프레드홀름 작용소

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1. 개요

프레드홀름 작용소는 바나흐 공간 사이의 유계 선형 작용소로, 핵과 여핵이 유한 차원인 경우를 말하며, 콤팩트 작용소를 제외하고 가역적이다. 프레드홀름 작용소의 지표는 핵의 차원과 여핵의 차원의 차이로 정의되며, 이 작용소는 타원형 연산자, 아티야-싱어 지표 정리, K-이론, 편미분 방정식 등 다양한 분야에 응용된다. 유한 차원 공간에서는 모든 유계 작용소가 프레드홀름 작용소이며, 밀기 연산자, 토플리츠 연산자 등이 그 예시이다. 프레드홀름 작용소는 반-프레드홀름 작용소, 무계 작용소, B-프레드홀름 작용소 등으로 일반화될 수 있으며, 스웨덴 수학자 에리크 이바르 프레드홀름의 이름을 따서 명명되었다.

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프레드홀름 작용소

2. 정의

$\mathbb K$ 가 실수체 $\mathbb R$ 또는 복소수체 $\mathbb C$ 이고, $X$ 와 $Y$ 가 $\mathbb K$ -바나흐 공간이라고 하자. $X$ 와 $Y$ 사이의 $\mathbb K$ -유계 작용소 $T\in B(X,Y;\mathbb K)$ 에 대하여, 다음 세 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $\mathbb K$ -유계 작용소를 '''프레드홀름 작용소'''라고 한다.

$T$ 의 핵 $\ker T=T^{-1}(0)$ 과 여핵 $\operatorname{coker}T=Y/\operatorname{im}T$ 이 유한 차원의 벡터 공간이다.^[6] 여기서 $Y/\operatorname{im}T$ 는 공역의 그 상에 대한 몫공간이다.
핵 $\ker T$ 과 여핵 $\operatorname{coker}T$ 이 유한 차원이며, 또한 그 상 $T(X)$ 가 닫힌집합이다.
$T$ 는 콤팩트 작용소를 제외하고 가역이다. 즉, 유계 작용소 $S\in B(Y,X)$ 가 존재하여, $\operatorname{Id}_X-ST$ 와 $\operatorname{Id}_Y-TS$ 둘 다 콤팩트 작용소이다.

직관적으로, 프레드홀름 작용소는 "유한 차원 효과를 무시하면" 가역적인 작용소이다. 프레드홀름 작용소는 약간 수정하더라도 프레드홀름 상태가 유지되며 지표도 동일하게 유지된다.

2. 1. 프레드홀름 작용소

\mathbb K

가 실수체

\mathbb R

또는 복소수체

\mathbb C

이고,

X

와

Y

가

\mathbb K

-바나흐 공간이라고 하자.

X

와

Y

사이의

\mathbb K

-유계 작용소

T\in B(X,Y;\mathbb K)

에 대하여, 다음 세 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는

\mathbb K

-유계 작용소를 '''프레드홀름 작용소'''라고 한다.

$T$ 의 핵 $\ker T=T^{-1}(0)$ 과 여핵 $\operatorname{coker}T=Y/\operatorname{im}T$ 이 유한 차원의 벡터 공간이다.^[6] 여기서 $Y/\operatorname{im}T$ 는 공역의 그 상에 대한 몫공간이다.
핵 $\ker T$ 과 여핵 $\operatorname{coker}T$ 이 유한 차원이며, 또한 그 상 $T(X)$ 가 닫힌집합이다.
$T$ 는 콤팩트 작용소를 제외하고 가역이다. 즉, 유계 작용소 $S\in B(Y,X)$ 가 존재하여, $\operatorname{Id}_X-ST$ 와 $\operatorname{Id}_Y-TS$ 둘 다 콤팩트 작용소이다.

프레드홀름 작용소

T

의 '''지표'''

\operatorname{ind}T

는 그 핵의 차원과 여핵의 차원의 차이다.

:

\operatorname{ind}T=\dim\ker T-\dim\operatorname{coker}T

.

