열

\{x_n\}_{n \in \mathbb N}

은 코시 수열이다. 이 수열은 실수에서는

\sqrt 2

로 수렴하지만,

\sqrt 2

는 유리수가 아니므로 유리수 공간에서는 수렴하지 않는다.

유리수 공간의 완비화는 실수의 거리 공간

(\mathbb{R}, |\cdot|)

이다. 즉, 유리수 코시 수열의 극한을 모두 포함하면 실수가 된다.

4. 2. 이산 공간

이산 공간

X

위에 이산 거리 함수

:

d(x,y)=\begin{cases}1&x\ne y\\0&x=y\end{cases}

를 주면, 그 속의 점렬

(x_i)_{i=0}^\infty

에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

결국 상수 점렬이다. 즉, $x_N=x_{N+1}=x_{N+2}=\cdots$ 가 되는 자연수 $N\in\mathbb N$ 이 존재한다.
수렴 점렬이다.
코시 점렬이다.

따라서 이산 공간은 완비 거리 공간을 이룬다.

4. 3. 함수 공간

임의의 집합

S

및 완비 거리 공간

(X,d)

에 대하여,

\mathcal B(S,X)

를 유계 함수

S\to X

들의 집합이라고 하고, 이 위에 다음과 같은 상한 거리 함수를 정의한다.

:

d(f,g)=\sup_{s\in S}d\left(f(s),g(s)\right)\qquad(f,g\in\mathcal B(S,X))

그러면

\mathcal B(S,X)

는 완비 거리 공간을 이룬다.

위상 공간

S

및 완비 거리 공간

(X,d)

에 대하여,

\mathcal{CB}(S,X)\subset\mathcal B(S,X)

가 연속 유계 함수

S\to X

들의 집합이라고 하면, 이는 상한 거리 함수에 대하여 닫힌집합을 이루며, 따라서

\mathcal{CB}(S,X)

역시 완비 거리 공간을 이룬다.^[1]

노름 공간 가운데 완비 거리 공간을 이루는 것을 '''바나흐 공간'''이라고 한다. 마찬가지로, 내적 공간 가운데 완비 거리 공간을 이루는 것을 '''힐베르트 공간'''이라고 한다.^[2]

닫힌 유계 구간에서 정의된 실수값 연속 함수의 공간 C는 최상계 노름에 관하여 바나흐 공간, 즉 완비 거리 공간이 된다.^[3] 그러나 최상계 노름은 유계 열린 구간 위의 연속 함수의 공간 C에서는 (무한 함수가 포함되기 때문에) 노름이 되지 않는다.^[4] 대신, 컴팩트 수렴의 위상을 생각하면 공간 C에는 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다. 이것은 완비이고 평행 이동 불변인 거리 함수에 의해 그 위상이 유도되는 국소 볼록 위상 선형 공간이다.^[5]

4. 4. p-진 공간

p-진수의 공간 '''Q'''_''p''는 임의의 소수(

p

)에 대해 완비 공간이다.^[1] 이 공간은 ''p''-adic 거리를 사용하여 '''Q'''를 완비하며, 이는 일반적인 거리를 사용하여 '''R'''이 '''Q'''를 완비하는 것과 같은 방식이다.^[1]

5. 역사

베르나르트 볼차노는 1817년에 중간값 정리에 대한 논문에서 코시 점렬의 개념을 사용하였으나,^[9] 프라하에 살던 볼차노의 업적은 당시 널리 주목받지 못했다.^[10] 이후 오귀스탱 루이 코시가 1821년에 《에콜 폴리테크니크 해석학 교재》(Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique^프랑스어)^[11]에서 급수의 수렴에 대한 조건을 정의하기 위하여 같은 개념을 사용하였다.^[10]

