이항 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 증명
- 3.1. 조합론적 증명
- 3.2. 수학적 귀납법을 통한 증명
4. 예
5. 관련 정리
6. 응용
7. 역사
참조

1. 개요

이항 정리는 이변수 다항식 (x + y)ⁿ을 전개하는 공식으로, 이항 계수를 사용하여 표현된다. 이 공식은 이항 계수의 대칭성과 파스칼의 삼각형과의 관계를 보여주며, 가환환에서 성립한다. 이항 정리는 조합론적 증명과 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있으며, 삼각함수의 배각 공식 유도, 자연상수 e의 급수 표현, 확률 분포, 일반 라이프니츠 법칙 등 다양한 분야에 응용된다. 또한, 이항 정리의 일반화된 형태인 이항 급수, 다항 정리, 다중 이항 정리 등이 존재한다. 이항 정리의 특수한 경우는 고대 그리스와 인도에서 이미 알려졌으며, 알 카라지, 양휘, 파스칼, 뉴턴 등의 수학자들이 연구했다.

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이항 정리
기본 정보
이름	이항 정리
로마자 표기법	ihang jeongni
영어	Binomial theorem
한자	二項定理
정의
내용	(x + y)ⁿ 형태의 이항식 거듭제곱을 전개하는 공식
공식
일반항	xⁿ⁻ᵏyᵏ (0 ≤ k ≤ n)
전개식	(x + y)ⁿ = xⁿ + xⁿ⁻¹y + xⁿ⁻²y² + ... + yⁿ
조합	이항계수
역사
기원	고대 인도에서 발견
파스칼 삼각형	파스칼의 삼각형과 관련
일반화
다항 정리	다항식에 대한 일반화
뉴턴의 일반화된 이항 정리	지수가 정수가 아닌 경우에도 적용
응용
확률	확률 계산에 사용
통계	통계 분석에 사용
조합론	조합론적 문제 해결에 사용

2. 정의

'''이항 정리'''에 따르면, 이변수 복소수 다항식 $(x+y)^n$ 을 다음과 같이 전개할 수 있다.^[30]

: $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k=x^n+nx^{n-1}y+\frac{n(n-1)}2x^{n-2}y^2+\cdots+y^n$

여기서

: $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}$

는 이항 계수이며, $n$ 개에서 $k$ 개를 고르는 조합의 가짓수이다. 이항 계수는 파스칼의 삼각형의 원소들인데, 이 삼각형에 배열되었을 때, 이항 계수는 좌우 대칭을 띠며, 각 원소는 바로 위의 두 이웃 원소의 합이다.

이 공식은 '''이항 공식''' 또는 '''이항 항등식'''이라고도 한다. 합 기호를 사용하면 다음과 같이 더 간결하게 쓸 수 있다.^[30]

:

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.

이항 공식의 간단한 변형은

y

에 1을 대입하여 얻을 수 있으며, 따라서 단일 변수만 포함한다. 이 형태에서 공식은 다음과 같이 표현된다.^[39]

:

\begin{align}(x+1)^n&= {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose n}x^n \\[4mu]&= \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k.\end{align}

3. 증명

이항 정리는 조합론적 증명과 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다. 조합론적 증명은 $(x+y)^n$을 전개했을 때 나타나는 각 항의 계수가 조합의 수와 같다는 점을 이용한다. 수학적 귀납법을 이용한 증명은 n=0일 때 이항 정리가 성립함을 보이고, n일 때 성립한다고 가정한 후 n+1일 때도 성립함을 보인다.^[40]^[41]^[2]

3. 1. 조합론적 증명

$(x+y)^n$을 전개하면 $2^n$개의 항이 나타나는데, 각 항은 $e_{i1}e_{i2}\cdots e_{in}$ 형태를 가진다. 여기서 각 $e_{ij}$는 $x$ 또는 $y$이다. 이항 정리에서 $x^{n-k}y^k$ 꼴의 항의 계수는 $n$개 중에서 $k$개를 선택하는 조합의 가짓수, 즉 이항 계수 $\binom nk$와 같다.^[41]

이는 각 항이 $\{1,2,\dots,n\}$의 부분 집합과 일대일 대응되기 때문이다. 즉, $e_{i1}e_{i2}\cdots e_{in}$를 $\{j\in\{1,2,\dots,n\}\colon e_{ij}=y\}$와 같이 대응시키면, $x^{n-k}y^k$ 꼴의 항들은 $\{1,2,\dots,n\}$의 $k$원소 부분 집합들과 일대일 대응한다.

