효용

3. 효용 함수

경제학에서 효용 함수는 소비자가 상품이나 서비스 집합에 대해 가지는 선호도를 나타내는 방법이다. 효용 함수는 각 대안에 실수를 할당하여, 어떤 대안이 다른 대안보다 더 선호되는지를 나타낸다. 예를 들어, 제임스의 효용 함수가 $U\; =\; \backslash sqrt\{xy\}$ (여기서 $x$는 사과의 개수, $y$는 초콜릿의 개수)라고 할 때, 사과 9개와 초콜릿 16개를 가진 대안 A는 효용이 12이고, 사과 13개와 초콜릿 13개를 가진 대안 B는 효용이 13이므로 제임스는 대안 B를 더 선호한다.

제라르 드브뢰는 선호 순서를 효용 함수로 나타내기 위한 조건들을 도출했다.^[1] 대안 집합이 유한한 경우, 선호 순서가 완전하고 전이적이어야 한다. 대안 집합이 유한하지 않은 경우, 소비자의 선호도가 완전하고, 전이적이며, 연속적이어야 한다.^[2]

효용은 무차별곡선의 집합으로 나타낼 수 있으며, 이는 동일한 효용 값을 갖는 상품 조합을 나타낸다.

• '''기수적 효용''': 소비로부터 얻는 효용을 객관적으로 측정하고 숫자로 나타낼 수 있다고 본다.^[5] 기수적 효용 함수는 양의 선형 변환을 통해 동일한 선호도를 나타내는 다른 함수로 변환될 수 있다.^[7]
• '''서수적 효용''': 효용의 순위만을 나타내며, 효용 차이의 크기는 의미가 없다고 본다.^[5] 예를 들어, 오렌지 주스가 차보다, 차가 물보다 선호된다는 것만 알 수 있다.

• CES 함수
• 등탄성 효용 함수
• 지수 효용 함수
• 준선형 효용 함수
• 동질적 선호
• 스톤-기어리 효용 함수
• 고먼 극형태
• 그린우드-허코위츠-허프먼 선호도
• 킹-플로서-레벨로 선호도
• 쌍곡선 절대 위험 회피

4. 선호

경제학에서 효용은 기수적 효용과 서수적 효용으로 나뉜다. 기수적 효용은 효용의 크기를 측정할 수 있다고 보지만, 서수적 효용은 숫자를 선호의 순서를 나타내는 도구로만 본다.^[1]

예를 들어, 오렌지 주스(120), 차(80), 물(40)의 효용을 가정할 때, 기수적 효용에서는 주스와 차의 효용 차이가 차와 물의 효용 차이와 같다고 본다. 그러나 효용의 기준점(0)에 따라 주스가 물보다 세 배 효용을 준다고 말하기는 어렵다.

사람들 간의 효용을 합산할 때 기수적 효용이 유용해 보이지만, 개인 간 효용 비교는 어렵다는 반론이 있다. 서수적 효용에서는 효용 크기 차이는 의미가 없고, 선호 순서만 알 수 있다. 즉, 주스가 차보다, 차가 물보다 좋다는 것만 알 수 있다.

신고전학파는 기수적 효용함수에서 물러섰지만, 선호 관계가 특정 조건을 만족하면 효용함수로 표현 가능하다. 서수적 효용함수는 단조증가변환에 의해, 기수적 효용함수는 단조선형변환에 의해 바뀌지 않는다.

선호는 미시경제학의 기본 개념이지만, 효용함수로 표현하면 인간 행동 분석이 용이하다. 소비집합 ''X''의 각 묶음에 대한 효용 함수 $u:\; X\; \backslash rightarrow\; \backslash textbf\; R$는 ''y''보다 ''x''를 선호하거나 무차별할 때 $u(x)\backslash geq\; u(y)$로 표현된다.

