정십이면체

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1. 개요
2. 역사적 배경
3. 기하학적 성질
4. 관련된 다면체
- 4.1. 별모양 정십이면체
5. 현대적 응용
- 5.1. 우주의 모양
6. 기타
참조

1. 개요

정십이면체는 12개의 정오각형 면, 30개의 모서리, 20개의 꼭짓점으로 이루어진 다면체이다. 플라톤은 이 도형을 우주를 구성하는 다섯 번째 원소와 연관시켰으며, 유클리드는 기하학적 성질을 수학적으로 기술했다. 정십이면체는 정이십면체와 쌍대 관계에 있으며, 황금비와 깊은 관련이 있다. 역사적으로는 케플러의 태양계 모형, 고분 시대의 장식 등에서 나타났으며, 현대에는 주사위, 예술 작품, 우주 모형 등 다양한 분야에서 활용된다.

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정육면체는 합동인 정사각형 면 6개, 모서리 12개, 꼭짓점 8개로 구성된 높은 대칭성의 플라톤 입체로서, 한 변의 길이를 a라 할 때 부피는 a³, 겉넓이는 6a²이며, 정팔면체와 쌍대다면체 관계를 가진다.
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사면체는 기하학에서 네 개의 꼭짓점, 여섯 개의 모서리, 네 개의 면으로 이루어진 다면체이며, 정사면체를 포함하여 다양한 종류가 존재하고 부피, 겉넓이 등을 계산하는 공식이 있으며, 다양한 분야에서 응용된다.

정십이면체
기본 정보
정십이면체
종류	플라톤의 입체, 깎은 마름모면체, 골드버그 다면체
면	12개의 정오각형
모서리	30
꼭짓점	20
대칭군	정이십면체 대칭 (I_h)
각	116.565°
성질	볼록, 정규
전개도
다이어그램
비토프 기호	3 \| 2 5
슐레플리 기호	{5, 3}
꼭짓점 배치	5³
꼭짓점 도형
쌍대다면체	정이십면체

2. 역사적 배경

정십이면체는 고대부터 철학자와 수학자들의 주목을 받아왔다. 플라톤은 그의 대화편 ''테아에테토스''에서 다섯 개의 정다면체를 네 가지 고대 원소(흙, 물, 불, 공기)와 연결 지었다. 이후 ''티마이오스''에서는 정십이면체를 직접 언급하며 "...신은 [그것]을 사용하여 온 하늘에 별자리를 배치했다"고 말하고, 우주 전체를 묘사하는 데 사용된 다섯 번째 입체 패턴으로 암시했다.^[2] 아리스토텔레스 역시 하늘이 제5원소로 이루어져 있다고 보았으며, 이를 아이테르(aether)라고 불렀다.

정십이면체를 포함한 다섯 개의 정다면체에 대한 수학적 탐구도 고대 그리스에서 활발히 이루어졌다. 테아에테토스는 다섯 정다면체 모두에 대한 수학적 설명을 제공했으며, 볼록 정다면체가 다섯 개뿐이라는 사실을 처음 증명했을 가능성이 있다. 유클리드는 그의 저서 ''원론''의 마지막 권(13권) 전체를 플라톤 다면체의 기하학적 성질을 다루는 데 할애했다. 그는 정사면체, 정팔면체, 정육면체, 정이십면체, 정십이면체를 순서대로 구성하는 방법을 설명하고, 각 다면체의 외접하는 구의 지름과 모서리 길이 사이의 비율을 계산했다. 또한, 더 이상의 볼록 정다면체는 존재하지 않음을 논증했다. 한편, 이암블리코스에 따르면 피타고라스 학파의 히파소스는 "12개의 오각형으로 이루어진 구", 즉 정십이면체를 처음으로 발견하고 세상에 알렸다는 이유로 바다에 빠뜨려져 죽임을 당했다는 이야기가 전해진다.^[3]

르네상스 시대에 이르러 요하네스 케플러는 플라톤의 아이디어를 천문학에 접목시켰다. 그는 저서 ''우주의 조화''에서 정십이면체를 포함한 플라톤 다면체들을 그렸으며, ''우주의 신비''에서는 당시 알려진 여섯 개의 행성(수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성)의 궤도가 다섯 개의 정다면체에 의해 결정된다는 태양계 모형을 제시했다. 케플러의 모형에서 행성 궤도 사이의 간격은 정팔면체, 정이십면체, 정십이면체, 정사면체, 정육면체가 차례로 내접하고 외접하는 방식으로 설명되었다.

