십이면체

3. 정십이면체와 관련된 다면체

정십이면체는 결정 구조 및 준결정에서 나타나는 다양한 형태의 십이면체와 관련이 있다.

볼록 정십이면체는 5개의 정 플라톤 다면체 중 하나이며 슐레플리 기호 {5, 3}으로 나타낼 수 있다. 쌍대 다면체는 각 꼭짓점에 5개의 정삼각형이 있는 정 이십면체 {3, 5}이다.

볼록 정십이면체는 세 개의 별모양 다각형을 가지며, 이들은 모두 정별 십이면체이다. 이들은 4개의 케플러-푸앵소 다면체 중 3개를 형성한다. 이들은 작은 별모양 십이면체 {5/2, 5}, 큰 십이면체 {5, 5/2}, 큰 별모양 십이면체 {5/2, 3}이다. 작은 별모양 십이면체와 큰 십이면체는 서로 쌍대이다. 큰 별모양 십이면체는 큰 이십면체 {3, 5/2}의 쌍대이다.

결정학에서, 두 개의 중요한 십이면체는 입방정계의 일부 대칭 클래스에서 결정 형태로 나타날 수 있으며, 이는 정십이면체와 위상적으로 동일하지만 덜 대칭적이다. 즉, 황철석형 대칭을 갖는 황철석형과 사면체 대칭을 갖는 사면체 육면체이다.

사면체 육면체는 사면체 육면체 (T_h) 대칭을 가진 십이면체이다. 정십이면체와 마찬가지로 12개의 동일한 오각형 면을 가지고 있다.^[3] 그러나 오각형은 정오각형으로 제한되지 않으며, 30개의 모서리는 24개와 6개의 두 세트로 나뉜다.

정십이면체는 결정에 존재하지 않지만, 사면체 육면체 형태는 광물 황철석의 결정에서 발생하며, 이는 정다면체 형태의 발견에 영감을 주었을 수 있다. 진정한 정십이면체는 준결정(예: 홀뮴-마그네슘-아연 준결정)에서 나타나며, 이십면체 대칭을 가진다.

3. 1. 황철석형 십이면체 (Pyritohedron)

• (0, ±(1 + ''h''), ±(1 − ''h''²))
• (±(1 + ''h''), ±(1 − ''h''²), 0)
• (±(1 − ''h''²), 0, ±(1 + ''h''))

3. 1. 1. 기하학적 자유도

황철석형 십이면체의 특수한 경우
같은 절대값과 반대 부호를 가진 버전은 함께 벌집 모양을 형성한다. (이 애니메이션 비교). 표시된 비율은 모서리 길이의 비율(24개 세트(큐브 꼭지점에 닿음) 대 6개 세트(큐브 면에 해당))이다.
비율	1 : 1	0 : 1	1 : 1	2 : 1	1 : 1	0 : 1	1 : 1
h		−1		0		1
	−1.618...		−0.618...		0.618...		1.618...
이미지	--

3. 2. 사각 오각 십이면체 (Tetartoid)

테타르토이드 사각 오각 십이면체
면 다각형	불규칙 오각형
Conway 표기법	gT
면	12
모서리	30 (6+12+12)
꼭짓점	20 (4+4+12)
대칭군	T, [3,3]+, (332), 차수 12
속성	볼록, 면 전이

정십이면체는 결정체에 존재하지 않지만, 테타르토이드 형태는 존재한다. 테타르토이드라는 이름은 그리스어 "1/4"에서 유래되었으며, 이는 완전한 팔면체 대칭의 1/4과, 황철석형 대칭의 절반을 갖기 때문이다.^[4] 광물 코발타이트는 이 대칭 형태를 가질 수 있다.^[5]

4. 마름모 십이면체

'''마름모 십이면체'''는 열두 개의 마름모 면과 팔면체 대칭을 가진 조노헤드론이다. 준정다면체인 깎은 정육면체 (아르키메데스 입체)의 쌍대 다면체이며, 결정 형태로 자연에서 발견된다. 마름모 십이면체는 공간을 채우는 도형이다.

6개의 특수한 모서리가 0의 길이로 줄어들어 오각형이 마름모 면으로 축소된 사면체의 퇴화된 형태로 볼 수도 있다.

