톰 공간

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1. 개요

톰 공간은 파라콤팩트 공간 위의 벡터 다발을 이용하여 구성되는 위상 공간으로, 르네 톰에 의해 도입되었다. 벡터 다발의 섬유를 일점 컴팩트화하거나, 닫힌 공과 초구의 몫공간으로 정의할 수 있다. 톰 공간은 연산에 대한 호환성, 함자성, 호몰로지 등의 성질을 가지며, 톰 동형을 통해 기저 공간의 코호몰로지와 톰 공간의 축소 코호몰로지 사이의 관계를 나타낸다. 톰 공간은 톰 스펙트럼을 정의하고 특성류 이론, 코보디즘 이론 등에서 중요한 역할을 한다.

톰 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 구성 방법
- 2.2. 내적을 통한 정의
3. 성질
4. 예
5. 응용
- 5.1. 특성류 이론
6. 역사

2. 정의

톰 공간은 파라콤팩트 공간 위에 정의된 실수 벡터 다발로부터 구성되는 위상 공간이다.

톰 공간을 정의하는 한 가지 방법은 다음과 같다. 우선, 파라콤팩트 공간 $X$ 와 그 위에 정의된 $n$ 차원 실수 벡터 다발 $\mathbb R^n\hookrightarrow E\,\overset\pi\twoheadrightarrow\,X$ 를 생각한다. 각 올(fiber)의 알렉산드로프 콤팩트화를 통해, 초구 $\mathbb S^n=\mathbb R^n\sqcup\{\infty\}$ 를 올로 갖는 올다발 $\operatorname{Sph}(E)\twoheadrightarrow X$ 를 구성한다. 이때, 톰 공간 $\operatorname{Th}(E)$ 는 각 올의 콤팩트화를 통해 추가된 점들을 하나의 점으로 붙여 만든 공간이다.

: $\operatorname{Th}(E):=\frac{\operatorname{Sph}(E)}{\{(x,\infty_x)\colon x\in X\}}$

2.1. 구성 방법

파라콤팩트 공간 $X$ 와 $n$ 차원 실수 벡터 다발 $\mathbb R^n\hookrightarrow E\,\overset\pi\twoheadrightarrow\,X$ 가 주어졌다고 하자.

각 올의 알렉산드로프 콤팩트화를 취하여, 초구 $\mathbb S^n=\mathbb R^n\sqcup\{\infty\}$ 를 올로 하는 올다발 $\operatorname{Sph}(E)\twoheadrightarrow X$ 를 정의할 수 있다. 여기서 톰 공간 $\operatorname{Th}(E)$ 는 각 올의 콤팩트화에서 추가된 점들을 한 점으로 붙인 것이다.

: $\operatorname{Th}(E):=\frac{\operatorname{Sph}(E)}{\{(x,\infty_x)\colon x\in X\}}$

다른 방법으로, $E$ 위에 올별 연속 양의 정부호 내적 $\eta \in \Gamma(E^* \otimes E^*)$ 를 임의로 고르고, 이를 통해 각 올 $E_x$ 의 닫힌 공

: $\operatorname{Ball}(\pi) := \{e \in E_x \colon \eta(e,e) \le 1\}$

및 초구

: $\operatorname{Sph}(\pi) := \{e \in E_x \colon \eta(e,e) = 1\}$

을 정의할 수 있다. 이들은 $X$ 위의 올다발을 이루며, 포함 관계 $\operatorname{Sph}(\pi)\subseteq \operatorname{Ball}(\pi) \subseteq E$ 를 갖는다. 톰 공간은 다음과 같은 몫공간이다.

: $\operatorname{Th}(\pi) = \frac {\operatorname{Ball}(\pi)}{\operatorname{Sph}(\pi)}$

이는 점을 가진 공간을 이루며, 그 밑점은 $\operatorname{Sph}(\pi)$ 의 동치류이다.