예를 들어 $(x+y)^3$을 전개하면 다음과 같다.

:$(x+y)^3 = (x+y)(x+y)(x+y) = xxx + xxy + xyx + \underline{xyy} + yxx + \underline{yxy} + \underline{yyx} + yyy = x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3$

여기서 $xy^2$의 계수는 3인데, 이는 $y$가 정확히 두 개인 길이 3의 $x, y$ 문자열이 세 개(xyy, yxy, yyx) 있기 때문이다. 이는 $\{1, 2, 3\}$의 두 원소 부분집합 세 개, 즉 $\{2,3\}, \{1,3\}, \{1,2\}$에 해당하며, 각 부분집합은 해당 문자열에서 $y$의 위치를 지정한다.

좀더 일반적으로 $n$개의 $(x + y)$의 곱을 전개하면,

:$(x+y)^n = \underbrace{(x+y)(x+y)\cdots(x+y)}_{n \text{ factors}}$

각 $(x+y)$에서 $x$ 또는 $y$를 선택하여 곱한 항들의 합이 된다. 이 곱들을 재배열하면 $x^{n-k}y^k$ ($k = 0, 1, \dots, n$) 꼴이 되는데, 이 항의 계수는 $n-k$개의 $x$와 $k$개의 $y$를 나열하는 경우의 수와 같으므로, 이항계수 $\binom{n}{k}$가 된다.^[41]

3. 2. 수학적 귀납법을 통한 증명

수학적 귀납법을 사용하여 이항 정리를 증명할 수 있다. 우선, n=0일 때, $(x+y)^0 = 1 = \binom{0}{0}x^0y^0$이므로 식이 성립한다.^[40] 이제 n에 대하여 성립한다고 가정하고, n+1에 대해 성립함을 보이면 된다.

$(x+y)^{n+1} = (x+y)(x+y)^n$ 이고, 귀납 가정에 의해 $(x+y)^n = \sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k$ 이므로,

$\begin{align}

(x+y)^{n+1} &= (x+y)\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k \\

&= x\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k + y\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k \\

&= \sum_{k=0}^n\binom nkx^{n+1-k}y^k + \sum_{k=1}^{n+1}\binom n{k-1}x^{n+1-k}y^{k} \\

&= x^{n+1}+\sum_{k=1}^n\left(\binom nk+\binom n{k-1}\right)x^{n+1-k}y^k+y^{n+1} \\

&= \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}kx^{n+1-k}y^k

\end{align}$

이다. 여기서 이항 계수의 항등식 $\binom nk+\binom n{k-1}=\binom{n+1}k$ (파스칼의 규칙)을 사용했다.^[2] 즉, n+1에 대하여도 식이 성립하므로, 수학적 귀납법에 따라 이항 정리는 임의의 음이 아닌 정수 n에 대하여 성립한다.

4. 예

항에서 x|^영어의 지수는 n, n − 1, ..., 2, 1, 0|^영어이다 (마지막 항은 암묵적으로 x⁰ = 1|^영어을 포함).
항에서 y|^영어의 지수는 0, 1, 2, ..., n − 1, n|^영어이다 (첫 번째 항은 암묵적으로 y⁰ = 1|^영어을 포함).
계수는 파스칼의 삼각형의 n번째 행을 이룬다.
같은 항을 합치기 전에는 전개식에 2ⁿ|^영어개의 항 xⁱy^j|^영어이 있다.
같은 항을 합친 후에는 n + 1|^영어개의 항이 있으며, 그 계수의 합은 2ⁿ|^영어이다.

y|^영어의 특정 양수 값을 사용하는 간단한 예:

:(x+2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8|^영어

y|^영어의 특정 음수 값을 사용하는 간단한 예:

:(x-2)^3 = x^3 - 3x^2(2) + 3x(2)^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8|^영어

5. 관련 정리

이항 정리는 다음과 같은 관련 정리들을 포함한다.

