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원운동

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목차

1. 개요

원운동은 물체가 원 궤도를 따라 움직이는 운동으로, 속력의 변화에 따라 등속 원운동과 비등속 원운동으로 구분된다. 등속 원운동은 일정한 속력으로 원을 그리며, 속도는 변하지만 가속도는 회전 중심을 향하는 구심 가속도를 갖는다. 비등속 원운동은 속력이 변하며, 접선 가속도가 추가되어 알짜 가속도는 접선 가속도와 구심 가속도의 합으로 나타난다. 원운동은 극좌표, 복소수를 이용하여 표현할 수 있으며, 상대론적 효과도 고려할 수 있다. 원운동의 분석에는 힘 분석이 중요하며, 구심력과 접선 가속도를 고려하여 문제를 해결한다.

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원운동

2. 등속 원운동

물리학에서 '''등속 원운동'''은 일정한 속력으로 원 궤도를 따라 움직이는 물체의 운동을 설명한다. 물체가 원운동을 하므로 회전축으로부터의 거리는 항상 일정하게 유지된다. 물체의 속력은 일정하지만, 그 속도는 일정하지 않다. 속도는 벡터 양이므로 물체의 속력과 이동 방향 모두에 따라 달라지는데, 이 변화하는 속도는 가속도의 존재를 나타낸다. 이 구심 가속도는 크기가 일정하며 항상 회전축을 향한다. 이 가속도는 다시 크기가 일정하고 회전축을 향하는 구심력에 의해 발생한다.[1]

고정 축 주위의 회전의 경우, 경로의 반지름에 비해 무시할 수 없을 정도로 작지 않은 강체의 경우, 몸체의 각 입자는 동일한 각속도로 등속 원운동을 묘사하지만 축에 대한 위치에 따라 속도와 가속도가 달라진다.

그림 1: 각속도 에서 등속 원운동에서의 속도 와 가속도 ; 속력은 일정하지만, 속도는 항상 궤도에 접선 방향이다. 가속도는 크기가 일정하지만 항상 회전 중심을 향한다.


그림 2: 시간 와 시간 에서의 속도 벡터는 왼쪽 궤도에서 오른쪽에서 꼬리가 일치하는 새로운 위치로 이동된다. 속도는 에서 크기가 고정되어 있으므로 속도 벡터도 각속도 에서 원형 경로를 휩쓸고 있다. 으로, 가속도 벡터 는 에 수직이 되며, 이는 왼쪽 원에서 궤도의 중심을 향한다는 것을 의미한다. 각도 는 두 속도 사이의 매우 작은 각도이며 으로 갈수록 0으로 수렴한다.


그림 3: (왼쪽) 원운동하는 공 – 밧줄은 공을 원 안에 유지하기 위해 구심력을 제공한다. (오른쪽) 밧줄이 끊어지고 공은 밧줄이 끊어진 시점의 속도로 뉴턴의 관성에 따라 직선으로 계속 이동한다. 구심력이 더 이상 존재하지 않기 때문이다.

2. 1. 등속 원운동의 운동 방정식



그림 1: 등속 원운동의 벡터 관계; 회전을 나타내는 벡터 는 궤도면에 수직이다.


반지름 의 원에서의 운동에 대해, 원의 둘레는 이다. 한 회전에 대한 주기가 라면, 각속도로도 알려진 회전의 각속도 는 다음과 같다.

\omega = \frac {2 \pi}{T} = 2\pi f = \frac{d\theta}{dt}

단위는 라디안/초이다.

원 운동하는 물체의 속도는 다음과 같다.

v = \frac{2 \pi r}{T} = \omega r

시간 동안 휩쓸린 각도 는 다음과 같다.

\theta = 2 \pi \frac{t}{T} = \omega t

입자의 각가속도 는 다음과 같다.

\alpha = \frac{d\omega}{dt}

등속 원운동의 경우, 는 0이 된다.

방향 변화로 인한 가속도는 다음과 같다.

a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r

구심력과 원심력은 가속도를 사용하여 찾을 수도 있다.

F_c = \dot{p} \mathrel\overset{\dot{m} = 0}{=} ma_c = \frac{mv^2}{r}

벡터 관계는 그림 1에 나와 있다. 회전축은 궤도면에 수직이고 크기가 인 벡터 로 표시된다. 의 방향은 오른손 법칙을 사용하여 선택된다. 회전을 묘사하는 이 규칙에 따라 속도는 다음과 같이 외적으로 주어진다.

\mathbf{v} = \boldsymbol \omega \times \mathbf r ,

이는 와 모두에 수직이고, 궤도에 접하며, 크기가 인 벡터이다. 마찬가지로, 가속도는 다음과 같다.

\mathbf{a} = \boldsymbol \omega \times \mathbf v = \boldsymbol \omega \times \left( \boldsymbol \omega \times \mathbf r \right) ,

이는 와 모두에 수직이고 크기가 이며 의 반대 방향을 향하는 벡터이다.[1]

가장 간단한 경우, 속도, 질량 및 반지름은 일정하다.

반지름이 1미터이고 각속도가 1라디안/초인, 1킬로그램의 물체를 생각해 보자.

