이득

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1. 개요
2. 로그 계산과 표기
3. 4단자 회로의 이득
4. 안테나의 이득
- 4.1. 절대 이득
- 4.2. 상대 이득
참조

1. 개요

이득은 입력 대비 출력의 비율을 나타내는 용어이다. 전력 이득은 입력 전력과 출력 전력의 비율을 데시벨(dB)로 나타낸 값으로, 전압 이득과 전류 이득도 유사한 방식으로 계산된다. 4단자 회로에서는 차동 이득, 동상 이득, 동상 신호 제거비(CMRR)를 통해 이득을 정의하며, 안테나의 이득은 특정 방향으로 방사되는 전력의 세기를 나타내는 지표로, 절대 이득과 상대 이득으로 구분된다.

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이득

2. 로그 계산과 표기

이득은 일반적으로 상용로그를 사용하여 계산하며, 데시벨(dB) 단위를 사용한다. 전력 이득, 전압 이득, 전류 이득을 계산할 수 있다.

전기공학에서는 상용 로그를 10배 한 데시벨로 표기하는 경우가 많다. 다만, 전력을 기준으로 하기 때문에 전압으로 계산하는 경우에는 20배를 한다. 전력 이외의 값을 다룰 때에는 비교하는 양쪽의 임피던스가 같다는 전제가 필요하지만, 관습적으로 입출력 임피던스가 다른 회로에서도 환산하지 않고 그대로 전압비의 상용 로그를 20배 한 값을 데시벨로 표기하여 해당 회로의 전압 이득으로 사용하는 경우도 있다.

상용 로그 대신 자연 로그를 사용하여 나타낼 수도 있으며, 이 경우 단위는 데시벨이 아닌 네이피어가 된다.

2. 1. 전력 이득

전력 이득은 입력 전력과 출력 전력의 비율을 상용로그로 계산한 값이다. 데시벨(dB)이나 자연 로그를 사용한 네퍼(Np) 단위를 사용할 수 있다.

전력 이득을 데시벨로 계산하는 방법은 다음과 같다.

:

Gain=10 \log \left( {\frac{P_{out}}{P_{in}}}\right)\ \mathrm{dB}

P_in는 입력 전력, P_out은 출력 전력을 뜻한다.

자연 로그를 사용하여 계산할 경우 네퍼(Np)를 단위로 사용한다.

:

\text{이득-np} = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{P_\text{출력}}{P_\text{입력}}\right)~\text{Np}.

2. 2. 전압 이득

줄의 법칙( ''P''=''V''²/''R'')을 사용해서 전압 이득을 계산하는 경우, 계산식은 다음과 같다.

:

Gain=10 \log{\frac{(\frac{V_{out}^2}{R_{out}})}{(\frac{V_{in}^2}{R_{in}})}}\ \mathrm{[dB]}

대부분의 경우, 입출력 임피던스가 같으므로, 위 식은 다음과 같이 단순화할 수 있다.

:

Gain=10 \log \left( {\frac{V_{out}}{V_{in}}} \right)^2\ \mathrm{[dB]}

따라서 다음과 같이 된다.

:

Gain=20 \log \left( {\frac{V_{out}}{V_{in}}} \right)\ \mathrm{[dB]}

이 공식은 입출력 임피던스가 같은 경우 전압만으로 이득을 계산할 때 이용된다. 이 단순화된 공식인 20 log 규칙은 데시벨로 '''전압 이득'''을 계산하는 데 사용되며, 입력 및 출력의 전기 임피던스가 같을 경우에만 전력 이득과 동일하다.

2. 3. 전류 이득

줄의 법칙( ''P''=''I''²''R'')에 따라 전류 증가치를 측정하여 전력 이득을 계산할 수 있다.

:

Gain=10 \log \left( \frac{ {I_{out}}^2 R_{out}} { {I_{in}}^2 R_{in} } \right) \ \mathrm{dB}

입출력 임피던스가 같은 경우 다음과 같이 간단히 할 수 있다.

:

Gain=10 \log \left( {\frac{I_{out}}{I_{in}}} \right)^2\ \mathrm{dB}

따라서:

:

Gain=20 \log \left( {\frac{I_{out}}{I_{in}}} \right)\ \mathrm{dB}

이 식은 입출력 임피던스가 같은 경우 전류만으로 이득을 계산할 때 이용된다.

마찬가지로, 전력 대신 전류를 사용하여 전력 이득을 계산하고,

P = I^2 R

을 대입하면, 공식은 다음과 같다.

:

\text{이득-dB} = 10 \log{\left(\frac{I_\text{출력}^2 R_\text{출력}}{I_\text{입력}^2 R_\text{입력}}\right)}~\text{dB}.

많은 경우, 입력 임피던스와 출력 임피던스가 같으므로, 위 방정식은 다음과 같이 단순화될 수 있다.

:

\text{이득-dB} = 10 \log \left(\frac{I_\text{출력}}{I_\text{입력}}\right)^2~\text{dB},

:

\text{이득-dB} = 20 \log \left(\frac{I_\text{출력}}{I_\text{입력}}\right)~\text{dB}.

이 간소화된 공식은 데시벨 단위의 '''전류 이득'''을 계산하는 데 사용되며, 입력과 출력의 전기 임피던스가 같은 경우에만 전력 이득과 동일하다.

