사각형

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1. 개요
2. 정의
3. 분류
- 3.1. 단순 사각형의 종류
- 3.2. 특수한 사각형
4. 성질
5. 기타 성질
- 5.1. 바리뇽 정리
- 5.2. 각의 이등분선
6. 참조
참조

1. 개요

사각형은 4개의 변과 4개의 꼭짓점을 가진 평면 다각형이다. 사각형은 단순 사각형, 교차 사각형으로 분류되며, 단순 사각형은 볼록 사각형과 오목 사각형으로 나뉜다. 사다리꼴, 연, 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형 등이 단순 사각형에 속한다. 사각형은 대각선, 넓이, 무게 중심 등의 성질을 가지며, 바리뇽 정리와 각의 이등분선과 관련된 특징을 보인다. 평면이 아닌 비틀린 사각형도 존재한다.

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사각형
개요
여러 종류의 사각형
정의
변	4
각	4
슈뢰플리 기호	"{4}" (정사각형의 경우)
각도	90° (정사각형 및 직사각형의 경우)
면적	다양한 방법; 아래 참조
일반 정보
영어 명칭	Quadrilateral
다른 영어 명칭	Tetragon

2. 정의

'''사각형'''은 4개의 변과 4개의 꼭짓점을 갖는 다각형이다. 평면 위 네 점 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 가 세 점 이상 공선점이 아니라고 할 때, 사각형 $ABCD$ 는 선분 $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ 로 둘러싸인 도형이다.

$A$ , $B$ , $C$ , $D$ 는 사각형 $ABCD$ 의 '''꼭짓점'''이고, 선분 $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ 는 사각형 $ABCD$ 의 '''변'''이다. 같은 꼭짓점을 공유하는 두 변은 '''이웃변'''이고, 공통 꼭짓점을 갖지 않는 두 변은 '''대변'''이다. 사각형 $ABCD$ 의 이웃변은 ( $AB$ , $BC$ ), ( $BC$ , $CD$ ), ( $CD$ , $DA$ ), ( $DA$ , $AB$ )이고, 대변은 ( $AB$ , $CD$ ), ( $AD$ , $BC$ )이다. 변이 아닌 두 꼭짓점을 잇는 선분은 '''대각선'''이며, 사각형 $ABCD$ 의 대각선은 선분 $AC$ 와 $BD$ 이다.

3. 분류

사각형은 다음과 같이 분류할 수 있다.

단순 사각형: 꼭짓점이 아닌 곳에서 교차하는 변이 없는 사각형이다.
볼록 사각형: 둘레 위의 두 점을 잇는 선분이 항상 사각형 내부에 있는 사각형이다.
오목 사각형: 180°보다 큰 내각을 갖는 사각형이다. 한국 초·중등 교육과정에서는 "화살촉 모양" 등으로 불리며, 명시적으로 사각형에 포함시키지 않는 경우도 있다.
교차 사각형: 변끼리 교차하는 사각형이다.

임의의 사각형은 볼록 사각형, 오목 사각형, 교차 사각형 중 하나에 속한다.

3. 1. 단순 사각형의 종류

사다리꼴(UK) 또는 사다리꼴(US): 적어도 한 쌍의 마주보는 변이 평행하다.
등변 사다리꼴(UK) 또는 등변 사다리꼴(US): 한 쌍의 마주보는 변이 평행하고 밑변의 각도가 동일하다.
평행사변형: 두 쌍의 평행한 변을 가진 사각형이다. 마주보는 변의 길이가 같고, 마주보는 각도가 같으며, 대각선이 서로를 이등분한다.
마름모: 네 변의 길이가 모두 같다. 대각선이 서로 수직으로 이등분한다.
마름모꼴: 인접한 변의 길이가 서로 다르며 일부 각도가 엇각인 평행사변형이다.
직사각형: 네 각도가 모두 직각이다. 대각선이 서로 이등분하고 길이가 같다.
정사각형 (정규 사각형): 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각도가 모두 직각이다. 대각선이 서로 수직으로 이등분하고 길이가 같다.
직사각형: 가로보다 길거나, 세로보다 넓은 정사각형이 아닌 직사각형.^[5]
연: 인접한 두 쌍의 변의 길이가 같다. 한 대각선이 연을 합동 삼각형으로 나누어 각도를 두 쌍의 같은 변 사이에서 동일하게 만든다. 또한 대각선이 수직임을 의미한다.