그림 1은 궤도의 네 지점에서 등속 원운동의 속도 및 가속도 벡터를 보여준다. 속도 는 원형 경로에 접하기 때문에, 두 속도가 같은 방향을 가리키는 경우는 없다. 물체는 일정한 ''속력''을 갖지만, 그 ''방향''은 항상 변한다. 이러한 속도 변화는 가속도 에 의해 발생하며, 가속도의 크기는 (속도와 마찬가지로) 일정하게 유지되지만, 방향 또한 항상 변한다. 가속도는 방사형 안쪽(구심 방향)을 가리키며 속도에 수직이다. 이 가속도를 구심 가속도라고 한다.

반경이 인 경로에서, 각도 가 휩쓸리면, 궤도의 둘레를 따라 이동한 거리는 이다. 따라서 궤도 주위를 이동하는 속력은 다음과 같다.

v = r \frac{d\theta}{dt} = r\omega ,

여기서 각속도는 이다. (재배열하면, .) 따라서, 는 상수이고, 속도 벡터 또한 같은 각속도 로, 크기 를 유지하며 회전한다.

그림 2의 왼쪽 원은 두 인접한 시점에서의 속도 벡터를 보여주는 궤도이다. 오른쪽에서는 이 두 속도가 꼬리가 일치하도록 이동되었다. 속도가 일정하기 때문에 오른쪽의 속도 벡터는 시간이 지남에 따라 원을 그린다. 쓸린 각도 에 대해 의 변화는 에 수직이고 크기가 인 벡터이며, 이는 가속도의 크기가 다음과 같음을 의미한다.

a_c = v \frac{d\theta}{dt} = v\omega = \frac{v^2}{r}

물체가 ''xy'' 평면상에서 원점 O를 중심으로 하는 반지름 ''r''의 원운동을 한다고 가정한다. 물체의 위치를 점 P라고 할 때, x축과 OP가 이루는 각을 \theta라고 하면, 물체의 ''x'', ''y'' 좌표는 다음과 같다.

위 식을 시간 ''t''로 미분하면,

를 얻는다. \dot{\theta}를 각속도라고 한다. \dot{\theta}가 일정한 원운동을 '''등속 원운동'''이라고 한다. 이 일정한 값을 \omega라고 하면, \dot{\theta}=\omega에서 \theta=\omega t+\alpha(시간 ''t''에 대해 적분하고 있으며, \alpha는 적분 상수로, 물리에서는 ''초기 조건''이며, 이 경우에는 초기 위상)라고 할 수 있다. 위 식들로부터,

가 되고, 물체의 속력 ''v''는 ''x'', ''y'' 각 속도 성분을 v_x, v_y라고 하면,

로 나타낼 수 있으며, \mathbf{v}^2=v_x^2+v_y^2이므로, 위 식으로부터 \mathbf{v}^2=r^2\omega ^2을 얻는다. 따라서, ''v''는 다음과 같이 나타낸다.

위 식을 다시 ''t''로 미분하면,

가속도 ''a''는, \mathbf{a}^2=a_x^2+a_y^2로 나타낼 수 있으므로, ''a''와 반지름 ''r'' 사이에는 다음 관계가 성립한다.

몇 가지 반경 값과 속도 크기에 대한 구심 가속도
colspan="2" rowspan="2" |1 m/s
3.6 km/h
2.2 mph		2 m/s
7.2 km/h
4.5 mph		5 m/s
18 km/h
11 mph		10 m/s
36 km/h
22 mph		20 m/s
72 km/h
45 mph		50 m/s
180 km/h
110 mph		100 m/s
360 km/h
220 mph
느린 걷기자전거시내 차량곡예비행
10 cm
3.9 in		실험실
원심분리기		10 m/s2
1.0 g		40 m/s2
4.1 g		250 m/s2
25 g		1.0 km/s2
100 g		4.0 km/s2
410 g		25 km/s2
2500 g		100 km/s2
10000 g
20 cm
7.9 in		5.0 m/s2
0.51 g		20 m/s2
2.0 g		130 m/s2
13 g		500 m/s2
51 g		2.0 km/s2
200 g		13 km/s2
1300 g		50 km/s2
5100 g
50 cm
1.6 ft		2.0 m/s2
0.20 g		8.0 m/s2
0.82 g		50 m/s2
5.1 g		200 m/s2
20 g		800 m/s2
82 g		5.0 km/s2
510 g		20 km/s2
2000 g
1 m
3.3 ft		놀이터
회전목마		1.0 m/s2
0.10 g		4.0 m/s2
0.41 g		25 m/s2
2.5 g		100 m/s2
10 g		400 m/s2
41 g		2.5 km/s2
250 g		10 km/s2
1000 g
2 m
6.6 ft		500 mm/s2
0.051 g		2.0 m/s2
0.20 g		13 m/s2
1.3 g		50 m/s2
5.1 g		200 m/s2
20 g		1.3 km/s2
130 g		5.0 km/s2
510 g
5 m
16 ft		200 mm/s2
0.020 g		800 mm/s2
0.082 g		5.0 m/s2
0.51 g		20 m/s2
2.0 g		80 m/s2
8.2 g		500 m/s2
51 g		2.0 km/s2
200 g
10 m
33 ft		롤러코스터
수직 루프		100 mm/s2
0.010 g		400 mm/s2
0.041 g		2.5 m/s2
0.25 g		10 m/s2
1.0 g		40 m/s2
4.1 g		250 m/s2
25 g		1.0 km/s2
100 g
20 m
66 ft		50 mm/s2
0.0051 g		200 mm/s2
0.020 g		1.3 m/s2
0.13 g		5.0 m/s2
0.51 g		20 m/s2
2 g		130 m/s2
13 g		500 m/s2
51 g
50 m
160 ft		20 mm/s2
0.0020 g		80 mm/s2
0.0082 g		500 mm/s2
0.051 g		2.0 m/s2
0.20 g		8.0 m/s2
0.82 g		50 m/s2
5.1 g		200 m/s2
20 g
100 m
330 ft		고속도로
진입 램프		10 mm/s2
0.0010 g		40 mm/s2
0.0041 g		250 mm/s2
0.025 g		1.0 m/s2
0.10 g		4.0 m/s2
0.41 g		25 m/s2
2.5 g		100 m/s2
10 g
200 m
660 ft		5.0 mm/s2
0.00051 g		20 mm/s2
0.0020 g		130 m/s2
0.013 g		500 mm/s2
0.051 g		2.0 m/s2
0.20 g		13 m/s2
1.3 g		50 m/s2
5.1 g
500 m
1600 ft		2.0 mm/s2
0.00020 g		8.0 mm/s2
0.00082 g		50 mm/s2
0.0051 g		200 mm/s2
0.020 g		800 mm/s2
0.082 g		5.0 m/s2
0.51 g		20 m/s2
2.0 g
1 km
3300 ft		고속철도1.0 mm/s2
0.00010 g		4.0 mm/s2
0.00041 g		25 mm/s2
0.0025 g		100 mm/s2
0.010 g		400 mm/s2
0.041 g		2.5 m/s2
0.25 g		10 m/s2
1.0 g


