구 (기하학)

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1. 개요
2. 구의 방정식
- 2.1. 매개변수 방정식
3. 구의 부피
4. 구의 표면적
5. 부피비
6. 일반화
7. 기하학적 성질
- 7.1. 구면 기하학
- 7.2. 구 위의 곡선
8. 역사
참조

1. 개요

구는 3차원 공간에서 한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 집합으로 정의되는 기하학적 도형이다. 중심이 (x₀, y₀, z₀)이고 반지름이 r인 구는 (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = r²의 방정식을 만족하며, 이차 곡면의 일종이다. 구는 매개변수 방정식으로 표현될 수 있으며, 삼각 함수를 사용하여 x = x₀ + r sin θ cos φ, y = y₀ + r sin θ sin φ, z = z₀ + r cos θ로 나타낼 수 있다. 구의 부피는 V = (4/3)πr³이며, 표면적은 A = 4πr²이다. 구는 n차원 초구로 일반화될 수 있으며, 구면 기하학에서 대원은 '선'의 역할을 한다. 구는 고대 그리스인들에 의해 연구되었으며, 아르키메데스는 구의 부피와 겉넓이 공식을 최초로 유도했다.

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구 (기하학)
정의
설명	중심으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 집합
관련 개념	구 (수학) (3차원 기하학에서의 구)
특징
대칭성	O(3)
면적 및 부피
부피	πr³}}
수학적 표현
방정식	(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r² (여기서 (a, b, c)는 중심 좌표, r은 반지름)
매개변수 방정식	x = a + r sin φ cos θ, y = b + r sin φ sin θ, z = c + r cos φ (여기서 θ ∈ [0, 2π], φ ∈ [0, π])
어원
유래	σφαῖρα(sphaira) 에서 유래
관련 용어

2. 구의 방정식

해석 기하학에서, 중심이 (''x''₀, ''y''₀, ''z''₀)이고 반지름이 ''r''인 구는 다음 방정식을 만족하는 모든 점 (''x'', ''y'', ''z'')의 자취이다.^[19]

:(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = r²

이 방정식은 이차 다항식으로 표현될 수 있으며, 구는 대수 곡면인 이차 곡면의 일종이다.^[19]

''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e''를 ''a'' ≠ 0인 실수라고 하고, 다음과 같이 정의한다.

:x₀ = -b/a, y₀ = -c/a, z₀ = -d/a, ρ = (b² + c² + d² - ae) / a²

그러면 방정식

:f(x, y, z) = a(x² + y² + z²) + 2(bx + cy + dz) + e = 0

은 다음과 같은 세 가지 경우로 나뉜다.^[2]

ρ < 0 이면 실수 해가 존재하지 않으며, 이 방정식을 '''허구'''의 구의 방정식이라고 한다.
ρ = 0 이면, f(x, y, z) = 0의 유일한 해는 점 P₀ = (x₀, y₀, z₀)이며, 이 방정식은 '''점 구'''의 방정식이라고 한다.
ρ > 0 이면, f(x, y, z) = 0은 중심이 P₀이고 반지름이 √ρ인 구의 방정식이다.

위 방정식에서 ''a''가 0이면 f(x, y, z) = 0은 평면의 방정식이 된다. 따라서 평면은 중심이 무한점인 무한 반지름의 구로 생각할 수 있다.^[3]

2. 1. 매개변수 방정식

반지름이 r > 0이고 중심이 (x₀, y₀, z₀)인 구는 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 매개 변수 방정식으로 나타낼 수 있다.^[4]

:x = x₀ + r sin θ cosφ

:y = y₀ + r sin θ sinφ

:z = z₀ + r cos θ

여기서 사용된 기호는 구면 좌표계에서 사용되는 기호와 동일하다. r은 상수이고, θ는 0에서 π까지, φ는 0에서 2π까지 변한다.

