피셔 군 (수학)
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1. 개요
피셔 군은 3-호환 군을 연구하는 과정에서 베른트 피셔가 발견한 유한군이다. 피셔 군은 위수 2 원소의 켤레류에 의해 생성되며, 두 다른 호환의 곱은 위수가 2 또는 3이다. 피셔는 3개의 새로운 군 Fi22, Fi23, Fi24를 발견했는데, 이 중 Fi22와 Fi23은 단순군이고 Fi24는 지표 2의 단순군 Fi24'를 포함한다. 피셔 군은 마티외 군과 유사하게 명명되었으며, Fi₂₂에서 시작하여 Fi₂₃, Fi₂₄ 순서로 확장되는 관계를 갖는다.
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2. 3-호환 군
베른트 피셔는 3-호환 군을 조사하는 과정에서 피셔 군을 발견했다. 피셔는 특정 추가 기술 조건을 충족하는 3-호환 군을 분류했는데, 대부분 여러 무한족( 대칭군, 심플렉틱, 유니터리, 직교군의 특정 부류)에 속했지만, 3개의 매우 큰 새로운 군(Fi22, Fi23, Fi24)도 발견했다. 이 중 처음 두 개는 단순군이고, 세 번째는 지표 2의 단순군 Fi24'를 포함한다.
2. 1. 정의
피셔 군은 다음 성질을 가진 군 ''G''이다.- ''G''는 '피셔 호환' 또는 3-호환이라고 하는 위수 2 원소의 켤레류에 의해 생성된다.
- 두 개의 다른 호환의 곱은 위수가 2 또는 3이다.
3-호환 군의 일반적인 예는 대칭군이며, 여기서 피셔 호환은 두 원소를 바꾸는 치환이다.
2. 2. 예시: 대칭군
3-호환군의 일반적인 예는 대칭군이며, 여기서 피셔 호환은 두 원소를 바꾸는 치환이다. 대칭군 Sn은 (12), (23), ..., (''n'' − 1, ''n'')에 의해 생성된다.3. 피셔 군
베른트 피셔의 이름을 따서 명명된 피셔 군은 3-호환군을 조사하는 과정에서 발견되었다. 피셔 군은 Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄의 세 가지로 분류할 수 있다. Fi₂₂와 Fi₂₃은 단순군이고, Fi₂₄는 지표가 2인 단순군 Fi₂₄'를 포함한다.
피셔 군은 대칭군과 유사하게 3-호환(3-전치)이라고 불리는 위수가 2인 원소의 켤레류에 의해 생성되며, 서로 다른 두 원소의 곱은 위수가 2 또는 3이다.
Fi₂₂는 유니터리 군 PSU₆(2)에서 시작하여 만들어지며, Fi₂₃은 Fi₂₂를, Fi₂₄는 Fi₂₃을 이용하여 만들어진다.
3. 1. 발견
베른트 피셔는 3-호환 군을 연구하면서 피셔 군을 발견했다. 3-호환 군은 다음 성질을 가진 군 ''G''이다.- ''G''는 '피셔 호환' 또는 3-호환이라고 하는 위수 2 원소의 켤레류에 의해 생성된다.
- 두 개의 다른 호환의 곱은 위수가 2 또는 3이다.
3-호환 군의 일반적인 예는 대칭군이며, 여기서 피셔 호환은 두 원소를 바꾸는 치환이다.
피셔는 특정 추가 기술 조건을 충족하는 3-호환 군을 분류할 수 있었다. 그가 발견한 군은 대부분 여러 무한족 (대칭군 및 심플렉틱, 유니터리, 직교군의 특정 클래스)에 속했지만, 3개의 매우 큰 새로운 군(Fi22, Fi23, Fi24)도 발견했다. 이들 중 처음 두 개는 단순군이고, 세 번째는 지표 2의 단순군 Fi24'를 포함한다.
피셔 군의 시작점은 유니터리군 PSU6(2)이며, 이 군은 피셔 군 시리즈의 군 Fi21로 간주될 수 있다.