동아시아에서도 정십이면체와 유사한 형태의 유물이 발견된다. 일본에서는 5~6세기경 고분 시대 무덤의 부장품으로 출토된 귀걸이 장식에서 정십이면체 구조를 찾아볼 수 있다. 이 귀걸이는 같은 크기의 은 또는 금동으로 만든 고리 12개를 균등하게 배치하여 속이 빈 공 모양을 만든 것으로, 군마현 야나세 후타고즈카 고분, 지바현 기온 오쓰카야마 고분, 나가노현 아제이 1호분, 와카야마현 오타니 고분, 나라현 신자와 센즈카 등에서 확인되었다. 이러한 형태의 귀걸이는 한반도의 고대 유물에서도 유사한 사례가 발견되어, 당시 동아시아 지역의 기하학적 이해와 문화 교류의 일면을 엿볼 수 있게 한다.^[43]

3. 기하학적 성질

정십이면체는 12개의 정오각형 면, 30개의 모서리, 20개의 꼭짓점을 가진 정다면체이다. 각 꼭짓점에서는 3개의 정오각형 면이 만난다. 두 면이 이루는 각도인 이면각은 $\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ 로, 약 116.565도이다.

정십이면체의 쌍대 다면체는 정이십면체이며, 두 다면체는 이십면체 대칭

\mathrm{I}_\mathrm{h}

라는 동일한 3차원 대칭군을 공유한다. 이 대칭성에는 마주보는 꼭짓점을 잇는 10개의 3회전축, 마주보는 면의 중심을 잇는 6개의 5회전축, 마주보는 모서리의 중점을 잇는 15개의 2회전축이 포함된다.

정십이면체는 황금비(

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618

)와 밀접한 관련이 있다. 정십이면체의 여러 길이 비율, 면적, 부피 등에서 황금비가 나타나며, 좌표를 표현하거나 정십이면체를 구성하는 데에도 황금비가 활용된다. 상세한 공식과 좌표는 아래 관련 섹션에서 다룬다.

구에 내접할 경우, 정십이면체는 같은 구에 내접하는 정이십면체(약 60.55%)보다 더 큰 부피 비율(약 66.49%)을 차지한다. 이는 고대 그리스 시대부터 논의된 문제로, 알렉산드리아의 헤론, 알렉산드리아의 파푸스 등에 의해 해결되었다. 페르가의 아폴로니우스는 두 다면체의 부피 비율이 겉넓이 비율과 같다는 사실을 발견했다.

그 외의 기하학적 특징은 다음과 같다.

엇각 쌍오각뿔의 양쪽 꼭짓점을 잘라낸 입체의 특수한 형태로 볼 수 있다.
서로 마주보는 면은 평행하다.
전개도는 43,380가지가 존재한다.
각 꼭짓점에서 만나는 면과 모서리의 배열은 정삼각뿔 모양과 유사하며, 3개의 면과 3개의 모서리가 모인다.

3. 1. 공식

한 모서리의 길이가

a

인 정십이면체의 부피(V)와 겉넓이(A)는 다음과 같다.

:

V = \frac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3

:

A = 3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2

정십이면체의 이면각은

\arccos\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)

또는

2 \arctan(\phi)

이며, 약 116.565도이다.

