이항 정리

1. 개요

이항 정리는 이변수 다항식 (x + y)ⁿ을 전개하는 공식으로, 이항 계수를 사용하여 표현된다. 이 공식은 이항 계수의 대칭성과 파스칼의 삼각형과의 관계를 보여주며, 가환환에서 성립한다. 이항 정리는 조합론적 증명과 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있으며, 삼각함수의 배각 공식 유도, 자연상수 e의 급수 표현, 확률 분포, 일반 라이프니츠 법칙 등 다양한 분야에 응용된다. 또한, 이항 정리의 일반화된 형태인 이항 급수, 다항 정리, 다중 이항 정리 등이 존재한다. 이항 정리의 특수한 경우는 고대 그리스와 인도에서 이미 알려졌으며, 알 카라지, 양휘, 파스칼, 뉴턴 등의 수학자들이 연구했다.

2. 정의

이항 정리에 따르면, 이변수 복소수 다항식 $(x+y)^n$을 다음과 같이 전개할 수 있다.

:$(x+y)^n=\backslash sum\_\{k=0\}^n\backslash binom\; nkx^\{n-k\}y^k=x^n+nx^\{n-1\}y+\backslash frac\{n(n-1)\}2x^\{n-2\}y^2+\backslash cdots+y^n$

여기서

:$\backslash binom\; nk=\backslash frac\{n!\}\{k!(n-k)!\}=\backslash frac\{n(n-1)(n-2)\backslash cdots(n-k+1)\}\{k!\}$

는 이항 계수이며, $n$개에서 $k$개를 고르는 조합의 가짓수이다. 이항 계수는 파스칼의 삼각형의 원소들인데, 이 삼각형에 배열되었을 때, 이항 계수는 좌우 대칭을 띠며, 각 원소는 바로 위의 두 이웃 원소의 합이다.

3. 증명

이항 정리는 조합론적 증명과 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다. 조합론적 증명은 $(x+y)^n$을 전개했을 때 나타나는 각 항의 계수가 조합의 수와 같다는 점을 이용한다. 수학적 귀납법을 이용한 증명은 n=0일 때 이항 정리가 성립함을 보이고, n일 때 성립한다고 가정한 후 n+1일 때도 성립함을 보인다.

3.1. 조합론적 증명

$(x+y)^n$을 전개하면 $2^n$개의 항이 나타나는데, 각 항은 $e_{i1}e_{i2}\cdots e_{in}$ 형태를 가진다. 여기서 각 $e_{ij}$는 $x$ 또는 $y$이다. 이항 정리에서 $x^{n-k}y^k$ 꼴의 항의 계수는 $n$개 중에서 $k$개를 선택하는 조합의 가짓수, 즉 이항 계수 $\binom nk$와 같다.

이는 각 항이 $\{1,2,\dots,n\}$의 부분 집합과 일대일 대응되기 때문이다. 즉, $e_{i1}e_{i2}\cdots e_{in}$를 $\{j\in\{1,2,\dots,n\}\colon e_{ij}=y\}$와 같이 대응시키면, $x^{n-k}y^k$ 꼴의 항들은 $\{1,2,\dots,n\}$의 $k$원소 부분 집합들과 일대일 대응한다.

예를 들어 $(x+y)^3$을 전개하면 다음과 같다.

:$(x+y)^3 = (x+y)(x+y)(x+y) = xxx + xxy + xyx + \underline{xyy} + yxx + \underline{yxy} + \underline{yyx} + yyy = x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3$

여기서 $xy^2$의 계수는 3인데, 이는 $y$가 정확히 두 개인 길이 3의 $x, y$ 문자열이 세 개(xyy, yxy, yyx) 있기 때문이다. 이는 $\{1, 2, 3\}$의 두 원소 부분집합 세 개, 즉 $\{2,3\}, \{1,3\}, \{1,2\}$에 해당하며, 각 부분집합은 해당 문자열에서 $y$의 위치를 지정한다.