3. 구의 부피

반지름이 r인 구의 부피 V는 $\frac{4}{3}\pi r^3$이다. 아르키메데스는 이 공식을 처음으로 유도했는데, 구의 부피가 구에 외접하는 원기둥 부피의 $\frac{2}{3}$라는 것을 보였다.^[5] 이는 반구 안에 원뿔을 거꾸로 새겨 넣고, 원뿔과 반구의 단면적 합이 외접하는 원기둥의 단면적과 같다는 것을 확인하고, 카발리에리의 원리를 적용하여 증명할 수 있다.^[6]

이 공식은 적분법을 사용하여 유도할 수도 있다. 구의 반지름 $r$이 원점에 중심을 두고 있다고 가정하고, $x = -r$에서 $x = r$까지 $x$축을 따라 쌓인 무한히 작은 두께의 원 디스크의 부피를 합산하여 계산한다.

또한, 구면 좌표계를 사용하여 부피 요소를

:

dV=r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi

로 나타내어 적분하면

:

V=\int_0^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta\, d\varphi= 2\pi \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta= 4\pi \int_0^r r'^2\, dr'\ =\frac43\pi r^3.

를 얻는다.

실용적인 목적으로, 정육면체에 내접된 구의 부피는 정육면체 부피의 약 52.4%로 근사할 수 있다. 예를 들어, 지름이 1m인 구는 변의 길이가 1m인 정육면체 부피의 52.4%, 즉 약 0.524 m³이다.

3. 1. 단면적의 적분을 이용한 증명

원의 방정식^한국어

x^2 + y^2 = r^2, (y \geq 0)

을 이용하면 구의 부피를 구할 수 있다. 여기서 y 값을 0보다 크게 한정하면, 함수

y = \sqrt{r^2 - x^2}

를 만들 수 있다.

반구의 부피 V는 반구의 단면적을 적분한 값으로, 다음과 같이 표현된다.^[5]

:

V = \int_{0}^{r} A(x) dx

단면적 함수 A(x)는 함수

y = \sqrt{r^2 - x^2}

의 함숫값을 반지름으로 하여 제곱하고

\pi

를 곱한 값이므로,

:

A(x) = \pi (r^2 - x^2)

이다.

따라서,

:

V = \int_{0}^{r} A(x) dx = \int_{0}^{r} \pi (r^2 - x^2) dx

:

= [ \pi r^2 x ]_{0}^{r} - [ \pi \frac{1}{3}\ x^3 ]_{0}^{r} = \pi r^3 - \frac{1}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3

이다.

구의 부피는 반구 부피의 2배이므로(

2V

), 반지름이

r

인 구의 부피는

\frac{4}{3}\pi r^3

이다.

아르키메데스는 구의 내부 부피가 구와 그 외접 원기둥 (높이와 지름이 구의 지름과 같음) 사이 부피의 두 배라는 것을 보여주어 이 공식을 처음으로 유도했다.^[5]

3. 2. 원통셸 방법을 이용한 증명

y축에 대해 원을 회전시켜 구의 부피를 계산할 수 있다. 1사분면 위의 원

y = \sqrt{r^2 - x^2} (x \geq 0)

을 y축에 대해 회전하여 생긴 회전체인 반구의 부피 V는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

V = \int_{0}^{r} 2\pi x \sqrt{r^2 - x^2} dx

:

= -\frac{2}{3}\pi[ (r^2 - x^2)^\frac{3}{2} ]_{0}^{r} = -\frac{2}{3}\pi(0 - r^3) = \frac{2}{3}\pi r^3

따라서 구의 부피는 반구의 부피의 두 배이므로

2V = \frac{4}{3}\pi r^3

이다.

3. 3. 질량 중심 및 파푸스-굴딘 정리를 이용한 증명

πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς|파포스^grc는 회전체에 관한 정리를 통해 구의 부피를 구할 수 있다고 하였다.

원의 방정식

x^2 + y^2 = r^2 (y \geq 0)

에서, y는

y = \sqrt{r^2 - x^2}

와 같다. 이때 이 그래프를 x축에 대해 회전했을 때의 회전체인 구의 부피를 구하면, 먼저, 질량 중심 좌표

(\bar{x}, \bar{y})

를 구한다. 함수

f(x)

는 y축을 기준으로 좌우대칭이기 때문에,

\bar{x}

의 좌표는 0이다.