예를 들어, ''X'' = {nothing, 사과 1, 오렌지 1, 사과 1과 오렌지 1, 사과 2, 오렌지 2}이고, ''u''(nothing) = 0, ''u''(사과 1) = 1, ''u''(오렌지 1) = 2, ''u''(사과 1과 오렌지 1) = 4, ''u''(사과 2) = 2, ''u''(오렌지 2) = 3 이라면, 오렌지 1개가 사과 1개보다 좋고, 각각 1개씩 소비하는 것이 오렌지 2개보다 선호된다.

미시경제학에서 L개 재화의 소비집합은 $\backslash textbf\; R^L\_+$이고, $x\; \backslash in\; \backslash textbf\; R^L\_+$는 각 재화 양의 벡터이다. 위 예에서 사과와 오렌지 두 재화의 소비집합은 $X\; =\backslash textbf\; R^2\_+$이고, 효용은 ''u''(0, 0) = 0, ''u''(1, 0) = 1, ''u''(0, 1) = 2, ''u''(1, 1) = 4, ''u''(2, 0) = 2, ''u''(0, 2) = 3이다. ''u''는 ''X''의 모든 원소에 대해 정의되어야 하므로, 효용함수는 $u:\; X\; \backslash rightarrow\; \backslash textbf\{R\}$로 쓸 수 있다. 이는 $x,\; y\; \backslash in\; X$이고 $x\backslash preceq\; y$를 의미하는 $u(x)\backslash leq\; u(y)$에 대해, X에 $u:\; X\; \backslash rightarrow\; \backslash textbf\{R\}$ 선호관계를 가짐을 나타낸다.

어떤 사람이 여러 대안 중 선호 순서를 가질 때, 효용 함수는 각 대안에 실수를 할당하여 순서를 나타낸다. 대안 a가 b보다 큰 수를 할당받으면 a를 b보다 선호한다. 효용 함수를 최대화하는 대안을 선택하는 것은 가장 선호하는 대안을 선택하는 것과 같다.

제임스의 효용 함수가 $U\; =\; \backslash sqrt\{xy\}$(x: 사과, y: 초콜릿)일 때, 대안 A(x=9, y=16)와 B(x=13, y=13)를 비교하면, A는 12, B는 13이므로 제임스는 B를 선호한다.

제라르 드브뢰는 선호 순서를 효용 함수로 나타내는 조건을 도출했다.^[2] 유한 집합에서는 선호 순서의 완전성과 전이성이 필요하다. 무한 집합에서는 선호도가 완전, 전이적, 연속적이어야 연속적인 효용 함수가 존재한다.^[3]

선호에는 다음과 같은 주요 속성이 있다.

• '''완전성''': 두 선택지 A, B에 대해 A를 선호, B를 선호, A와 B에 무관심 중 하나만 성립한다.
• '''이행성''': A를 B보다, B를 C보다 선호하면 A를 C보다 선호한다.
• '''비포화성'''(단조성): A가 B의 모든 상품을 포함하고 하나 이상 더 포함하면 A를 B보다 선호한다.^[4]

5. 한계 효용

경제학자들은 총효용과 한계효용을 구분한다. 총효용은 대안, 즉 전체 소비재 묶음이나 삶의 상황의 효용이다. 소비되는 재화의 양 변화에 따른 효용의 변화율을 그 재화의 한계효용이라고 한다. 따라서 한계효용은 한 재화의 변화에 대한 효용 함수의 기울기를 측정한다.^[9] 한계효용은 일반적으로 재화의 소비량이 증가함에 따라 감소하는데, 이를 "한계효용체감"이라고 한다. 미적분 기호로, 재화 X의 한계효용은 $MU\_x=\backslash frac\{\backslash partial\; U\}\{\backslash partial\; X\}$이다. 재화의 한계효용이 양수이면 그 재화의 추가 소비는 효용을 증가시킨다. 만약 0이라면 소비자는 만족하여 더 이상 소비하는 것에 무관심하며, 만약 음수라면 소비자는 소비를 줄이기 위해 비용을 지불할 것이다.^[10]

합리적인 개인은 추가적인 재화의 소비가 한계효용을 증가시킬 때에만 소비한다. 그러나 감소하는 한계효용의 법칙은 소비되는 추가적인 단위가 이전에 소비된 단위보다 낮은 한계효용을 가져온다는 것을 의미한다. 예를 들어, 물 한 병을 마시면 목마른 사람은 만족감을 느낀다. 그러나 물 소비가 증가함에 따라 불쾌감을 느낄 수 있으며, 이로 인해 한계효용이 0으로 감소하거나 심지어 음수가 될 수 있다. 더 나아가 이 법칙은 누진세를 분석하는 데에도 사용되는데, 더 큰 세금은 효용의 손실을 초래할 수 있기 때문이다.

