페르 엔플로

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1. 개요

페르 엔플로는 1944년 스톡홀름에서 태어난 수학자이자 피아니스트이다. 그는 스톡홀름 대학교에서 수학 박사 학위를 받았으며, 함수 해석학 분야에서 샤우데르 기저, 불변 부분 공간 문제 등 난제를 해결하여 업적을 남겼다. 특히, 마주르의 "거위 문제"를 해결하여 실제 거위를 선물로 받기도 했다. 수학 연구 외에도 수리생물학, 인류학 분야에서도 활동했으며, 현재 켄트 주립 대학교의 수학 교수로 재직하며 피아니스트로도 활동하고 있다.

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페르 엔플로 - [인물]에 관한 문서
기본 정보
1972년의 엔플로
출생일	1944년 5월 20일
출생지	스웨덴 스톡홀름
국적	스웨덴, 미국
분야	수학 음악
학력
모교	스톡홀름 대학교
박사 지도교수	한스 로드스트룀
박사 과정 학생	앤젤라 스펄즈베리 브루스 레즈닉
경력
직장	캘리포니아 대학교 버클리 스탠퍼드 대학교 에콜 폴리테크니크, 파리 왕립 공과대학교, 스톡홀름 켄트 주립 대학교
업적
알려진 업적	근사 문제 샤우더 기저 힐베르트의 다섯 번째 문제(무한 차원) 균등 볼록 노름 공간의 초반사 바나흐 공간의 리노름 거리 공간 묻기(큐브의 무한 왜곡) 낮은 차수에서의 다항식의 "농도"] [[불변 부분 공간 문제
수상	마주르의 "[http://www.apprendre-math.info/history/photos/Mazur_2.jpeg 살아있는 거위]" (스코틀랜드 책 문제 153 해결)
서명
페르 엔플로 서명

2. 생애

페르 엔플로는 1944년 5월 20일 스톡홀름에서 태어났다. 어려서부터 수학과 음악에 뛰어난 재능을 보였으며, 12세 때 스웨덴 왕립 오페라 오케스트라와 협연, 1963년에는 스톡홀름 콘서트홀에서 독주회를 열었다.

이후 수리생물학에 대한 여러 논문을 출판하였다.

켄트 주립 대학교의 수학 교수이며, 피아니스트로도 활동하고 있다.

2. 1. 학업

스톡홀름 대학교에서 수학을 전공하였고, 1970년에 박사 학위를 받았다. 1973년에는 분해 가능 바나흐 공간이 샤우데르 기저를 가지지 않을 수 있다는 것을 증명하였다.^[39] 이 문제는 스타니스와프 마주르가 1936년 11월 6일에 제기하였고, 이를 증명하는 사람에게 살아있는 거위를 포상하겠다고 공언하였다. 이후 마주르는 약속대로 엔플로에게 살아있는 거위를 선물하였으며, 이 장면은 폴란드에 텔레비전으로 중계되었다.

1975년에는 중요한 난제였던 바나흐 공간의 불변 부분 공간 문제(복소수 바나흐 공간 위의 모든 유계 작용소가 자명하지 않은 닫힌 불변 부분 공간을 항상 가지는지 여부)를 부정적으로 해결하였다.

2. 2. 주요 업적

엔플로는 함수해석학 분야에서 여러 중요한 업적을 남겼다. 특히, 바나흐 공간과 관련된 두 가지 난제를 해결한 것으로 유명하다.

1973년에는 분해 가능 바나흐 공간이 샤우데르 기저를 가지지 않을 수 있다는 것을 증명하였다.^[39] 이는 스타니스와프 마주르가 1936년에 제시한 문제로, 마주르는 이를 증명하는 사람에게 살아있는 거위를 상으로 주겠다고 약속했다. 엔플로는 이 증명으로 마주르에게서 거위를 받았다.

또한 1975년에는 바나흐 공간의 불변 부분 공간 문제(복소수 바나흐 공간 위의 모든 유계 작용소가 자명하지 않은 닫힌 불변 부분 공간을 항상 가지는지 여부)를 부정적으로 해결하였다.