2. 2. 등속 원운동의 구심력

물리학에서 '''등속 원운동'''은 일정한 속력으로 원 궤도를 따라 움직이는 물체의 운동을 설명한다. 물체가 원운동을 하므로 회전축으로부터의 거리는 항상 일정하게 유지된다. 물체의 속력은 일정하지만, 그 속도는 일정하지 않다. 속도는 벡터 양이므로 물체의 속력과 이동 방향 모두에 따라 달라진다. 이 변화하는 속도는 가속도의 존재를 나타낸다. 이 구심 가속도는 크기가 일정하며 항상 회전축을 향한다. 이 가속도는 다시 크기가 일정하고 회전축을 향하는 구심력에 의해 발생한다.[1]

반지름 \( r \)의 원에서의 운동에 대해, 원의 둘레는 \( C = 2\pi r \) 이다. 한 회전에 대한 주기가 \( T \)라면, 각속도로도 알려진 회전의 각속도 \( \omega \)는 다음과 같다.

: \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f = \frac{d\theta}{dt} (단위는 라디안/초)

원운동하는 물체의 속도는 다음과 같다.

: v = \frac{2\pi r}{T} = \omega r

시간 \( t \) 동안 휩쓸린 각도 \( \theta \)는 다음과 같다.

: \theta = 2\pi \frac{t}{T} = \omega t

입자의 각가속도 \( \alpha \)는 다음과 같다.

: \alpha = \frac{d\omega}{dt}

등속 원운동의 경우, \( \alpha \)는 0이 된다.

방향 변화로 인한 가속도는 다음과 같다.

: a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r

구심력과 원심력은 가속도를 사용하여 찾을 수도 있다.

: F_c = \dot{p} \mathrel{\overset{\dot{m} = 0}{=} } ma_c = \frac{mv^2}{r}

벡터 관계는 그림 1에 나와 있다. 회전축은 궤도면에 수직이고 크기가 \( \omega = d\theta/dt \)인 벡터 \( \boldsymbol{\omega} \)로 표시된다. \( \boldsymbol{\omega} \)의 방향은 오른손 법칙을 사용하여 선택된다. 회전을 묘사하는 이 규칙에 따라 속도는 다음과 같이 외적으로 주어진다.

: \mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}

이는 \( \boldsymbol{\omega} \)와 \( \mathbf{r}(t) \) 모두에 수직이고, 궤도에 접하며, 크기가 \( \omega r \)인 벡터이다. 마찬가지로, 가속도는 다음과 같다.

: \mathbf{a} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})

이는 \( \boldsymbol{\omega} \)와 \( \mathbf{v}(t) \) 모두에 수직이고 크기가 \( \omega |\mathbf{v}| = \omega^2 r \)이며 \( \mathbf{r}(t) \)의 반대 방향을 향하는 벡터이다.[1]

가장 간단한 경우, 속도, 질량 및 반지름은 일정하다.

반지름이 1미터이고 각속도가 1라디안/초인, 1킬로그램의 물체를 생각해 보자.

그림 2의 왼쪽 원은 두 인접한 시점에서의 속도 벡터를 보여주는 궤도이다. 오른쪽에서는 이 두 속도가 꼬리가 일치하도록 이동되었다. 속도가 일정하기 때문에 오른쪽의 속도 벡터는 시간이 지남에 따라 원을 그린다. 쓸린 각도 \( d\theta = \omega dt \)에 대해 \( \mathbf{v} \)의 변화는 \( \mathbf{v} \)에 수직이고 크기가 \( v d\theta \)인 벡터이며, 이는 가속도의 크기가 다음과 같음을 의미한다.