3. 2. 특수한 사각형

'''사다리꼴''': 적어도 한 쌍의 대변이 평행한 사각형이다.
'''등변사다리꼴''': 사다리꼴 중에서 한 밑변을 끼고 있는 두 각의 크기가 같은 사각형이다. 두 대각선의 길이는 같고, 원에 내접한다.
'''연꼴''': 각각 길이가 같은 두 변에 의해 끼워진 대각을 갖는 사각형이다. 두 대각선은 서로 직교하며, 원에 외접한다.
'''직사각형''': 네 각의 크기가 모두 같은 사각형이다. 한 내각의 크기는 직각(90°)과 같다. 네 꼭짓점은 대각선의 교점으로부터 같은 거리에 있다(원에 내접한다). 평행사변형과 등변사다리꼴의 특별한 형태이다.
'''마름모''': 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이다. 네 변은 대각선의 교점으로부터 같은 거리에 있다(원에 외접한다). 평행사변형과 연꼴의 특별한 형태이다.
'''정사각형''': 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각의 크기가 모두 같은 사각형이다. 대각선의 길이는 같고, 직각으로 교차한다. 정다각형의 일종이며, 직사각형과 마름모의 특별한 형태이다.
'''평행사변형''': 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형이다.
'''원에 외접하는 사각형''': 내접원을 갖는 사각형이다. 두 쌍의 대변의 길이의 합이 같다.
'''원에 내접하는 사각형''': 외접원을 갖는 사각형이다. 두 쌍의 대각의 합은 각각 180°이다.
'''쌍심 사각형''': 내접원과 외접원을 모두 갖는 사각형이다.

4. 성질

사각형은 변과 꼭짓점이 각각 4개인 다각형이다. 사각형의 두 변이 같은 꼭짓점을 공유하면 서로 이웃변이라고 하고, 공통 꼭짓점을 갖지 않으면 대변이라고 한다. 사각형의 두 꼭짓점을 잇는 선분 중 변이 아닌 것을 대각선이라고 한다.

사각형은 대각선의 위치에 따라 종류를 구분할 수 있다.

볼록 사각형: 두 대각선이 모두 사각형 내부에 있다.
오목 사각형: 두 대각선 중 하나는 내부에, 다른 하나는 외부에 있다.
교차 사각형: 두 대각선이 모두 사각형 외부에 있다.

사각형의 종류에 따른 여러 가지 성질은 아래 표와 같다.

조건을 항상 만족하는 경우만 예에 해당함	정사각형	직사각형	마름모	평행사변형	등변사다리꼴	사다리꼴	연꼴
변의 길이가 모두 같은가?	예		예
각의 크기가 모두 같은가?	예	예
한 쌍의 대변이 평행한가?	예	예	예	예	예	예
두 쌍의 대변이 평행한가?	예	예	예	예	예
한 쌍의 대변의 길이가 같은가?	예	예	예	예	예
한 쌍의 대각의 크기가 같은가?	예	예	예	예			예
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은가?	예	예	예	예
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은가?	예	예	예	예
밑변의 두 밑각의 크기가 같은가?	예	예			예
꼭지각의 두 변의 길이가 같은가?	예		예				예
두 대각선이 중점에서 교차하는가?	예	예	예	예
두 대각선이 서로 수직인가?	예		예				예
두 대각선의 길이가 같은가?	예	예			예
두 대각선이 서로를 이등분하는가?	예	예	예	예
두 대각선 중 다른 대각선을 이등분하는 것이 존재하는가?	예	예	예	예			예
한 대각선이 도형을 이등분하는가?	예	예	예	예			예
두 대각선이 도형을 사등분하는가?	예		예
한 쌍의 대변의 중점을 연결한 직선이 도형을 이등분하는가?	예	예	예	예	예
합동인 두 도형으로 등분하는 방법이 무수히 많은가?	예	예	예	예
두 대각선 중 적어도 하나에 대해 대칭인가?	예		예				예
한 쌍의 대변의 중점을 연결한 두 직선 중 적어도 하나에 대하여 대칭인가?	예	예			예
이웃한 두 내각의 합이 180°인가?	예	예	예	예
이웃한 두 변의 길이의 합이 각각 같은가?	예	예	예	예
외접원이 존재하는가?	예	예			예
내접원이 존재하는가?	예		예
자기쌍대인가?	예			예

정사각형은 유일하게 위의 모든 조건을 만족하며, 2차원 이상의 도형 중에서는 유일하게 초입방체이면서 정축체이다. 반면 사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행하다는 정의를 제외하고는 어떤 조건도 항상 만족하지는 않는다.