\bar{y} = \frac{\frac{1}{2}(\int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx)}{\frac{1}{2}\pi r^2} = \frac{(\int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx)}{\pi r^2} = \frac{\frac{4r^3}{3}}{\pi r^2} = \frac{4r}{3\pi}

이므로, 질량 중심 좌표

(\bar{x}, \bar{y}) = (0, \frac{4r}{3\pi})

이다.

파푸스-굴딘 정리에 의하여 x축에 대해 한바퀴 회전할 때 회전체의 부피 V는

V = 2\pi\bar{y}\mathrm{A}

(A는 영역의 넓이) 이므로,

V = 2\pi\cdot\frac{4r}{3\pi}\cdot\frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{4}{3}\pi r^3

이다.

따라서 구의 부피는

\frac{4}{3}\pi r^3

이다.

4. 구의 표면적

반지름이 r인 구의 겉넓이(표면적) A는 다음과 같다.

: $A = 4\pi r^2.$

아르키메데스는 처음으로 외접하는 원기둥의 옆면으로의 투영이 면적을 보존한다는 사실로부터 이 공식을 유도했다.^[7]

이 공식을 얻는 또 다른 방법은, 반지름 0에서 반지름 r까지 동심적으로 쌓인 무한히 얇은 구 껍질의 겉넓이의 합으로 생각할 수 있기 때문에, 부피 공식에 대한 r에 대한 미분과 같다는 사실로부터 얻을 수 있다. 무한히 얇은 두께에서 임의의 껍질의 안쪽과 바깥쪽 겉넓이의 불일치는 무한히 작으며, 반지름 r에서의 미소 부피는 단순히 반지름 r에서의 겉넓이와 미소 두께의 곱이다.

또는, 구의 면적 요소는 구면 좌표계에서 $dA = r^2 \sin \theta d\theta d\varphi$ 로 주어지므로, 적분을 통해 총 면적을 얻을 수도 있다.

: $A = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\varphi = 4\pi r^2.$

구는 주어진 부피를 둘러싸는 모든 표면 중에서 가장 작은 겉넓이를 가지며, 주어진 겉넓이를 가진 모든 닫힌 표면 중에서 가장 큰 부피를 둘러싼다.^[10] 따라서 구는 자연에서 나타난다. 예를 들어, 거품과 작은 물방울은 표면 장력이 국부적으로 겉넓이를 최소화하기 때문에 대략 구형이다.

구의 질량에 대한 겉넓이는 비표면적이라고 하며, 위에 언급된 방정식으로부터 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\mathrm{SSA} = \frac{A}{V\rho} = \frac{3}{r\rho}$

여기서 $\rho$ 는 밀도 (질량 대 부피의 비율)이다.

5. 부피비

밑면의 반지름이 r이고 높이가 2r인 원뿔, 구, 원기둥의 부피 비는 1 : 2 : 3이다. 밑면의 반지름이 r인 구의 부피는 formula|수식^영어 \frac{4}{3}\pi r^3이다. 밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 formula|수식^영어 \frac{1}{3}\pi r^2 h, formula|수식^영어 \pi r^2 h이다. 여기서 h=2r이면 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 formula|수식^영어 \frac{2}{3}\pi r^3, formula|수식^영어 2 \pi r^3이 된다. 따라서 한 변의 길이가 2r인 정육면체에 내접하는 원뿔, 구, 원기둥의 부피 비는 formula|수식^영어 \frac{2}{3}\pi r^3 : \frac{4}{3}\pi r^3 : 2\pi r^3 = 1 : 2 : 3이 된다.

6. 일반화

구는 n차원의 초구로 일반화될 수 있다. 3차원에서의 구는 2차원에서는 원, 1차원에서는 중점을 기준으로 같은 거리만큼 떨어져 있는 두 점으로 대응된다.

수학적으로 이러한 일반적인 구는 $S^n$ 으로 표시하고, $(n+1)$ 차원 유클리드 공간에서 중심점과의 거리가 같은 점들의 집합으로 정의한다. 이 정의에 따라 $S^1$ 은 원, $S^2$ 는 구가 된다.

일반적으로, ''n''-구는 ( $n+1$ )-차원 유클리드 공간에서 중심점으로부터 고정된 거리 $r$ 에 있는 점들의 집합으로 정의된다. 여기서 $r$ 은 양의 실수이다. 구체적인 예시는 다음과 같다.