좀 더 구체적으로, $p\colon E \to B$ 가 파라콤팩트 공간 B 위의 랭크 n인 실수 벡터 다발이라면, B의 각 점 b에 대해 섬유 $E_b$ 는 n차원 실수 벡터 공간이다. 각 섬유의 일점 컴팩트화를 취하고 이를 함께 붙여 총 공간을 얻음으로써 n-구 번들 $\operatorname{Sph}(E) \to B$ 를 구성할 수 있다. 마지막으로, 총 공간 $\operatorname{Sph}(E)$ 에서 톰 공간 $T(E)$ 를 B에 대한 $\operatorname{Sph}(E)$ 의 몫으로 얻는다. 즉, 모든 새로운 점을 단일 점 $\infty$ 로 식별하여 $T(E)$ 의 기준점으로 삼는다. B가 컴팩트하면 $T(E)$ 는 E의 일점 컴팩트화이다.

예를 들어 E가 자명한 번들 $B\times \R^n$ 이면 $\operatorname{Sph}(E)$ 는 $B\times S^n$ 이고, 분리된 기준점을 가진 B를 $B_+$ 로 쓰면 $T(E)$ 는 $B_+$ 와 $S^n$ 의 스매시 곱이다. 즉, $B_+$ 의 n번째 축소된 현수이다.

B가 파라콤팩트이므로 E에 유클리드 메트릭을 부여할 수 있으며, 그러면 $T(E)$ 를 E의 단위 디스크 번들을 E의 단위 $(n-1)$ -구 번들로 나눈 몫으로 정의할 수도 있다.

2.2. 내적을 통한 정의

$E$ 위에, 올별 임의의 연속 양의 정부호 내적
: $\eta \in \Gamma(E^* \otimes E^*)$
을 임의로 고른다. 이를 통하여, 임의의 $x\in X$ 에 대하여 올 $E_x$ 의 닫힌 공
: $\operatorname{Ball}(\pi) := \{e \in E_x \colon \eta(e,e) \le 1\}$
및 초구
: $\operatorname{Sph}(\pi) := \{e \in E_x \colon \eta(e,e) = 1\}$
를 정의할 수 있다. 이 둘은 $X$ 위의 올다발을 이루며, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
: $\operatorname{Sph}(\pi)\subseteq \operatorname{Ball}(\pi) \subseteq E$
톰 공간은 다음과 같은 몫공간이다.
: $\operatorname{Th}(\pi) = \frac {\operatorname{Ball}(\pi)}{\operatorname{Sph}(\pi)}$
이는 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 밑점은 $\operatorname{Sph}(\pi)$ 의 동치류이다.

3. 성질

톰 공간은 벡터 다발의 연산 및 사상에 대해 자연스러운 성질을 갖는다. 이러한 성질은 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

3.1. 연산에 대한 호환

파라콤팩트 공간 $X$ , $Y$ 와 그 위에 정의된 두 유한 차원 벡터 다발
: $\pi\colon E\twoheadrightarrow X$
: $\varpi\colon F\twoheadrightarrow Y$
가 주어졌다고 하자. 곱공간 $X\times Y$ 로부터의 사영 사상
: $\operatorname{proj}_X\colon X\times Y\twoheadrightarrow X$
: $\operatorname{proj}_Y\colon X\times Y\twoheadrightarrow Y$
을 정의하고, 각 벡터 다발의 사상과의 당김
: $\operatorname{proj}_X^*\pi\colon E \twoheadrightarrow X\times Y$
: $\operatorname{proj}_X^*\varpi\colon F \twoheadrightarrow X\times Y$
을 구한다. 이들의 직합을 $\pi\boxtimes\varpi$ 로 표기하면 다음과 같다.
: $\pi\boxtimes\varpi \colon \operatorname{proj}_X^* E \oplus \operatorname{proj}_X^* F \twoheadrightarrow X\times Y$
이때 위 사상으로 정의되는 올다발의 톰 공간 $\operatorname{Th}(\pi\boxtimes\varpi)$ 는 각각의 톰 공간에 분쇄곱을 취한 것과 위상 동형이다.
: $\operatorname{Th}(\pi\boxtimes\varpi) = \operatorname{Th}(\pi)\wedge \operatorname{Th}(\varpi)$
특히, $\varpi$ 가 한원소 공간 위의 (자명한) 벡터 다발인 경우, 즉
: $Y = \{\bullet\}$
: $F = Y \times\mathbb R^n$
인 경우, $\varpi$ 의 톰 공간은 초구 ( $\operatorname{Th}(\varpi) = \mathbb S^n$ )이므로 다음을 얻는다.
: $\operatorname{Th}(E \oplus \mathbb R^n) = \operatorname{Th}(E) \wedge \mathbb S^n = \operatorname\Sigma^n(\operatorname{Th}(E))$
여기서 $\operatorname\Sigma^n$ 은 축소 현수를 $n$ 번 취한 것이다.