이 외에도 엔플로는 수리생물학 분야에서도 여러 편의 논문을 발표했다.

2. 2. 1. 분해 가능 바나흐 공간과 샤우데르 기저

마주르는 1936년 11월 6일에 분해 가능 바나흐 공간이 샤우데르 기저를 가지지 않을 수 있다는 것을 증명하는 이에게 살아있는 거위를 포상하겠다고 공언하였다. 1973년에 엔플로는 이를 증명하였고,^[39] 마주르는 약속대로 엔플로에게 살아있는 거위를 선물하였으며, 이 장면은 폴란드에 텔레비전으로 중계되었다.

2. 2. 2. 불변 부분 공간 문제

함수해석학에서 가장 중요한 문제 중 하나는 다음 명제의 진실성을 평가해야 하는 불변 부분 공간 문제였다.

: 복소수 바나흐 공간 ''H''가 차원 > 1이고, 유계 선형 연산자 ''T'' : ''H'' → ''H''가 주어지면, ''H''는 자명하지 않은 닫힌 ''T''-불변 부분 공간을 갖는다. 즉, {0}과 ''H''와 다른 ''H''의 닫힌 선형 부분 공간 ''W''가 존재하여 ''T''(''W'') ⊆ ''W''가 성립한다.

바나흐 공간의 경우, 불변 부분 공간이 없는 연산자의 첫 번째 예시는 엔플로에 의해 구성되었다.^[39] ( 힐베르트 공간의 경우, 불변 부분 공간 문제는 미해결 상태로 남아있다.)

엔플로는 1975년에 불변 부분 공간 문제에 대한 해법을 제시하고, 1976년에 개요를 발표했다.^[16] 1981년에 전체 논문을 제출했고, 논문의 복잡성과 길이로 인해 1987년에 출판이 지연되었다.^[16] 엔플로의 긴 "원고는 전 세계 수학자들 사이에서 유통되었고"^[17], 그의 몇몇 아이디어는 옌플로(1976) 외의 출판물에서 설명되었다.^[18]^[19] 엔플로의 연구는 보자미와 같은 사람에게 불변 부분 공간이 없는 연산자에 대한 유사한 구성을 영감을 주었고, 그는 엔플로의 아이디어를 인정했다.^[16]

1990년대에 엔플로는 힐베르트 공간에서 불변 부분 공간 문제에 대한 "구성적" 접근 방식을 개발했다.^[20]

3. 함수해석학 및 연산자 이론에 대한 기여

함수해석학은 벡터 공간과 그 위에 작용하는 연산자를 연구하는 분야이다. 푸리에 변환과 같은 함수 변환, 미분 방정식과 적분 방정식 연구에서 유래했다. 함수해석학의 중요한 벡터 공간은 실수 또는 복소수에 대한 완비 공간인 노름 벡터 공간으로, 이를 바나흐 공간이라 한다. 힐베르트 공간은 내적 공간에서 노름이 파생되는 바나흐 공간의 중요한 예시이며, 양자역학, 확률 과정, 시계열 분석 등 여러 분야에서 중요하게 사용된다. 함수해석학은 함수 공간에서의 연속 선형 변환인 선형 연산자도 연구한다.

페르 엔플로는 1973년에 분해 가능 바나흐 공간이 샤우데르 기저를 가지지 않을 수 있다는 것을 증명하여, 스타니스와프 마주르가 1936년에 제기한 문제(증명하는 이에게 살아있는 거위를 포상)를 해결하였다.^[39] 마주르는 약속대로 엔플로에게 살아있는 거위를 선물했고, 이 장면은 폴란드 텔레비전에 중계되었다.

1975년에는 바나흐 공간의 불변 부분 공간 문제(복소수 바나흐 공간 위의 모든 유계 작용소가 자명하지 않은 닫힌 불변 부분 공간을 항상 가지는지 여부)를 부정적으로 해결하였다.

