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가네아 추측

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목차

1. 개요

가네아 추측은 위상 공간 X와 자연수 n에 대해 cat(X × S^n) = cat(X) + 1이 성립한다는 추측이다. 1971년 투도르 가네아가 제기했지만, 1998년 이와세 노리오에 의해 반례가 발견되어 거짓으로 밝혀졌다. 2002년에는 X가 닫힌 매끄러운 다양체일 경우에도 반례가 존재함이 확인되었다. 현재 어떤 공간 X에 대해 등식이 성립하는지는 알려져 있지 않다.

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가네아 추측

2. 역사

위상 공간 X의 류스테르니크-시니렐만 범주 \operatorname{cat}(X)는 특정 성질을 가지며, 이로부터 \operatorname{cat}(X \times S^n) \le \operatorname{cat}(X) + 1 (여기서 S^n은 n차원 구)이라는 부등식이 성립한다.

1971년 루마니아의 수학자 Tudor Ganea|투도르 가네아영어는 이 부등식에서 항상 등호가 성립할 것이라는 추측을 제기했다.[1] 이를 가네아 추측이라 부른다. 이 추측은 오랫동안 미해결 문제로 남아 있었으나, 1998년 일본의 수학자 이와세 노리오가 처음으로 반례를 발견하여 거짓임이 증명되었다.[2] 이와세는 2002년에 X가 닫힌 매끄러운 다양체인 경우에 대한 반례도 제시하였다.[3]

가네아 추측에서 등식이 정확히 어떤 공간 X에 대해 성립하는지는 아직 완전히 밝혀지지 않은 문제이다.

2. 1. 가네아 추측

위상 공간 X의 류스테르니크-시니렐만 범주 \operatorname{cat}(X)에는 다음과 같은 성질이 있다.

  • \operatorname{cat}(X \times Y) \le \operatorname{cat}(X) +\operatorname{cat}(Y)
  • \operatorname{cat}(S^n)=1 (단, S^n는 n차원 구)


이 성질들로부터 \operatorname{cat}(X \times S^n) \le \operatorname{cat}(X) + 1이라는 부등식이 성립함을 알 수 있다.

1971년 Tudor Ganea|투도르 가네아영어는 이 부등식에서 등호가 성립할 것이라고 추측했다.[1] 이를 가네아 추측이라고 하며, 그 내용은 다음과 같다.

:'''가네아 추측''' (반증됨)

:임의의 위상 공간 X와 자연수 n>0에 대해 다음 등식이 성립한다:

: \operatorname{cat}(X \times S^n)=\operatorname{cat}(X) +1

그러나 이 추측은 참이 아닌 것으로 밝혀졌다. 1998년 이와세 노리오가 가네아 추측에 대한 반례를 처음으로 발견했으며,[2] 2002년에는 X가 닫힌 매끄러운 다양체일 경우에도 반례가 존재함을 보였다.[3]

정확히 어떤 공간 X에 대해서 가네아 추측의 등식이 성립하는지는 아직 완전히 밝혀지지 않은 문제이다.

2. 2. 가네아 추측의 반증

1998년 이와세 노리오가 가네아 추측에 대한 반례를 발견하였다.[2] 이후 2002년에는 X가 닫힌 매끄러운 다양체일 경우에도 반례가 존재함을 보였다.[3]

정확히 어떤 위상 공간 X에 대해서 등식이 성립하는지는 아직 밝혀져 있지 않다.

참조

[1] 간행물 Symposium on Algebraic Topology (Battelle Seattle Res. Center, Seattle Wash., 1971) Springer
[2] 논문 Ganea’s conjecture on Lusternik–Schnirelmann category
[3] 논문 A∞-method in Lusternik–Schnirelmann category https://archive.org/[...]


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