3.2. 함자성

두 파라콤팩트 공간 위의 유한 차원 벡터 다발 π: E→X, ϖ: F→Y 및 연속 함수 f: X→Y 위의 벡터 다발 사상 ϕ: E→F가 주어졌을 때, 자연스러운, 밑점을 보존하는 연속 함수 Th(f,ϕ): Th(π)→Th(ϖ), Th(f,ϕ): (x,e)↦(f(x),ϕ(e)) (e∈Ex), Th(f,ϕ): ∞↦∞ 가 존재한다. 즉, 이는 유한 차원 벡터 다발의 범주에서 점을 가진 공간의 범주로 가는 함자 VectBunfin→Top• 를 정의한다.

3.3. 호몰로지

초구 다발 $\operatorname{Sph}(E)$ 의 무한대 단면을 $s_\infty\colon B\to\operatorname{Sph}(E)$ , 영단면을 $s_0\colon B\to E\subsetneq\operatorname{Sph}(E)$ 라고 하자.

톰 공간의 축소 코호몰로지는 다음과 같은 상대 호몰로지와 같다.
: $\operatorname{\tilde H}^\bullet(\operatorname{Th}(E))=\operatorname H^\bullet\left(\operatorname{Sph}(E),s_\infty(B)\right)\cong\operatorname H^\bullet\left(\operatorname{Sph}(E),s_0(B)\right)\cong\operatorname H^\bullet\left(\operatorname{Sph}(E),\operatorname{Sph}(E)\setminus s_0(B)\right)\cong\operatorname H^\bullet\left(E,E\setminus s_0(B)\right)$

3.4. 톰 동형

톰 동형(Thom isomorphism)은 기저 공간의 코호몰로지와 톰 공간의 축소 코호몰로지 사이의 동형 사상이다. 유한 차원 실수 벡터 다발의 경우, F₂^영어-벡터 공간의 표준적인 동형 사상으로 주어진다. 구체적으로, 유한 차원 실수 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow B$ 와 음이 아닌 정수 $k\in\mathbb N$ 에 대하여, 다음과 같은 F₂^영어-벡터 공간의 표준적인 동형 사상이 존재한다.
: $\operatorname H^k(B; \mathbb F_2)\cong\operatorname{\tilde H}^{k+n}(\operatorname{Th}(E); \mathbb F_2)$
여기서 우변은 축소 코호몰로지이다.

만약 $E\twoheadrightarrow B$ 가 유향 벡터 다발이라면, 이는 임의의 가환환 $R$ 계수에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: $\Phi\smile\pi^*(-)\colon\operatorname H^k(B;R)\to\operatorname H^{k+n}(E,E\setminus s_0(B);R)$

톰 동형은 르네 톰이 1952년에 발표한 논문에서 공식화하고 증명하였다.

4. 예

파라콤팩트 공간 X 위의 자명한 벡터 다발 $\pi\colon X\times\mathbb R^n$ 의 톰 공간은 다음과 같이 주어진다.

: $\operatorname{Th}(\pi) = X \times\mathbb S^n / (X \times \{\bullet_{\mathbb S^n}\})$

여기서 $\bullet_{\mathbb S^n} \in \mathbb S^n$ 은 초구 $\mathbb S^n$ 에 부여한 임의의 밑점이며, 공 $\mathbb B^n$ 의 경계에 속한다.

$X_+ = X \sqcup \{\bullet_X\}$ 가 $X$ 에 분리된 밑점을 추가한 점을 가진 공간이라면, 다음이 성립한다.

