고른 별 다면체
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1. 개요
고른 별 다면체는 정사면체, 팔면체, 십이면체 등의 대칭성을 가지며, 볼록 및 비볼록 형태가 존재한다. 정사면체는 가장 기본적인 다면체 중 하나로, 잘린 정사면체, 깎은 정사면체, 엇깎은 정사면체 등의 변형이 있다. 팔면체 대칭의 경우, 육반팔면체, 큰 마름모육면체, 깎은 정육면체 등이 있으며, 정육면체와 정팔면체를 깎아 만든 다면체도 포함된다. 정십이면체는 볼록 및 비볼록 형태가 존재하며, 큰 십이면체, 작은 별 모양 십이면체 등이 있다. 겹치는 모서리나 꼭짓점을 포함하는 별 다면체는 퇴화된 경우로 간주되며, 스킬링의 도형인 큰 마름모이십면체는 깎은 정이십면체에서 면을 확장하여 얻을 수 있는 다면체이다.
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| 고른 별 다면체 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
 | |
| 명칭 | |
| 영어 이름 | Self-intersecting uniform polyhedron |
| 다른 이름 | Nonconvex uniform polyhedron |
| 한국어 이름 | 자기 교차 고른 다면체 |
| 속성 | |
| 종류 | 별 다면체 |
| 면의 종류 | 정다각형 |
| 꼭짓점 도형 | 정다각형 |
| 대칭군 | 유한군 |
| 예시 | |
| 슈레플리 기호 | '{5/2,5}' |
| 콘웨이 다면체 표기법 | d{5,5} |
2. 이면각 대칭
각기둥 균일 다면체 참조.
3. 정사면체 대칭
정사면체 대칭을 갖는 볼록하지 않은 형태로는 반정육면체육면체가 있으며, 이는 뫼비우스 삼각형 (3 3 2)를 기본 영역으로 한다.
고유한 볼록하지 않은 슈바르츠 삼각형은 두 개가 있는데, 하나는 직각 삼각형 ( 3 2)이고 다른 하나는 일반 삼각형 ( 3 3)이다. 일반 삼각형 ( 3 3)은 팔면체반팔면체를 생성하며, 이는 완전한 팔면체 대칭과 함께 더 자세히 설명되어 있다.꼭짓점 배치
(볼록 껍질)볼록하지 않은 형태 
정사면체 --
절단 정사면체
(정팔면체)--
깎은 정사면체--
깎은 정사면체
(육방팔면체)
전절단 정사면체
(깎은 정팔면체)
엇깎은 정사면체
(정이십면체)
3. 1. 볼록 형태
3. 2. 비볼록 형태
볼록하지 않은 형태 중에는 정사면체 대칭을 갖는 반정육면체육면체가 있으며, 이는 뫼비우스 삼각형 (3 3 2)를 기본 영역으로 한다.
4. 팔면체 대칭
정팔면체 대칭을 갖는 다면체는 볼록 형태 8개와 비볼록 형태 10개가 있으며, 기본 영역은 뫼비우스 삼각형 (4 3 2)이다.
비볼록 형태를 생성하는 네 개의 슈바르츠 삼각형에는 두 개의 직각 삼각형( 4 2)과 ( 3 2), 그리고 두 개의 일반 삼각형: ( 4 3), ( 4 4)이 있다.
4. 1. 볼록 형태
정팔면체 대칭을 가진 8개의 볼록 형태가 있다. 기본 영역은 뫼비우스 삼각형 (4 3 2)이다.
| 정점 배치 (볼록 껍질) |
|---|
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| -- |
| -- |
| -- |
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| -- |
4. 2. 비볼록 형태
정팔면체 대칭을 가진 10개의 비볼록 고른 별 다면체가 있으며, 기본 영역은 뫼비우스 삼각형 (4 3 2)이다.네 개의 Schwarz 삼각형은 비볼록 형태를 생성한다. 여기에는 두 개의 직각 삼각형( 4 2)과 ( 3 2), 그리고 두 개의 일반 삼각형: ( 4 3), ( 4 4)이 포함된다.
| 정점 배치 (볼록 껍질) | 비볼록 형태 | ||
|---|---|---|---|
깎은 정육면체 |  육반팔면체 |  팔반육면체 | |
| -- 깎은 정육면체 | -- 큰 마름모육면체 | -- 큰 깎은 정육면체 | -- 비볼록 큰 마름모깎은 정팔면체 |
| -- 작은 마름모깎은 정팔면체 | -- 작은 마름모육면체 | -- 작은 깎은 정육면체 | -- 별모양 깎은 정육면체 |
비균일 깎은 깎은 정육면체 | -- 큰 깎은 깎은 정육면체 | ||
비균일 깎은 깎은 정육면체 | -- 깎은 깎은 정육면체 | ||
5. 정십이면체 대칭
정십이면체 대칭을 갖는 볼록 다면체는 8개, 비볼록 다면체는 46개이다(뫼비우스 삼각형 (5 3 2) 기준). Skilling의 도형을 포함하면 비볼록 형태는 47개가 된다. 비볼록 형태 중 일부는 반사적인 꼭짓점 대칭을 갖는다.
정십이면체 대칭을 갖는 다면체에 대한 자세한 내용은 하위 섹션인 볼록 형태와 비볼록 형태에서 확인할 수 있다.