일반화된 이항 정리 (이항 급수): 이항식의 지수를 임의의 복소수로 확장하여 무한 급수 형태로 나타낸다.
다항 정리: 이항식 대신 여러 항의 다항식을 사용하여 전개하는 정리이다.
다중 이항 정리: 여러 개의 이항식들의 곱을 전개하는 정리이다.
가환환에서의 이항 정리: 가환환의 원소를 계수로 하는 다항식에 대해 성립하는 이항 정리이다.

5. 1. 일반화된 이항 정리 (이항 급수)

이항식을 거듭제곱하는 지수를 임의의 복소수

\alpha

까지 확장할 수 있다. 이렇게 일반화된 이항 정리에선 전개가 무한 급수가 된다.^[3]^[42]

:

(x+y)^\alpha=\sum_{k=0}^\infty\binom\alpha kx^{\alpha-k}y^k=x^\alpha+\alpha x^{\alpha-1}y+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^{\alpha-2}y^2+\cdots

여기서

:

\binom\alpha k=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}

는 일반화된 이항 계수이다.

\alpha

가 음이 아닌 정수일 때는 일반적인 정의와 일치한다.

x

와

y

가

|x|>|y|

인 실수이고,

\alpha

가 임의의 복소수이면 다음이 성립한다.^[3] 이항 정리는 일반화된 이항 정리에서

\alpha\in\mathbb N

인 특수한 경우이다.

\alpha\not\in\mathbb N

일 경우, 이 등식은

|x|>|y|

일 때 성립하며,

|x|<|y|

일 때 성립하지 않으며,

|x|=|y|

일 때의 성립 여부는

x,y,\alpha

의 값에 따라 다르다.

r=-1

을 대입하면,

|x|<1

에 대해 유효한 기하급수 공식을 제공하는 일반화된 이항 급수가 나타난다.^[4]

:

(1+x)^{-1} = \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \cdots.

5. 2. 다항 정리

이항식 대신 여러 항의 다항식을 사용하면 다항 정리를 얻으며, 다음과 같다.

:

(x_1+x_2+\cdots+x_m)^n=\sum_{k_1,k_2,\dots,k_m\in\mathbb N}^{k_1+k_2+\cdots k_m=n}\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}

이를 다중지표를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

(x_1+x_2+\cdots+x_m)^n=\sum_{K\in\mathbb N^m}^

5. 3. 다중 이항 정리

여러 개의 이항식들의 곱을 전개하는 다중 이항 정리는 다음과 같다.:

(x_1+y_1)^{n_1}(x_2+y_2)^{n_2}\cdots(x_d+y_d)^{n_d}=\sum_{k_1=0}^{n_1}\sum_{k_2=0}^{n_2}\cdots\sum_{k_d=0}^{n_d}\binom{n_1}{k_1}x_1^{n_1-k_1}y_1^{k_1}\binom{n_2}{k_2}x_2^{n_2-k_2}y_2^{k_2}\cdots\binom{n_d}{k_d}x_d^{n_d-k_d}y_d^{k_d}

이를 다중지표를 사용하여 다음과 같이 더 간결하게 나타낼 수 있다.

:

(x+y)^N=\sum_{K\in\mathbb N^d\colon K\le N}\binom NKx^{N-K}y^K

이항 정리는 다중 이항 정리에서

d=1

인 특수한 경우이다.

5. 4. 가환환에서의 이항 정리

이항 정리는 임의의 가환환의 원소를 계수로 하는 다항식에 대해서도 성립한다. 이항 정리는 복소수 다항식에 대한 특수한 경우이다.

이항 정리는 보다 일반적으로, 환 또는 심지어 반환의 두 원소 x|x^영어와 y|y^영어에 대해 xy = yx 인 경우에 성립한다. 예를 들어, 두 n × n 행렬에 대해, 해당 행렬들이 교환 법칙을 만족하는 경우 성립하며, 이는 행렬의 거듭제곱을 계산하는 데 유용하다.^[29]

이항 정리는 다항식 수열 1, x, x², x³, ...|1, x, x², x³, ...^영어이 이항형임을 말함으로써 기술할 수 있다.

6. 응용

복소수에 대한 이항 정리와 드 무아브르의 정리를 결합하면 배각 공식을 유도할 수 있다. 예를 들어, 드 무아브르의 정리에 따라 $(\cos x+i\sin x)^2 = \cos(2x)+i\sin(2x)$가 성립하고, 이항 정리에 따라 $(\cos x + i\sin x)^2 = (\cos^2 x-\sin^2 x) + i(2\cos x\sin x)$이므로, $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ 와 $\sin(2x) = 2 \cos x \sin x$를 얻는다.

