고유 궤도 에너지

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 각 궤도에 대한 방정식 형태
3. 변화율
4. 추가 에너지
5. 예시
- 5.1. 국제 우주 정거장 (ISS)
- 5.2. 보이저 1호
6. 추력의 적용
- 6.1. 추력 방향과 효율
- 6.2. 델타 V와 고유 궤도 에너지 변화
7. 고도별 속도와 고유 궤도 에너지의 값
참조

1. 개요

고유 궤도 에너지는 물체의 궤도 운동을 설명하는 데 사용되는 에너지의 한 유형이다. 타원 궤도의 경우 고유 궤도 에너지는 궤도 긴반지름과 표준 중력 변수를 사용하여 계산되며, 포물선 궤도에서는 0, 쌍곡선 궤도에서는 양수 값을 갖는다. 이 에너지는 궤도 속도와 위치 벡터를 통해 계산할 수 있으며, 추력 적용을 통해 궤도 에너지를 변화시킬 수 있다. 델타-v를 적용하여 고유 궤도 에너지를 증가시키려면 추력이 로켓 속도와 같은 방향으로 작용해야 하며, 감소시키려면 반대 방향으로 작용해야 한다.

더 읽어볼만한 페이지

천체동역학 - 호만 전이 궤도
호만 전이 궤도는 우주선을 낮은 원형 궤도에서 높은 원형 궤도로 이동시키는 데 사용되는 타원 궤도로, 두 번의 엔진 점화를 통해 궤도를 변경하며, 특정 조건 하에서 최소 에너지를 사용하는 궤도 전이 방법이다.
천체동역학 - 목성 얼음 위성 탐사선
목성 얼음 위성 탐사선(Juice)은 유럽 우주국(ESA)의 목성 탐사선으로, 목성과 위성들의 대기, 표면, 내부 구조, 자기장을 탐사하며, 특히 가니메데의 해양층과 자기장 상호 작용을 상세히 조사하고, 유로파에서 생명체 관련 화학 물질과 얼음 지각 두께를 측정할 예정이다.
궤도 - 궤도면
궤도면은 인공위성과 발사체의 궤도를 결정하는 중요 요소로, 지구 중력의 비구형성으로 인해 회전하며, 발사 시점은 목표 궤도면과 발사 기지의 교차 시간에 따라 결정된다.
궤도 - 다체 문제
다체 문제는 상호작용하는 여러 물체의 운동을 다루는 문제로, 특히 중력적으로 상호작용하는 천체들의 운동을 예측하는 문제가 대표적이며, 삼체 문제부터는 해석적 해를 구하기 어려워 섭동 이론이나 수치 해석 등의 방법이 활용된다.

고유 궤도 에너지

2. 각 궤도에 대한 방정식 형태

궤도의 형태(타원, 포물선, 쌍곡선)에 따라 고유 궤도 에너지를 나타내는 방정식은 다르게 표현된다.

타원 궤도: 긴반지름이 ''a''이고 표준 중력 변수가 μ일 때, 고유 궤도 에너지는 음수이며, $\epsilon = -\frac{\mu}{2a}$ 이다. 자세한 내용은 하위 섹션을 참고.

포물선 궤도: 고유 궤도 에너지는 0으로 고정된다. ( $\epsilon = 0$ )

쌍곡선 궤도: 긴반지름 ''a''의 표기 방식에 따라 타원 궤도와 같은 형태로 나타내거나, 부호를 반대로 하여 $\epsilon = {\mu \over 2a}$ 로 나타낸다. 이때 고유 궤도 에너지는 특성 에너지( $C_3$ )와 같으며, 쌍곡선 초과 속도( $v_\infty$ )와는 $2\epsilon = C_3 = v_\infty^2.$ 의 관계를 가진다.

2. 1. 타원 궤도

타원 궤도에서 고유 궤도 에너지는 음수이며, 표준 중력 변수와 궤도 긴반지름을 이용하여 다음 식으로 나타낼 수 있다.^[3]

:

\epsilon = -\frac{\mu}{2a}

$\mu = G\left(m_1 + m_2\right)$ 는 표준 중력 변수이다.
$a$ 는 궤도 긴반지름이다.

이 식은 상대 비각운동량을 이용하여 유도할 수 있으며, 증명은 하위 섹션에서 다룬다.

2. 1. 1. 증명

상대 비각운동량 ''h''를 갖는 타원 궤도의 경우,

:

h^2 = \mu p = \mu a \left(1 - e^2\right)

고유 궤도 에너지 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다.