황금비

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618

는 정십이면체의 기하학적 속성과 밀접한 관련이 있다. 변의 길이가

a

인 정십이면체의 겉넓이

A

와 부피

V

는 황금비를 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

A = 3\sqrt{5(5+2\sqrt{5})} a^2 = \frac{15\phi}{\sqrt{3 - \phi}}a^2

V = \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5}) a^3 = \frac{5\phi^3}{6-2\phi}a^3

* '''주황색''' 꼭짓점:

(\pm 1, \pm 1, \pm 1)

'''녹색''' 꼭짓점: $(0, \pm \phi, \pm 1/\phi)$ ( $yz$ -평면)
'''파란색''' 꼭짓점: $(\pm 1/\phi, 0, \pm \phi)$ ( $xz$ -평면)
'''분홍색''' 꼭짓점: $(\pm \phi, \pm 1/\phi, 0)$ ( $xy$ -평면)

]]

원점을 중심으로 하는 정십이면체의 20개 꼭짓점의 데카르트 좌표는 황금비

\phi

를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(\pm 1, \pm 1, \pm 1)

(0, \pm \phi, \pm 1/\phi)

(\pm 1/\phi, 0, \pm \phi)

(\pm \phi, \pm 1/\phi, 0)

모서리의 길이가

a

일 때, 정십이면체에 관련된 구들의 반지름은 다음과 같다.

외접구 반지름 ( $r_c$ ): 모든 꼭짓점을 지나는 구의 반지름

r_c = \frac{\sqrt{3}}{4}(1+\sqrt{5})a = \frac{\sqrt{3}}{2}\phi a \approx 1.401a

내접구 반지름 ( $r_i$ ): 모든 면에 접하는 구의 반지름

r_i = \frac{a}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}} = \frac{\phi^2}{2\sqrt{3-\phi}}a \approx 1.114a

중간 반지름 ( $r_m$ ): 모든 모서리의 중점에 접하는 구의 반지름

r_m = \frac{a}{4}(3+\sqrt{5}) = \frac{\phi^2}{2}a \approx 1.309a

모서리 길이가 1인 정십이면체의 외접구 반지름

r_c

는 모서리 길이가

\phi

인 정육면체를 감싸는 외접구의 반지름과 같고, 내접구 반지름

r_i

는 모서리 길이가

\phi

인 정오각형의 아포테마(변심거리)와 같다.

아래 표는 모서리 길이를

a

, 황금비를

\phi

로 할 때 정십이면체의 주요 공식을 요약한 것이다.

정십이면체 관련 공식 요약
항목	일반 공식	황금비( $\phi$ ) 사용 공식
한 면(정오각형)의 면적	$A=\frac{1}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}}\,a^2$	$A=\frac{1}{4}\sqrt{5(4\varphi+3)}\,a^2$
겉넓이 (S 또는 A)	$S=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\,a^2$	$S=3\sqrt{5(4\varphi+3)}\,a^2$
부피 (V)	$V=\frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})a^3$	$V=\frac{1}{2}(7\varphi+4)a^3$
가장 긴 대각선의 길이 (d)	$d=\frac{1}{2}{(\sqrt{15}+\sqrt{3})a}$	$d={\sqrt{3}\varphi}a$
외접구 반지름 (R 또는 $r_c$ )	$R=\frac{1}{4}{(\sqrt{15}+\sqrt{3})a}$	$R=\frac{\sqrt{3}}{2}\varphi a$
내접구 반지름 (r 또는 $r_i$ )	$r=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}}$	$r=\frac{3\varphi+2}{2\sqrt{4\varphi+3}}a$
중간 반지름 ( $r_m$ )	$r_m = \frac{a}{4}(3+\sqrt{5})$	$r_m = \frac{\phi^2}{2} a$

3. 2. 좌표

황금비는 두 수의 합과 더 큰 수의 비율이 같은 두 수 사이의 비율이다. 이는

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618

로 표현되는 다항식의 두 근 중 하나이다. 황금비는 정십이면체의 좌표를 표현하는 데 사용된다.

다음 데카르트 좌표는 원점을 중심으로 하는 정십이면체의 20개 꼭짓점을 정의한다. 여기서

\phi = \frac{1+\sqrt5}2

는 황금비이다.

\begin{align}(\pm 1, \pm 1, \pm 1), &\qquad (0, \pm \phi, \pm 1/\phi), \\(\pm 1/\phi, 0, \pm \phi), &\qquad (\pm \phi, \pm 1/\phi, 0).\end{align}

다른 방식으로 좌표를 표현하면 다음과 같다. 여기서

\varphi

는 황금비

\frac{1+\sqrt5}2

이고,

\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3=\pm 1

이다.