볼록 사각형의 두 대각선의 길이를 $p$ , $q$ 라고 하고, 네 변의 길이를 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 라고 할 때, Cayley-Menger 행렬식에 의해 다음과 같은 관계가 성립한다.^[14]

: $\det \begin{bmatrix}0 & a^2 & p^2 & d^2 & 1 \\a^2 & 0 & b^2 & q^2 & 1 \\p^2 & b^2 & 0 & c^2 & 1 \\d^2 & q^2 & c^2 & 0 & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 0\end{bmatrix} = 0.$

4. 1. 대각선

볼록 사각형의 두 대각선은 사각형 내부에 포함된다.^[57] 오목 사각형의 경우, 두 대각선 중 하나는 내부에, 다른 하나는 외부에 있다.^[57] 교차 사각형의 두 대각선은 모두 사각형 외부에 있다.^[57]

볼록 사각형에서 두 대각선은 서로 마주보는 꼭짓점을 연결하는 선분이다.

사각형의 종류에 따라 대각선은 다음과 같은 성질을 가진다.^[25]

사각형	대각선 이등분	수직 대각선	같은 길이의 대각선
사다리꼴	아니요	참고 1 참조	아니요
등변사다리꼴	아니요	참고 1 참조	예
평행사변형	예	아니요	아니요
연	참고 2 참조	예	참고 2 참조
직사각형	예	아니요	예
마름모	예	예	아니요
정사각형	예	예	예

''참고 1: 일반적인 사다리꼴과 등변사다리꼴은 수직 대각선을 갖지 않지만, 수직 대각선을 가지면서 다른 명칭으로 불리지 않는 사다리꼴과 등변사다리꼴은 무한히 많다.''
''참고 2: 연의 경우, 한 대각선이 다른 대각선을 이등분한다. 일반적인 연은 대각선의 길이가 다르지만, 대각선의 길이가 같으면서 다른 명칭으로 불리지 않는 연은 무한히 많다.''

4. 2. 넓이

일반적인 사각형의 넓이는 여러 가지 방법으로 구할 수 있다.

두 대각선의 길이를 $e$ , $f$ 라고 하고 두 대각선 사이의 각의 크기를 $\theta$ 라고 할 경우, 넓이는 다음과 같다.^[14]^[15]

::

S=\frac 12ef\sin\theta

직교대각선 사각형(마름모, 정사각형, 연꼴 등)의 경우 위 공식은 $\theta$ 가 90°이므로 $K=\tfrac{pq}{2}$ 로 단순화된다.
이중 중앙선의 길이를 $m$ , $n$ 이라고 하고, 그 사이의 각도를 $\varphi$ 라고 할 경우, 넓이는 다음과 같이 표현할 수도 있다.^[18]

::

K = mn \sin \varphi,

브레슈나이더 공식^[16]^[14]은 변과 두 대각의 각도로 면적을 나타낸다.

:

\begin{align}K &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd \; [ 1 + \cos (A + C) ]} \\&= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd\, \cos^2 \tfrac12(A + C) }\end{align}

:: 여기서 변은 순서대로

a

,

b

,

c

,

d

이고,

s

는 반둘레이며,

A

와

C

는 두 대각이다.

변과 각도로 표현되는 또 다른 면적 공식은, 각도 $C$ 가 변 $b$ 와 $c$ 사이에 있고, $A$ 가 변 $a$ 와 $d$ 사이에 있을 때 다음과 같다.

:

K = \tfrac12 ad \sin{A} + \tfrac12 bc \sin{C}.

변과 대각선의 교차각 $\theta$ 를 사용하여 면적을 나타낼 수 있으며, $\theta$ 가 90°가 아닌 경우 다음과 같다.^[17]

:

K = \tfrac14 \left|\tan \theta\right| \cdot \left| a^2 + c^2 - b^2 - d^2 \right|.