제임스 카리스티(James V. Caristi^영어)는 1976년 논문에서 카리스티 고정점 정리를 제시하였다.^[12] 카리스티는 증명에서 초한 귀납법을 사용하였으며, 이는 선택 공리에 의존한다. 이후 더 약한 조건인 의존적 선택 공리에 의존하는 방법들로 재증명되었다. 1988년 로만 만카(Roman Manka^pl)는 어떠한 꼴의 선택 공리도 필요 없는 증명을 제시하였다.^[13] 카리스티의 지도 교수였던 윌리엄 아서 커크(William Arthur Kirk^영어)는 1976년 논문에서 카리스티 고정점 정리를 완비 거리 공간의 정의로 삼을 수 있다는 사실을 증명하였다.^[14]

라빈드란 칸난(ரவிந்திரன் கண்ணன்^ta, Ravindran Kannan^영어)은 1968년 논문에서 칸난 고정점 정리를 증명하였다.^[15] 수브라마냠(P. V. Subrahmanyam^영어)^[16]과 시오지 나오키(Naoki Shioji^영어), 스즈키 도모나리(Tomonari Suzuki^영어), 다카하시 와타루(Wataru Takahashi^영어)^[17]는 칸난 고정점 정리를 완비 거리 공간의 정의로 삼을 수 있음을 독자적으로 증명하였다.

6. 대안 및 일반화

코시 수열은 일반적인 위상군에서도 정의될 수 있으므로, 거리 구조에 의존하는 대신 군 구조를 사용하여 공간의 완비성을 정의하고 완비화를 구성할 수 있다. 이는 위상 벡터 공간에서 가장 자주 볼 수 있지만, 연속적인 "뺄셈" 연산만 있으면 충분하다. 이 경우, 두 점 $x$ 와 $y$ 사이의 거리는 거리 $d$ 를 통해 실수 $\varepsilon$ 와 비교하는 $d(x, y) < \varepsilon$ 대신, $0$ 의 열린 근방 $N$ 을 통해 뺄셈으로 $x - y \in N$ 와 같이 비교하여 측정한다.

이러한 정의는 균등 공간에서 일반화된다. 균등 공간에서는 근접은 서로 특정 "거리" 이내에 있는 모든 점 쌍의 집합이다.

완비성의 정의에서 코시 ''수열'' 대신 코시 ''망'' 또는 코시 필터를 사용할 수도 있다. 모든 코시 망(또는 모든 코시 필터)이 $X$ 에 극한을 가지면 $X$ 는 완비라고 한다. 또한 거리 공간의 완비화와 유사하게 임의의 균등 공간에 대한 완비화를 구성할 수 있다. 코시 망이 사용되는 가장 일반적인 경우는 코시 공간이며, 코시 공간 역시 균등 공간과 마찬가지로 완비성과 완비화 개념을 가지고 있다.

참조

_[1] 서적 Introduction to Metric and Topological Spaces
_[2] 서적 Convex analysis in general vector spaces World Scientific
_[3] 문서 Problem 6.L
_[4] 서적 Introduction to Metric and Topological Spaces
_[5] PlanetMath a closed subset of a complete metric space is complete
_[6] PlanetMath a complete subspace of a metric space is closed
_[7] 저널 Some applications of expansion constants. http://projecteuclid[...]
_[8] 저널 Some applications of expansion constants http://projecteuclid[...] 1960
_[9] 저널 Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege Wilhelm Engelmann 1817
_[10] 서적 A history of analysis http://www.ams.org/b[...] American Mathematical Society, London Mathematical Society 2003
_[11] 서적 Cours d’Analyse de l’Ecole royale polytechnique. 1. Analyse Algébrique L’Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi 1821
_[12] 저널 Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions 1976
_[13] 저널 Some forms of the axiom of choice 1988
_[14] 저널 Caristi’s fixed point theorem and metric convexity 1976
_[15] 저널 Some results on fixed points 1968
_[16] 저널 Completeness and fixed-points 1975
_[17] 저널 Contractive mappings, Kannan mappings and metric completeness 1998

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