한계대체율(MRS, Marginal Rate of Substitution)은 무차별곡선의 기울기로, 개인이 한 재화를 다른 재화로 얼마나 기꺼이 대체하려 하는지를 측정하는 값이다. 수식으로 표현하면, ''U''(''x''₁,''x''₂)를 일정하게 유지하면서 $MRS=-\backslash operatorname\{d\}\backslash !x\_2/\backslash operatorname\{d\}\backslash !x\_1$이다. 따라서 한계대체율은 개인이 ''x''₁을 더 많이 소비하기 위해 기꺼이 지불하려는 정도를 나타낸다.

한계대체율은 한계효용과 관련이 있다. 한계효용과 한계대체율의 관계는 다음과 같다.^[9]

: $MRS=\backslash frac\{MU\_1\}\{MU\_2\}$

6. 기대 효용

기대효용이론은 결과에 위험성이 있는 선택을 분석하는 이론이다. 다니엘 베르누이는 피터스버그 패러독스를 풀면서 의사결정이 위험회피를 보이거나 로그적 서수 효용함수의 모양을 띌 때, 패러독스가 해결될 수 있다고 말했다.^[22]

존 폰 노이만과 오스카 모르겐슈테른은 게임이론을 설명함에 있어 기대효용이론의 극대화 가정을 이용했다.^[20] 그들은 선택의 결과가 확실하지 않고 확률이 관련되어 있는 상황을 다루었다.

폰 노이만과 모르겐슈테른은 여러가지 선택지가 있는 추첨의 경우 다음과 같이 표기하였다.

:$$

L = \sum_i p_i A_i,



여기서 $\backslash sum\_i\; p\_i\; =1$이다.

선택 방식에 대한 몇 가지 합리적인 가정을 함으로써, 폰 노이만과 모르겐슈테른은 만약 어떤 작용자가 추첨들 사이에서 선택할 수 있다면, 이 작용자는 임의의 추첨의 바람직함을 그 구성 요소들의 유틸리티의 선형 결합으로 계산할 수 있는 유틸리티 함수를 가지고 있음을 보였다. 여기서 가중치는 발생 확률이다.

이것을 ''기대 유틸리티 정리''라고 한다. 필요한 가정은 '단순 추첨'(두 가지 선택지만 있는 추첨)에 대한 작용자의 선호 관계의 속성에 대한 네 가지 공리는 다음과 같다.

# 완전성: 임의의 두 단순 추첨 $L$과 $M$에 대해, $L\backslash preceq\; M$ 또는 $M\backslash preceq\; L$이다. (둘 다 가능한 경우 둘은 동등하게 바람직하다고 간주한다.)

# 추이성: 임의의 세 추첨 $L,M,N$에 대해, $L\backslash preceq\; M$이고 $M\backslash preceq\; N$이면, $L\backslash preceq\; N$이다.

# 볼록성/연속성 (아르키메데스 성질): $L\; \backslash preceq\; M\backslash preceq\; N$이면, 0과 1 사이의 $p$가 존재하여 추첨 $pL\; +\; (1-p)N$는 $M$과 동등하게 바람직하다.

# 독립성: 임의의 세 추첨 $L,M,N$과 임의의 확률 ''p''에 대해, $L\; \backslash preceq\; M$인 것은 $pL+(1-p)N\; \backslash preceq\; pM+(1-p)N$인 것과 동치이다. 직관적으로, $L$과 $N$의 확률적 결합으로 형성된 추첨이 $M$과 $N$의 동일한 확률적 결합으로 형성된 추첨보다 선호도가 높지 않다면, $L\; \backslash preceq\; M$이다.