3. 1. 힐베르트의 다섯 번째 문제와 임베딩

스톡홀름 대학교에서 한스 래드스트룀은 엔플로에게 힐베르트의 다섯 번째 문제를 함수해석학적 관점에서 고려해보라고 제안했다.^[4] 1969년부터 1970년까지 2년 동안 엔플로는 이 문제에 관한 논문 5편을 발표했으며, 이 논문들은 짧은 요약과 함께 엔플로 (1970)에 수록되어 있다. 이 논문의 일부 결과는 엔플로 (1976)과 베냐미니와 린덴스트라우스의 마지막 장에 설명되어 있다.

엔플로의 접근 방식은 컴퓨터 과학의 알고리즘 이론에도 응용되어, 유한 거리 공간을 낮은 차원의 유클리드 공간에 적은 왜곡으로 임베딩하는 근사 알고리즘 도출에 기여했다.^[5]

3. 1. 1. 컴퓨터 과학에서의 응용

엔플로의 기법은 컴퓨터 과학 분야에서 응용되고 있다. 알고리즘 이론가들은 유한 거리 공간을 낮은 차원의 유클리드 공간에 낮은 "왜곡"으로 임베딩하는 근사 알고리즘을 도출한다.^[5] 낮은 차원의 문제는 낮은 계산 복잡성을 가진다. 더욱 중요한 점은, 문제가 유클리드 평면 또는 3차원 유클리드 공간에 잘 임베딩되면 기하학적 알고리즘이 매우 빨라진다는 것이다.

그러나 이러한 임베딩 기술에는 엔플로의 (1969) 정리가 보여주는 한계가 있다:^[5]

: 모든

m\geq 2

에 대해, 해밍 큐브

C_m

은

D < \sqrt{ m }

인 경우, "왜곡

D

" (또는 그 이하)로

2^m

차원 유클리드 공간에 임베딩될 수 없다. 결과적으로 최적의 임베딩은 자연 임베딩이며, 이는

\{0,1\}^m

을

m

차원 유클리드 공간의 부분 공간으로 실현한다.^[6]

이 정리는 "엔플로 [1969]에 의해 발견되었으며, 유클리드 공간에의 임베딩에 대한 무제한 왜곡을 보여주는 최초의 결과일 것이다. 엔플로는 바나흐 공간 사이의 균등 임베딩 가능성 문제를 고려했으며, 왜곡은 그의 증명에서 보조 장치였다."^[7]

3. 2. 바나흐 공간의 기하학

'''균등 볼록 공간'''은 다음과 같은 바나흐 공간이다. 임의의

\epsilon>0

에 대해, 어떤

\delta>0

가 존재하여

\|x\|\le1

과

\|y\|\le 1

를 만족하는 두 벡터에 대해,

:

\|x+y\|>2-\delta

이면,

:

\|x-y\|<\epsilon.

이다. 직관적으로, 단위 구 내부의 선분 중심은 그 선분이 짧지 않은 이상 단위 구 내부 깊숙이 위치해야 한다.

1972년 엔플로는 "모든 초반사 바나흐 공간은 동치인 균등 볼록 노름을 가진다"는 것을 증명했다.^[8]^[9]

3. 3. 기저 문제와 마주르의 거위

페르 엔플로는 1973년에 발표된 논문에서 슈테판 바나흐의 기저 문제, 스타니스와프 마주르의 "거위 문제", 알렉산더 그로텐디크의 근사 문제 등 함수해석학의 주요 난제 세 가지를 해결했다.^[39]

이 문제는 스타니스와프 마주르가 1936년 11월 6일에 제기했으며, 문제를 해결하는 사람에게 살아있는 거위를 주겠다고 약속한 것이었다.^[39] 1972년 마주르는 약속대로 엔플로에게 살아있는 거위를 선물했고, 이 장면은 폴란드 텔레비전에 중계되었다.^[39]