변 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 를 포함하는 또 다른 면적 공식은 다음과 같다.^[18]

:

K=\tfrac12 \sqrt{\bigl((a^2+c^2)-2x^2\bigr)\bigl((b^2+d^2)-2x^2\bigr)} \sin{\varphi}

:: 여기서

x

는 대각선의 중점 사이의 거리이고,

\varphi

는 이중 중앙선 사이의 각도이다.

변 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 와 각도 $\alpha$ ( $a$ 와 $b$ 사이)를 포함하는 마지막 삼각법 면적 공식은 다음과 같다.^[19]

:

K=\tfrac12 ab \sin{\alpha}+\tfrac14 \sqrt{4c^2d^2-(c^2+d^2-a^2-b^2+2ab \cos{\alpha})^2} ,

:: 이것은 볼록하지 않은 사각형(각도

\alpha

반대편에 오목한 부분이 있는)의 면적에도 사용될 수 있으며, 단순히 첫 번째 부호

+

를

-

로 변경하면 된다.

다음 두 공식은 변 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , 반둘레 $s$ 및 대각선 $p$ , $q$ 를 사용하여 면적을 나타낸다.

:

K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)},

^[20]

:

K = \tfrac14 \sqrt{4p^2q^2 - \left( a^2 + c^2 - b^2 - d^2 \right)^2}.

^[21]

면적은 또한 이등변선 $m$ , $n$ 및 대각선 $p$ , $q$ 를 사용하여 나타낼 수 있다.

:

K=\tfrac12 \sqrt{(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)},

^[22]

:

K=\tfrac12 \sqrt{p^2q^2-(m^2-n^2)^2}.

^[23]

:: 실제로, 네 값

m

,

n

,

p

,

q

중 임의의 세 개만으로도 면적을 결정하기에 충분한데, 모든 사변형에서 네 값은

p^2+q^2=2(m^2+n^2).

^[31]으로 관련되어 있기 때문이다. 해당하는 표현식은 다음과 같다.^[24]

:

K=\tfrac12 \sqrt{[(m+n)^2-p^2]\cdot[p^2-(m-n)^2]},

:: 두 이등변선과 한 대각선의 길이가 주어지면, 그리고^[24]

:

K=\tfrac14 \sqrt{[(p+q)^2-4m^2]\cdot[4m^2-(p-q)^2]},

:: 두 대각선과 한 이등변선의 길이가 주어지면.

사각형 $ABCD$ 의 면적은 벡터를 사용하여 계산할 수 있다. 벡터 $\mathbf{AC}$ 와 $\mathbf{BD}$ 가 $A$ 에서 $C$ 로, $B$ 에서 $D$ 로 대각선을 형성한다고 하자. 그러면 사각형의 면적은 다음과 같다.

:

K = \tfrac12 |\mathbf{AC}\times\mathbf{BD}|,

:: 이는 벡터

\mathbf{AC}

와

\mathbf{BD}

의 외적 크기의 절반이다. 2차원 유클리드 공간에서, 벡터

\mathbf{AC}

를

(x_1,y_1)

와 같고

\mathbf{BD}

를

(x_2,y_2)

와 같은 데카르트 공간의 자유 벡터로 표현하면, 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

K = \tfrac12 |x_1 y_2 - x_2 y_1|.

평행사변형의 넓이는 밑변과 높이의 곱이다.^[58] 평행사변형의 이웃한 두 변의 길이를

a

,

b

라 하고, 그 끼인각을

\theta

라 하면, 넓이는

:

S=ab\sin\theta

이다. 이는 밑변을

b

라고 하면, 높이는

a\sin\theta

이기 때문이다.

특수한 사각형의 경우, 다음과 같이 더 간단한 공식으로 넓이를 계산할 수 있다.

