정팔면체 대칭은 3차원 공간에서 나타나는 이산 점 대칭의 한 종류로, 카이랄 정팔면체 대칭(O)과 전체 정팔면체 대칭(Oh)으로 분류된다. Oh는 48개의 대칭 요소를 가지며, 정육면체와 정팔면체의 회전 및 반사를 포함한다. 정육면체는 Oh 대칭을 갖는 대표적인 다면체이며, 정팔면체 대칭은 수학적 표현과 군론, 순열 행렬, 콕서-다킨 다이어그램 등으로 설명된다. 정팔면체 대칭은 다양한 다면체와 곡면에서 나타나며, 특히 결정학 및 광물 연구에 응용된다.
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유한군 - 공간군 공간군은 결정의 대칭성을 나타내는 230가지 수학적 군으로, 브라베 격자와 결정학적 점군의 조합으로 구성되며, 병진 대칭, 점군 대칭 작용, 나사축, 미끄럼면 등의 대칭 작용을 포함하고, 결정 구조 이해와 물리적 성질 예측에 중요한 역할을 한다.
유한군 - 라그랑주 정리 (군론) 라그랑주 정리(군론)는 군 G와 부분군 H에 대해 |G| = |G:H||H|가 성립하며, 유한군 G의 경우 |H|가 |G|의 약수임을 나타낸다.
3×3 순열 행렬 집합에서 각 1에 + 또는 − 부호를 할당한다. 3!=6개의 순열과 개의 부호 조합으로 총 48개의 행렬이 생성되며, 이것이 정팔면체군 전체를 이룬다. 이 행렬 중 24개는 행렬식이 +1이며, 이는 카이랄 정팔면체군의 회전 행렬에 해당한다. 나머지 24개 행렬은 행렬식이 −1이며, 반사 또는 반전에 해당한다.
정팔면체 대칭에는 콕서-다킨 다이어그램의 세 거울을 나타내는 세 개의 반사 생성 행렬이 필요하며, 반사의 곱은 3개의 회전 생성자를 생성한다.
[4,3]
반사
회전
회전반사
생성자
R0
R1
R2
R0R1
R1R2
R0R2
R0R1R2
차수
2
2
2
4
3
2
6
행렬
3. 1. 군론 (Group Theory)
전체 정팔면체군은 3차원 초정팔면체군으로 의 관상곱으로 표현할 수 있다. 또한, 직접곱 로도 표현 가능하다.[1] 여기서 S₄는 4차 대칭군이고, S₂는 2차 순환군이다.
'''O''', '''432''', 또는 [4,3]+는 24차의 '''카이랄 정팔면체 대칭''' 또는 '''회전 정팔면체 대칭'''이다. 이 군은 카이랄 정사면체 대칭 T와 유사하지만, C2 축이 C4 축이 되며, 추가적으로 정육면체의 모서리 중간점을 통과하는 6개의 C2 축이 있다. Td와 O는 추상군으로서 동형이다. 둘 다 4개의 객체에 대한 대칭군 S4에 해당한다. O는 정육면체와 정팔면체의 회전군이다.
3. 2. 순열 행렬 (Permutation Matrix)
3×3 순열 행렬 집합에서 각 1에 + 또는 − 부호를 할당하여 정팔면체 대칭을 나타낼 수 있다. 개의 순열과 개의 부호 조합으로 총 48개의 행렬이 만들어진다. 이 행렬 중 24개는 행렬식이 +1이며, 정육면체와 정팔면체의 회전군인 카이랄 정팔면체군의 회전 행렬에 해당한다. 나머지 24개 행렬은 행렬식이 −1이며, 반사 또는 반전에 해당한다.
정팔면체 대칭에는 세 개의 반사 생성 행렬이 필요하며, 이는 콕서-다킨 다이어그램의 세 거울을 나타낸다. 반사의 곱은 3개의 회전 생성자를 생성한다.