3. 3. 1. 바나흐의 기저 문제

슈테판 바나흐는 그의 저서 ''선형 연산자 이론''에서 기저 문제를 제기했다. 바나흐는 모든 분리 가능 바나흐 공간이 샤우데르 기저를 가지는지 질문했다.^[10]^[11]

샤우데르 기저 또는 가산 기저는 일반적인 (Hamel) 기저와 유사하다. 차이점은 Hamel 기저의 경우 ''유한'' 합인 선형 결합을 사용하는 반면, 샤우데르 기저의 경우 ''무한'' 합을 사용할 수 있다는 것이다. 이것은 샤우데르 기저를 바나흐 공간을 포함한 무한 차원 위상 벡터 공간의 분석에 더 적합하게 만든다.

율리우슈 샤우데르는 1927년에 샤우데르 기저를 설명했다.^[10]^[11] ''V''를 체 ''F''에 대한 바나흐 공간이라고 하자. ''샤우데르 기저''는 모든 원소 ''v'' ∈ ''V''에 대해

:

v = \sum_{n \in \N} \alpha_n b_n \,

을 만족하는 ''고유한'' 수열 (α_''n'')이 존재하는 ''V''의 원소들의 수열 (''b''_''n'')이다. 여기서 수렴은 노름 위상과 관련하여 이해된다. 샤우데르 기저는 일반적인 위상 벡터 공간에서도 유사하게 정의될 수 있다.

3. 3. 2. 스코틀랜드 책의 153번 문제: 마주르의 거위

스타니스와프 마주르는 1936년 11월 6일에 연속 함수 표현에 관한 문제를 제기하였다. 스코틀랜드 책에 공식적으로 ''문제 153''으로 기록된 이 문제에 대해 마주르는 대공황 시기이자 제2차 세계 대전 직전의 특히 귀한 보상인 "산 거위"를 약속했다.^[12]

얼마 지나지 않아, 마주르의 문제는 가분 바나흐 공간에서 샤우데르 기저의 존재에 관한 바나흐의 문제와 밀접한 관련이 있다는 것이 밝혀졌다. ''스코틀랜드 책''의 다른 문제들은 대부분 꾸준히 해결되었으나, 마주르의 문제와 몇몇 다른 문제들은 진전이 거의 없었고, 전세계 수학자들에게 유명한 미해결 문제가 되었다.^[12]

3. 3. 3. 그로텐디크의 근사 문제 공식화

알렉산더 그로텐디크는 범주론, 바나흐 공간, 연속 선형 연산자에 대한 연구를 통해 근사 성질을 도입했다. 바나흐 공간은 모든 콤팩트 연산자가 유한 계수 연산자의 극한일 때 근사 성질을 갖는다고 정의했다. 그 역은 항상 참이다.^[13]

그로텐디크는 모든 바나흐 공간이 근사 성질을 가지면 모든 바나흐 공간이 샤우더 기저를 갖게 된다는 것을 증명했다. 따라서 그는 모든 바나흐 공간이 근사 성질을 갖는지 여부를 결정하는 문제에 함수 해석학자들의 관심을 집중시켰다.^[13]

3. 3. 4. 엔플로의 해결

1972년, 페르 엔플로는 근사 성질을 갖지 않고 샤우데르 기저도 없는 가분 바나흐 공간을 만들었다.^[14] 이는 슈테판 바나흐의 기저 문제, 스타니스와프 마주르의 "거위 문제", 알렉산더 그로텐디크의 근사 문제를 해결한 것이었다. 그로텐디크는 자신의 근사 문제가 바나흐 공간과 연속 선형 연산자의 범주론에서 핵심적인 문제임을 보였다.

