각가속도

1. 개요

각가속도는 각속도의 시간 변화율로, 회전 운동에서 중요한 개념이다. 수학적으로는 각속도의 1계 시간 미분 또는 각도의 2계 시간 미분으로 정의되며, 벡터량으로 표현된다. 2차원에서는 유사 스칼라 값으로, 3차원에서는 유사 벡터로 표현된다. 원운동에서 돌림힘과 각가속도의 관계는 뉴턴의 제2법칙을 통해 설명되며, 토크와 관성 모멘트의 곱으로 나타낼 수 있다. 등각가속도 운동에서는 각가속도가 일정하며, 비등각가속도 운동에서는 시간에 따라 변화한다. 2차원 및 3차원 운동에서 각가속도의 정의와 특징이 다르며, 3차원에서는 각속도의 방향 변화만으로도 각가속도가 발생할 수 있다.

2. 수학적 정의

각가속도는 각속도의 시간에 따른 변화율로 정의된다. 수학적으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\{\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{d\{\backslash omega\}\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{d^2\{\backslash theta\}\}\{dt^2\}$

또는

:$\{\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{a\}\_\{T\}\}\{r\}$

여기서 $\{\backslash omega\}$는 각속도, $\backslash mathbf\{a\}\_\{T\}$는 접선 방향의 가속도, r은 곡률 반경이다.

각가속도는 벡터량이며, 그 방향은 오른나사의 방향과 같다. 크기는 각도의 2계 시간 미분 또는 각속도의 1계 시간 미분으로 주어 진다.

2.1. 2차원 정의

2차원 평면에서 각가속도는 유사 스칼라 값으로 표현되며, 각속도의 변화율을 나타낸다. 각가속도는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{d\backslash omega\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{d^2\backslash theta\}\{dt^2\}$ , 또는

:$\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{a\_T\}\{r\}$

여기서 $\backslash omega$는 각속도, $a\_T$는 접선방향의 가속도, $r$은 곡률 반경이다.

임의의 시점에서 순간 각속도 ω는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash omega\; =\; \backslash frac\{v\_\{\backslash perp\}\}\{r\},$

여기서 $r$은 원점으로부터의 거리이고, $v\_\{\backslash perp\}$는 순간 속도의 가로-반경 방향 성분(즉, 위치 벡터에 수직인 성분)이며, 반시계 방향 운동에 대해 양의 값을, 시계 방향 운동에 대해 음의 값을 갖는다.

따라서 입자의 순간 각가속도 α는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash left(\backslash frac\{v\_\{\backslash perp\}\}\{r\}\backslash right).$

미분 적분학의 곱 규칙을 사용하여 우변을 전개하면 다음이 된다.

:$\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{1\}\{r\}\; \backslash frac\{dv\_\backslash perp\}\{dt\}\; -\; \backslash frac\{v\_\backslash perp\}\{r^2\}\; \backslash frac\{dr\}\{dt\}.$

입자가 원점을 중심으로 원운동을 하는 특수한 경우, $\backslash frac\{dv\_\{\backslash perp\}\}\{dt\}$는 접선 가속도 $a\_\{\backslash perp\}$가 되고, $\backslash frac\{dr\}\{dt\}$는 0이 되므로(원점으로부터의 거리가 일정하게 유지되므로) 위의 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

:$\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{a\_\{\backslash perp\}\}\{r\}.$

2차원에서 각가속도는 방향을 나타내는 것이 아니라 방향을 표시하는 부호를 가진 숫자이다. 각속도가 반시계 방향으로 증가하거나 시계 방향으로 감소하는 경우 부호는 양수로 간주하고, 각속도가 시계 방향으로 증가하거나 반시계 방향으로 감소하는 경우 부호는 음수로 간주한다.

2.2. 3차원 정의

3차원 공간에서 궤도 각가속도는 3차원 궤도 각속도 벡터가 시간에 따라 변화하는 속도를 의미한다. 임의의 시점에서의 순간 각속도 벡터 $\backslash boldsymbol\backslash omega$는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash boldsymbol\backslash omega\; =\backslash frac\{\backslash mathbf\; r\; \backslash times\; \backslash mathbf\; v\}\{r^2\}\; ,$

여기서 $\backslash mathbf\; r$은 입자의 위치 벡터, $r$은 원점으로부터의 거리, $\backslash mathbf\; v$는 속도 벡터이다.

따라서, 궤도 각가속도는 다음과 같이 정의되는 벡터 $\backslash boldsymbol\backslash alpha$이다.