[4,3]
반사
회전
회전반사
생성자
R0
R1
R2
R0R1
R1R2
R0R2
R0R1R2
그룹
차수
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2
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행렬
3. 3. 콕서-다킨 다이어그램 (Coxeter-Dynkin Diagram)
정팔면체 대칭은 [4,3]으로 표현되며, 콕서-다킨 다이어그램의 세 거울을 나타내는 세 개의 반사 생성 행렬이 필요하다. 반사의 곱은 세 개의 회전 생성자를 생성한다.
[4,3]
반사
회전
회전반사
생성자
R0
R1
R2
R0R1
R1R2
R0R2
R0R1R2
그룹
차수
2
2
2
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3
2
6
행렬
4. 부분군 (Subgroups)
정팔면체 대칭의 부분군은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Hasse 다이어그램으로 정렬된 부분군
정팔면체 대칭의 부분군은 회전 부분군, 반사 부분군, 반전을 포함하는 부분군으로 분류할 수 있다.
'''카이랄''' 및 '''전체''' (또는 '''비카이랄''') '''정팔면체 대칭'''은 이산 점 대칭 (또는 동등하게, 구면 상의 대칭)으로, 병진 대칭과 호환되는 가장 큰 대칭군을 갖는다. 이들은 입방 결정계의 결정학적 점군에 속한다.
전체 정팔면체군은 3차원 초정팔면체군으로 ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}\wr \mathrm {S} _{3}\simeq \mathrm {S} _{2}^{3}\rtimes \mathrm {S} _{3}}$의 관상곱이며, 그 원소를 식별하는 자연스러운 방법은 ${\displaystyle m\in [0,2^{3})}$ 및 ${\displaystyle n\in [0,3!)}$인 ${\displaystyle (m,n)}$ 쌍으로 간주하는 것이다. 그러나 이것은 또한 직접곱 ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\times \mathrm {S} _{2}}$이므로, 정사면체 부분군 Td의 원소를 ${\displaystyle a\in [0,4!)}$로, 그 반전을 ${\displaystyle a'}$로 간단히 식별할 수 있다.
네 개의 몸통 대각선의 순열 (24개 순열 가능) - 정육면체의 반전 토글과 결합 또는 결합하지 않음
5. 1. 등거리 변환의 분류
이산 점 대칭에서 병진 대칭과 호환되는 가장 큰 대칭군을 갖는 것은 '''카이랄''' 및 '''전체''' (또는 '''비카이랄''') '''정팔면체 대칭'''이다. 이것은 구면 상의 대칭과 동일하며, 입방 결정계의 결정학적 점군에 속한다.
공액류
O의 원소
O 원소의 반전
항등원
0
반전
0′
4중 회전축에 대한 180° 회전 3회
7, 16, 23
4중 회전축에 수직인 평면에서의 반사 3회
7′, 16′, 23′
3중 회전축에 대한 120° 회전 8회
3, 4, 8, 11, 12, 15, 19, 20
60° 회전반사 8회
3′, 4′, 8′, 11′, 12′, 15′, 19′, 20′
2중 회전축에 대한 180° 회전 6회
1′, 2′, 5′, 6′, 14′, 21′
2중 회전축에 수직인 평면에서의 반사 6회
1, 2, 5, 6, 14, 21
4중 회전축에 대한 90° 회전 6회
9′, 10′, 13′, 17′, 18′, 22′
90° 회전반사 6회
9, 10, 13, 17, 18, 22
전체 정팔면체군은 3차원 초정팔면체군으로 ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}\wr \mathrm {S} _{3}\simeq \mathrm {S} _{2}^{3}\rtimes \mathrm {S} _{3}}$의 관상곱이며, 원소를 식별하는 자연스러운 방법은 ${\displaystyle m\in [0,2^{3})}$ 및 ${\displaystyle n\in [0,3!)}$인 ${\displaystyle (m,n)}$ 쌍으로 간주하는 것이다. 그러나 이것은 또한 직접곱 ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\times \mathrm {S} _{2}}$이므로, 정사면체 부분군 Td의 원소를 ${\displaystyle a\in [0,4!)}$로, 그 반전을 ${\displaystyle a'}$로 간단히 식별할 수 있다.
회전반사는 회전과 반사의 조합이다.