스타니스와프 마주르는 1936년 11월 6일에 이 문제를 제기하였고, 이를 증명하는 이에게 살아있는 거위를 포상하겠다고 공언하였다. 1972년, 마주르는 바르샤바의 슈테판 바나흐 센터에서 열린 시상식에서 엔플로에게 약속대로 살아있는 거위를 선물하였다. 이 "거위 상" 시상식은 폴란드 전역에 방송되었다.^[15]

3. 4. 불변 부분 공간 문제와 다항식

함수해석학에서 가장 중요한 문제 중 하나는 불변 부분 공간 문제였다. 이 문제는 복소수 바나흐 공간 ''H''의 차원이 1보다 크고, 유계 선형 연산자 ''T'' : ''H'' → ''H''가 주어졌을 때, ''H''가 {0}과 ''H''와 다른 닫힌 선형 부분 공간 ''W''를 가지며, ''T''(''W'') ⊆ ''W''가 성립하는지 묻는 문제였다.^[16]

바나흐 공간의 경우, 불변 부분 공간이 없는 연산자의 첫 번째 예는 페르 엔플로가 제시하였다.^[16] 힐베르트 공간의 경우, 불변 부분 공간 문제는 여전히 미해결 상태로 남아있다.

엔플로는 1975년에 이 문제에 대한 해법을 제시하고 1976년에 개요를 발표했다. 1981년에 전체 논문을 제출했지만, 논문의 복잡성과 길이 때문에 1987년에야 출판되었다.^[16] 엔플로의 논문은 전 세계 수학자들 사이에서 유통되었고,^[17] 그의 아이디어 중 일부는 다른 출판물에서도 설명되었다.^[18]^[19] 엔플로의 연구는 보자미와 같은 사람에게 불변 부분 공간이 없는 연산자에 대한 유사한 구성을 하는 데 영감을 주었고, 보자미는 엔플로의 아이디어를 인정했다.^[16]

1990년대에 엔플로는 힐베르트 공간에서 불변 부분 공간 문제에 대한 "구성적" 접근 방식을 개발했다.^[20]

엔플로의 구성의 핵심은 "낮은 차수의 다항식 집중"이라는 개념이었다.

3. 4. 1. 동차 다항식의 곱셈 부등식

엔플로의 구성에서 핵심적인 아이디어는 "'''낮은 차수의 다항식 집중'''"이었다. 모든 양의 정수

m

과

n

에 대해, 모든 동차 다항식

P

와

Q

가 각각 차수

m

과

n

(

k

개의 변수)을 가지는 경우, 다음을 만족하는

C(m,n) > 0

이 존재한다.

$|PQ|\geq C(m,n)|P|\,|Q|,$

여기서

|P|

는

P

의 계수들의 절댓값의 합을 나타낸다. 엔플로는

C(m,n)

이 변수의 수

k

에 의존하지 않음을 증명했다. 엔플로의 원래 증명은 몽고메리에 의해 단순화되었다.^[21]

이 결과는 노름의 동차 다항식 벡터 공간에 대한 다른 노름으로 일반화되었다. 이러한 노름 중에서 가장 많이 사용된 것은 봄비에리 노름이다.

3. 4. 2. 응용

엔플로의 "낮은 차수의 다항식 집중" 아이디어는 수론,^[22] 대수 및 디오판토스 기하학,^[23] 다항식 인수분해에 중요한 영향을 미쳤다.^[24]

4. 수리생물학: 개체군 역학

페르 엔플로는 응용 수학의 수리생물학, 특히 개체군 역학 분야에서 여러 논문을 발표했다.

4. 1. 인간 진화

엔플로는 집단 유전학과 고인류학 분야에서도 연구를 발표했다.^[25]

오늘날 모든 인간은 하나의 ''호모 사피엔스 사피엔스'' 집단에 속하지만, "아프리카 기원설"에 따르면 이것이 최초의 호미니드 종은 아니다. 최초의 ''호모'' 속 종인 ''호모 하빌리스''는 적어도 200만 년 전에 동아프리카에서 진화했으며, 이 종의 구성원들은 비교적 짧은 시간 안에 아프리카의 여러 지역에 분포했다. ''호모 에렉투스''는 180만 년 전보다 더 일찍 진화했고, 150만 년 전에는 구세계 전역으로 확산되었다.