폰 노이만-모르겐슈테른 유틸리티 함수는 선택에서 실수로의 함수이다.

:$u\backslash colon\; X\backslash to\; \backslash R$

위에서 언급한 네 가지 가정에 따라, 작용자는 추첨 $L\_2$를 추첨 $L\_1$보다 선호할 것이며, 그 작용자를 특징짓는 유틸리티 함수에 대해 $L\_2$의 기대 유틸리티가 $L\_1$의 기대 유틸리티보다 크다면 그렇다.

:$L\_1\backslash preceq\; L\_2\; \backslash text\{\; iff\; \}\; u(L\_1)\backslash leq\; u(L\_2)$.

모든 공리 중에서 독립성이 가장 자주 버려지는 공리이다. 다양한 일반화된 기대 유틸리티 이론이 등장했는데, 대부분은 독립성 공리를 삭제하거나 완화한다.

7. 간접 효용

간접 효용 함수는 재화의 가격과 개인이 소유한 소득 또는 부의 수준에 따라 달라지는 주어진 효용 함수의 최적 달성 가능 값을 제공한다.^[11]

간접 효용 개념의 한 가지 용도는 화폐의 효용 개념이다. 화폐에 대한 (간접) 효용 함수는 유계이며 원점에 대해 비대칭적인 비선형 함수이다. 효용 함수는 양의 영역에서 오목하며, 한계 효용 감소 현상을 나타낸다. 유계성은 특정 금액을 넘어서면 화폐가 전혀 유용하지 않게 된다는 사실을 나타내는데, 이는 당시 경제 규모 자체가 유계이기 때문이다. 원점에 대한 비대칭성은 돈을 얻는 것과 잃는 것이 개인과 기업 모두에게 근본적으로 다른 의미를 가질 수 있다는 사실을 나타낸다. 화폐에 대한 효용 함수의 비선형성은 의사 결정 과정에 중대한 영향을 미친다. 선택의 결과가 돈의 이익 또는 손실로 효용에 영향을 미치는 상황(대부분의 사업 환경에서 일반적인 상황)에서는 주어진 결정에 대한 최적의 선택이 동일한 기간 내의 다른 모든 결정의 가능한 결과에 따라 달라진다.^[11]

8. 예산 제약

개인의 소비는 예산 제약을 받는다. 예산선의 그래프는 X축과 Y축 사이의 직선이며 아래로 향하는 기울기를 갖는다. 예산선 아래에 있는 모든 소비재들의 조합은 총예산이 총비용보다 크기 때문에 개인이 예산을 전부 사용하지 않고도 소비할 수 있게 해준다

• 구매력: 재화의 가격이 하락하면 개인의 구매력이 커진다. 가격 하락으로 인해 개인은 저축을 늘릴 수 있으므로 다른 상품을 구매할 여력이 생긴다.
• 대체 효과: A 재화의 가격이 하락하면 A 재화는 대체재에 비해 상대적으로 저렴해진다. 따라서 효용이 증가하므로 개인은 A 재화를 더 많이 소비하게 된다.

9. 비판 및 논의

케임브리지 대학교의 경제학자 조앤 로빈슨은 효용이 순환적인 개념이라고 비판했다. "효용은 개인이 상품을 사고 싶어하게 만드는 상품의 속성이며, 개인이 상품을 사고 싶어 한다는 사실은 그들이 효용을 가지고 있음을 보여준다."^[1] 로빈슨은 또한 이 이론이 선호도가 고정되어 있다고 가정하기 때문에 검증 가능한 가정이 아니라고 주장했다. 가격 변화나 예산 제약의 변화와 관련하여 사람들의 행동 변화를 관찰할 때, 행동 변화가 가격 또는 예산 제약의 변화 때문인지, 선호도 변화 때문인지 확신할 수 없기 때문이다. 이러한 비판은 철학자 한스 알베르트의 비판과 유사하다. 그는 수요의 한계 효용론 이론이 기반을 두고 있는 '모든 것이 동일하다면'(ceteris paribus) 조건이 이론 자체를 실험적으로 검증할 수 없는 무의미한 동어 반복으로 만든다고 주장했다. 본질적으로 수요와 공급 곡선(주어진 가격에 대해 제공되거나 요구되었을 상품의 양에 대한 이론적 선)은 순전히 존재론적이며, 경험적으로 증명될 수 없다.