: a_c = v \frac{d\theta}{dt} = v\omega = \frac{v^2}{r}

몇 가지 반경 값과 속도 크기에 대한 구심 가속도
colspan="2" rowspan="2" |1 m/s
3.6 km/h
2.2 mph		2 m/s
7.2 km/h
4.5 mph		5 m/s
18 km/h
11 mph		10 m/s
36 km/h
22 mph		20 m/s
72 km/h
45 mph		50 m/s
180 km/h
110 mph		100 m/s
360 km/h
220 mph
느린 걷기자전거시내 차량곡예비행
10cm
3.9 in ! 실험실
원심분리기		10m/s2
1.0 g		40m/s2
4.1 g		250m/s2
25 g		1km/s2
100 g		4km/s2
410 g		25km/s2
2500 g		100km/s2
10000 g
20cm
7.9 in		5m/s2
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2.0 g		130m/s2
13 g		500m/s2
51 g		2km/s2
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1300 g		50km/s2
5100 g
50cm
1.6 ft		2m/s2
0.20 g		8m/s2
0.82 g		50m/s2
5.1 g		200m/s2
20 g		800m/s2
82 g		5km/s2
510 g		20km/s2
2000 g
1m
3.3 ft		놀이터
회전목마		1m/s2
0.10 g		4m/s2
0.41 g		25m/s2
2.5 g		100m/s2
10 g		400m/s2
41 g		2.5km/s2
250 g		10km/s2
1000 g
2m
6.6 ft		500mm/s2
0.051 g		2m/s2
0.20 g		13m/s2
1.3 g		50m/s2
5.1 g		200m/s2
20 g		1.3km/s2
130 g		5km/s2
510 g
5m
16 ft		200mm/s2
0.020 g		800mm/s2
0.082 g		5m/s2
0.51 g		20m/s2
2.0 g		80m/s2
8.2 g		500m/s2
51 g		2km/s2
200 g
10m
33 ft		롤러코스터
수직 루프		100mm/s2
0.010 g		400mm/s2
0.041 g		2.5m/s2
0.25 g		10m/s2
1.0 g		40m/s2
4.1 g		250m/s2
25 g		1km/s2
100 g
20m
66 ft		50mm/s2
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0.13 g		5m/s2
0.51 g		20m/s2
2 g		130m/s2
13 g		500m/s2
51 g
50m
160 ft		20mm/s2
0.0020 g		80mm/s2
0.0082 g		500mm/s2
0.051 g		2m/s2
0.20 g		8m/s2
0.82 g		50m/s2
5.1 g		200m/s2
20 g
100m
330 ft		고속도로
진입 램프		10mm/s2
0.0010 g		40mm/s2
0.0041 g		250mm/s2
0.025 g		1m/s2
0.10 g		4m/s2
0.41 g		25m/s2
2.5 g		100m/s2
10 g
200m
660 ft		5mm/s2
0.00051 g		20mm/s2
0.0020 g		130m/s2
0.013 g		500mm/s2
0.051 g		2m/s2
0.20 g		13m/s2
1.3 g		50m/s2
5.1 g
500m
1600 ft		2mm/s2
0.00020 g		8mm/s2
0.00082 g		50mm/s2
0.0051 g		200mm/s2
0.020 g		800mm/s2
0.082 g		5m/s2
0.51 g		20m/s2
2.0 g
1km
3300 ft		고속철도1mm/s2
0.00010 g		4mm/s2
0.00041 g		25mm/s2
0.0025 g		100mm/s2
0.010 g		400mm/s2
0.041 g		2.5m/s2
0.25 g		10m/s2
1.0 g



물체에 작용하는 힘 \( F \)는 질량을 \( m \), 가속도를 \( a \)라고 하면, 뉴턴의 운동 제2법칙에 의해, \( F = ma \)로 쓸 수 있으므로, 물체에는 원(반지름 \( r \))의 중심을 향해 크기

: F = m\omega^2 r

의 힘이 작용한다.

2. 3. 등속 원운동의 물리

물리학에서, '''등속 원운동'''은 일정한 속력으로 원 궤도를 따라 움직이는 물체의 운동을 설명한다. 물체는 원운동을 하므로 회전축으로부터의 거리는 항상 일정하게 유지된다. 물체의 속력은 일정하지만, 그 속도는 일정하지 않다. 속도는 벡터 양이므로 물체의 속력과 이동 방향 모두에 따라 달라진다. 이 변화하는 속도는 가속도의 존재를 나타낸다. 이 구심 가속도는 크기가 일정하며 항상 회전축을 향한다. 이 가속도는 다시 크기가 일정하고 회전축을 향하는 구심력에 의해 발생한다.[1]

반지름 r의 원에서의 운동에 대해, 원의 둘레는 2πr이다. 한 회전에 대한 주기가 T라면, 각속도로도 알려진 회전의 각속도 ω는 다음과 같다.

: \omega = \frac {2 \pi}{T} = 2\pi f = \frac{d\theta}{dt}

: 단위는 라디안/초이다.

원 운동하는 물체의 속도는 다음과 같다.

: v = \frac{2 \pi r}{T} = \omega r

시간 t 동안 휩쓸린 각도 θ는 다음과 같다.

: \theta = 2 \pi \frac{t}{T} = \omega t

입자의 각가속도 α는 다음과 같다.

: \alpha = \frac{d\omega}{dt}

등속 원운동의 경우, α는 0이 된다.

방향 변화로 인한 가속도는 다음과 같다.

: a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r

구심력과 원심력은 가속도를 사용하여 찾을 수도 있다.

: F_c = \dot{p} \mathrel\overset{\dot{m} = 0}{=} ma_c = \frac{mv^2}{r}

물체가 원 궤도를 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을 '''주기''' ''T''라고 하고, 각속도를 ''ω''라고 하면 ''T''는 다음과 같다.