인류학자들은 현재의 인류 집단이 하나의 상호 연결된 집단으로 진화했는지(다지역 기원설), 아니면 동아프리카에서만 진화하여 종분화를 거친 후 아프리카에서 이주하여 유라시아의 인류 집단을 대체했는지("아프리카 기원설" 또는 "완전 대체" 모델)에 대해 의견이 분분하다.

네안데르탈인과 현생 인류는 유럽에서 수천 년 동안 공존했지만, 이 기간의 정확한 길이는 불확실하다.^[26] 현생 인류는 40,000~43,000년 전에 처음으로 유럽으로 이주했을 수 있다.^[27] 네안데르탈인은 피난처로, 예를 들어 고럼 동굴과 같은 이베리아 반도 남부 해안에서 최근 24,000년 전까지 생존했을 수 있다.^[28]^[29] 네안데르탈인과 현생 인류의 유해가 섞여 있는 층이 발견되었다는 주장이 있지만,^[30] 이에 대한 논란이 있다.^[31]

혹스, 월포프와 함께 엔플로는 네안데르탈인과 현생 인류의 DNA에 대한 화석 증거에 대한 설명을 발표했다. 이 논문은 현생 인류의 진화에서 다지역 기원설과 최근 아프리카 기원설 중 어느 쪽을 지지하는지에 대한 논쟁을 해결하려고 시도한다. 특히, 네안데르탈인의 멸종은 현생 인류의 파동이 유럽에 진입했기 때문에 발생했을 수 있다. 기술적인 용어로 말하면, "현생 인류 DNA가 네안데르탈인 유전자 풀로 지속적으로 유입"되었기 때문이다.^[32]^[33]^[34]

5. 피아노

페르 엔플로는 콘서트 피아니스트로도 활동하고 있다. 그는 어렸을 때 수학과 음악에 재능을 보였으며, 12세 때 스웨덴 왕립 오페라 오케스트라와 공연하기도 했다.^[37]

5. 1. 음악 교육 및 경력

엔플로는 음악과 수학 모두에서 신동이었다. 1956년과 1961년에 스웨덴 젊은 피아니스트 경연대회에서 우승했다.^[36] 12세에 스웨덴 왕립 오페라 오케스트라와 협연하였고, 1963년 스톡홀름 콘서트홀에서 데뷔했다. 브루노 자이들호퍼, 게자 안다, 고트프리트 본에게 배웠다.^[37]

1999년 엔플로는 반 클라이번 재단의 첫 국제 피아노 콩쿠르 뛰어난 아마추어 부문에 참가했다.^[38]

켄트 주변과 오하이오주 콜럼버스에서 모차르트 시리즈 (트리운 축제 오케스트라와 함께)를 정기적으로 공연한다. 그의 피아노 독주회는 오하이오 주립 대학교가 후원하는 라디오 방송국 WOSU의 클래식 네트워크에 출연했다.^[37]

5. 2. 공연 활동

엔플로는 켄트 주변과 오하이오주 콜럼버스에서 모차르트 시리즈를 트리운 축제 오케스트라와 함께 정기적으로 공연한다.^[37] 그의 피아노 독주회는 오하이오 주립 대학교가 후원하는 라디오 방송국 WOSU의 클래식 네트워크에 출연했다.^[37]

1999년 엔플로는 첫 번째 반 클라이번 재단의 국제 피아노 콩쿠르의 뛰어난 아마추어 부문에 참가했다.^[38]

1956년 11세의 나이로 스웨덴 젊은 피아니스트 경연대회에서 우승했고, 1961년에도 같은 대회에서 우승했다.^[36] 12세에 스웨덴 왕립 오페라 오케스트라와 협연자로 출연했으며, 1963년 스톡홀름 콘서트홀에서 데뷔했다. 엔플로의 스승으로는 브루노 자이들호퍼, 게자 안다, 고트프리트 본 등이 있다.^[37]