마름모 십이면체는 여러 별 모양을 가지고 있으며, 그 중 첫 번째 별 모양은 평행다면체 공간 채움이기도 하다.

빌린스키 십이면체는 마름모 삼십면체와 합동인 열두 개의 면을 가지며, 대각선의 비율이 황금비인 또 다른 마름모 십이면체이다. 이것 또한 조노헤드론이며, 1960년 빌린스키에 의해 기술되었다.^[7] 이 도형은 비주기적인 공간 채움에서 마름모 삼십면체, 마름모 이십면체, 마름모 육면체와 함께 나타날 수 있는 또 다른 공간 채움 도형이다.^[8]

5. 그 외의 십이면체

결정학에서, 두 개의 중요한 십이면체는 입방정계의 일부 대칭 클래스에서 결정 형태로 나타날 수 있으며, 이는 정십이면체와 위상적으로 동일하지만 덜 대칭적이다. 즉, 황철석형 대칭을 갖는 황철석형과 사면체 대칭을 갖는 사면체형이 있다.

위상적으로 구별되는 십이면체(오각형 및 롬빅 형태 제외)는 다음과 같다.

• 합동 불규칙 면: (면-추이)
• * 육각 쌍각뿔 – 12개의 이등변 삼각형, 육각 기둥의 쌍대, D_6h 대칭, 24차
• * 육각 사다리꼴 면체 – 12개의 연, 육각 반각기둥의 쌍대, D_6d 대칭, 24차
• 기타 덜 규칙적인 면:
• * 십일각형 피라미드 – 11개의 이등변 삼각형과 1개의 정규 십일각형, C_11v, 11차
• * 사다리꼴-마름모꼴 십이면체 – 6개의 마름모, 6개의 사다리꼴 – 삼각 직각 컵 평면의 쌍대, D_3h 대칭, 12차
• * 마름모꼴-육각형 십이면체 또는 ''늘어난 십이면체'' – 8개의 마름모와 4개의 정삼각형 육각형, D_4h 대칭, 16차
• * 절단된 오각 사다리꼴 면체 - D_5d, 20차, 정규 십이면체와 위상적으로 동일

5. 1. 일양 다면체

5. 2. 카탈란 다면체

5. 3. 존슨 다면체

5. 4. 기타 십이면체

종류	그림	구성면	대칭	차수
십각기둥	--	정사각형 10개, 십각형 2개	D10h	40
반오각기둥	--	정삼각형 10개, 오각형 2개	D5d	20
마름모 십이면체 제2종		마름모 12개	-	-
장마름모 십이면체		마름모 8개, 정육각형 4개	D4h	16
쌍육각뿔		이등변삼각형 12개	D6h	24

6. 십이면체의 활용

아르망 스피츠는 알베르트 아인슈타인의 제안에 따라 천체 투영관 천체 투영기에 "지구본"과 같은 역할로 십이면체를 사용했다.^[10]

정십이면체는 던전 앤 드래곤과 같은 게임에서 d12로 알려진 주사위로 사용되기도 한다.

참조

_[1] 서적 1908 Chambers's Twentieth Century Dictionary of the English Language, 1913 Webster's Revised Unabridged Dictionary
_[2] 논문 Platonic Solids and High Genus Covers of Lattice Surfaces https://www.tandfonl[...] 2020-05-27
_[3] 웹사이트 Crystal Habit http://www.galleries[...] 2016-12-02
_[4] 웹사이트 The 48 Special Crystal Forms https://www.uwgb.edu[...] 2013-09-18
_[5] 웹사이트 Crystal Habit http://www.galleries[...] 2016-12-02
_[6] 웹사이트 The Tetartoid http://demonstration[...] 2016-12-02
_[7] 웹사이트 Introduction to golden rhombic polyhedra http://www.mi.sanu.a[...]
_[8] 논문 Tilings, coverings, clusters and quasicrystals http://met.iisc.erne[...]
_[9] 웹사이트 Counting polyhedra http://www.numerican[...] 2016-12-02
_[10] 간행물 Forerunners of the Planetarium https://archive.org/[...] 1965-02