: T={2\pi \over \omega}

단위 시간당 회전하는 횟수를 '''회전 속도'''(또는 각진동수) ''f''라고 하며, ''f''는 다음과 같다.

: f={\omega \over 2\pi}

위 식에서, f는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: f={1 \over T}

몇 가지 반경 값과 속도 크기에 대한 구심 가속도
colspan="2" rowspan="2" |1 m/s
3.6 km/h
2.2 mph		2 m/s
7.2 km/h
4.5 mph		5 m/s
18 km/h
11 mph		10 m/s
36 km/h
22 mph		20 m/s
72 km/h
45 mph		50 m/s
180 km/h
110 mph		100 m/s
360 km/h
220 mph
느린 걷기자전거시내 차량곡예비행
10cm
3.9 in		실험실
원심분리기		10m2/s240m2/s2250m2/s21km2/s24km2/s225km2/s2100km2/s2
20cm
7.9 in		5m2/s220m2/s2130m2/s2500m2/s22km2/s213km2/s250km2/s2
50cm
1.6 ft		2m2/s28m2/s250m2/s2200m2/s2800m2/s25km2/s220km2/s2
1m
3.3 ft		놀이터
회전목마		1m2/s24m2/s225m2/s2100m2/s2400m2/s22.5km2/s210km2/s2
2m
6.6 ft		500mm2/s22m2/s213m2/s250m2/s2200m2/s21.3km2/s25km2/s2
5m
16 ft		200mm2/s2800mm2/s25m2/s220m2/s280m2/s2500m2/s22km2/s2
10m
33 ft		롤러코스터
수직 루프		100mm2/s2400mm2/s22.5m2/s210m2/s240m2/s2250m2/s21km2/s2
20m
66 ft		50mm2/s2200mm2/s21.3m2/s25m2/s220m2/s2130m2/s2500m2/s2
50m
160 ft		20mm2/s280mm2/s2500mm2/s22m2/s28m2/s250m2/s2200m2/s2
100m
330 ft		고속도로
진입 램프		10mm2/s240mm2/s2250mm2/s21m2/s24m2/s225m2/s2100m2/s2
200m
660 ft		5mm2/s220mm2/s2130m2/s2500mm2/s22m2/s213m2/s250m2/s2
500m
1600 ft		2mm2/s28mm2/s250mm2/s2200mm2/s2800mm2/s25m2/s220m2/s2
1km
3300 ft		고속철도1mm2/s24mm2/s225mm2/s2100mm2/s2400mm2/s22.5m2/s210m2/s2


2. 4. 진동 운동과의 대응

회전 운동을 회전면 위에서 관찰자가 옆에서 보면 물체는 마치 단진동을 하는 것처럼 보인다. 또는 물체의 x좌표와 y좌표는 서로 위상이 90도=π/2만큼 어긋난 단진동을 하고 있다.

진동 운동에서는 회전 속도를 '''주파수''' 또는 진동수라고 부른다.

2. 5. 극좌표를 이용한 표현

그림 4: 원형 궤도의 극좌표. 왼편은 단위 원으로, 작은 각도 증가 d \theta에 대한 단위 벡터 \mathbf{\hat\mathbf{u}_R} 및 \mathbf{\hat\mathbf{u}_\theta}의 변화 \mathbf{d\hat\mathbf{u}_R} 및 \mathbf{d\hat\mathbf{u}_\theta}를 보여준다.


원운동에서 물체는 원점을 기준으로 고정된 거리 R을 가지며, 기준 방향으로부터 각도 \theta(t)를 이루는 극좌표계로 표현 가능한 곡선 위를 움직인다. (그림 4 참조) 변위 벡터 \mathbf{r}는 원점에서 입자 위치까지의 반경 벡터이다.

:\mathbf{r}(t) = R \hat\mathbf{u}_R(t)

여기서 \hat\mathbf{u}_R(t)는 시간 t에서 반경 벡터와 평행하며 원점에서 멀어지는 방향을 가리키는 단위 벡터이다. \hat\mathbf{u}_R(t)에 수직인 단위 벡터 \hat\mathbf{u}_\theta(t)를 도입하는 것이 편리하다. 보통 \hat\mathbf{u}_\theta(t)는 궤도를 따라 진행하는 방향을 가리키도록 한다.

속도는 변위의 시간 미분이다.

:\mathbf{v}(t) = \frac{d}{dt} \mathbf{r}(t) = \frac{d R}{dt} \hat\mathbf{u}_R(t) + R \frac{d \hat\mathbf{u}_R}{dt}

원의 반지름은 상수이므로, 속도의 방사형 성분은 0이다. 단위 벡터 \hat\mathbf{u}_R(t)는 시간이 지나도 변하지 않는 크기 1을 가지므로, 시간이 변함에 따라 그 끝은 항상 반지름이 1인 원 위에 놓이며, 각도 \theta는 \mathbf{r}(t)의 각도와 같다. 입자 변위가 시간 dt 동안 각도 d\theta만큼 회전하면, \hat\mathbf{u}_R(t)도 회전하여 크기 d\theta의 단위 원 위의 호를 그린다. (그림 4의 왼쪽 단위 원 참조) 따라서,

:\frac{d \hat\mathbf{u}_R}{dt} = \frac{d \theta}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t)

여기서 변화의 방향은 \hat\mathbf{u}_R(t)에 수직(즉, \hat\mathbf{u}_\theta(t)를 따라)이어야 한다. \hat\mathbf{u}_R(t) 방향의 변화 d\hat\mathbf{u}_R(t)는 \hat\mathbf{u}_R(t)의 크기를 바꾸기 때문이다. 부호는 양수인데, d\theta의 증가는 물체와 \hat\mathbf{u}_R(t)가 \hat\mathbf{u}_\theta(t) 방향으로 이동했음을 의미하기 때문이다. 따라서 속도는 다음과 같다.