48개의 정육면체 대칭 요소
정육면체는 48개의 등거리 변환(대칭 요소)을 가지며, 이는 대칭군 Oh를 형성하며, 이는 S4 × Z2와 동형이다. 다음과 같이 분류할 수 있다.
O (항등 변환과 23개의 고유 회전)
* 항등 변환
* 면의 중심에서 반대쪽 면의 중심을 잇는 축을 중심으로 90° 회전: 3개의 축, 축당 2개, 총 6개
* 180° 각도에 의한 동일한 회전: 3개의 축, 축당 1개, 총 3개
* 모서리의 중심에서 반대쪽 모서리의 중심을 잇는 축을 중심으로 180° 회전: 6개의 축, 축당 1개, 총 6개
* 몸통 대각선을 중심으로 120° 회전: 4개의 축, 축당 2개, 총 8개
반사와 동일 (또한 24개의 등거리 변환).
정육면체의 등거리 변환은 다양한 방식으로 식별할 수 있다.
세 개의 주어진 인접한 면(예: 주사위의 1, 2, 3)이 매핑되는 면을 기준으로
비대칭 표시가 있는 정육면체의 이미지로: 표시가 있는 면, 일반적이든 거울상이든, 그리고 방향
네 개의 몸통 대각선의 순열(각 24개의 순열이 가능함)로, 정육면체의 반전 토글과 결합 또는 결합하지 않음
''C''4v, [4], (*422): 한 면이 다른 색상을 갖는 경우(또는 두 개의 반대 면이 서로 다른 색상과 다른 네 개의 색상을 갖는 경우), 정육면체는 2D에서 정사각형이 갖는 것과 같이 8개의 등거리 변환을 가진다.
''D''2h, [2,2], (*222): 반대 면이 동일한 색상을 가지는 경우(각 두 세트마다 다른 색상), 정육면체는 직육면체와 같이 8개의 등거리 변환을 가진다.
''D''4h, [4,2], (*422): 두 개의 반대 면이 동일한 색상을 갖고, 다른 모든 면이 하나의 다른 색상을 갖는 경우, 정육면체는 사각형 각기둥 (사각형 상자)과 같이 16개의 등거리 변환을 가진다.
''C''2v, [2], (*22):
* 두 개의 인접한 면이 동일한 색상을 갖고, 다른 모든 면이 하나의 다른 색상을 갖는 경우, 정육면체는 4개의 등거리 변환을 가진다.
* 서로 반대인 세 개의 면이 하나의 색상을 갖고 다른 세 면이 다른 색상을 갖는 경우, 정육면체는 4개의 등거리 변환을 가진다.
* 두 개의 반대 면이 동일한 색상을 갖고, 다른 두 개의 반대 면도 동일하며, 마지막 두 면이 다른 색상을 갖는 경우, 정육면체는 거울 대칭을 갖는 모양의 백지 조각과 같이 4개의 등거리 변환을 가진다.
''C''s, [], (*):
* 두 개의 인접한 면이 서로 다른 색상을 갖고, 다른 네 개가 세 번째 색상을 갖는 경우, 정육면체는 2개의 등거리 변환을 가진다.
* 두 개의 반대 면이 동일한 색상을 갖고, 다른 모든 면이 다른 색상을 갖는 경우, 정육면체는 비대칭 백지 조각과 같이 2개의 등거리 변환을 가진다.
''C''3v, [3], (*33): 서로 반대되지 않는 세 개의 면이 하나의 색상을 갖고 다른 세 면이 다른 색상을 갖는 경우, 정육면체는 6개의 등거리 변환을 가진다.
일부 더 큰 부분군의 경우, 해당 군을 대칭군으로 하는 정육면체는 전체 면을 색칠하는 것만으로는 불가능하며, 면에 패턴을 그려야 한다.
예시는 다음과 같다.
''D''2d, [2+,4], (2*2): 한 면이 면을 두 개의 동일한 직사각형으로 나누는 선분이고, 반대쪽 면이 수직 방향으로 동일한 경우, 정육면체는 8개의 등거리 변환을 가진다.