'''20개의 꼭짓점''' (원점으로부터의 거리

\sqrt3

)

$(\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3)$ 형태의 8개
$(0, \epsilon_2 \varphi, \epsilon_3 \varphi^{-1})$ 의 xyz 좌표를 짝수 치환한 12개 (예: $(\epsilon_1 \varphi^{-1}, 0, \epsilon_3 \varphi)$ , $(\epsilon_1 \varphi, \epsilon_2 \varphi^{-1}, 0)$ 등)

'''30개의 변''' (길이

2\varphi^{-1}

)의 양 끝점 및 중심

양 끝점이 $(\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3)$ 와 $(0, \epsilon_2\varphi, \epsilon_3\varphi^{-1})$ 이고, 중심이 $\frac{1}{2}(\epsilon_1, \epsilon_2 \varphi^2, \epsilon_3 \varphi)$ 인 변들의 xyz 좌표를 짝수 치환한 24개
양 끝점이 $(0, \epsilon_2\varphi, \varphi^{-1})$ 와 $(0, \epsilon_2\varphi, -\varphi^{-1})$ 이고, 중심이 $(0, \epsilon_2\varphi, 0)$ 인 변들의 xyz 좌표를 짝수 치환한 6개

'''12개의 면'''의 반시계 방향 꼭짓점 및 중심

면 하나의 꼭짓점 예시: $(0, \epsilon_2\varphi, \epsilon_3\varphi^{-1})$ , $(-\epsilon_2 \epsilon_3, \epsilon_2, \epsilon_3)$ , $(-\epsilon_2 \epsilon_3\varphi^{-1}, 0, \epsilon_3 \varphi)$ , $(\epsilon_2 \epsilon_3\varphi^{-1}, 0, \epsilon_3 \varphi)$ , $(\epsilon_2 \epsilon_3, \epsilon_2, \epsilon_3)$
면 하나의 중심 예시: $\frac{\varphi+2}{5}(0, \epsilon_2, \epsilon_3\varphi)$
위 꼭짓점과 중심 좌표들의 xyz 좌표를 짝수 치환하여 12개의 면을 얻는다.

3. 3. 정십이면체의 구성

정십이면체를 구성하는 방법에는 여러 가지가 있다.

정육면체에 지붕 씌우기 (유클리드의 방법): 유클리드의 『원론』 제13권 정리 17에는 정십이면체를 내접하는 정육면체로부터 구성하는 방법이 기록되어 있다. 이는 정육면체의 각 면에 오각형 모양의 지붕을 덮는 방식으로 설명될 수 있다.^[38] 『원론』에서는 이 방법을 통해 만들어진 오각형이 등변이며 동일 평면 위에 있고, 각도 또한 같음을 증명한다.^[40]

정십이면체를 만들고, 앞의 그림과 같이 구로 둘러싸고, 정십이면체의 변이 무리선분으로 불리는 여선분임을 증명한다.
— ''유클리드 원론'' 제13권의 정리 17^[41]

『원론』 제13권 정리 17의 설명^[40]을 그림과 같이 라틴 문자를 사용하여 설명하면 다음과 같다.

앞서 언급한 정육면체의 서로 수직인 두 면 ABCD, CBEF가 정해지고, 변 AB, BC, CD, DA, EF, EB, FC 각각이 G, H, K, L, M, N, O에서 2등분되어 GK HL, MH, NO가 연결되고, NP, PG, HQ 각각이 점 R, S, T에서 외중비로 나뉘어 RP, PS, TQ가 그 큰 부분으로 되고, 점 R, S, T에서 정육면체의 면에 수직으로 정육면체 바깥 방향으로 RU, SV, TW가 세워지고, RP, PS, TQ와 같게 하고, UB, BW, WC, CV, VU가 연결되었다고 하자. 오각형 EBWCV는 등변이고 한 평면 위에 있으며, 등각이라고 주장한다.
— ''유클리드 원론'' 제13권의 정리 17^[42]