:$\backslash boldsymbol\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\; r\; \backslash times\; \backslash mathbf\; v\}\{r^2\}\backslash right).$

이 미분을 외적에 대한 곱의 규칙과 일반적인 몫의 규칙을 사용하여 전개하면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\boldsymbol\alpha &= \frac{1}{r^2} \left(\mathbf r\times \frac{d\mathbf v}{dt} + \frac{d\mathbf r}{dt} \times \mathbf v\right) - \frac{2}{r^3}\frac{dr}{dt} \left(\mathbf r\times\mathbf v\right)\\
\\
&= \frac{1}{r^2}\left(\mathbf r\times \mathbf a + \mathbf v\times \mathbf v\right) - \frac{2}{r^3}\frac{dr}{dt} \left(\mathbf r\times\mathbf v\right)\\
\\
&= \frac{\mathbf r\times \mathbf a}{r^2} - \frac{2}{r^3}\frac{dr}{dt}\left(\mathbf r\times\mathbf v\right).
\end{align}

$\backslash mathbf\; r\backslash times\backslash mathbf\; v$가 단순히 $r^2\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$이므로, 두 번째 항은 $-\backslash frac\{2\}\{r\}\backslash frac\{dr\}\{dt\}\; \backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$로 다시 쓸 수 있다. 입자의 원점으로부터의 거리 $r$이 시간에 따라 변하지 않는 경우 (이에는 원운동이 특수한 경우로 포함됨), 두 번째 항은 사라지고 위의 공식은 다음과 같이 단순화된다.

:$\backslash boldsymbol\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\; r\backslash times\; \backslash mathbf\; a\}\{r^2\}.$

위 식으로부터, 이 특수한 경우에 횡반경 가속도를 다음과 같이 구할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{a\}\_\{\backslash perp\}\; =\; \backslash boldsymbol\{\backslash alpha\}\; \backslash times\backslash mathbf\{r\}.$

2차원과 달리, 3차원에서의 각가속도는 각속력 $\backslash omega\; =\; |\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}|$의 변화와 반드시 연관될 필요는 없다. 입자의 위치 벡터가 공간에서 "꼬이면서" 순간적인 각 변위 평면을 변경하면, 각속도 $\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$의 방향의 변화는 여전히 0이 아닌 각가속도를 생성할 것이다. 위치 벡터가 고정된 평면에 제한되어 있는 경우에는 이러한 현상이 발생할 수 없으며, 이 경우 $\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$는 평면에 수직인 고정된 방향을 갖는다.

각가속도 벡터는 더 정확하게는 유사벡터라고 불린다. 이 벡터는 점의 데카르트 좌표와 동일한 방식으로 회전 변환에 따라 변환되지만, 반사 변환에 따라 데카르트 좌표와 같이 변환되지 않는 세 개의 성분을 갖는다.

3. 운동 방정식

회전 운동에서 뉴턴의 운동 제2법칙을 적용하여 토크와 각가속도의 관계를 나타낼 수 있다.

* 일반적인 경우:
::$\backslash boldsymbol\{\backslash tau\}\; =\; mr^2\; \backslash boldsymbol\{\backslash alpha\}+2mr\backslash frac\{dr\}\{dt\}\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}.$

여기서,
* $\backslash boldsymbol\{\backslash tau\}$는 토크
* $m$은 질량
* $r$은 원점으로부터의 거리
* $\backslash boldsymbol\{\backslash alpha\}$는 각가속도
* $\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$는 각속도
* $\backslash frac\{dr\}\{dt\}$는 원점으로부터 거리의 시간에 대한 변화율

토크는 입자에 작용하는 순 힘($\backslash mathbf\{F\}$)과 위치 벡터($\backslash mathbf\{r\}$)의 외적으로 정의된다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash tau\}\; =\; \backslash mathbf\; r\; \backslash times\; \backslash mathbf\; F,$

이 식에 $\backslash mathbf\; F\; =\; m\backslash mathbf\; a$를 대입하면,

:$\backslash boldsymbol\{\backslash tau\}\; =\; m\backslash left(\backslash mathbf\; r\backslash times\; \backslash mathbf\; a\backslash right)\; =\; mr^2\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\; r\backslash times\; \backslash mathbf\; a\}\{r^2\}\backslash right).$

이고, 각가속도와 각속도의 관계식

:$\backslash boldsymbol\{\backslash alpha\}=\backslash frac\{\backslash mathbf\; r\backslash times\; \backslash mathbf\; a\}\{r^2\}-\backslash frac\{2\}\{r\}\; \backslash frac\{dr\}\{dt\}\backslash boldsymbol\{\backslash omega\},$

을 이용하여 정리하면 일반적인 경우의 식을 얻을 수 있다.