자연상수 e는 $e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$로 정의되는데, 이 식에 이항 정리를 적용하면 e에 대한 무한급수를 얻을 수 있다. n → ∞일 때, 이항 전개의 각 항은 $\frac{1}{k!}$에 접근하며, 단조 수렴 정리에 따라 이 무한 급수의 합은 e와 같다. 즉, $e=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots$이다.

이항 정리는 음이항 분포의 확률 질량 함수와 관련이 있다. 성공 확률이 $p$인 독립적인 베르누이 시행들이 모두 발생하지 않을 확률은 $(1-p)^

= \sum_{n=0}^

$이다.^[28]

두 함수의 곱의 고계 도함수 공식은 일반화된 라이프니츠 법칙(Leibniz rule)이라고 불리며, 이항 정리와 유사한 형태를 가진다.^[44]

:

(fg)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x).

여기서 위 첨자 n은 함수의 n번째 도함수를 나타낸다. 라이프니츠 공식으로부터 이항 정리를 유도할 수도 있다.^[7]^[8]

6. 1. 삼각함수의 배각 공식

복소수에 대한 이항 정리와 드 무아브르의 정리를 결합하면 배각 공식을 유도할 수 있다. 드 무아브르의 정리에 따르면,

: $(\cos x+i\sin x)^n = \cos(nx)+i\sin(nx)$

가 성립한다. 이항 정리를 사용하여 오른쪽 식을 전개한 다음 실수 부분과 허수 부분을 비교하면 cos(nx)와 sin(nx)에 대한 공식을 얻을 수 있다.

예를 들어, $(\cos x + i\sin x)^2 = \cos^2 x + 2i \cos x \sin x - \sin^2 x = (\cos^2 x-\sin^2 x) + i(2\cos x\sin x)$ 이고, 드 무아브르의 정리에 따르면 $(\cos x+i\sin x)^2 = \cos(2x)+i\sin(2x)$이므로,

: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$

: $\sin(2x) = 2 \cos x \sin x$

를 얻는다. 이는 일반적인 배각 공식이다. 마찬가지로,

: $(\cos x + i\sin x)^3 = \cos^3 x + 3i \cos^2 x \sin x - 3 \cos x \sin^2 x - i \sin^3 x$

이므로 드 무아브르의 정리를 이용하면

: $\cos(3x) = \cos^3 x - 3 \cos x \sin^2 x$

: $\sin(3x) = 3\cos^2 x \sin x - \sin^3 x$

를 얻을 수 있다. 일반적으로,

: $\cos(nx) = \sum_{k\text{ even}} (-1)^{k/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x$

: $\sin(nx) = \sum_{k\text{ odd}} (-1)^{(k-1)/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x$

가 성립한다.

6. 2. 자연상수 e의 급수 표현

e는 다음 공식으로 정의된다.

:$e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.$

이 식에 이항 정리를 적용하면 e에 대한 무한급수를 얻는다. 구체적으로는 다음과 같다.

:$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1 + {n \choose 1}\frac{1}{n} + {n \choose 2}\frac{1}{n^2} + {n \choose 3}\frac{1}{n^3} + \cdots + {n \choose n}\frac{1}{n^n}.$

이 합의 k번째 항은 다음과 같다.

:${n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k}$

n → ∞일 때, 오른쪽의 유리식은 1에 접근하므로

:$\lim_{n\to\infty} {n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}.$

이는 e를 다음과 같은 급수로 나타낼 수 있음을 나타낸다.

:$e=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots.$

이항 전개의 각 항은 n의 증가 함수이므로, 급수에 대한 단조 수렴 정리에 따라 이 무한 급수의 합은 e와 같다.

6. 3. 확률 분포

이항 정리는 음이항 분포의 확률 질량 함수와 밀접한 관련이 있다. 성공 확률이

p\in [0,1]

인 독립적인 베르누이 시행들의 (가산적인) 집합

\{X_t\}_{t\in S}

이 모두 발생하지 않을 확률은 다음과 같다.^[28]

:

P\biggl(\bigcap_{t\in S} X_t^C\biggr) = (1-p)^

= \sum_{n=0}^

이다.^[28]

6. 4. 일반 라이프니츠 법칙

일반화된 라이프니츠 법칙은 두 함수의 곱에 대한 n번째 도함수를 이항 정리와 유사한 형태로 나타낸다.^[7]

:

(fg)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x).