정육면체 모서리 절단: 반대로, 정십이면체를 외접하는 정육면체의 12개 모서리를 균일하게 절단하여 만드는 방법도 있다. 이는 사토 이쿠로와 나카가와 히로가 ''다면체 목공(증보판)''에서 제시한 방법이다.^[39] 이 방법은 정십이면체의 투영도가 직교하는 세 방향으로 나타나는 특징에 기반한다. 투영도를 이용해 100mm 정육면체에서 잘라낼 부분을 계산하는데, 이 잘라내는 비율이 황금비에 해당한다. 잘라내는 각도는 약 31.7도이다. 아래 표는 발포 스티로폼 커터를 사용하여 정육면체에서 정십이면체를 만드는 과정을 보여준다.

절단 과정	설명
X축 회전 절단	X축을 중심으로 회전하며 절단하는 모습
Y축 회전 절단	Y축을 중심으로 회전하며 절단하는 모습
Z축 회전 절단	Z축을 중심으로 회전하며 절단하는 모습
정육면체 절단 완료	정육면체 절단을 통해 완성된 정십이면체

4. 관련된 다면체

정십이면체와 관련된 다면체들은 다음과 같다.

--

정십이면체의 쌍대 다면체는 정이십면체이다. 이 두 다면체는 동일한 3차원 대칭군인 이십면체 대칭 $\mathrm{I}_\mathrm{h}$ 를 공유한다. 정십이면체는 마주보는 꼭짓점을 잇는 10개의 3회 회전축, 마주보는 면의 중심을 잇는 6개의 5회 회전축, 마주보는 모서리의 중점을 잇는 15개의 2회 회전축을 가진다.

정십이면체가 구에 내접할 때, 같은 구에 내접하는 정이십면체(60.55%)보다 더 많은 부피(66.49%)를 차지한다. 어떤 다면체가 구 안에서 더 큰 부피를 차지하는지에 대한 문제는 고대 그리스 시대부터 제기되었으며, 알렉산드리아의 헤론, 알렉산드리아의 파푸스, 피보나치 등에 의해 해결되었다. 페르가의 아폴로니우스는 두 다면체의 부피 비율이 표면적 비율과 같다는 사실을 발견하기도 했다.

황금사각형은 정십이면체 및 정이십면체와 관련이 있다. 서로 수직인 세 개의 황금사각형을 교차시키고 각 꼭짓점을 연결하면 정이십면체를 만들 수 있는데, 이 정이십면체의 12개 꼭짓점은 정십이면체의 12개 면 중심에 해당한다.

정십이면체에 내접하는 다섯 개의 정사면체. 반대 방향의 다섯 정사면체(표시되지 않음)도 내접 가능하다.

정육면체 안에 두 개의 반대 방향 정사면체를 내접시킬 수 있듯이, 정십이면체 안에는 다섯 개의 정육면체를 내접시킬 수 있다. 결과적으로 정십이면체 안에는 총 열 개의 정사면체(다섯 개의 정육면체 각각에 두 개씩)를 내접시킬 수 있다. 이들은 서로 반대되는 두 세트로 나뉘며, 각 꼭짓점은 두 개의 정사면체(각 세트에서 하나씩)에 속한다.

정십이면체는 절단된 사다리꼴 다면체의 한 종류로 볼 수 있으며, 오각형 사다리꼴 다면체의 양쪽 꼭짓점을 잘라내어 만들 수 있다. 또한, 정십이면체는 육각형과 오각형 면으로 이루어진 골드버그 다면체의 하나로도 해석될 수 있다. 정십이면체는 골드버그 다면체 구성(GP(1,0) 또는 G(1,0))의 시작점으로, 모서리를 깎아내는 챔퍼 과정을 통해 새로운 골드버그 다면체를 계속 만들어낼 수 있다.

정십이면체의 주요 기하학적 속성은 다음과 같다.