좀더 일반적으로 $n$개의 $(x + y)$의 곱을 전개하면,

:$(x+y)^n = \underbrace{(x+y)(x+y)\cdots(x+y)}_{n \text{ factors}}$

각 $(x+y)$에서 $x$ 또는 $y$를 선택하여 곱한 항들의 합이 된다. 이 곱들을 재배열하면 $x^{n-k}y^k$ ($k = 0, 1, \dots, n$) 꼴이 되는데, 이 항의 계수는 $n-k$개의 $x$와 $k$개의 $y$를 나열하는 경우의 수와 같으므로, 이항계수 $\binom{n}{k}$가 된다.

3.2. 수학적 귀납법을 통한 증명

수학적 귀납법을 사용하여 이항 정리를 증명할 수 있다. 우선, n=0일 때, $(x+y)^0 = 1 = \binom{0}{0}x^0y^0$이므로 식이 성립한다. 이제 n에 대하여 성립한다고 가정하고, n+1에 대해 성립함을 보이면 된다.

$(x+y)^{n+1} = (x+y)(x+y)^n$ 이고, 귀납 가정에 의해 $(x+y)^n = \sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k$ 이므로,

$\begin{align}
(x+y)^{n+1} &= (x+y)\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k \\
&= x\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k + y\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k \\
&= \sum_{k=0}^n\binom nkx^{n+1-k}y^k + \sum_{k=1}^{n+1}\binom n{k-1}x^{n+1-k}y^{k} \\
&= x^{n+1}+\sum_{k=1}^n\left(\binom nk+\binom n{k-1}\right)x^{n+1-k}y^k+y^{n+1} \\
&= \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}kx^{n+1-k}y^k
\end{align}$

이다. 여기서 이항 계수의 항등식 $\binom nk+\binom n{k-1}=\binom{n+1}k$ (파스칼의 규칙)을 사용했다. 즉, n+1에 대하여도 식이 성립하므로, 수학적 귀납법에 따라 이항 정리는 임의의 음이 아닌 정수 n에 대하여 성립한다.

4. 예

몇 가지 작은 지수에 대한 이항 정리의 예는 다음과 같다.

:(x+y)^0=1^영어
:(x+y)^1=x+y^영어
:(x+y)^2=x^2+2xy+y^2^영어
:(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3^영어
:(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4^영어

임의의 복소수를 x^영어와 y^영어에 대입해도 성립한다. 다만 지수가 0일 경우 0⁰ = 1^영어이라고 가정해야 한다.

일반적으로, (x + y)^n^영어의 전개식에서 오른쪽의 n번째 행(맨 위 행을 0번째 행으로 함)에서:

* 항에서 x^영어의 지수는 n, n − 1, ..., 2, 1, 0^영어이다 (마지막 항은 암묵적으로 x⁰ = 1^영어을 포함).
* 항에서 y^영어의 지수는 0, 1, 2, ..., n − 1, n^영어이다 (첫 번째 항은 암묵적으로 y⁰ = 1^영어을 포함).
* 계수는 파스칼의 삼각형의 n번째 행을 이룬다.
* 같은 항을 합치기 전에는 전개식에 2^n영어개의 항 xⁱy^j영어이 있다.
* 같은 항을 합친 후에는 n + 1^영어개의 항이 있으며, 그 계수의 합은 2^n영어이다.

y^영어의 특정 양수 값을 사용하는 간단한 예:

:(x+2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8^영어

y^영어의 특정 음수 값을 사용하는 간단한 예:

:(x-2)^3 = x^3 - 3x^2(2) + 3x(2)^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8^영어

5. 관련 정리

이항 정리는 다음과 같은 관련 정리들을 포함한다.