참조

_[1] 서적 Page 586 in Halmos 1990
_[2] 논문 A counterexample to the approximation problem in Banach spaces 1973-07
_[3] 서적 Séminaire Maurey--Schwartz (1975--1976) Espaces L^p, applications radonifiantes et géométrie des espaces de Banach, Exp. Nos. 14-15 Centre Math., École Polytech., Palaiseau
_[3] 간행물 On the invariant subspace problem for Banach spaces
_[4] 문서 Rådström had himself published several articles on Hilbert's fifth problem from the point of view of semigroup theory. Rådström was also the (initial) advisor of Martin Ribe, who wrote a thesis on metric linear spaces that need not be locally convex; Ribe also used a few of Enflo's ideas on metric geometry, especially "roundness", in obtaining independent results on uniformly continuous function|uniform and Lipschitz continuity|Lipschitz embedding s (Benyamini and Lindenstrauss). This reference also describes results of Enflo and his students on such embeddings.
_[5] 서적 Theorem 15.4.1 in Matoušek
_[6] 서적 Matoušek 370
_[7] 서적 Matoušek 372
_[8] 서적 Beauzamy 1985, page 298
_[9] 문서 Pisier
_[10] 간행물 Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen http://dml.cz/bitstr[...]
_[11] 간행물 Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems
_[12] 문서 Mauldin
_[13] 문서 Joram Lindenstrauss and L. Tzafriri
_[14] 서적 History of Banach spaces and linear operators https://books.google[...] Birkhäuser Boston, Inc.
_[15] 문서 Kałuża, Saxe, Eggleton, Mauldin
_[16] 문서 Beauzamy 1988; Yadav
_[17] 서적 Yadav, page 292
_[18] 서적 For example, Radjavi and Rosenthal (1982)
_[19] 간행물 The invariant subspace problem https://arcabc.ca/is[...] 1982-03
_[20] 간행물 On quasinilpotent operators. III
_[21] 서적 Schmidt, page 257
_[22] 문서 Montgomery. Schmidt. Beauzamy and Enflo. Beauzamy, Bombieri, Enflo, and Montgomery
_[23] 문서 Bombieri and Gubler
_[24] 문서 Knuth. Beauzamy, Enflo, and Wang
_[25] 간행물 Ny brandfackla tänder debatten om manniskans ursprung 2001-01-14
_[26] 간행물 A new radiocarbon revolution and the dispersal of modern humans in Eurasia
_[27] 간행물 Neanderthal Extinction by Competitive Exclusion Public Library of Science 2008-12-24
_[28] 뉴스 Neanderthals' 'last rock refuge' http://news.bbc.co.u[...] 2009-10-11
_[29] 문서 Finlayson, C., F. G. Pacheco, J. Rodriguez-Vidal, D. A. Fa, J. M. G. Lopez, A. S. Perez, G. Finlayson, E. Allue, J. B. Preysler, I. Caceres, J. S. Carrion, Y. F. Jalvo, C. P. Gleed-Owen, F. J. J. Espejo, P. Lopez, J. A. L. Saez, J. A. R. Cantal, A. S. Marco, F. G. Guzman, K. Brown, N. Fuentes, C. A. Valarino, A. Villalpando, C. B. Stringer, F. M. Ruiz, and T. Sakamoto. 2006. Late survival of Neanderthals at the southernmost extreme of Europe. Nature advanced online publication.
_[30] 간행물 Radiocarbon dating of interstratified Neanderthal and early modern human occupations at the Chatelperronian type-site
_[31] 간행물 Analysis of Aurignacian interstratification at the Châtelperronian-type site and implications for the behavioral modernity of Neandertals
_[32] 문서 'Page 665: * [[Svante Pääbo|Pääbo, Svante]] et alia. "Genetic analyses from ancient DNA." ''Annu. Rev. Genet.'' 38, 645–679 (2004).'
_[33] 간행물 Ny brandfackla tänder debatten om manniskans ursprung 2001-01-14
_[34] 간행물 Ny brandfackla tänder debatten om manniskans ursprung 2001-01-14
_[35] 문서 Saxe
_[36] 문서 Saxe
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