입자가 원점으로부터 일정한 거리 $r$을 유지하는 특수한 경우($\backslash tfrac\{\; dr\; \}\; \{dt\}\; =\; 0$)에는 위 식의 두 번째 항이 사라져 다음과 같이 식이 단순화된다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash tau\}\; =\; mr^2\backslash boldsymbol\{\backslash alpha\},$

3.1. 토크와의 관계

원운동에서 돌림힘과 각가속도 사이의 관계를 설명하기 위해 뉴턴의 제2법칙을 적용할 수 있다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash tau\}\; =\; I\; \backslash boldsymbol\{\backslash alpha\}$

여기서 $\backslash boldsymbol\{\backslash tau\}$는 물체에 작용하는 알짜 돌림힘이고, $I$는 관성 모멘트이다. 토크는 힘의 회전적 아날로그이다. 즉, 힘이 시스템의 병진 운동 상태의 변화를 유발하는 것처럼, 토크는 시스템의 회전 상태의 변화를 유발한다.

입자의 원점으로부터의 거리 $r$이 시간에 따라 변하지 않는 경우, 위의 식은 다음과 같이 단순화된다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash tau\}\; =\; mr^2\; \backslash boldsymbol\{\backslash alpha\}$

여기서 $m$은 질량이다. 이는 $\backslash mathbf\; F\; =\; m\backslash mathbf\; a$에 대한 "회전적 아날로그"로 해석할 수 있으며, $mr^2$ (입자의 관성 모멘트로 알려짐)는 질량 $m$의 역할을 한다. 그러나 이 방정식은 임의의 궤적에 적용되지 않고, 원점에 대한 구 껍질 내에 포함된 궤적에만 적용된다.

3.2. 등각가속도 운동

물체에 작용하는 돌림힘(토크) $\backslash tau$가 일정하면, 각가속도 역시 일정하게 된다. 이러한 경우, 상수인 각가속도는 다음과 같이 구할 수 있다.
:$\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{\backslash tau\}\{I\}$
토크 $\backslash vec\{\backslash tau\}$가 상수인 경우, 각가속도 또한 상수가 된다. 이 특수한 경우, 앞서 언급한 방정식은 간단히 상수 계수 방정식으로 쓸 수 있다.
:$\backslash vec\{\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{\backslash vec\{\backslash tau\}\}\{I\}$

3.3. 비등각가속도 운동

물체에 작용하는 돌림힘이 일정하지 않으면, 물체의 각가속도는 시간에 따라 변한다. 따라서 위의 식은 상수가 아닌 미분방정식 형태를 띠게 된다. 이 미분방정식이 계의 운동방정식이고, 물체의 운동을 완벽하게 설명할 수 있다.

4. 2차원 및 3차원 운동에서의 각가속도

2차원 및 3차원 운동에서 각가속도는 각속도의 변화율을 나타낸다.

2차원 운동에서 각가속도(α)는 원점을 중심으로 하는 입자의 2차원 궤도 각속도가 변화하는 비율이다. 순간 각속도 ω는 ω^영어 = v⊥^영어/r 로 주어지는데, 여기서 r은 원점으로부터의 거리, v⊥^영어는 순간 속도의 가로-반경 방향 성분(위치 벡터에 수직인 성분)이다. v⊥^영어는 반시계 방향 운동에 대해 양, 시계 방향 운동에 대해 음의 값을 갖는다. 따라서 각가속도는 α^영어 = d/dt(v⊥^영어/r)로 주어진다.

3차원 운동에서 각가속도는 3차원 궤도 각속도 벡터가 시간에 따라 변화하는 속도를 의미한다. 순간 각속도 벡터는 ω = (r × v)/r² 로 주어지는데, 여기서 r은 위치 벡터, r은 원점으로부터의 거리, v는 속도 벡터이다. 따라서 궤도 각가속도 α는 다음과 같이 정의된다: α = d/dt(((r × v)/r²).

4.1. 2차원 운동

2차원에서 궤도 각가속도는 원점을 중심으로 하는 입자의 2차원 궤도 각속도가 변화하는 비율을 나타낸다. 임의의 시점에서의 순간 각속도 ω는 다음과 같이 주어진다.

:ω^영어 = v⊥^영어/r

여기서 r은 원점으로부터의 거리이고, v⊥^영어는 순간 속도의 가로-반경 방향 성분(즉, 위치 벡터에 수직인 성분)이며, 반시계 방향 운동에 대해 양의 값을, 시계 방향 운동에 대해 음의 값을 갖는 것으로 정의한다.

따라서 입자의 순간 각가속도 α는 다음과 같이 주어진다.

:α^영어 = d/dt(v⊥^영어/r)

미분 적분학의 곱 규칙을 사용하여 우변을 전개하면 다음이 된다.

