가우스-뤼카 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 특수한 경우
4. 증명
5. 역사
참조

1. 개요

가우스-뤼카 정리는 복소 다항식의 도함수의 영점이 원래 다항식의 영점의 볼록 껍질 안에 속한다는 정리이다. 2차 다항식의 경우 도함수의 영점은 두 근의 평균이며, 3차 다항식의 경우 슈타이너 타원의 초점과 관련된다. 이 정리는 다항식의 근이 특정 반평면에 속할 경우 도함수의 영점 또한 해당 반평면에 속한다는 것을 증명함으로써 설명된다. 카를 프리드리히 가우스와 에두아르 뤼카가 독립적으로 발견했다.

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가우스-뤼카 정리
개요
분야	수학
하위 분야	복소해석학, 기하학
명명자	카를 프리드리히 가우스, 펠릭스 뤼카
내용
설명	대수적으로 닫힌 체(field)에서 정의된, 상수함수가 아닌 다항식 $P$의 모든 근을 포함하는 가장 작은 볼록 다각형은 $P$의 도함수 $P'$의 모든 근을 포함한다.
관련 항목	젠센 부등식

2. 정의

복소수 다항식 $p\in\mathbb C[z]$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 도함수 $p'$ 의 영점은 $p$ 의 영점의 볼록 껍질에 속한다. 이를 '''가우스-뤼카 정리'''라고 한다.^[1] 만약 $P$ 가 복소 계수를 갖는 (상수가 아닌) 다항식이라면, $P'$ 의 모든 근은 $P$ 의 근들의 볼록 선형 결합에 속한다.^[1]

3. 특수한 경우

가우스-뤼카 정리는 2차, 3차, 4차 다항식 및 실수 다항식의 특수한 경우에 대해 다음과 같이 적용된다.

2차 다항식: 도함수의 영점은 원래 다항식의 두 근의 평균이며, 이는 두 근을 잇는 선분의 중점에 해당한다.
3차 다항식: 서로 다른 세 근을 갖는 3차 다항식의 경우, 마르댕의 정리에 의해 도함수의 영점은 세 근으로 만들어지는 삼각형에 내접하는 슈타이너 타원의 초점이 된다.
4차 다항식: 서로 다른 네 근을 갖는 4차 다항식에서 네 근이 오목 사각형을 이루는 경우, 한 근은 나머지 세 근의 볼록 껍질 내부에 존재한다. 이때 도함수의 세 영점은 내부의 한 근과 다른 두 근으로 구성된 삼각형들 중 두 개 내부에 위치한다.^[1]
실수 다항식: 서로 다른 n개의 실수 근을 갖는 n차 실수 다항식의 경우, 롤의 정리에 의해 도함수의 영점은 가장 작은 근과 가장 큰 근 사이의 구간에 존재한다.

일반적으로, 다항식

:

p_n x^n+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_0

의 근의 볼록껍질은 다음 점을 포함한다.

:

-\frac{p_{n-1}}{n\cdot p_n}.

3. 1. 2차 다항식

2차 다항식

P(x) = ax^2+bx+c

의 경우,

P'(x) = 2ax+b

의 영점은

P(x)

의 근의 평균임을 쉽게 알 수 있다. 이 경우, 볼록껍질은 두 근을 끝점으로 하는 선분이며, 근의 평균이 선분의 중점임은 명확하다.

3. 2. 3차 다항식

마르댕의 정리에 따르면, 3차 복소 다항식 ''P''(삼차 함수)가 서로 다른 세 개의 영점을 갖는 경우, ''P''′의 영점은 ''P''의 영점으로 이루어진 삼각형의 중점에 접하는 유일한 타원인 슈타이너 타원의 초점이다.^[1]

3. 3. 4차 다항식

4차 복소 다항식

P

(사차 함수)가 서로 다른 네 개의 영점을 가지며 이 영점들이 오목 사각형을 형성하는 경우,

P

의 영점 중 하나는 나머지 세 영점의 볼록선체 내에 존재한다.

P'

의 세 영점은

P

의 내부 영점과 다른 두 영점으로 이루어진 세 개의 삼각형 중 두 개의 삼각형 내에 위치한다.^[1]

3. 4. 실수 다항식

2차 다항식

P(x) = ax^2+bx+c

의 경우,

P'(x) = 2ax+b

의 영점은

P(x)

의 근의 평균임을 쉽게 알 수 있다. 이 경우, 볼록껍질은 두 근을 끝점으로 하는 선분이며, 근의 평균이 선분의 중점임은 명확하다.

실수 계수를 갖는

n

차 다항식이 서로 다른

n

개의 실수 영점

x_1 을 갖는 경우, 롤의 정리 를 사용하여 도함수 다항식의 영점이 근 집합의 볼록껍질인 구간 [x_1,x_n] 에 있음을 알 수 있다.

다항식

:

p_n x^n+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_0

의 근의 볼록껍질은 특히 다음 점을 포함한다.

