롤의 정리

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1. 개요
2. 정리의 표준적 서술
3. 증명
4. 역사
5. 예시
- 5.1. 반원
- 5.2. 절댓값 함수
6. 일반화
- 6.1. 추가 설명
7. 고차 도함수로의 일반화
8. 다른 분야로의 일반화
참조

1. 개요

롤의 정리는 닫힌 구간에서 연속이고 열린 구간에서 미분 가능한 함수에 대한 정리로, f(a) = f(b)일 때, 도함수가 0이 되는 점 c가 구간 (a, b) 사이에 적어도 하나 존재한다는 것을 보장한다. 이 정리는 평균값 정리의 특수한 경우이며, 테일러 정리 증명에도 사용된다. 롤의 정리는 c의 위치를 특정하지 않으며, c가 하나만 존재한다는 것도 아니다. 12세기 바스카라 2세가 유사한 내용을 서술했고, 미셸 롤이 다항 함수에 대한 정리를 증명했으며, 코시에 의해 평균값 정리의 따름정리로 증명되었다. 롤의 정리는 반원, 절댓값 함수 등 다양한 예시를 통해 이해할 수 있으며, 일반화 및 고차 도함수로의 확장도 가능하다. 또한, 롤의 정리는 실수뿐만 아니라 다른 체로도 일반화될 수 있으며, 체의 롤의 속성과 관련하여 연구가 진행되었다.

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롤의 정리
롤의 정리
정보
분야	수학, 미적분학
설명	어떤 구간에서 함수의 시작점과 끝점의 함숫값이 같을 때, 그 구간 안에 도함숫값이 0인 점이 적어도 하나 존재한다는 정리이다.
명칭
이름	롤의 정리
로마자 표기	Rolleui jeongni
영어	Rolle's theorem
일본어	ロルの定理
일본어 로마자 표기	Roru no teiri
관련
관련 정리	평균값 정리

2. 정리의 표준적 서술

실변수 함수 $f$ 가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고 열린 구간 (a,b)에서 미분 가능하며 $f(a) = f(b)$ 일 때, $f '(c) = 0$ 이 되는 구간 (a,b) 사이의 c가 최소한 하나는 존재한다.

이것은 평균값 정리를 증명하는데 이용되며, 실질적으로 평균값 정리의 특별한 경우이다.

만약 실수값을 갖는 함수 가 열린 구간 에서 연속이고, 열린 구간 에서 미분 가능하며, 라면, 열린 구간 내에

: $f'(c) = 0.$ 을 만족하는 적어도 하나의 가 존재한다.

이 롤의 정리 버전은 롤의 정리가 특수한 경우인 평균값 정리를 증명하는 데 사용된다. 또한 테일러 정리의 증명의 기초가 된다.

유계닫힌구간 에서 정의된 연속 함수 가 열린구간 에서 미분가능하고

: $f(a) = f(b)$

를 만족할 때, 도함수 는 열린구간 위에 영점을 갖는다.

즉,

: $f'(c) = 0$ 을 만족하는 가 존재한다.

이 정리는 의 위치를 구체적으로 특정하는 정리가 아니며, 또한 는 하나만 있는 것은 아니다. 조건을 만족하는 가 1개 이상 존재한다는 것을 보장하는 존재 정리이다.

롤의 정리는 나중에 라그랑주와 코시에 의해 제시된 미분법에서의 평균값 정리의 특수한 경우이며, 평균값 정리 등의 증명에도 사용되는 기본적인 정리이다.

3. 증명

롤의 정리는 다음 세 가지 경우로 나누어 증명할 수 있다.

$f(x)$ 가 상수 함수인 경우
$f(x) > f(a)$ 인 $x \in (a, b)$ 가 존재할 경우
$f(x) < f(a)$ 인 $x \in (a, b)$ 가 존재할 경우

각 경우에 대한 자세한 증명은 하위 문단을 참고하라.

실수값을 갖는 함수

f

가 닫힌 구간

[a, b]

에서 연속이고, 열린 구간

(a, b)

에서 미분 가능하며,

f(a) = f(b)

라면, 열린 구간

(a, b)

내에

f'(c) = 0

을 만족하는 적어도 하나의

c

가 존재한다.

f(x)

가

x

에 의존하지 않는 상수 함수이면, 임의의

x \in (a, b)

에 대해

f'(x) \equiv 0

이 된다.

f(x)

가 상수 함수가 아니라고 가정하자.

f(d) \ne f(a)

가 되는

d \in [a, b]

가 존재한다.

f(x)

는 유계 폐구간

[a, b]

에서 연속이므로

[a, b]

에서 최댓값과 최솟값을 가진다(최대·최소 정리).

f(d) > f(a)

일 때,

f(x)

가

[a, b]

에서 최댓값을 가지므로,

f(c) = Max f(x)

가 되는 점

c \in [a, b]

가 존재한다. 이 때,

a < c < b

이므로,

(a, b)

에서

f(x)

가 미분 가능하다는 사실로부터,

x = c

에서 미분 계수

f'(c)

가 존재하며,

:

f'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}

이다.

f(c)

가 최댓값이므로 분자는 0 이하이다. 따라서,

:

f'(c) = \lim_{h \to +0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \le 0

:

f'(c) = \lim_{h \to -0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \ge 0

이 된다. 그러므로

f'(c) = 0

이다.

f(d) < f(a)

일 때도 마찬가지로 최솟값을 가지는 점

c \in (a, b)

에서

f'(c) = 0

이 됨을 알 수 있다.