효용 함수에 어떤 주장을 포함해야 하는지에 대한 다른 질문들은 답하기 어렵지만, 효용을 이해하는 데 필요해 보인다. 사람들이 욕구, 신념 또는 의무감의 일관성으로부터 효용을 얻는지 여부는 효용 도구론에서 그들의 행동을 이해하는 데 중요하다.^[1] 마찬가지로, 대안을 선택하는 것 자체가 불확실성 속에서 무엇을 대안으로 고려할지 결정하는 과정이다.

진화 심리학 이론은 효용을 조상 환경에서 진화적 (생물학적) 적합도를 극대화했지만 현재 환경에서는 반드시 그렇지 않은 선호도 때문으로 생각하는 것이 더 나을 수 있다고 주장한다.

10. 후생주의와 효용

윤리학이나 정치철학에서 개인의 효용 정보를 바탕으로 사회 전체의 바람직함을 평가하는 입장을 '''후생주의'''라고 한다. 다음은 후생주의에 기반한 규범적 기준의 예이다.

• 파레토 효율성: 어떤 집단에서 적어도 한 사람의 효용을 개선할 수 있고, 누구의 효용도 악화시키지 않는 자원 배분의 개선을 파레토 개선이라고 하며, 더 이상 파레토 개선의 여지가 없는 상태를 파레토 최적이라고 한다.
• 막시민 원리: 가장 불우한 사람의 효용을 가능한 한 높여야 한다는 기준이다. 효용의 서수성과 모순되지 않도록 선호에 기반한 PS 복지 지표가 사용된다. 미국의 정치철학자 존 롤스가 제창하고, 아마르티아 센 등 수리경제학자들에 의해 체계화되었다.
• 무선망성: 자원 배분에서 어떤 개인도 자신의 분배분을 다른 사람의 분배분보다 나쁘다고 자신의 선호에 따라 평가하지 않을 때, 이를 “소비에 관한 선호 순서에 기반한 무선망 배분”이라고 한다.

11. 노동가치설과 효용가치설

고전파 경제학 및 마르크스 경제학은 재화의 가격이 공급(기업) 측면의 노동 투입량에 의해서만 결정된다는 노동가치설(객관가치설)을 채택했다. 이에 대해, 한계혁명을 거쳐 탄생한 신고전파 경제학은 재화의 수요(가계) 측면의 한계효용과 공급 측면(기업)의 한계비용의 상호 관계에 의해 상품의 가격이 결정된다는 접근 방식을 취했다. 특히 칼 멩거를 시조로 하는 오스트리아 학파의 주장은 노동가치설과 대비적으로 효용가치설(주관가치설)이라고도 불린다.^[27][28]

12. 다른 개념과의 관계

경제학에서 효용은 기수적 효용과 서수적 효용으로 나뉜다. 기수적 효용은 효용의 크기를 측정할 수 있다고 보지만, 서수적 효용은 숫자를 단지 선호의 강도 차이를 나타내는 순서 구분 장치로만 본다.

두 종류의 효용 모두 선택지 간의 순서를 구분할 수 있게 한다. 예를 들어, 오렌지 주스 한 잔이 120, 차 한 잔이 80, 물 한 잔이 40만큼의 효용을 준다고 가정할 때, 기수적 효용으로는 오렌지 주스 한 잔과 차 한 잔의 효용 차이가 차 한 잔과 물 한 잔의 효용 차이와 같다고 말할 수 있다. 그러나 효용이 0인 지점을 어떻게 설정하느냐에 따라 달라지기 때문에 주스 한 잔이 물보다 세 배만큼의 효용을 준다고 말할 수는 없다.