* 일반화된 이항 정리 (이항 급수): 이항식의 지수를 임의의 복소수로 확장하여 무한 급수 형태로 나타낸다.
* 다항 정리: 이항식 대신 여러 항의 다항식을 사용하여 전개하는 정리이다.
* 다중 이항 정리: 여러 개의 이항식들의 곱을 전개하는 정리이다.
* 가환환에서의 이항 정리: 가환환의 원소를 계수로 하는 다항식에 대해 성립하는 이항 정리이다.

5.1. 일반화된 이항 정리 (이항 급수)

이항식을 거듭제곱하는 지수를 임의의 복소수 $\backslash alpha$까지 확장할 수 있다. 이렇게 일반화된 이항 정리에선 전개가 무한 급수가 된다.

:$(x+y)^\backslash alpha=\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\backslash binom\backslash alpha\; kx^\{\backslash alpha-k\}y^k=x^\backslash alpha+\backslash alpha\; x^\{\backslash alpha-1\}y+\backslash frac\{\backslash alpha(\backslash alpha-1)\}2x^\{\backslash alpha-2\}y^2+\backslash cdots$

여기서

:$\backslash binom\backslash alpha\; k=\backslash frac\{\backslash alpha(\backslash alpha-1)(\backslash alpha-2)\backslash cdots(\backslash alpha-k+1)\}\{k!\}$

는 일반화된 이항 계수이다. $\backslash alpha$가 음이 아닌 정수일 때는 일반적인 정의와 일치한다. $x$와 $y$가 $|x|>|y|$인 실수이고, $\backslash alpha$가 임의의 복소수이면 다음이 성립한다. 이항 정리는 일반화된 이항 정리에서 $\backslash alpha\backslash in\backslash mathbb\; N$인 특수한 경우이다. $\backslash alpha\backslash not\backslash in\backslash mathbb\; N$일 경우, 이 등식은 $|x|>|y|$일 때 성립하며, 일 때 성립하지 않으며, $|x|=|y|$일 때의 성립 여부는 $x,y,\backslash alpha$의 값에 따라 다르다.

$r=-1$을 대입하면, 에 대해 유효한 기하급수 공식을 제공하는 일반화된 이항 급수가 나타난다.

:$(1+x)^\{-1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{1+x\}\; =\; 1\; -\; x\; +\; x^2\; -\; x^3\; +\; x^4\; -\; x^5\; +\; \backslash cdots.$

5.2. 다항 정리

이항식 대신 여러 항의 다항식을 사용하면 다항 정리를 얻으며, 다음과 같다.

:$(x\_1+x\_2+\backslash cdots+x\_m)^n=\backslash sum\_\{k\_1,k\_2,\backslash dots,k\_m\backslash in\backslash mathbb\; N\}^\{k\_1+k\_2+\backslash cdots\; k\_m=n\}\backslash frac\{n!\}\{k\_1!k\_2!\backslash cdots\; k\_m!\}x\_1^\{k\_1\}x\_2^\{k\_2\}\backslash cdots\; x\_m^\{k\_m\}$

이를 다중지표를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$(x\_1+x\_2+\backslash cdots+x\_m)^n=\backslash sum\_\{K\backslash in\backslash mathbb\; N^m\}^\{|K|=n\}\backslash binom\; nKx^K$

이항 정리는 다항 정리에서 $m=2$인 특수한 경우이다.

이항정리는 세 항 이상의 합의 거듭제곱 전개로 확장할 수 있다.