2. 2. 프레드홀름 지표

프레드홀름 작용소

T

의 '''지표'''

\operatorname{ind}T

는 그 핵의 차원과 여핵의 차원의 차이다.^[6]

:

\operatorname{ind}T=\dim\ker T-\dim\operatorname{coker}T

.

3. 성질

프레드홀름 작용소는 "유한 차원 효과를 무시하면" 가역적인 작용소와 유사하다. 형식적으로, 바나흐 공간 ''X''와 ''Y'' 사이의 유계 작용소 ''T'' : ''X'' → ''Y''가 모듈로 콤팩트 작용소에 대해 가역적일 때, 즉 다음을 만족하는 유계 선형 작용소

: $S: Y\to X$

가 존재할 때 프레드홀름 작용소라고 한다.

: $\mathrm{Id}_X - ST \quad\text{및}\quad \mathrm{Id}_Y - TS$

는 각각 ''X''와 ''Y''에서 콤팩트 작용소이다.

''T''가 프레드홀름 작용소이면, 전치 (또는 수반) 작용소 ''T'' ′는 ''Y'' ′에서 ''X'' ′로 가는 프레드홀름 작용소이며, ind(''T'' ′) = −ind(''T'')이다. ''X''와 ''Y''가 힐베르트 공간인 경우, 에르미트 수반 ''T''^∗에 대해서도 동일한 결론이 성립한다.

X에서 Y로의 모든 프레드홀름 작용소들의 집합은, 모든 유계 선형 작용소가 작용소 노름을 노름으로 갖는 바나흐 공간 L(''X'', ''Y'')에서 열린 집합이 된다.

3. 1. 연산에 대한 닫힘

프레드홀름 작용소들의 합성은 프레드홀름 작용소이며, 지표는 가법적(additive)이다. 즉, 임의의 세 바나흐 공간 사이의 두 프레드홀름 작용소

X\xrightarrow TY\xrightarrow UZ

가 주어졌을 때,

U\circ T\colon X\to Z

역시 프레드홀름 작용소이며, 다음이 성립한다.^[2]

:

\operatorname{ind}(U\circ T)=\operatorname{ind}(U)+\operatorname{ind}(T)

프레드홀름 작용소와 콤팩트 작용소의 합은 프레드홀름 작용소이며, 그 프레드홀름 지표는 변하지 않는다. 두 바나흐 공간

X,Y

사이의 프레드홀름 작용소

F\colon X\to Y

와 콤팩트 작용소

K\colon X\to Y

가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.^[2]

:

\operatorname{ind}(F+K)=\operatorname{ind}(F)

프레드홀름 작용소와 엄밀 특이 작용소의 합은 프레드홀름 작용소이며, 지표는 변하지 않는다.^[4]

3. 2. 위상수학적 성질

\mathbb K

-유계 작용소의 공간

\operatorname B(X,Y;\mathbb K)

에 작용소 노름을 부여하면, 프레드홀름 작용소들의 집합

:

\operatorname{Fred}(X,Y;\mathbb K)\subseteq\operatorname B(X,Y;\mathbb K)

은 그 속의 열린집합이다.

프레드홀름 작용소는 "유한 차원 효과를 무시하면" 가역적인 작용소이다. 바나흐 공간 ''X''와 ''Y'' 사이의 유계 작용소 ''T'' : ''X'' → ''Y''는 가역적인 모듈로 콤팩트 작용소일 때, 즉 다음을 만족하는 유계 선형 작용소

:

S: Y\to X

가 존재할 때 프레드홀름 작용소이다.

:

\mathrm{Id}_X - ST \quad\text{및}\quad \mathrm{Id}_Y - TS

는 각각 ''X''와 ''Y''에서 콤팩트 작용소이다.