:\mathbf{v}(t) = \frac{d}{dt} \mathbf{r}(t) = R\frac{d \hat\mathbf{u}_R}{dt} = R \frac{d \theta}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t) = R \omega \hat\mathbf{u}_\theta(t)

물체의 가속도는 방사형 및 접선 방향 성분으로 나눌 수 있다. 가속도는 속도의 시간 미분이다.

:\begin{align}

\mathbf{a}(t) &= \frac{d}{dt} \mathbf{v}(t) = \frac{d}{dt} \left(R \omega \hat\mathbf{u}_\theta(t) \right) \\

&= R \left( \frac{d \omega}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t) + \omega \frac{d \hat\mathbf{u}_\theta}{dt} \right)

\end{align}

\hat\mathbf{u}_\theta(t)의 시간 미분은 \hat\mathbf{u}_R(t)와 같은 방식으로 구한다. \hat\mathbf{u}_\theta(t)는 단위 벡터이며 그 끝은 각도가 \pi/2 + \theta인 단위 원을 추적한다. 따라서 \mathbf{r}(t)에 의한 각도 d\theta의 증가는 \hat\mathbf{u}_\theta(t)가 크기 d\theta의 호를 추적함을 의미하며, \hat\mathbf{u}_\theta(t)가 \hat\mathbf{u}_R(t)에 직교하므로 다음을 얻는다.

:\frac{d \hat\mathbf{u}_\theta}{dt} = -\frac{d \theta}{dt} \hat\mathbf{u}_R(t) = -\omega \hat\mathbf{u}_R(t)

여기서 음수 부호는 \hat\mathbf{u}_\theta(t)가 \hat\mathbf{u}_R(t)에 직교하도록 유지하는 데 필요하다. (그렇지 않으면 \hat\mathbf{u}_\theta(t)와 \hat\mathbf{u}_R(t) 사이의 각도는 d\theta의 증가에 따라 감소한다.) (그림 4의 왼쪽 단위 원 참조) 결과적으로 가속도는 다음과 같다.

:\begin{align}

\mathbf{a}(t) &= R \left( \frac{d \omega}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t) + \omega \frac{d \hat\mathbf{u}_\theta}{dt} \right) \\

&= R \frac{d \omega}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t) - \omega^2 R \hat\mathbf{u}_R(t)

\end{align}

구심 가속도는 방사형 성분이며, 방사형 안쪽으로 향한다.

:\mathbf{a}_R(t) = -\omega^2 R \hat\mathbf{u}_R(t)

반면 접선 방향 성분은 속도의 크기를 변경한다.

:\mathbf{a}_\theta(t) = R \frac{d \omega}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t) = \frac{d R \omega}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t) = \frac{d \left|\mathbf{v}(t)\right|}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t)

2. 6. 복소수를 이용한 표현

복소수를 사용하여 원운동을 표현할 수 있다. x축을 실수축으로, y축을 허수축으로 하면, 물체의 위치는 복소수 "벡터"인 z로 나타낼 수 있다.[1]

:z = x + iy = R\left(\cos[\theta(t)] + i \sin[\theta(t)]\right) = Re^{i\theta(t)}\,,

여기서 i는 허수 단위이고, \theta(t)는 시간 t의 함수로 나타낸 복소수의 편각이다.

반지름은 일정하므로:

:\dot{R} = \ddot R = 0 \, ,

여기서 ''점''은 시간에 대한 미분을 나타낸다.

이 표기법을 사용하면 속도는 다음과 같다.[1]

:v = \dot{z}

= \frac{d}{dt}\left(R e^{i\theta[t]}\right)

= R \frac{d}{dt}\left(e^{i\theta[t]}\right)

= R e^{i\theta(t)} \frac{d}{dt} \left(i \theta[t] \right)

= iR\dot{\theta}(t) e^{i\theta(t)}

= i\omega R e^{i\theta(t)} = i\omega z



그리고 가속도는 다음과 같다.[1]

:\begin{align}

a &= \dot{v} = i\dot{\omega} z + i\omega\dot{z} = \left(i\dot{\omega} - \omega^2\right)z \\

&= \left(i\dot{\omega} - \omega^2 \right) R e^{i\theta(t)} \\

&= -\omega^2 R e^{i\theta(t)} + \dot{\omega} e^{i\frac{\pi}{2}} R e^{i\theta(t)} \, .

\end{align}

첫 번째 항은 변위 벡터와 반대 방향이고, 두 번째 항은 변위 벡터에 수직인데, 이는 앞서 보인 결과와 같다.

2. 7. 상대론적 원운동

상대성 이론에서 삼차원 가속도 벡터는 삼차원 속도 벡터에 수직이다.

: \mathbf{u} \cdot \mathbf{a} = 0.

고유 가속도의 제곱은 모든 기준틀에서 동일한 스칼라 불변량으로 표현된다.

: \alpha^2 = \gamma^4 a^2 + \gamma^6 \left(\mathbf{u} \cdot \mathbf{a}\right)^2,

이는 원운동에 대한 표현이다.