:$(x\_1\; +\; x\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; x\_m)^n\; =\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{k\_1\; +\; k\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; k\_m\; =\; n\}\; \backslash dbinom\{n\}\{k\_1,\; k\_2,\; \backslash ldots,\; k\_m\}\; \{x\_1\}^\{k\_1\}\; \{x\_2\}^\{k\_2\}\; \backslash cdots\; \{x\_m\}^\{k\_m\}$

여기서, 합은 비음 정수 수열 $k\_1,\; \backslash dots,\; k\_m$의 총합이 $n$인 모든 경우에 대해 취한다. 따라서, 우변의 전개식은 각 항의 차수가 모두 $n$차인 동차다항식이다. 전개식의 계수 $\backslash binom\{n\}\{k\_1,\; k\_2,\; \backslash ldots,\; k\_m\}$는 다항계수라 불리며, 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$\backslash binom\{n\}\{k\_1,\; k\_2,\; \backslash ldots,\; k\_m\}\; =\; \backslash frac\{n!\}\{k\_1!\backslash ,\; k\_2!\; \backslash cdots\; k\_m!\}$

조합론적으로, 다항계수 $\backslash binom\{n\}\{k\_1,\; \backslash dots,\; k\_m\}$는 $n$원 집합을 각 크기가 $k\_1,\; \backslash dots,\; k\_m$인 서로소인 부분집합으로 분할하는 경우의 수가 된다.

5.3. 다중 이항 정리

여러 개의 이항식들의 곱을 전개하는 다중 이항 정리는 다음과 같다.

:$(x\_1+y\_1)^\{n\_1\}(x\_2+y\_2)^\{n\_2\}\backslash cdots(x\_d+y\_d)^\{n\_d\}=$
\sum_{k_1=0}^{n_1}\sum_{k_2=0}^{n_2}\cdots\sum_{k_d=0}^{n_d}
\binom{n_1}{k_1}x_1^{n_1-k_1}y_1^{k_1}\binom{n_2}{k_2}x_2^{n_2-k_2}y_2^{k_2}\cdots\binom{n_d}{k_d}x_d^{n_d-k_d}y_d^{k_d}

이를 다중지표를 사용하여 다음과 같이 더 간결하게 나타낼 수 있다.

:$(x+y)^N=\backslash sum\_\{K\backslash in\backslash mathbb\; N^d\backslash colon\; K\backslash le\; N\}\backslash binom\; NKx^\{N-K\}y^K$

이항 정리는 다중 이항 정리에서 $d=1$인 특수한 경우이다.

5.4. 가환환에서의 이항 정리

이항 정리는 임의의 가환환의 원소를 계수로 하는 다항식에 대해서도 성립한다. 이항 정리는 복소수 다항식에 대한 특수한 경우이다.

이항 정리는 보다 일반적으로, 환 또는 심지어 반환의 두 원소 x^영어와 y^영어에 대해 xy = yx 인 경우에 성립한다. 예를 들어, 두 n × n 행렬에 대해, 해당 행렬들이 교환 법칙을 만족하는 경우 성립하며, 이는 행렬의 거듭제곱을 계산하는 데 유용하다.

이항 정리는 다항식 수열 1, x, x², x³, ...^영어이 이항형임을 말함으로써 기술할 수 있다.

6. 응용

복소수에 대한 이항 정리와 드 무아브르의 정리를 결합하면 배각 공식을 유도할 수 있다. 예를 들어, 드 무아브르의 정리에 따라 $(\cos x+i\sin x)^2 = \cos(2x)+i\sin(2x)$가 성립하고, 이항 정리에 따라 $(\cos x + i\sin x)^2 = (\cos^2 x-\sin^2 x) + i(2\cos x\sin x)$이므로, $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ 와 $\sin(2x) = 2 \cos x \sin x$를 얻는다.

자연상수 e는 $e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$로 정의되는데, 이 식에 이항 정리를 적용하면 e에 대한 무한급수를 얻을 수 있다. n → ∞일 때, 이항 전개의 각 항은 $\frac{1}{k!}$에 접근하며, 단조 수렴 정리에 따라 이 무한 급수의 합은 e와 같다. 즉, $e=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots$이다.

이항 정리는 음이항 분포의 확률 질량 함수와 관련이 있다. 성공 확률이 $p$인 독립적인 베르누이 시행들이 모두 발생하지 않을 확률은 $(1-p)^