: $\operatorname{Th}(\pi) \cong X_+ \wedge \mathbb S^n$

여기서 $\cong$ 은 위상 동형이며, $\wedge$ 는 점을 가진 공간끼리의 분쇄곱이다. $n = 0$ 인 경우 (0차원 벡터 다발), 톰 공간은 다음과 같다.

: $\operatorname{Th}(\pi) \cong X_+ \wedge \mathbb S^0 \cong X_+$

예를 들어, E가 자명한 번들 $B\times \R^n$ 이면, $T(E)$ 는 $B_+$ 와 $S^n$ 의 스매시 곱이다. 즉, $B_+$ 의 n번째 축소된 현수이다.

콤팩트 공간 $X$ 위의 벡터 다발 $\pi\colon E\twoheadrightarrow X$ 의 톰 공간 $\operatorname{Th}(\pi)$ 은 $E$ 의 알렉산드로프 콤팩트화와 위상 동형이다.

: $\operatorname{Th}(\pi) \cong E^+$

분류 공간 위의 연관 벡터 다발의 톰 공간으로 톰 스펙트럼을 정의할 수 있다. 톰 스펙트럼은 코보디즘 이론에서 중요한 역할을 한다. 톰 스펙트럼은 다음과 같은 톰 공간의 수열로 정의된다.

: $MO(n) = T(\gamma^n)$

여기서 $\gamma^n\to BO(n)$ 은 랭크 n의 보편 벡터 다발을 의미한다. 이 수열은 스펙트럼을 이룬다.

4.1. 자명한 벡터 다발

파라콤팩트 공간 $X$ 위의 자명한 벡터 다발 $\pi\colon X\times\mathbb R^n$ 의 톰 공간을 생각하면 다음과 같다.

: $\operatorname{Ball}(\pi) = X\times \mathbb B^n$
: $\operatorname{Sph}(\pi) = X\times \mathbb S^{n-1}$
: $\operatorname{Th}(\pi) = X \times\mathbb S^n / (X \times \{\bullet_{\mathbb S^n}\})$

여기서 $\bullet_{\mathbb S^n} \in \mathbb S^n$ 은 초구 $\mathbb S^n$ 에 부여한 임의의 밑점으로, 공 $\mathbb B^n$ 의 경계에 속한다.

만약 $X_+ = X \sqcup \{\bullet_X\}$ 가 $X$ 에 분리된 밑점을 추가한 점을 가진 공간이라면, 다음이 성립한다.

: $\operatorname{Th}(\pi) \cong X_+ \wedge \mathbb S^n$

여기서 $\cong$ 은 위상 동형이며, $\wedge$ 는 점을 가진 공간끼리의 분쇄곱이다.

특히, $n = 0$ 일 경우 (0차원 벡터 다발), 톰 공간은 다음과 같다.

: $\operatorname{Th}(\pi) \cong X_+ \wedge \mathbb S^0 \cong X_+$

예를 들어, E가 자명한 번들 $B\times \R^n$ 인 경우 $\operatorname{Sph}(E)$ 는 $B\times S^n$ 이고, 분리된 기준점을 가진 B를 $B_+$ 로 쓰면 $T(E)$ 는 $B_+$ 와 $S^n$ 의 스매시 곱이다. 즉, $B_+$ 의 n번째 축소된 현수이다.

4.2. 콤팩트 공간 위의 벡터 다발

콤팩트 공간 $X$ 위의 벡터 다발 $\pi\colon E\twoheadrightarrow X$ 의 톰 공간 $\operatorname{Th}(\pi)$ 은 $E$ 의 알렉산드로프 콤팩트화와 위상 동형이다.
: $\operatorname{Th}(\pi) \cong E^+$

4.3. 톰 스펙트럼

분류 공간 위의 연관 벡터 다발의 톰 공간으로 톰 스펙트럼을 정의할 수 있다. 톰 스펙트럼은 코보디즘 이론에서 중요한 역할을 한다.