$S^0$ : 0-구는 두 개의 이산점, $-r$ 과 $r$ 로 구성된다.
$S^1$ : 1-구는 반지름 $r$ 인 원이다.
$S^2$ : 2-구는 일반적인 구이다.
$S^3$ : 3-구는 4차원 유클리드 공간에서의 구이다.

n>2

인 구는 초구라고 불린다.

7. 기하학적 성질

구는 동일 평면 위에 있지 않은 네 점에 의해 유일하게 결정된다.^[12] 이는 평면에서 공선하지 않은 세 점이 고유한 원을 결정하는 것과 유사한 성질을 가진다.

해석 기하학에서 $(x_0, y_0, z_0)$ 를 중심으로 하고 반지름이 $r$ 인 구면은 다음 방정식을 만족하는 점 $(x, y, z)$ 전체의 궤적이다.

: $(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2$

구면 위의 점은 다음과 같이 매개변수로 나타낼 수 있다.^[12]

: $\begin{cases}x = x_0 + r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y = y_0 + r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z = z_0 + r\cos(\varphi)\end{cases}\qquad (0 \leq \varphi \leq \pi,\; 0 \leq \theta < 2\pi )$

right

구는 원을 임의의 지름을 축으로 회전시킨 회전 곡면으로 구성할 수도 있다. 원은 특별한 종류의 타원이므로, 구면은 특별한 종류의 회전 타원면이다. 원을 회전시키는 대신 타원을 그 장축을 축으로 회전시키면 장구, 단축을 축으로 하면 편구가 된다.^[11]

두 구면의 교선은 원이 되며, 이 교원을 포함하는 평면은 교차하는 구면의 '''근면'''이라고 한다.^[13]

7. 1. 구면 기하학

유클리드 평면 기하학의 기본 요소는 점과 선이다. 구면에서 점은 일반적인 의미로 정의된다. "선"에 해당하는 것은 측지선이며, 이 경우 구체적으로는 대원이다. 대원을 정의하는 특징은 그 위에 있는 모든 점을 포함하는 평면이 구의 중심을 통과한다는 것이다. 호의 길이로 거리를 측정하면, 구면 위의 임의의 두 점을 잇는 최단 경로는 그 점들을 포함하는 대원이 그 점에서 잘린 원호 중 짧은 쪽으로 주어진다는 것을 증명할 수 있다.

고전 기하학의 많은 정리는 구면 기하학에서도 참이지만, 구면에서는 고전 기하학의 공준이 모두 만족되는 것은 아니므로 (평행선 공준 등은 성립하지 않음) 참이 아닌 정리도 존재한다. 구면 삼각법에서 각은 대원 사이에서 정의된다. 구면 삼각법은 일반적인 삼각법과는 여러 면에서 다르다. 예를 들어, 구면 삼각형의 내각의 합은 항상 180도보다 크다. 또는 임의의 서로 닮음인 두 구면 삼각형은 합동이다.

7. 2. 구 위의 곡선

구 위의 원은 평면 위의 원과 마찬가지로 구 위의 고정된 점으로부터 특정 거리에 있는 모든 점으로 구성된다. 구와 평면의 교차는 원, 점 또는 공집합이다.^[17] 대원은 구의 중심을 지나는 평면과 구의 교차 부분이며, 다른 원은 소원이라고 한다.

더 복잡한 표면도 구와 원으로 교차할 수 있다. 구의 중심을 포함하는 축을 가진 회전면과 구의 교차 (''동축'')는 공집합이 아니라면 원 및/또는 점으로 구성된다. 예를 들어, 오른쪽 그림은 두 개의 원으로 구성된 구와 원통의 교차 부분을 보여준다. 원통의 반지름이 구의 반지름과 같다면, 교차 부분은 단일 원이 된다. 원통의 반지름이 구의 반지름보다 크면, 교차 부분은 공집합이 된다.