프레드홀름 작용소를 약간 수정하더라도 프레드홀름 상태가 유지되며 지표도 동일하게 유지된다. ''X''에서 ''Y''로 가는 프레드홀름 작용소의 집합은 작용소 노름을 갖춘 유계 선형 작용소의 바나흐 공간 L(''X'', ''Y'')에서 열려 있으며, 지표는 국소적으로 상수이다. ''T''₀가 ''X''에서 ''Y''로 가는 프레드홀름 작용소인 경우, ||''T'' − ''T''₀|| < ''ε''인 L(''X'', ''Y'')의 모든 ''T''가 ''T''₀와 동일한 지표를 갖는 프레드홀름 작용소가 되도록 하는 ''ε'' > 0가 존재한다.

''T''가 ''X''에서 ''Y''로 가는 프레드홀름 작용소이고 ''U''가 ''Y''에서 ''Z''로 가는 프레드홀름 작용소이면, 합성

U \circ T

는 ''X''에서 ''Z''로 가는 프레드홀름 작용소이며, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{ind} (U \circ T) = \operatorname{ind}(U) + \operatorname{ind}(T).

''T''가 프레드홀름 작용소이면, 전치 (또는 수반) 작용소 ''T'' ′는 ''Y'' ′에서 ''X'' ′로 가는 프레드홀름 작용소이며, ind(''T'' ′) = −ind(''T'')이다. ''X''와 ''Y''가 힐베르트 공간인 경우, 에르미트 수반 ''T''^∗에 대해서도 동일한 결론이 성립한다.

''T''가 프레드홀름 작용소이고 ''K''가 콤팩트 작용소이면, ''T'' + ''K''는 프레드홀름 작용소이다. ''T''의 지표는 콤팩트 섭동 하에서 변경되지 않는다. 이는 ''T'' + ''s'' ''K''의 지표 ''i''(''s'')가 [0, 1]의 모든 ''s''에 대해 정의된 정수이고, ''i''(''s'')가 국소적으로 상수이므로 ''i''(1) = ''i''(0)이기 때문이다.

섭동에 의한 불변성은 콤팩트 작용소의 클래스보다 더 큰 클래스에 대해 성립한다. 예를 들어, ''U''가 프레드홀름 작용소이고 ''T''가 엄밀 특이 작용소이면, ''T'' + ''U''는 동일한 지표를 갖는 프레드홀름 작용소이다.^[2]

4. 예

바나흐 공간에서 정의되는 프레드홀름 작용소의 몇 가지 예를 살펴보자. 유한 차원 바나흐 공간에서의 모든 유계 작용소, 항등 함수, 밀기 연산자, 토플리츠 연산자 등이 이에 해당한다. (각각의 예시에 대한 자세한 설명은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.)

4. 1. 유한 차원 바나흐 공간

X와 Y가 유한 차원 바나흐 공간이면, 그 사이의 모든 유계 작용소는 프레드홀름 작용소이다. 즉, 프레드홀름 작용소의 개념은 무한 차원에서만 의미가 있다.

4. 2. 항등 함수

임의의

\mathbb K

-바나흐 공간 위의 항등 함수는 (자명하게) 지표가 0인 프레드홀름 작용소이다.

4. 3. 밀기 연산자 (Shift Operator)

힐베르트 공간

\mathcal H

의 정규 직교 기저

:

(e_i)_{i=0}^\infty

를 생각하자. 밀기 연산자(shift operator^영어)는 다음과 같이 정의된다.

:

S\colon e_i\mapsto e_{i+1}\qquad\forall i\in\mathbb N

이 경우

:

\ker S=\{0\}

:

\operatorname{im}S=\left(\operatorname{Span}_{\mathbb K}\{e_0\}\right)^\perp

이므로

:

\operatorname{ind}S=\dim\ker S-\dim\operatorname{coker}S=-1

이다. 즉, 밀기 연산자는 지표가 -1인 프레드홀름 작용소이다.

H

를 음이 아닌 정수로 인덱싱된 정규 직교 기저

\{e_n\}

를 가진 힐베르트 공간이라고 하자. ''H''에 대한 (오른쪽) 시프트 연산자 ''S''는 다음과 같이 정의된다.