: \alpha^2 = \gamma^4 a^2.

양의 제곱근을 취하고 삼차원 가속도를 사용하면, 원운동에 대한 고유 가속도를 얻는다.

: \alpha = \gamma^2 \frac{v^2}{r}.

3. 비등속 원운동

'''비균일 원운동'''은 속력이 변하는 원운동을 말한다. 속력이 변하기 때문에, 구심 가속도 외에 접선 가속도도 존재한다.[2]

알짜 가속도는 원의 내부를 향하지만 중심을 지나지는 않는다. 알짜 가속도는 접선 가속도와 구심 가속도로 분해할 수 있다. 접선 가속도와 달리 구심 가속도는 등속 원운동과 비균일 원운동 모두에서 나타난다.

비균일 원운동에서 법선력은 항상 무게의 반대 방향을 가리키는 것은 아니다. 예를 들어 원을 그리며 움직이는 비행기가 원의 꼭대기에 도달했을 때, 무게와 법선력은 모두 아래를 향한다. 이는 법선력이 접선력과 구심력의 합이기 때문이다.

뉴턴 운동 법칙 제1법칙에 따르면, 물체는 관성 때문에 계속 움직이려는 경향이 있다. 공중에 있는 물체는 속도를 가지고 있기 때문에, 그 방향으로 계속 움직이려고 한다.

회전하는 물체가 균일하지 않은 질량 분포를 갖지 않을 경우에도, 원형 경로를 따라 움직이는 물체는 변하는 각속도를 가질 수 있다.[2]

3. 1. 속도의 유도

모든 변수가 t 에 의존한다고 가정하고, 속도, 가속도 및 저크(jerk)의 공식을 유도할 수 있다.[2]

: \mathbf{r} = R \mathbf{u}_R

: \dot \mathbf{u}_R = \omega\mathbf{u}_{\theta}

: \dot \mathbf{u}_{\theta} = -\omega\mathbf{u}_R

: \mathbf{v} = \frac{d}{dt} \mathbf{r} = \dot \mathbf{r}

= \dot R \mathbf{u}_R + R \omega \mathbf{u}_{\theta}

: \mathbf{a} = \frac{d}{dt} \mathbf{v} = \dot \mathbf{v}

= \ddot R \mathbf{u}_R

+ \left(2\dot R \omega \mathbf{u}_{\theta} \right)

+ R \dot \omega \mathbf{u}_{\theta}

  • R \omega^2 \mathbf{u}_{R}

: \mathbf{j} = \frac{d}{dt} \mathbf{a} = \dot \mathbf{a}

= \dot\ddot R \mathbf{u}_R

+ \ddot R \omega \mathbf{u}_{\theta}

+ \left(2\ddot R \omega \mathbf{u}_{\theta}

+ 2\dot R \dot\omega \mathbf{u}_{\theta}

  • 2\dot R \omega^2\mathbf{u}_R \right)

+ \dot R \dot\omega \mathbf{u}_{\theta}

+ R \ddot\omega \mathbf{u}_{\theta}

  • R \dot\omega \omega\mathbf{u}_{R}
  • \dot R \omega^2 \mathbf{u}_{R}
  • R 2\dot\omega\omega \mathbf{u}_{R}
  • R \omega^3 \mathbf{u}_{\theta}

: \mathbf{j}

= \left( \dot\ddot R - 3\dot R \omega^2 - 3R \dot\omega \omega \right) \mathbf{u}_R

+ \left( 3 \ddot R \omega + 3\dot R \dot\omega + R \ddot \omega - R \omega^3 \right) \mathbf{u}_{\theta}

추가 변환에는 곡률 c = \frac{1}{R} , \omega = \frac{v}{R} = vc 및 해당 도함수가 포함될 수 있다.

: \begin{align}

\dot R &= -\frac{\dot c}{c^2} \\

\ddot R &= \frac{2\left(\dot c\right)^2}{c^3} - \frac{\ddot c}{c^2} \\

\dot \omega &= \frac{\dot v R - \dot R v}{R^2} = \dot v c + v \dot c.\\

\end{align}

(1-ii)에서,

: \mathbf{v}=r\dot{\theta} \left(-\sin\theta, \cos\theta\right) (2-i)

로 정리할 수 있으므로, 크기 |\mathbf{v}|는

: |\mathbf{v}| = r |\dot{\theta}| (2-ii)

이다.

또한, 속도의 방향을 구하기 위해, 속도 벡터와 위치 벡터의 내적을 구하면

: \mathbf{v} \cdot \mathbf{r} = (-r\dot{\theta}\sin\theta)\cdot(r\cos\theta) + (r \dot{\theta} \cos\theta)\cdot(r\sin\theta) = 0 (2-iii)

이므로, 위치 벡터와 직교하는 방향, 즉 접선 방향임을 알 수 있다.

동시에, 구심 방향의 속도 성분이 0 임을 알 수 있는데, 이는 원운동의 반지름이 변하지 않는다는 것으로부터 자명하다.

3. 2. 가속도의 유도

속도와 비균일 원운동에서의 가속도


'''비균일 원운동'''에서 물체는 변하는 속력으로 원형 경로를 따라 움직인다. 속력이 변하기 때문에, 법선 가속도 외에 접선 가속도도 존재한다.

알짜 가속도는 두 성분, 즉 접선 가속도와 구심 가속도로 분해될 수 있다. 접선 가속도와 달리 구심 가속도는 균일 및 비균일 원운동 모두에서 나타난다.