어느 경우든

f'(c) = 0

가 되는

c \in (a, b)

가 존재한다.

3. 1. f(x)가 상수 함수인 경우

f(x)

가 상수 함수인 경우, 모든

x \in (a, b)

에 대해

f'(x) = 0

이다.

3. 2. f(x) > f(a)인 x ∈ (a, b)가 존재할 경우

최대 최소 정리에 의하여 함수 f는 [a, b]에서 최댓값을 갖는다. f(a) = f(b)이고 f(x) > f(a)인 x∈(a, b)가 존재하므로 최댓값은 f(a)나 f(b)가 될 수 없다. 따라서 최댓값은 (a, b)에서 존재하며, 이 점에서 f'(c) = 0이다.

3. 3. f(x) < f(a)인 x ∈ (a, b)가 존재할 경우

최대 최소 정리에 의하여 함수

f

는

[a,b]

에서 최솟값을 갖는다.

f(a) = f(b)

이며 가정에 의하여

f(x) < f(a)

인

x \in (a,b)

가 존재하므로 최솟값은

f(a)

나

f(b)

가 될 수 없다. 따라서 최솟값은

(a,b)

에서 존재하며, 이 점에서

f'(c) = 0

이다.

4. 역사

12세기 인도 천문학자 바스카라 2세가 처음으로 롤의 정리와 유사한 내용을 서술하였다.^[7] 1691년 미셸 롤이 다항 함수에 대한 롤의 정리를 미적분학을 사용하지 않고 증명하였다.^[8]^[9] 1823년 코시가 평균값 정리의 따름정리로 롤의 정리를 증명하였다.^[1] "롤의 정리"라는 이름은 1834년 독일의 모리츠 빌헬름 드로비슈와 1846년 이탈리아의 주스토 벨라비티스가 처음 사용하였다.^[2]^[10]

5. 예시

롤의 정리는 다양한 예시를 통해 그 의미를 명확히 이해할 수 있다.

반지름이 r(r>0)인 경우, 함수 f(x) = √(r² - x²), x ∈ [-r, r]를 생각해 보자. 이 함수의 그래프는 중심이 원점인 위쪽 반원이다. 이 함수는 닫힌 구간 [-r, r]에서 연속이며, 열린 구간 (-r, r)에서 미분 가능하다. 양 끝점 -r과 r에서는 미분 불가능하지만, f(-r) = f(r)이므로 롤의 정리가 적용된다. 실제로 도함수가 0이 되는 점이 존재한다.

절댓값 함수 f(x) = |x|, x ∈ [-1, 1]을 고려해 보자. f(-1) = f(1)이지만, -1과 1 사이에서 f'(c) = 0을 만족하는 c는 존재하지 않는다. 이는 f(x)가 x = 0에서 미분 가능하지 않기 때문이다.

=== 반원 ===

위 반원 예시는 하위 섹션에서 자세히 다루고 있으므로 여기서는 간략하게 언급한다.

=== 절댓값 함수 ===

위 절댓값 함수 예시는 하위 섹션에서 자세히 다루고 있으므로 여기서는 간략하게 언급한다.

5. 1. 반원

반지름 r > 0에 대해, 다음 함수를 고려해 보자.

:f(x) = √(r² - x²), x ∈ [-r, r].

이 함수의 그래프는 원점을 중심으로 하는 위쪽 반원이다. 이 함수는 닫힌 구간 [-r, r]에서 연속이고 열린 구간 (-r, r)에서 미분 가능하지만, 끝점 -r과 r에서는 미분 불가능하다. f(-r) = f(r)이므로, 롤의 정리가 적용되며, 실제로 함수 f의 도함수가 0이 되는 점이 존재한다. 이 정리는 함수가 끝점에서 미분 가능하지 않더라도 적용되는데, 이는 열린 구간에서만 함수가 미분 가능하면 되기 때문이다.

5. 2. 절댓값 함수

구간 내부의 점에서 미분가능성이 성립하지 않으면, 롤의 정리의 결론이 성립하지 않을 수 있다. 절댓값 함수 f(x) = |x|, x ∈ [-1, 1]를 고려해 보자.

f(-1) = f(1)이지만, -1과 1 사이에 f'(c) = 0을 만족하는 c는 존재하지 않는다. 이는 f(x)가 x = 0에서 미분 가능하지 않기 때문이다. f의 도함수는 x = 0에서 부호를 바꾸지만, 0의 값을 갖지는 않는다. 이 함수는 열린 구간의 모든 x에서 함수가 미분 가능해야 한다는 조건을 만족하지 않으므로 롤의 정리를 적용할 수 없다. 그러나 롤의 정리에서 미분 가능성 요구 사항을 제거하면, f는 열린 구간 (a, b)에서 임계점을 가지지만 (그래프에 표시된 절댓값의 경우처럼) 수평 접선을 생성하지 못할 수 있다.