:

S(e_n) = e_{n+1}, \quad n \ge 0. \,

이 연산자 ''S''는 단사(실제로 등거리)이고 코차원 1의 닫힌 범위를 가지므로,

\operatorname{ind}(S)=-1

인 프레드홀름 작용소이다. 거듭제곱

S^k

,

k\geq0

은 지수가

-k

인 프레드홀름 작용소이다.

이에 대한 수반 연산자 ''S*''는 왼쪽 시프트이다.

:

S^*(e_0) = 0, \ \ S^*(e_n) = e_{n-1}, \quad n \ge 1. \,

왼쪽 시프트 ''S*''는 지수가 1인 프레드홀름 작용소이다.

4. 4. 토플리츠 연산자 (Toeplitz Operator)

''H''가 복소 평면에서 단위 원 '''T'''에 대한 고전적인 하디 공간

H^2(\mathbf{T})

인 경우, 복소 지수 함수의 정규 직교 기저에 대한 시프트 연산자는 다음과 같다.

:

e_n : \mathrm{e}^{\mathrm{i} t} \in \mathbf{T} \mapsto\mathrm{e}^{\mathrm{i} n t}, \quad n \ge 0, \,

이는 함수

\varphi=e_1

을 갖는 곱셈 연산자 ''M''_''φ''이다. 더 일반적으로, '''T'''에서

\mathbf{T}

에서 사라지지 않는 복소 연속 함수 ''φ''를 취하고, ''T''_''φ''를 ''φ''를 곱한 다음 직교 투영

P:L^2(\mathbf{T})\to H^2(\mathbf{T})

를 수행하는 심볼 ''φ''를 갖는 토플리츠 연산자라고 정의한다.

:

T_\varphi : f \in H^2(\mathrm{T}) \mapsto P(f \varphi) \in H^2(\mathrm{T}). \,

그러면 ''T''_''φ''는

H^2(\mathbf{T})

에 대한 프레드홀름 연산자이며, 0 주위의 닫힌 경로

t\in[0,2\pi]\mapsto \varphi(e^{it})

의 감김수와 관련이 있다. 이 문서에 정의된 ''T''_''φ''의 지수는 이 감김수의 반대이다.

5. 응용

타원형 연산자는 프레드홀름 연산자로 확장될 수 있으며, 편미분 방정식에서 프레드홀름 연산자를 사용하는 것은 파라메트릭스 방법의 추상적인 형태이다.^[1]

아티야-싱어 지표 정리는 매끄러운 다양체에서 특정 연산자의 지표에 대한 위상학적 특성화를 제공한다.^[3]

아티야-예니히 정리는 콤팩트 위상 공간 ''X''의 K-이론 ''K''(''X'')를 ''X''에서 프레드홀름 연산자 공간 ''H''→''H''로의 연속 사상의 호모토피류 집합과 동일시한다. 여기서 ''H''는 분리 가능한 힐베르트 공간이며, 이러한 연산자 집합은 연산자 노름을 갖는다.

5. 1. 아티야-싱어 지표 정리

매끄러운 다양체 위의 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면 공간 위의 프레드홀름 작용소의 지표는 아티야-싱어 지표 정리로 계산된다.^[1] 모든 타원형 연산자는 프레드홀름 연산자로 확장될 수 있다.^[1] 편미분 방정식에서 프레드홀름 연산자를 사용하는 것은 파라메트릭스 방법의 추상적인 형태이다.^[1] 아티야-싱어 지표 정리는 매끄러운 다양체에서 특정 연산자의 지표에 대한 위상학적 특성화를 제공한다.^[3]

5. 2. K이론 (K-theory)

아티야-예니히 정리는 콤팩트 위상 공간 ''X''의 K-이론 ''K''(''X'')를 ''X''에서 프레드홀름 작용소 공간 ''H''→''H''로의 연속 사상의 호모토피류 집합과 동일시한다. 여기서 ''H''는 분리 가능한 힐베르트 공간이며, 이러한 연산자 집합은 연산자 노름을 갖는다.

5. 3. 편미분 방정식

모든 타원형 연산자는 프레드홀름 연산자로 확장될 수 있다. 편미분 방정식에서 프레드홀름 연산자를 사용하는 것은 파라메트릭스 방법의 추상적인 형태이다.

