가우스-뤼카 정리

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1. 개요

가우스-뤼카 정리는 복소 다항식의 도함수의 영점이 원래 다항식의 영점의 볼록 껍질 안에 속한다는 정리이다. 2차 다항식의 경우 도함수의 영점은 두 근의 평균이며, 3차 다항식의 경우 슈타이너 타원의 초점과 관련된다. 이 정리는 다항식의 근이 특정 반평면에 속할 경우 도함수의 영점 또한 해당 반평면에 속한다는 것을 증명함으로써 설명된다. 카를 프리드리히 가우스와 에두아르 뤼카가 독립적으로 발견했다.

가우스-뤼카 정리

개요

분야	수학
하위 분야	복소해석학, 기하학
명명자	카를 프리드리히 가우스, 펠릭스 뤼카

내용

설명	대수적으로 닫힌 체(field)에서 정의된, 상수함수가 아닌 다항식 $P$의 모든 근을 포함하는 가장 작은 볼록 다각형은 $P$의 도함수 $P'$의 모든 근을 포함한다.
관련 항목	젠센 부등식

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1. 개요
2. 정의
3. 특수한 경우
4. 증명
5. 역사

2. 정의

복소수 다항식 $p\in\mathbb C[z]$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 도함수 $p'$ 의 영점은 $p$ 의 영점의 볼록 껍질에 속한다. 이를 가우스-뤼카 정리라고 한다. 만약 $P$ 가 복소 계수를 갖는 (상수가 아닌) 다항식이라면, $P'$ 의 모든 근은 $P$ 의 근들의 볼록 선형 결합에 속한다.

3. 특수한 경우

가우스-뤼카 정리는 2차, 3차, 4차 다항식 및 실수 다항식의 특수한 경우에 대해 다음과 같이 적용된다.

* 2차 다항식: 도함수의 영점은 원래 다항식의 두 근의 평균이며, 이는 두 근을 잇는 선분의 중점에 해당한다.
* 3차 다항식: 서로 다른 세 근을 갖는 3차 다항식의 경우, 마르댕의 정리에 의해 도함수의 영점은 세 근으로 만들어지는 삼각형에 내접하는 슈타이너 타원의 초점이 된다.
* 4차 다항식: 서로 다른 네 근을 갖는 4차 다항식에서 네 근이 오목 사각형을 이루는 경우, 한 근은 나머지 세 근의 볼록 껍질 내부에 존재한다. 이때 도함수의 세 영점은 내부의 한 근과 다른 두 근으로 구성된 삼각형들 중 두 개 내부에 위치한다.
* 실수 다항식: 서로 다른 n개의 실수 근을 갖는 n차 실수 다항식의 경우, 롤의 정리에 의해 도함수의 영점은 가장 작은 근과 가장 큰 근 사이의 구간에 존재한다.

일반적으로, 다항식

: $p_n x^n+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_0$

의 근의 볼록껍질은 다음 점을 포함한다.

: $-\frac{p_{n-1}}{n\cdot p_n}.$

3.1. 2차 다항식

2차 다항식 $P(x) = ax^2+bx+c$ 의 경우, $P'(x) = 2ax+b$ 의 영점은 $P(x)$ 의 근의 평균임을 쉽게 알 수 있다. 이 경우, 볼록껍질은 두 근을 끝점으로 하는 선분이며, 근의 평균이 선분의 중점임은 명확하다.

3.2. 3차 다항식

마르댕의 정리에 따르면, 3차 복소 다항식 P(삼차 함수)가 서로 다른 세 개의 영점을 갖는 경우, P′의 영점은 P의 영점으로 이루어진 삼각형의 중점에 접하는 유일한 타원인 슈타이너 타원의 초점이다.

3.3. 4차 다항식

4차 복소 다항식 $P$ (사차 함수)가 서로 다른 네 개의 영점을 가지며 이 영점들이 오목 사각형을 형성하는 경우, $P$ 의 영점 중 하나는 나머지 세 영점의 볼록선체 내에 존재한다. $P'$ 의 세 영점은 $P$ 의 내부 영점과 다른 두 영점으로 이루어진 세 개의 삼각형 중 두 개의 삼각형 내에 위치한다.

3.4. 실수 다항식

2차 다항식 $P(x) = ax^2+bx+c$ 의 경우, $P'(x) = 2ax+b$ 의 영점은 $P(x)$ 의 근의 평균임을 쉽게 알 수 있다. 이 경우, 볼록껍질은 두 근을 끝점으로 하는 선분이며, 근의 평균이 선분의 중점임은 명확하다.

실수 계수를 갖는 $n$ 차 다항식이 서로 다른 $n$ 개의 실수 영점 $x_1 을 갖는 경우, 롤의 정리 를 사용하여 도함수 다항식의 영점이 근 집합의 볼록껍질인 구간 [x_1,x_n] 에 있음을 알 수 있다.$

다항식

: $p_n x^n+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_0$

의 근의 볼록껍질은 특히 다음 점을 포함한다.