6. 일반화

닫힌 구간 [a, b]에서 정의된 실수 값을 갖는 연속 함수 f가 f(a) = f(b)를 만족한다고 하자. 열린 구간 (a, b)의 모든 x에 대해 우극한 f'(x⁺):=lim(h→0⁺) ((f(x+h)-f(x))/h) 과 좌극한 f'(x⁻):=lim(h→0⁻) ((f(x+h)-f(x))/h) 이 확장된 실수선 [-∞, ∞]에서 존재한다면, 열린 구간 (a, b) 내의 어떤 수 c가 존재하여 두 극한 중 하나 f'(c⁺) and f'(c⁻) 는 0보다 크거나 같고(≥ 0) 다른 하나는 0보다 작거나 같다(≤ 0) (확장된 실수선에서).^[3] 우극한과 좌극한이 모든 x에 대해 일치한다면, 특히 c에서도 일치하며, 따라서 f의 도함수는 c에서 존재하고 0과 같다.

6. 1. 추가 설명

f^영어가 볼록 함수 또는 오목 함수이면, 모든 내부 점에서 우미분 및 좌미분이 존재하므로, 위의 극한은 존재하고 실수가 된다.^[3] 이 일반화된 정리는 일방향 미분이 단조 증가할 때 볼록 함수를 증명하기에 충분하다.^[3]

7. 고차 도함수로의 일반화

함수 f^영어가 닫힌 구간 [a, b]에서 번 연속적으로 미분 가능하고, 번째 도함수는 열린 구간 (a, b)에서 존재하며, 으로 주어지는 개의 구간이 [a, b]에 존재하여 모든 에 대해 이고, 는 1부터 까지라고 가정하자.

그렇다면 (a, b) 안에 가 존재하여 의 번째 도함수가 에서 0이 된다.

구간 [−3, 2]에서 3개의 근을 갖는 함수의 그래프(빨간색 곡선). 따라서 두 번째 도함수(녹색 곡선)도 같은 구간에서 근을 갖는다.

의 번째 도함수에 대한 요구 사항은 대신 를 사용하여 위에서 정의된 오른쪽 및 왼쪽 극한에 대한 해당 주장을 제공하는 것으로 약화될 수 있다.

특히, 이 정리의 버전은 충분히 여러 번 미분 가능한 함수가 개의 근(즉, 0과 같은 값을 갖는)을 가지면 이 사라지는 내부 점이 존재한다고 주장한다.

8. 다른 분야로의 일반화

롤의 정리는 순서체인 실수에 대한 미분 가능한 함수의 속성이다. 따라서 다른 체로 일반화되지는 않지만, 실수에 대한 다항식이 인수 분해되면(모든 근을 가지면), 그 도함수도 인수 분해된다는 따름 정리는 일반화된다. 이를 체의 '''롤의 속성'''이라고 부를 수 있다. 더 일반적인 체는 항상 미분 가능한 함수를 갖는 것은 아니지만, 항상 기호적으로 미분할 수 있는 다항식을 가지고 있다. 마찬가지로, 더 일반적인 체는 순서를 가질 수 없지만, 체 내에 있는 다항식의 근에 대한 개념은 가지고 있다.

따라서 롤의 정리는 실수가 롤의 속성을 가지고 있음을 보여준다. 복소수와 같은 대수적으로 닫힌 체는 롤의 속성을 갖는다. 그러나 예를 들어, 유리수는 그렇지 않다. x³ − x = x(x − 1)(x + 1)^영어는 유리수 위에서 인수 분해되지만, 그 도함수인

:3x²-1 = 3(x-1/√3)(x+1/√3)

는 그렇지 않다. 어떤 체가 롤의 속성을 만족하는지에 대한 질문은 1972년에 카플란스키(Kaplansky)가 제기하였다.^[4] 유한체의 경우, F²^영어와 F⁴^영어만이 롤의 속성을 갖는다.^[5]^[6]

복소수 버전에 대해서는 Voorhoeve 지수를 참조하라.

참조

_[1] 웹사이트 A brief history of the mean value theorem https://abesenyei.we[...] 2012-09-17
_[2] 서적 A History of Mathematics https://books.google[...] American Mathematical Soc.
_[3] 간행물 The Gamma Function Henry Holt and Company
_[4] 간행물 Fields and Rings
_[5] 간행물 Multiplier sequences for fields http://projecteuclid[...]
_[6] 간행물 A Simple Proof of Rolle's Theorem for Finite Fields Mathematical Association of America 2002-01
_[7] 문서
_[8] 문서
_[9] 문서
_[10] 문서

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