:α^영어 = 1/r dv⊥^영어/dt - v⊥^영어/r^2 dr^영어/dt

입자가 원점을 중심으로 원운동을 하는 특수한 경우, dv⊥^영어/dt는 접선 가속도 a⊥^영어가 되고, dr^영어/dt는 0이 되므로(원점으로부터의 거리가 일정하게 유지되므로) 위의 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

:α^영어 = a⊥^영어/r

2차원에서 각가속도는 방향을 나타내는 것이 아니라 방향을 표시하는 부호를 가진 숫자이다. 각속도가 반시계 방향으로 증가하거나 시계 방향으로 감소하는 경우 부호는 양수로 간주하고, 각속도가 시계 방향으로 증가하거나 반시계 방향으로 감소하는 경우 부호는 음수로 간주한다. 각가속도는 그런 다음 유사 스칼라라고 할 수 있으며, 이는 하나의 축을 반전시키거나 두 축을 전환하는 것과 같이 패리티 반전에서 부호가 바뀌는 수량이다.

4.2. 3차원 운동

3차원 공간에서 궤도 각가속도는 3차원 궤도 각속도 벡터가 시간에 따라 변화하는 속도를 의미한다. 임의의 시점에서 순간 각속도 벡터 $\backslash boldsymbol\backslash omega$는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash boldsymbol\backslash omega\; =\backslash frac\{\backslash mathbf\; r\; \backslash times\; \backslash mathbf\; v\}\{r^2\}\; ,$

여기서 $\backslash mathbf\; r$은 입자의 위치 벡터, $r$은 원점으로부터의 거리, $\backslash mathbf\; v$는 속도 벡터이다.

따라서 궤도 각가속도는 다음과 같이 정의되는 벡터 $\backslash boldsymbol\backslash alpha$이다.

:$\backslash boldsymbol\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\; r\; \backslash times\; \backslash mathbf\; v\}\{r^2\}\backslash right).$

이 미분을 외적에 대한 곱의 규칙과 일반적인 몫의 규칙을 사용하여 전개하면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\boldsymbol\alpha &= \frac{1}{r^2} \left(\mathbf r\times \frac{d\mathbf v}{dt} + \frac{d\mathbf r}{dt} \times \mathbf v\right) - \frac{2}{r^3}\frac{dr}{dt} \left(\mathbf r\times\mathbf v\right)\\
\\
&= \frac{1}{r^2}\left(\mathbf r\times \mathbf a + \mathbf v\times \mathbf v\right) - \frac{2}{r^3}\frac{dr}{dt} \left(\mathbf r\times\mathbf v\right)\\
\\
&= \frac{\mathbf r\times \mathbf a}{r^2} - \frac{2}{r^3}\frac{dr}{dt}\left(\mathbf r\times\mathbf v\right).
\end{align}

$\backslash mathbf\; r\backslash times\backslash mathbf\; v$가 단순히 $r^2\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$이므로, 두 번째 항은 $-\backslash frac\{2\}\{r\}\backslash frac\{dr\}\{dt\}\; \backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$로 다시 쓸 수 있다. 입자의 원점으로부터의 거리 $r$이 시간에 따라 변하지 않는 경우 (이에는 원운동이 특수한 경우로 포함됨), 두 번째 항은 사라지고 위의 공식은 다음과 같이 단순화된다.

:$\backslash boldsymbol\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\; r\backslash times\; \backslash mathbf\; a\}\{r^2\}.$

위 식으로부터, 이 특수한 경우에 횡반경 가속도를 다음과 같이 구할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{a\}\_\{\backslash perp\}\; =\; \backslash boldsymbol\{\backslash alpha\}\; \backslash times\backslash mathbf\{r\}.$

2차원과 달리, 3차원에서의 각가속도는 각속력 $\backslash omega\; =\; |\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}|$의 변화와 반드시 연관될 필요는 없다. 입자의 위치 벡터가 공간에서 "꼬이면서" 순간적인 각 변위 평면을 변경하면, 각속도 $\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$의 방향의 변화는 여전히 0이 아닌 각가속도를 생성한다. 위치 벡터가 고정된 평면에 제한되어 있는 경우에는 이러한 현상이 발생할 수 없으며, 이 경우 $\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}$는 평면에 수직인 고정된 방향을 갖는다.

각가속도 벡터는 더 정확하게는 유사벡터라고 불린다. 이 벡터는 점의 데카르트 좌표와 동일한 방식으로 회전 변환에 따라 변환되지만, 반사 변환에 따라 데카르트 좌표와 같이 변환되지 않는 세 개의 성분을 갖는다.