Th, [3+,4], (3*2): 각 면이 면을 두 개의 동일한 직사각형으로 나누는 선분이고, 인접한 면의 선분이 모서리에서 만나지 ''않는'' 경우, 정육면체는 24개의 등거리 변환을 가진다.
Td, [3,3], (*332): 정육면체가 8개의 작은 정육면체로 구성되고, 4개는 흰색, 4개는 검은색으로, 세 가지 표준 방향으로 번갈아 가며 배치된 경우, 정육면체는 다시 24개의 등거리 변환을 가진다.
T, [3,3]+, (332): 각 면이 2겹 회전 대칭을 갖고, 모든 모서리에서 한 S의 상단이 다른 S의 측면과 만나는 경우, 정육면체는 12개의 등거리 변환을 가진다. (예: 문자 S)
정육면체의 전체 대칭, Oh, [4,3], (*432)는 모든 면이 정사각형의 전체 대칭이 보존되도록 동일한 패턴을 갖는 경우에만 보존되며, 정사각형의 경우 대칭군 Dih4, [4]로, 차수는 8이다.
고유 회전 하에서 정육면체의 전체 대칭, O, [4,3]+, (432)는 모든 면이 4겹 회전 대칭, Z4, [4]+과 동일한 패턴을 갖는 경우에만 보존된다.
5. 2. 색칠된 정육면체의 대칭
정육면체는 48개의 등거리 변환(대칭 요소)을 가지는데, 이는 대칭군 Oh를 형성하며, S4×Z2와 동형이다. 색칠된 정육면체(예: 주사위)의 경우, 대칭군은 Oh의 부분군이다.
몇 가지 예시는 다음과 같다.
''C''4v, [4], (*422): 한 면이 다른 색상을 갖는 경우(또는 두 개의 반대 면이 서로 다른 색상과 다른 네 개의 색상을 갖는 경우), 정육면체는 2D에서 정사각형이 갖는 것과 같이 8개의 등거리 변환을 가진다.
''D''2h, [2,2], (*222): 반대 면이 동일한 색상을 가지는 경우(각 두 세트마다 다른 색상), 정육면체는 직육면체와 같이 8개의 등거리 변환을 가진다.
''D''4h, [4,2], (*422): 두 개의 반대 면이 동일한 색상을 갖고, 다른 모든 면이 하나의 다른 색상을 갖는 경우, 정육면체는 사각형 각기둥(사각형 상자)과 같이 16개의 등거리 변환을 가진다.
''C''2v, [2], (*22):
두 개의 인접한 면이 동일한 색상을 갖고, 다른 모든 면이 하나의 다른 색상을 갖는 경우, 정육면체는 4개의 등거리 변환을 가진다.
두 개가 서로 반대인 세 개의 면이 하나의 색상을 갖고 다른 세 면이 다른 색상을 갖는 경우, 정육면체는 4개의 등거리 변환을 가진다.
두 개의 반대 면이 동일한 색상을 갖고, 다른 두 개의 반대 면도 동일하며, 마지막 두 면이 다른 색상을 갖는 경우, 정육면체는 거울 대칭을 갖는 모양의 백지 조각과 같이 4개의 등거리 변환을 가진다.
''C''s, [ ], (*):
두 개의 인접한 면이 서로 다른 색상을 갖고, 다른 네 개가 세 번째 색상을 갖는 경우, 정육면체는 2개의 등거리 변환을 가진다.
두 개의 반대 면이 동일한 색상을 갖고, 다른 모든 면이 다른 색상을 갖는 경우, 정육면체는 비대칭 백지 조각과 같이 2개의 등거리 변환을 가진다.
''C''3v, [3], (*33): 서로 반대되지 않는 세 개의 면이 하나의 색상을 갖고 다른 세 면이 다른 색상을 갖는 경우, 정육면체는 6개의 등거리 변환을 가진다.
더 큰 부분군의 경우, 해당 군을 대칭군으로 하는 정육면체는 전체 면을 색칠하는 것만으로는 불가능하며, 면에 패턴을 그려야 한다.
몇 가지 예시는 다음과 같다.