여기서 위 첨자 n은 함수의 n번째 도함수,

f^{(n)}(x) = \tfrac{d^n}{dx^n}f(x)

를 나타낸다.

f(x) = e^{ax}

와

g(x) = e^{bx}

로 설정하면 각 항에서

e^{(a+b)x}

의 공통 인수를 소거하여 일반적인 이항 정리를 얻을 수 있다.^[8]

두 함수의 곱의 고계 도함수 공식은 일반화된 라이프니츠 법칙(Leibniz rule)이라고 불리며, 이항 정리와 유사한 형태가 된다.^[44]

$(fg)^{(n)} = \textstyle\sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n}{k} f^{(n-k)}g^{(k)}$

반대로, 라이프니츠 공식으로부터 이항 정리를 유도할 수도 있다. 실제로, t의 함수

\exp((x+y)t) = \exp(xt)\exp(yt)

의 양변을 t로 n회 미분하면,

:

(x+y)^n\exp((x+y)t) = \textstyle\sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n}{k} x^{n-k}\exp(xt)\,y^k\exp(yt)

을 얻으므로, 양변을

\exp(xt)\exp(yt)

로 나누어 원하는 식을 얻는다.

7. 역사

이항 정리의 특수한 경우는 기원전 4세기 그리스 수학자 유클리드가 지수 $n=2$ 인 경우를 언급하면서 알려졌다.^[9] 인도에서는 6세기경 3차인 경우의 이항 정리가 알려져 있었다.^[31]^[32] 이항 계수는 고대 인도에서 조합론적인 관점에서 연구되었다. 기원전 200년경 인도의 시인 핑갈라(Pingala)의 ''Chandaḥśāstra''에 이항 계수에 대한 해법이 포함되어 있으며,^[33] 10세기 주석가 할라유다(Halayudha)는 이 해법을 오늘날의 파스칼의 삼각형을 사용하여 설명했다.^[33] 11세기 페르시아 수학자 알 카라지는 이항 정리와 파스칼의 삼각형에 대한 연구를 진행했다.^[35] 13세기 중국 수학자 양휘^[36]와 주세걸^[32]의 수학적 업적에서도 저차 이항 전개를 찾아볼 수 있다.

1544년 미하엘 슈티펠(Michael Stifel)은 "binomial coefficient" (이항 계수)라는 용어를 도입하고, 파스칼의 삼각형을 사용하여 $(1+a)^n$ 을 $(1+a)^{n-1}$ 으로 표현하는 방법을 보였다.^[37] 17세기 프랑스 수학자 블레즈 파스칼은 동명의 삼각형을 체계적으로 연구했다.^[24] 17세기 아이작 뉴턴은 유리수 거듭제곱에 대해 성립하는 일반화된 이항 정리를 발견했다.^[38]^[37]

대한민국에서는 고려 시대에 이항 계수와 관련된 내용이 연구되었을 것으로 추정되지만, 현재 남아있는 문헌은 없다. 조선 시대 수학자 최석정은 그의 저서 "구수략"에서 파스칼의 삼각형과 유사한 형태의 그림을 제시하고, 조합의 수를 계산하는 방법을 설명했다. 이는 이항 계수에 대한 이해를 보여주는 중요한 자료이다.

참조

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_[38] 서적 Elements of the History of Mathematics Paperback 1998-11-18
_[39] 간행물 이항정리의 의미와 계수를 구하는 예제·2가지 증명 고교수학의 아름다운 이야기
_[40] Youtube 이항정리: 귀납법에 의한 증명 https://www.youtube.[...]
_[41] Youtube 이항정리: 조합론적 접근 https://www.youtube.[...]
_[42] 서적 해석강좌(상) https://books.google[...] 슈프링거·재팬
_[43] 문서 수렴을 보장한다. |r|에 따라 |x| < |y|이더라도 이 급수가 수렴하는 경우가 있다.
_[44] 서적 Calculus of One and Several Variables Scott, Foresman
_[45] 웹사이트 Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji http://www-history.m[...]
_[46] 웹사이트 Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle http://archives.math[...] 1999-05-08

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