도형	넓이 공식
정사각형	한 변²
직사각형	세로 × 가로
마름모, 연꼴, 직교대각선 사각형	대각선 × 다른 대각선 ÷ 2
평행사변형	밑변 × 높이
사다리꼴	(윗변 + 아랫변) × 높이 ÷ 2
원에 내접하는 사각형(공원 사변형)	브라마굽타 공식
원에 외접하는 사각형	내접원의 반지름 × 둘레 길이의 절반

4. 3. 무게 중심

사각형의 각 쌍의 대변의 중점을 잇는 직선과 두 대각선의 중점을 잇는 직선은 공점선이며, 서로가 서로를 이등분한다.^[57] 이들의 교점은 사각형의 네 꼭짓점의 무게 중심이다. 볼록 사각형일 경우 이 점을 이 사각형의 무게 중심으로 정의하나, 이는 일반적으로 사각형 내부의 무게 중심과 일치하지 않는다.

사각형의 중심은 여러 가지 방법으로 정의할 수 있다. "꼭짓점 무게중심"은 사각형이 비어 있지만 꼭짓점에 동일한 질량을 갖는 것으로 간주하여 나온다. "변 무게중심"은 변이 단위 길이당 일정한 질량을 갖는 것으로 간주하여 나온다. 일반적인 중심인 무게중심(면적 중심)은 사각형의 표면이 일정한 밀도를 갖는 것으로 간주하여 나온다. 이 세 점은 일반적으로 모두 동일한 점이 아니다.^[44]

"꼭짓점 무게중심"은 두 중선의 교점이다.^[45] 모든 다각형과 마찬가지로 꼭짓점 무게중심의 ''x'' 및 ''y'' 좌표는 꼭짓점의 ''x'' 및 ''y'' 좌표의 산술 평균이다.

사각형 ''ABCD''의 "면적 무게중심"은 다음과 같은 방식으로 구성할 수 있다. ''G_a'', ''G_b'', ''G_c'', ''G_d''를 각각 삼각형 ''BCD'', ''ACD'', ''ABD'', ''ABC''의 무게중심이라고 하자. 그러면 "면적 무게중심"은 선 ''G_aG_c''와 ''G_bG_d''의 교점이다.^[46]

5. 기타 성질

(주어진 원본 소스에 기타 성질에 대한 내용이 없고, 하위 섹션에서 해당 내용을 다루고 있으므로, 본 섹션에는 내용을 작성하지 않는다.)

5. 1. 바리뇽 정리

어떤 사각형(볼록, 오목 또는 교차)의 각 변의 중점을 연결하면 평행사변형이 만들어지는데, 이를 바리뇽 평행사변형이라고 한다. 바리뇽 평행사변형은 다음과 같은 특징을 갖는다.^[30]

원래 사각형의 대각선과 평행한 한 쌍의 마주보는 변을 가진다.
각 변의 길이는 그 변과 평행한 원래 사각형의 대각선 길이의 절반이다.
넓이는 원래 사각형 넓이의 절반이다. (볼록, 오목, 교차 사각형 모두 해당)
둘레는 원래 사각형의 두 대각선의 길이의 합과 같다.
바리뇽 평행사변형의 대각선은 원래 사각형의 이등변선이다.

5. 2. 각의 이등분선

볼록 사각형의 내각의 이등분선은 원내접사각형을 이루거나^[31] (즉, 인접한 각 이등분선의 네 교점은 공원점) 공점선이다. 후자의 경우 사각형은 접사각형이다.

사각형 ''ABCD''에서 ''A''와 ''C''의 각 이등분선이 대각선 ''BD''에서 만나면, ''B''와 ''D''의 각 이등분선은 대각선 ''AC''에서 만난다.^[29]

6. 참조

사각쌍뿔의 (빨간색) 옆 모서리는 정규 지그재그 비틀린 사각형을 나타낸다.

평면이 아닌 사각형을 '''비틀린 사각형'''이라고 한다. 변의 길이와 인접한 두 변 사이의 각도에서 이면각을 계산하는 공식은 네 개의 원자 "주름진" 고리를 포함하는 사이클로부테인과 같은 분자의 속성에 대한 연구를 위해 파생되었다.^[55] 역사적으로 '''고슈 사각형'''이라는 용어는 비틀린 사각형을 의미하는 데에도 사용되었다.^[56] 비틀린 사각형은 대각선과 함께 (아마도 불규칙한) 사면체를 형성하며, 반대로 모든 비틀린 사각형은 반대편 모서리 쌍이 제거된 사면체에서 나온다.

참조

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