항해에서 ''loxodrome'' 또는 ''항주선''은 방위각, 즉 접선과 정북 방향 사이의 각도가 일정한 경로이다. 항주선은 메르카토르 도법에서 직선으로 투영된다. 두 가지 특별한 경우는 정북–정남 방향으로 정렬된 자오선과 정동–정서 방향으로 정렬된 위선이다. 다른 방위각의 경우, 항주선은 각 극점을 중심으로 무한히 나선형으로 회전한다. 지구를 구로 모델링하거나, 구면 좌표계가 주어질 경우, 이러한 항주선은 일종의 구면 나선이다.^[18]

구면 나선의 또 다른 종류는 클레리아 곡선인데, 여기서 경도(또는 방위각)

\varphi

와 극좌표의 여각(또는 극각)

\theta

는

\varphi = c\theta

와 같은 선형 관계를 갖는다. 클레리아 곡선은 정방형 투영법 하에서 직선으로 투영된다. 비비아니 곡선(

c=1

)은 특별한 경우이다. 클레리아 곡선은 극궤도 위성들의 지상 궤적을 근사한다.

구면 원뿔곡선은 구면에서 원뿔 곡선의 유사물이며, 여러 가지 동등한 방법으로 정의할 수 있는 사차 곡선이다.

구의 중심을 꼭짓점으로 하는 이차 원뿔과 구의 교차점
구의 중심을 지나는 타원 또는 쌍곡선 기둥과 구의 교차점
한 쌍의 초점으로부터의 대원 거리의 합 또는 차이가 상수인 점들의 자취

평면 원뿔 곡선과 관련된 많은 정리도 구면 원뿔 곡선으로 확장된다.

구가 다른 표면과 교차하면 더 복잡한 구면 곡선이 생길 수 있다.

;예시: 구-원기둥

방정식

x^2+y^2+z^2=r^2

을 갖는 구와 방정식

(y-y_0)^2+z^2=a^2, \; y_0\ne 0

을 갖는 원기둥의 교차는 단지 하나 또는 두 개의 원이 아니다. 이는 비선형 연립 방정식의 해이다.

:

x^2+y^2+z^2-r^2=0

:

(y-y_0)^2+z^2-a^2=0

(음함수 곡선 참조, 그림 참조)

8. 역사

구의 기하학은 그리스인들에 의해 연구되었다. 유클리드 기하학 원론은 제11권에서 구를 정의하고, 제12권에서 구의 다양한 성질을 논하며, 제13권에서 5개의 정다면체를 구 안에 내접시키는 방법을 보여준다. 유클리드는 구의 겉넓이와 부피를 포함하지 않았지만, 아마도 크니도스의 에우독소스의 연구에 기인하여 구의 부피가 지름의 세제곱에 비례한다는 정리를 제시했다. 구의 부피와 겉넓이 공식은 고갈법을 사용하여 아르키메데스의 저서 구와 원기둥에 관하여에서 처음으로 결정되었다. 제노도로스는 주어진 겉넓이에서 구가 최대 부피를 갖는 입체라고 처음으로 언급했다.^[19]

아르키메데스는 부피가 주어진 비율을 이루는 구의 부분으로 구를 나누는 문제에 대해 썼지만, 이를 해결하지는 못했다. 디오니시도로스는 포물선과 쌍곡선을 사용하여 이 문제를 해결했다.^[20] 비슷한 문제, 즉 주어진 부분과 부피가 같고 다른 부분과 겉넓이가 같은 부분을 만드는 문제는 나중에 알 쿠히에 의해 해결되었다.^[19]

참조

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_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
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_[6] 웹사이트 The volume of a sphere – Math Central http://mathcentral.u[...] 2019-06-10
_[7] MathWorld Sphere
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_[9] 서적 Collins Dictionary of Mathematics Collins
_[10] 간행물 The isoperimetric inequality https://www.ams.org/[...] 2019-12-14
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_[17] MathWorld Spheric section
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_[20] 웹사이트 conic sections https://oxfordre.com[...] 2022-11-04
_[21] 뉴스 New Scientist | Technology | Roundest objects in the world created https://www.newscien[...]
_[22] MathWorld Sphere
_[23] MathWorld Spheric section
_[24] 서적 Geometry and the Imagination Chelsea
_[25] 뉴스 New Scientist | Technology | Roundest objects in the world created https://www.newscien[...]

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