3. 2. 종류
베른트 피셔가 3-호환군(3-전치군)을 조사하는 과정에서 발견한 세 피셔 군은 Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄로 표기된다. Fi₂₂와 Fi₂₃은 단순군이고, Fi₂₄는 지표가 2인 단순군 Fi₂₄'를 포함한다.피셔 군은 대칭군과 유사하게 3-호환(3-전치)이라고 불리는 위수가 2인 원소의 켤레류에 의해 생성되며, 서로 다른 두 원소의 곱은 위수가 2 또는 3이다.
Fi₂₂는 유니터리 군 PSU₆(2)에서 시작하여 만들어지며, Fi₂₃은 Fi₂₂를, Fi₂₄는 Fi₂₃을 이용하여 만들어진다.
3. 2. 1. Fi₂₂
베른트 피셔가 발견한 피셔 군 중 하나인 Fi₂₂는 3-호환군의 성질을 갖는다. 3-호환군은 위수가 2인 원소의 켤레류에 의해 생성되며, 서로 다른 두 원소의 곱은 위수가 2 또는 3이다.Fi₂₂는 유니터리 군 PSU₆(2)와 관련이 있다. PSU₆(2)는 피셔 군 시리즈의 군 Fi₂₁로 간주될 수 있으며, 이중 덮개 2.PSU₆(2)는 Fi₂₂의 부분군이 된다. 2.PSU₆(2)는 3510개의 꼭짓점을 가진 그래프에서 한 꼭짓점의 안정자이며, 이 꼭짓점은 Fi₂₂에서 켤레 3-호환으로 식별된다.
Fi₂₂에서 서로 교환되는 모든 3-호환의 극대 집합은 크기가 22이며, '기본 집합'이라고 한다. 특정 기본 집합과 교환되지 않는 1024개의 3-호환은 '아나베이직'이라고 하며, 다른 2364개 중 하나인 '헥사딕(hexadic)'은 6개의 기본 집합과 교환된다. 이 6개의 집합은 대칭군이 M₂₂인 S(3,6,22) 슈타이너 시스템을 형성한다. 기본 집합은 위수 210의 아벨군을 생성하며, 이는 Fi₂₂에서 부분군 210:M₂₂로 확장된다.
3. 2. 2. Fi₂₃
피셔 군 Fi₂₃은 2.Fi₂₂를 꼭짓점이 31671(= 34⋅17⋅23)개인 그래프에 대한 일점 안정자로 간주하고, 이 꼭짓점을 Fi₂₃ 군의 3-전치로 취급함으로써 얻어진다. 3-전치는 23개의 기본 집합으로 나타나며, 그 중 7개는 주어진 외부 3-전치와 교환한다.3. 2. 3. Fi₂₄
Fi24는 피셔 군 중 하나로, 베른트 피셔가 3-호환군(3-전치군)을 연구하면서 발견하였다. Fi24는 Fi23을 306936 (= 23 ⋅ 33 ⋅ 72 ⋅ 29) 꼭짓점의 그래프에 대한 1점 안정자로 취급하여 만들어진다. 여기서 3-호환(3-전치)은 24개의 기본 집합으로 나타나며, 그중 8개는 외부 3-호환(3-전치)과 교환한다.Fi24는 단순군이 아니지만, 그 도출된 부분군은 지표가 2인 산발적 단순군이다.
4. 표기법
이 군에 대해 일반적으로 통일된 표기법은 없다. 일부 저자는 Fi 대신 F22와 같이 F를 사용한다. 피셔의 표기법은 M(22), M(23), M(24)'였으며, 이는 세 개의 가장 큰 마티외 군 M22, M23, M24와의 밀접한 관계를 강조한 것이다.
특히 혼란을 야기하는 점은 Fi24가 단순군 Fi24′를 지칭하는 데 사용되기도 하고, 크기가 두 배인 전체 3-전치 군을 지칭하는 데 사용되기도 한다는 것이다.
5. 일반화된 가공할 헛소리
존 호턴 콘웨이와 사이먼 P. 노턴은 1979년 논문에서 가공할 헛소리가 괴물군에만 국한되지 않고 다른 군에서도 유사한 현상이 발견될 수 있다고 제안했다. 이후 라리사 퀸 등은 산재군의 차원의 간단한 조합으로 많은 하우프트모듈른(주요 모듈) 확장을 구성할 수 있음을 발견했다.
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