여러 사람들의 효용을 합할 때 기수적 효용이 유용해 보이지만, 사람들 개개인이 각 소비 조합에서 얻는 가치의 크기를 측정하여 비교할 수 있는 방법이 없기 때문에 효용의 사람 간 비교는 의미가 없다는 반론이 있다.

서수적 효용에서는 효용의 크기 차이는 의미가 없다고 본다. 효용은 단지 선택지 간의 차이를 보여줄 뿐, '선호의 강도'는 알 수 없다는 것이다. 위의 예시에서 주스가 차보다, 차가 물보다 더 좋다는 것만 알 수 있다.

신고전학파는 경제 분석에 사용하던 기수적 효용 함수에서 한 발 물러섰지만, 선호 관계는 몇 가지 조건을 만족하면 효용 함수로 표현할 수 있다.

서수적 효용함수는 단조증가변환에 의해 바뀌지 않고, 기수적 효용함수는 단조선형변환에 의해 바뀌지 않는다.

선호는 미시경제학의 전통적인 개념이지만, 선호를 효용함수로 표현하여 인간 행동을 간접적으로 분석하는 것이 편리할 때가 있다. 소비 집합 ''X''를 소비자들이 소비 가능하며 상호 배제적인 묶음이라고 할 때, 각 묶음에 해당하는 소비 집합을 소비자의 '''효용 함수'''로 나타낼 수 있다.

12. 1. 편익

참조

_[1] 논문 Representation of a preference ordering by a numerical function Wiley
_[2] 서적 Advanced Microeconomic Theory Prentice Hall, Financial Times
_[3] 웹사이트 nonsatiation https://www.oxfordre[...] 2024-07-18
_[4] 서적 Principles of Economics. An introductory volume Macmillan
_[5] 서적 Principles Of Microeconomics Oxford Higher Education/Oxford University Press
_[6] 논문 The role of diminishing marginal utility in the ordinal and cardinal utility theories https://onlinelibrar[...] 2019
_[7] 논문 How Cardinal Utility Entered Economic Analysis, 1909-1944 2013
_[8] 서적 Theory of Financial Decision Making https://archive.org/[...] Rowman and Littlefield
_[9] 논문 Marginal Utility & its Diminishing Methods https://journals.sea[...] 2019
_[10] 웹사이트 Marginal Utility https://www.investop[...] 2021-04-25
_[11] 서적 Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis Springer-Verlag
_[12] 서적 Economic Philosophy Penguin Books
_[13] 웹사이트 Joan Robinson's Critique of Marginal Utility Theory https://fixingtheeco[...] 2014-02-17
_[14] 웹사이트 utility Hans Albert Expands Robinson's Critique of Marginal Utility Theory to the Law of Demand https://fixingtheeco[...] 2014-02-27
_[15] 논문 Professor http://econjwatch.or[...] 2014-05-01
_[16] 서적 Towards a Better Life University of California Press 1932
_[17] 서적 Applied Evolutionary Psychology Oxford University Press 2011
_[18] 웹사이트 An empirical assessment of the form of utility functions https://psycnet.apa.[...] 2023-10-31
_[19] 백과사전 2018-05-13
_[20] 웹사이트 Von Neumann-Morganstern Expected Utility Theory http://www.econport.[...] Experimental Economics Center 2018-05-13
_[21] 웹사이트 Correspondence of Nicolas Bernoulli concerning the St. Petersburg Game http://cerebro.xu.ed[...] 2013-01-01
_[22] 웹사이트 The St. Petersburg Paradox https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2013-06-17
_[23] 논문 Expected Utility Theory without Utility
_[24] 논문 Decision Analysis with Targets instead of Utilities
_[25] 논문 Multiattribute preference analysis with Performance Targets
_[26] 논문 A Decision-Analytic Approach to Reliability-Based Design Optimization
_[27] 백과사전 2018-05-13
_[28] 백과사전 2018-05-13
_[29] 웹사이트 環境経済論/環境経済学Ⅱ 第2部 第3章 分析道具：便益と費用 https://www.ritsumei[...] 立命館大学 2022-01-26
_[30] 서적 Principles of Economics. An introductory Volume Macmillan