분류 공간
: $\operatorname{EO}(n) \twoheadrightarrow \operatorname{BO}(n)$
위의 연관 벡터 다발
: $(\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)} \mathbb R^n) \twoheadrightarrow \operatorname{BO}(n)$
의 톰 공간을 다음과 같이 표기한다.
: $\operatorname{MO}(n) := \operatorname{Th}(\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)}\mathbb R^n)$
이들 사이에는 자연스러운 사상
: $\Sigma\operatorname{MO}(n) \to \operatorname{MO}(n+1)$
이 존재하여, 스펙트럼 $\operatorname{MO}$ 를 정의하는데, 이를 톰 스펙트럼이라고 한다.

톰 스펙트럼은 다음과 같은 톰 공간의 수열로 정의된다.

: $MO(n) = T(\gamma^n)$

여기서 $\gamma^n\to BO(n)$ 은 랭크 n의 보편 벡터 다발을 의미한다. 이 수열은 스펙트럼을 이룬다. 톰의 정리에 따르면 $\pi_*(MO)$ 는 비방향 코보디즘 환이다. 이 정리의 증명은 톰의 횡단 정리에 결정적으로 의존한다.

5. 응용

톰 공간은 다양한 분야에서 중요한 도구로 사용된다.

5.1. 특성류 이론

톰 동형을 통해 슈티펠-휘트니 류를 구성할 수 있다. 슈틴로드 연산을 사용하여 톰 동형을 통해 슈티펠-휘트니 류를 정의할 수 있다. 벡터 다발 $p: E\to B$ 의 i번째 슈티펠-휘트니 류 $w_i(p)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $w_i(p) = \Phi^{-1}(Sq^i(\Phi(1))) = \Phi^{-1}(Sq^i(u)).$

여기서 $\Phi$ 는 톰 동형, $Sq^i$ 는 슈틴로드 연산, $u$ 는 톰 클래스이다.

우 공식은 슈티펠-휘트니 특성류의 불변성과 관련된 중요한 결과이다. 위의 정의에서 다발을 매끄러운 접다발로 간주하면, 슈틴로드 연산이 호모토피 동치에 대해 불변이므로, 다양체의 슈티펠-휘트니 특성류 또한 불변이라는 결론을 얻는다. 이는 다른 특성류로는 일반화되지 않는 특별한 결과이다.

6. 역사

톰 공간은 프랑스의 수학자 르네 톰이 1954년에 도입하였다. 1952년 논문에서 톰은 톰 클래스, 슈티펠-휘트니류 및 슈틴로드 연산이 모두 관련되어 있음을 보였다. 그는 이러한 아이디어를 사용하여 1954년 논문 "Quelques propriétés globales des variétés differentiables"에서 코보디즘 군이 특정 톰 공간 MG(n)의 호모토피 군으로 계산될 수 있음을 증명했다. 이 증명은 매끄러운 다양체의 횡단성 속성에 의존하며, 톰 횡단 정리와 밀접하게 관련되어 있다.

이 구성을 역으로 적용하여 존 밀너와 세르게이 노비코프 등은 고차원 다양체의 존재성과 유일성에 대한 질문에 답할 수 있었다. 이것은 현재 수술 이론으로 알려져 있다. 또한, 공간 MG(n)은 함께 연결되어 스펙트럼 MG를 형성하며, 이는 현재 톰 스펙트럼으로 알려져 있다. 코보디즘 군은 실제로 안정적이다. 따라서 톰의 구성은 미분 위상수학과 안정 호모토피 이론을 통합하며, 특히 구의 안정 호모토피 군에 대한 지식에 필수적이다.

슈틴로드 연산을 사용할 수 있다면, 이를 사용하여 정리의 동형 사상을 통해 슈티펠-휘트니류를 구성할 수 있다. 슈틴로드 연산 (mod 2)은 모든 비음수 정수 m에 대해 정의된 자연 변환이다.

: $Sq^i : H^m(-; \Z_2) \to H^{m+i}(-; \Z_2),$

만약 $i=m$ 이면, $Sq^i$ 는 컵 제곱과 일치한다. 벡터 번들 $p: E\to B$ 의 i번째 슈티펠-휘트니류 $w_i(p)$ 는 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $w_i(p) = \Phi^{-1}(Sq^i(\Phi(1))) = \Phi^{-1}(Sq^i(u)).$