''D''2d, [2+,4], (2*2): 한 면이 면을 두 개의 동일한 직사각형으로 나누는 선분이고, 반대쪽 면이 수직 방향으로 동일한 경우, 정육면체는 8개의 등거리 변환을 가진다. 대칭 평면과 해당 평면에 45° 각도의 축을 갖는 2겹 회전 대칭이 있으며, 결과적으로 첫 번째 평면에 수직인 다른 대칭 평면과 첫 번째에 수직인 다른 2겹 회전 대칭 축이 있다.
Th, [3+,4], (3*2): 각 면이 면을 두 개의 동일한 직사각형으로 나누는 선분이고, 인접한 면의 선분이 모서리에서 만나지 ''않는'' 경우, 정육면체는 24개의 등거리 변환을 가진다. 몸통 대각선의 짝수 순열과 반전('''x'''가 -'''x'''로 매핑됨)과 동일한 변환이다.
Td, [3,3], (*332): 정육면체가 8개의 작은 정육면체로 구성되고, 4개는 흰색, 4개는 검은색으로, 세 가지 표준 방향으로 번갈아 가며 배치된 경우, 정육면체는 다시 24개의 등거리 변환을 가진다. 이번에는 몸통 대각선의 짝수 순열과 ''다른'' 고유 회전의 역변환이다.
T, [3,3]+, (332): 각 면이 2겹 회전 대칭, 예를 들어 문자 S와 동일한 패턴을 갖고, 모든 모서리에서 한 S의 상단이 다른 S의 측면과 만나는 경우, 정육면체는 12개의 등거리 변환을 가진다. 몸통 대각선의 짝수 순열이다.
정육면체의 전체 대칭, Oh, [4,3], (*432)는 모든 면이 정사각형의 전체 대칭이 보존되도록 동일한 패턴을 갖는 경우에만 보존되며, 정사각형의 경우 대칭군 Dih4, [4]로, 차수는 8이다.
고유 회전 하에서 정육면체의 전체 대칭, O, [4,3]+, (432)는 모든 면이 4겹 회전 대칭, Z4, [4]+과 동일한 패턴을 갖는 경우에만 보존된다.
6. 볼차 곡면 (Bolza Surface)
리만 곡면 이론에서, 볼차 곡면(Bolza surface)은 때때로 볼차 곡선이라고도 불리며, 정팔면체의 꼭짓점 집합을 분기점으로 하는 리만 구의 분지 이중 덮개로 얻어진다. 그 자기 동형 사상 군에는 덮개의 두 시트를 뒤집는 쌍곡선 대입이 포함된다. 쌍곡선 대입에 의해 생성된 차수 2 부분군으로 몫을 취하면 정확히 정팔면체의 대칭군이 생성된다. 볼차 곡면의 많은 놀라운 성질 중 하나는 모든 종수 2 쌍곡선 곡면 중에서 수축을 최대화한다는 사실이다.[1]
7. 정팔면체 대칭을 갖는 다면체
정팔면체 대칭을 갖는 다면체로는 정다면체인 정육면체와 정팔면체, 아르키메데스 다면체 및 카탈랑 다면체의 쌍대인 육팔면체, 깎은 정육면체, 깎은 정팔면체, 마름모 육팔면체, 깎은 육팔면체 등이 있다. 또한, 정규 복합 다면체에는 별 모양 팔면체와 정육면체와 정팔면체의 복합체가 있다.
'''O''', '''432''', 또는 [4,3]+는 24차의 '''카이랄 정팔면체 대칭''' 또는 '''회전 정팔면체 대칭'''이다. 이 군은 카이랄 정사면체 대칭 T와 유사하지만, C2 축이 이제 C4 축이며, 추가적으로 큐브의 모서리 중간점을 통과하는 6개의 C2 축이 있다. Td와 O는 추상군으로서 동형이다: 둘 다 4개의 객체에 대한 대칭군 S4에 해당한다. Td는 T와 O의 각 원소를 반전과 결합하여 얻은 집합의 합집합이다. O는 정육면체와 정팔면체의 회전군이다.
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