:

-\frac{p_{n-1}}{n\cdot p_n}.

3. 5. 추가적인 포함 관계

2차 다항식

P(x) = ax^2+bx+c

의 경우,

P'(x) = 2ax+b

의 영점은

P(x)

의 근의 평균이다. 이 경우, 볼록 껍질은 두 근을 끝점으로 하는 선분이며, 근의 평균은 그 선분의 중점이다.

3차 복소 다항식 (삼차 함수)가 서로 다른 세 개의 영점을 갖는 경우, 마르댕의 정리에 따르면

P'(x)

의 영점은

P(x)

의 영점으로 이루어진 삼각형의 중점에 접하는 유일한 타원인 슈타이너 타원의 초점이다.

4차 복소 다항식 (사차 함수)가 서로 다른 네 개의 영점을 갖고, 이 영점들이 오목 사각형을 형성하는 경우,

P(x)

의 영점 중 하나는 나머지 세 영점의 볼록 껍질 내에 존재한다.

P'(x)

의 세 영점은

P(x)

의 내부 영점과 다른 두 영점으로 이루어진 세 개의 삼각형 중 두 개의 삼각형 내에 위치한다.^[1]

또한, 실수 계수를 갖는

n

차 다항식이 서로 다른

n

개의 실수 영점

x_1 을 갖는 경우, 롤의 정리 를 사용하여 도함수 다항식의 영점이 근 집합의 볼록 껍질인 구간 [x_1,x_n] 에 있음을 알 수 있다.

다항식

:

p_n x^n+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_0

의 근의 볼록 껍질은 특히 다음 점을 포함한다.

:

-\frac{p_{n-1}}{n\cdot p_n}.

4. 증명

다음과 같은 명제를 보이는 것으로 족하다.^[2]

만약 $p$ 의 모든 영점이 어떤 반평면 $H\subseteq\mathbb C$ 에 속한다면, $p'$ 의 모든 영점 역시 $H$ 에 속한다.

이를 위해

p

의 (중복도를 고려한) 영점을

a_1,\dots,a_n

이라고 하고,

a_1,\dots,a_n\in H

라고 하자. 또한

z\in\mathbb C\setminus H

라고 하자. 그러면

p(z)\ne 0

이므로, 다음이 성립한다.

:

\frac{p'(z)}{p(z)}=\sum_{k=1}^n\frac 1{z-a_k}

이는

p

에 로그를 취한 뒤

z

에서의 도함수를 취하여 얻는다.

H

는 어떤 유향 직선

t\mapsto a+bt

의 오른쪽 반평면이며, 다음과 같은 방정식을 갖는다.

:

H=\left\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}\frac{z-a}b<0\right\}

따라서, 각

k\in\{1,\dots,n\}

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{Im}\frac{z-a_k}b=\operatorname{Im}\frac{z-a}b-\operatorname{Im}\frac{a_k-a}b>0

역수의 허수부는 부호가 반대되므로, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{Im}\frac b{z-a_k}<0

이에 따라 다음이 성립한다.

:

\operatorname{Im}\frac{bp'(z)}{p(z)}=\sum_{k=1}^n\operatorname{Im}\frac b{z-a_k}<0

즉,

p'(z)\ne 0

이다.

만약

P

가 복소계수를 갖는 (상수가 아닌) 다항식이라면,

P'

의 모든 근은

P

의 근들의 볼록선형결합에 속한다.

대수의 기본 정리에 의해,

P

는 다음과 같은 선형 인수들의 곱으로 표현될 수 있다.

:

P(z)= \alpha \prod_{i=1}^n (z-a_i)

여기서 복소수

a_1, a_2, \ldots, a_n

은 다항식

P

의 영점들(중복될 수 있음)이고, 복소수

\alpha

는

P

의 최고차항 계수이며,

n

은

P

의 차수이다.

P'

의 임의의 근

z

가

P

의 근이기도 하다면, 정리는 자명하게 성립한다. 그렇지 않다면, 로그 미분을 이용하면 다음을 얻는다.

:

0 =  \frac{P^\prime(z)}{P(z)} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{z-a_i} = \sum_{i=1}^n \frac{\overline{z}-\overline{a_i}} {|z-a_i|^2}.

따라서

:

\sum_{i=1}^n \frac{\overline{z} } {|z-a_i|^2} = \sum_{i=1}^n \frac{\overline{a_i} } {|z-a_i|^2}

.

켤레 복소수를 취하고 나누면,

z

가

P

의 근들의 볼록 조합임을 알 수 있다.

:

z = \sum_{i=1}^n \frac

5. 역사

카를 프리드리히 가우스와 에두아르 뤼카가 각각 독립적으로 제시하였다.

참조

_[1] 논문 Strengthening the Gauss–Lucas theorem for polynomials with Zeros in the interior of the convex hull
_[2] 서적 Complex Analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill 1979

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