바이폴라 트랜지스터의 "전류 이득",

h_\text{FE}

또는

h_\text{fe}

는 일반적으로 무차원 수, 즉

I_\text{c}

대

I_\text{b}

의 비율 (또는

h_\text{fe}

의 경우

I_\text{c}

대

I_\text{b}

그래프의 기울기)로 제공된다.

위의 경우, 이득은 차원 없는 양이 될 것이다. 이는 동일한 단위의 비율이기 때문이다 (데시벨은 단위로 사용되지 않고 로그 관계를 나타내는 방법으로 사용된다). 바이폴라 트랜지스터의 예에서, 이것은 출력 전류와 입력 전류의 비율이며, 둘 다 암페어로 측정된다. 다른 장치의 경우, 이득은 SI 단위로 값을 가진다. 이는 이득이 출력 전류 대 입력 전압의 비율이기 때문에 오퍼레이션 증폭기(상호 컨덕턴스)가 지멘스로 개방 루프 이득을 갖는 경우이다.

2. 4. 예제

입력 임피던스가 50 옴이고 50 옴의 부하가 걸린 증폭기에서 입력 전압(

V_{in}

)이 1 볼트이고 출력 전압(

V_{out}

)이 10 볼트일 때 전압 이득과 전력 이득은 다음과 같이 계산할 수 있다.

전압 이득은 다음과 같다.

:

\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{10}{1}=10\ \mathrm{V/V}.

계산된 전압 이득을 이용하여 ''P'' = ''V''²/''R''에 대입하면 전력 이득을 구할 수 있다.

:

\frac{V_{out}^2/50}{V_{in}^2/50}=\frac{V_{out}^2}{V_{in}^2}=\frac{10^2}{1^2}=100\ \mathrm{W/W}.

이를 데시벨로 환산하면 다음과 같다.

:

G_{dB}=10 \log G_{W/W}=10 \log 100=10 \times 2=20\ \mathrm{dB}.

입출력 전압과 임피던스가 같을 경우 1의 이득(0 dB)이라 하고 "단위 이득"이라 한다.

2. 5. 단위 이득

입력과 출력이 동일한 전압 레벨과 임피던스를 가지며 이득이 1배 (0 dB|0 데시벨^영어)인 경우를 ''단위 이득''이라고 한다.

3. 4단자 회로의 이득

4단자 회로, 주로 연산 증폭기에서 사용되는 이득에는 차동 이득, 동상 이득, 동상 신호 제거비(CMRR) 등이 있다. 차동 이득은 비반전 입력과 반전 입력의 차이를 증폭하는 정도를 나타내며, 동상 이득은 두 입력의 차이가 0일 때 출력 단자와 접지 간 전압 비를 의미한다. 동상 신호 제거비(CMRR)는 차동 이득을 동상 이득으로 나눈 값으로, 연산 증폭기 성능 지표로 사용되며, 클수록 우수한 성능을 의미한다. 이상적인 연산 증폭기에서는 CMRR이 무한대이다.^[1]

3. 1. 차동 이득 (Differential Gain)

입력의 비반전 입력과 반전 입력의 차이를 얼마나 증폭할 수 있는지를 나타낸다. 연산 증폭기 등의 차동 증폭기의 중요한 특성 중 하나이다. 현실의 연산 증폭기에서는 입력하는 주파수에 따라 변화한다.

3. 2. 동상 이득 (Common Mode Gain)

입력의 비반전 입력과 반전 입력의 차이를 0으로 하고 접지에 대해 전압을 가했을 때, 출력 단자와 접지 간 전압의 비이다.^[1]

3. 3. 동상 신호 제거비 (Common Mode Rejection Ratio, CMRR)

차동 이득을 동상 이득으로 나눈 것으로, 연산 증폭기의 성능을 나타내는 지표이다. CMRR이 클수록 성능이 좋은 연산 증폭기이며, 이상적인 연산 증폭기에서는 무한대가 된다.^[1]

4. 안테나의 이득

안테나의 이득은 특정 방향으로 방사되는 전력의 세기를 기준 안테나와 비교하여 나타낸다. 안테나 이득은 기준 안테나에 따라 절대 이득과 상대 이득으로 나뉜다.^[1] 절대 이득은 등방성 안테나를 기준으로, 상대 이득은 반파장 다이폴 안테나를 기준으로 측정한다.

4. 1. 절대 이득

공간에 격리된 등방성 안테나를 기준 안테나로 했을 때 안테나의 이득을 절대 이득이라고 한다.

4. 2. 상대 이득

반파장 다이폴 안테나를 기준 안테나로 사용했을 때의 이득을 상대 이득이라고 한다. 상대 이득에 2.15[dB]를 더하면 절대 이득이 된다.

참조

_[1] 서적 Modern Dictionary of Electronics https://books.google[...] Newnes 1999
_[2] 서적 Dictionary of Pure and Applied Physics https://books.google[...] CRC Press 2000
_[3] 서적 Fundamentals of RF and Microwave Transistor Amplifiers https://books.google[...] John Wiley and Sons 2009
_[4] 서적 The Audio Dictionary https://books.google[...] University of Washington Press 2005
_[5] 서적 学術用語集物理学編培風館

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