5. 1. 볼록 형태
정십이면체 대칭을 갖는 볼록 다면체는 정십이면체, 잘린 이십면체, 이십이십면체, 잘린 십이면체, 코 십이면체를 포함하여 8개가 있다.| 꼭짓점 배열 (볼록 껍질) | 비볼록 형태 |
|---|---|
| 64px 정십이면체 | |
 비균일 잘린 이십면체 | |
 비균일 잘린 이십면체 | |
 비균일 잘린 이십면체 | |
| 64px 이십이십면체 | |
| 64px 잘린 십이면체 | |
 비균일 잘린 십이면체 | |
| 64px 십이면체 | |
| 64px 마름모이십이십면체 | |
 비균일 마름모이십이십면체 | |
 비균일 마름모이십이십면체 | |
 비균일 마름모이십이십면체 | |
 비균일 잘린 이십이십면체 | |
 비균일 잘린 이십이십면체 | |
 비균일 잘린 이십이십면체 | |
| 64px 비균일 코 십이면체 |
5. 2. 비볼록 형태
정십이면체 대칭을 갖는 비볼록 고른 별 다면체는 46개이다(기본 영역 뫼비우스 삼각형 (5 3 2)). (Skilling의 도형을 포함하면 47개의 비볼록 형태). 비볼록 코의 형태 중 일부는 반사적인 꼭지점 대칭을 갖는다.| 꼭짓점 배열 (볼록 껍질) | 비볼록 형태 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 64px 정십이면체 | 64px 큰 십이면체 | 64px 작은 별 모양 십이면체 | 64px 큰 이십면체 | |||||
비균일 잘린 이십면체 | 64px 잘린 큰 십이면체 | 64px 큰 십이이십면체 | 64px 비볼록 큰 마름모이십면체 | 64px 큰 마름모십이면체 | ||||
비균일 잘린 이십면체 | 64px 마름모십이면체 | 64px 이십이십이면체 | 64px 마름모이십면체 | |||||
비균일 잘린 이십면체 | 64px 작은 코 이십이십면체 | |||||||
| 64px 이십이십이면체 | 64px 작은 이십반십이면체 | 64px 작은 십이면반십이면체 | 64px 큰 이십이십면체 | 64px 큰 십이면반십이면체 | 64px 큰 이십반십이면체 | 64px 십이면체 | 64px 작은 십이반이십면체 | 64px 큰 십이반이십면체 |
| 64px 잘린 십이면체 | 64px 큰 이중 삼각 십이이십면체 | 64px 큰 이십이십면체 | 64px 큰 십이이십면체 | |||||
비균일 잘린 십이면체 | 64px 작은 후퇴 코 이십이십면체 | |||||||
| 64px 십이면체 | 64px 큰 별 모양 십이면체 | 64px 작은 이중 삼각 이십이십면체 | 64px 이중 삼각 십이면체 | 64px 큰 이중 삼각 이십이십면체 | ||||
| 64px 마름모이십이십면체 | 64px 작은 십이이십면체 | 64px 작은 마름모십이면체 | 64px 작은 별 모양 잘린 십이면체 | |||||
비균일 마름모이십이십면체 | 64px 큰 잘린 이십면체 | |||||||
비균일 마름모이십이십면체 | 64px 작은 이십이십면체 | 64px 작은 이중 삼각 십이이십면체 | 64px 작은 십이이십면체 | 64px 큰 별 모양 잘린 십이면체 | ||||
비균일 마름모이십이십면체 | 64px 큰 이중 마름모이십이십면체 | 64px 큰 코 십이이십면체 | 64px 큰 코 이중 마름모십이면체 (아래 참조) | |||||
비균일 잘린 이십이십면체 | 64px 이십이십십이면체 | |||||||
비균일 잘린 이십이십면체 | 64px 잘린 십이면체 | |||||||
비균일 잘린 이십이십면체 | 64px 큰 잘린 이십이십면체 | |||||||
| 64px 비균일 코 십이면체 | 64px 코 십이이십면체 | 64px 코 이십이십십이면체 | 64px 큰 코 이십이십면체 | 64px 큰 반대 코 이십이십면체 | 64px 반대 코 십이이십면체 | 64px 큰 후퇴 코 이십이십면체 | ||
6. 퇴화된 경우
코세터는 와이소프 작도법으로 겹치는 모서리나 꼭짓점을 포함하는 여러 퇴화된 별 다면체를 확인했다. 이러한 퇴화된 형태는 다음과 같다:
- 작은 복합 이십면체십이이십면체
- 큰 복합 이십면체십이이십면체
- 작은 복합 롬비이십면체십이이십면체
- 큰 복합 롬비이십면체십이이십면체
- 복합 롬비십이면체십이면체
6. 1. 스킬링의 도형
큰 마름모이십면체(great disnub dirhombidodecahedron)는 '스킬링의 도형'(Skilling's figure)이라고도 불린다. 이 도형은 꼭짓점은 균일하지만, 공간상에서 겹치는 모서리 쌍을 가지고 있어 일부 모서리에서 네 면이 만난다.이 도형은 이중 모서리 때문에 균일 다면체가 아닌 퇴화 균일 다면체로 간주된다. Ih 대칭을 가진다.
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