6. 일반화

각 정수 $n$ 에 대해 $T_n$ 을 $T$ 의 $R(T^n)$ 으로의 제한으로 둘 때, 어떤 정수 $n$ 에 대해 공간 $R(T^n)$ 이 닫혀 있고 $T_n$ 이 프레드홀름 작용소이면, $T$ 를 B-프레드홀름 작용소라고 부른다. 이때, 사상은 $R(T^n)$ 에서 $R(T^n)$ 으로의 사상으로 간주한다(특히 $T_0 = T$ 이다). B-프레드홀름 작용소 $T$ 의 지수는 프레드홀름 작용소 $T_n$ 의 지수로 정의하며, 이 지수는 정수 $n$ 에 의존하지 않는다. B-프레드홀름 작용소는 1999년 M. Berkani에 의해 프레드홀름 작용소의 일반화로 도입되었다.

6. 1. 반-프레드홀름 작용소 (Semi-Fredholm operator)

유계 선형 연산자 ''T''의 치역이 닫혀 있고,

\ker T

와

\operatorname{coker}T

중 적어도 하나가 유한 차원일 때, ''T''를 '''반-프레드홀름''' 연산자라고 한다. 반-프레드홀름 연산자에 대해 지수는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{ind}T=\begin{cases}+\infty,&\dim\ker T=\infty;\\\dim\ker T-\dim\operatorname{coker}T,&\dim\ker T+\dim\operatorname{coker}T<\infty;\\

\infty,&\dim\operatorname{coker}T=\infty.

\end{cases}

6. 2. 무계 작용소 (Unbounded operator)

''X''와 ''Y''를 두 개의 바나흐 공간이라고 할 때, 닫힌 선형 작용소

T:\,X\to Y

의 정의역

\mathfrak{D}(T)

가

X

에서 조밀하고, 치역이 닫혀 있으며, ''T''의 핵과 여핵이 모두 유한 차원인 경우

T

를 ''프레드홀름 작용소''라고 한다.

T:\,X\to Y

의 정의역

\mathfrak{D}(T)

가

X

에서 조밀하고, 치역이 닫혀 있으며, ''T''의 핵 또는 여핵(또는 둘 다)이 유한 차원인 경우

T

를 ''준-프레드홀름 작용소''라고 한다.

6. 3. B-프레드홀름 작용소

각 정수 n에 대해, T_n을 T의 R(Tⁿ)으로의 제한으로 둔다. 이때, 사상은 R(Tⁿ)에서 R(Tⁿ)으로의 사상으로 간주한다(특히 T₀ = T이다). 어떤 정수 n에 대해 공간 R(Tⁿ)이 닫혀 있고, T_n이 프레드홀름 작용소이면, T를 B-프레드홀름 작용소라고 부른다. B-프레드홀름 작용소 T의 지수는 프레드홀름 작용소 T_n의 지수로 정의한다. 이때, 지수는 정수 n에 의존하지 않는다. B-프레드홀름 작용소는 M. Berkani에 의해 1999년에 프레드홀름 작용소의 일반화로 도입되었다.

7. 역사

적분 방정식 이론을 개척한 스웨덴의 수학자 에리크 이바르 프레드홀름의 이름을 따서 명명되었다.^[7]^[8]

참조

_[1] 서적 An Invitation to Operator Theory American Mathematical Society 2002
_[2] 논문 Perturbation theory for the nullity deficiency and other quantities of linear operators 1958
_[3] 서적 An Invitation to Operator Theory
_[4] 논문 Perturbation theory for the nullity deficiency and other quantities of linear operators 1958
_[5] 논문 On a class of quasi-Fredholm operators http://www.springerl[...] 1999
_[6] 서적 An invitation to operator theory http://www.ams.org/b[...] American Mathematical Society 2002
_[7] 저널 Sur une nouvelle méthode pour la résolution du probléme de Dirichlet http://www.zentralbl[...]
_[8] 저널 Sur une classe d’équations fonctionnelles 1903-12

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