모든 변수가 t 에 의존한다고 가정하면, 속도, 가속도 및 쩌크의 공식을 유도할 수 있다.



\mathbf{r} = R \mathbf{u}_R





\dot \mathbf{u}_R = \omega\mathbf{u}_{\theta}





\dot \mathbf{u}_{\theta} = -\omega\mathbf{u}_R





\mathbf{v} = \frac{d}{dt} \mathbf{r} = \dot \mathbf{r}

= \dot R \mathbf{u}_R + R \omega \mathbf{u}_{\theta}





\mathbf{a} = \frac{d}{dt} \mathbf{v} = \dot \mathbf{v}

= \ddot R \mathbf{u}_R

+ \left(\dot R \omega \mathbf{u}_{\theta}

+ \dot R \omega \mathbf{u}_{\theta} \right)

+ R \dot \omega \mathbf{u}_{\theta}

  • R \omega^2 \mathbf{u}_{R}





\mathbf{j} = \frac{d}{dt} \mathbf{a} = \dot \mathbf{a}

= \dot\ddot R \mathbf{u}_R

+ \ddot R \omega \mathbf{u}_{\theta}

+ \left(2\ddot R \omega \mathbf{u}_{\theta}

+ 2\dot R \dot\omega \mathbf{u}_{\theta}

  • 2\dot R \omega^2\mathbf{u}_R \right)


+ \dot R \dot\omega \mathbf{u}_{\theta}

+ R \ddot\omega \mathbf{u}_{\theta}

  • R \dot\omega \omega\mathbf{u}_{R}

  • \dot R \omega^2 \mathbf{u}_{R}
  • R 2\dot\omega\omega \mathbf{u}_{R}
  • R \omega^3 \mathbf{u}_{\theta}





\mathbf{j}

= \left( \dot\ddot R - 3\dot R \omega^2 - 3R \dot\omega \omega \right) \mathbf{u}_R

+ \left( 3 \ddot R \omega + 3\dot R \dot\omega + R \ddot \omega - R \omega^3 \right) \mathbf{u}_{\theta}



추가 변환에는 curvature = c = \frac{1}{R}, \omega = \frac{v}{R} = vc 및 해당 도함수가 포함될 수 있다.

\begin{align}

\dot R &= -\frac{\dot c}{c^2} \\

\ddot R &= \frac{2\left(\dot c\right)^2}{c^3} - \frac{\ddot c}{c^2} \\

\dot \omega &= \frac{\dot v R - \dot R v}{R^2} = \dot v c + v \dot c.\\

\end{align}

다음으로 가속도 \mathbf{a}를 유도한다.

\theta는 시간 t의 함수임을 주의하여, (1-ii)를 다시 시간 t로 미분하면,

{d^2x \over dt^2} = -r\dot{\theta}^2\cos\theta - r\ddot{\theta}\sin\theta

,\ {d^2y \over dt^2} = -r \dot{\theta}^2 \sin\theta + r\ddot{\theta}\cos\theta

를 얻는다. \ddot{\theta} 를 각가속도라고 한다.

\mathbf{a}=(\ddot{x},\ddot{y})이므로,

\mathbf{a}=-r\dot{\theta}^2(\cos\theta,\sin\theta)

+r\ddot{\theta}(-\sin\theta,\cos\theta)

로 정리할 수 있으며, 또한 (1-i)(2-i)를 사용하면

\mathbf{a}=-\dot{\theta}^2 \mathbf{r}

+\frac{\ddot{\theta}}{\dot{\theta}}\mathbf{v}



로 구할 수 있다.

따라서, 구심 방향 및 접선 방향 각각의 크기는

\begin{cases}a_r = r\dot{\theta}^2\\

a_\theta = r|\ddot{\theta}|\end{cases}

이다. 덧붙여, 구심 방향의 크기에 관해서는, 원의 바깥쪽을 향하는 방향을 양의 방향으로 취하고 있음에 주의해야 한다.

4. 응용

비균일 원운동과 관련된 문제를 해결하려면 힘 분석이 필요하다. 균일 원운동에서는 구심력만이 물체에 작용하지만, 비균일 원운동에서는 접선 가속도가 0이 아니기 때문에 추가적인 힘이 작용한다. 물체에 작용하는 모든 힘의 합은 구심력과 같아야 한다.[2]

자유 물체도를 통해 물체에 작용하는 힘들을 나열하고, 이를 구심력과 같다고 설정하여 문제를 해결할 수 있다. 예를 들어, 반원 꼭대기에 있는 물체의 경우, \( F_c = n + mg \) 와 같이 표현할 수 있다. 여기서 n은 법선력, m은 질량, g는 중력 가속도이다.

균일 원운동에서는 총 가속도가 방사 가속도와 같지만, 비균일 원운동에서는 접선 가속도가 존재하므로 총 가속도는 접선 가속도와 방사 가속도의 벡터 합으로 구해야 한다.

\( \sqrt{a_r^2 + a_t^2} = a \)

이때 방사 가속도는 \( a_r = \frac{v^2}{r} \) (v는 속력, r은 곡률 반경)이고, 접선 가속도는 \( a_t = \frac{dv}{dt} \) (t는 시간)이다.

참조

[1] 서적 Elements of Newtonian mechanics: including nonlinear dynamics https://books.google[...] Springer
[2] 논문 A jumping cylinder on an inclined plane https://www.research[...] IOP 2012-07-25


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