: $-\frac{p_{n-1}}{n\cdot p_n}.$

3.5. 추가적인 포함 관계

2차 다항식 $P(x) = ax^2+bx+c$ 의 경우, $P'(x) = 2ax+b$ 의 영점은 $P(x)$ 의 근의 평균이다. 이 경우, 볼록 껍질은 두 근을 끝점으로 하는 선분이며, 근의 평균은 그 선분의 중점이다.

3차 복소 다항식 (삼차 함수)가 서로 다른 세 개의 영점을 갖는 경우, 마르댕의 정리에 따르면 $P'(x)$ 의 영점은 $P(x)$ 의 영점으로 이루어진 삼각형의 중점에 접하는 유일한 타원인 슈타이너 타원의 초점이다.

4차 복소 다항식 (사차 함수)가 서로 다른 네 개의 영점을 갖고, 이 영점들이 오목 사각형을 형성하는 경우, $P(x)$ 의 영점 중 하나는 나머지 세 영점의 볼록 껍질 내에 존재한다. $P'(x)$ 의 세 영점은 $P(x)$ 의 내부 영점과 다른 두 영점으로 이루어진 세 개의 삼각형 중 두 개의 삼각형 내에 위치한다.

또한, 실수 계수를 갖는 $n$ 차 다항식이 서로 다른 $n$ 개의 실수 영점 $x_1 을 갖는 경우, 롤의 정리 를 사용하여 도함수 다항식의 영점이 근 집합의 볼록 껍질인 구간 [x_1,x_n] 에 있음을 알 수 있다.$

다항식

: $p_n x^n+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_0$

의 근의 볼록 껍질은 특히 다음 점을 포함한다.

: $-\frac{p_{n-1}}{n\cdot p_n}.$

4. 증명

다음과 같은 명제를 보이는 것으로 족하다.
* 만약 $p$ 의 모든 영점이 어떤 반평면 $H\subseteq\mathbb C$ 에 속한다면, $p'$ 의 모든 영점 역시 $H$ 에 속한다.
이를 위해 $p$ 의 (중복도를 고려한) 영점을 $a_1,\dots,a_n$ 이라고 하고, $a_1,\dots,a_n\in H$ 라고 하자. 또한 $z\in\mathbb C\setminus H$ 라고 하자. 그러면 $p(z)\ne 0$ 이므로, 다음이 성립한다.
: $\frac{p'(z)}{p(z)}=\sum_{k=1}^n\frac 1{z-a_k}$
이는 $p$ 에 로그를 취한 뒤 $z$ 에서의 도함수를 취하여 얻는다. $H$ 는 어떤 유향 직선 $t\mapsto a+bt$ 의 오른쪽 반평면이며, 다음과 같은 방정식을 갖는다.
: $H=\left\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}\frac{z-a}b<0\right\}$
따라서, 각 $k\in\{1,\dots,n\}$ 에 대하여, 다음이 성립한다.
: $\operatorname{Im}\frac{z-a_k}b=\operatorname{Im}\frac{z-a}b-\operatorname{Im}\frac{a_k-a}b>0$
역수의 허수부는 부호가 반대되므로, 다음이 성립한다.
: $\operatorname{Im}\frac b{z-a_k}<0$
이에 따라 다음이 성립한다.
: $\operatorname{Im}\frac{bp'(z)}{p(z)}=\sum_{k=1}^n\operatorname{Im}\frac b{z-a_k}<0$
즉, $p'(z)\ne 0$ 이다.
만약 $P$ 가 복소계수를 갖는 (상수가 아닌) 다항식이라면, $P'$ 의 모든 근은 $P$ 의 근들의 볼록선형결합에 속한다.
대수의 기본 정리에 의해, $P$ 는 다음과 같은 선형 인수들의 곱으로 표현될 수 있다.

: $P(z)= \alpha \prod_{i=1}^n (z-a_i)$

여기서 복소수 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 은 다항식 $P$ 의 영점들(중복될 수 있음)이고, 복소수 $\alpha$ 는 $P$ 의 최고차항 계수이며, $n$ 은 $P$ 의 차수이다.

$P'$ 의 임의의 근 $z$ 가 $P$ 의 근이기도 하다면, 정리는 자명하게 성립한다. 그렇지 않다면, 로그 미분을 이용하면 다음을 얻는다.

: $0 = \frac{P^\prime(z)}{P(z)} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{z-a_i} = \sum_{i=1}^n \frac{\overline{z}-\overline{a_i}} {|z-a_i|^2}.$

따라서

: $\sum_{i=1}^n \frac{\overline{z} } {|z-a_i|^2} = \sum_{i=1}^n \frac{\overline{a_i} } {|z-a_i|^2}$ .

켤레 복소수를 취하고 나누면, $z$ 가 $P$ 의 근들의 볼록 조합임을 알 수 있다.
: $z = \sum_{i=1}^n \frac{|z-a_i|^{-2}}{ \sum_{j=1}^n |z-a_j|^{-2}} a_i$

5. 역사

카를 프리드리히 가우스와 에두아르 뤼카가 각각 독립적으로 제시하였다.