:

\epsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r}

근점에서의 상대 속도 관계는 다음과 같다.

:

v_p^2 = {h^2 \over r_p^2}= {h^2 \over a^2(1 - e)^2}= {\mu a \left(1 - e^2\right) \over a^2(1 - e)^2}= {\mu \left(1 - e^2\right) \over a(1 - e)^2}

따라서 고유 궤도 에너지 방정식은 다음과 같이 변형된다.

:

\epsilon = {\mu \over a}{\left[ {       1 - e^2 \over 2(1 - e)^2} - {1 \over 1 - e} \right]}= {\mu \over a}{\left[ {(1 - e)(1 + e) \over 2(1 - e)^2} - {1 \over 1 - e} \right]}= {\mu \over a}{\left[ {         1 + e \over 2(1 - e)}   - {2 \over 2(1 - e)} \right]}= {\mu \over a}{\left[ {         e - 1 \over 2(1 - e)} \right]}= -{\mu \over 2a}

^[3]

2. 2. 포물선 궤도

포물선 궤도에서 고유 궤도 에너지는 0이다.^[3]

:

\epsilon = 0

2. 3. 쌍곡선 궤도

쌍곡선 궤도의 경우 ''a''의 표시 방법에 따라, 타원 궤도와 형태가 같게 표시하거나 부호를 반전하여 표시한다. 이 경우의 고유 궤도 에너지는 특성 에너지(

C_3

)로서 간주할 수 있으며, 포물선 궤도에 비해 추가로 소유한 에너지의 양과 같다.

:

\epsilon = {\mu \over 2a}

쌍곡선 초과 속도

v_\infty

와는 다음의 관계가 있다.

:

2\epsilon = C_3 = v_\infty^2.

따라서, 궤도 위치 벡터

\mathbf{r}

또는 궤도 속도 벡터

\mathbf{v}

를 알고 있으면 고유 궤도 에너지와 공전 속도를 계산할 수 있다.

3. 변화율

타원 궤도에서 궤도 긴반지름의 변화에 대한 고유 궤도 에너지의 변화율은 다음과 같다.

: $\frac{\mu}{2a^2}$

$\mu=G(m_1 + m_2)$ 는 표준 중력 변수이다.
$a$ 는 궤도 긴반지름이다.

원형 궤도의 경우, 이 비율은 궤도에서의 중력의 절반이다. 이는 원형 궤도에서 운동 에너지가 위치 에너지의 -1/2배이기 때문에 총 에너지가 위치 에너지의 절반이라는 사실과 일치한다.

4. 추가 에너지

중심 천체의 반지름이 ''R''일 때, 중심체 표면에 대한 타원 궤도에서 필요한 추가적인 고유 궤도 에너지는 다음과 같다.

: $-\frac{\mu}{2a} + \frac{\mu}{R} = \frac{\mu(2a - R)}{2aR}$

$2a - R$ 은 중심체의 중심과 표면으로부터의 거리를 각각 더한 값과 같다. 지구의 경우 $a$ 가 $R$ 에 비해 큰 차이가 없는 경우에는 추가로 필요한 고유 궤도 에너지는 $(gR/2)$ 로 구해지며, 이는 속도의 수평 성분에 대한 운동 에너지이다.

: $\frac{V^2}{2} = \frac{gR}{2}$ , $V = \sqrt{gR}$

5. 예시

보이저 1호와 국제 우주 정거장(ISS)의 예를 통해 고유 궤도 에너지를 계산해 볼 수 있다.

100km 고도의 경우, 에너지는 -30.8MJ/kg이다. 잠재 에너지는 -61.6MJ/kg이고 운동 에너지는 30.8MJ/kg이다. 지표면에서의 잠재 에너지인 -62.6MJ/kg과 비교하면 추가 잠재 에너지는 이고 총 추가 에너지는 31.8MJ/kg이다. 미터당 증가는 4.8J/kg이다. 이 비율은 9.5m/s²의 지역 중력의 절반에 해당한다. 속도는 7.8km/s이고, 이 궤도에 도달하기 위한 순 델타-v는 8.0km/s이다.

지구 자전을 고려하면 델타-v는 최대 0.46km/s 적거나(적도에서 시작하여 동쪽으로 이동) 더 많을 수 있다(서쪽으로 이동하는 경우).

5. 1. 국제 우주 정거장 (ISS)

국제 우주 정거장은 91.74분(5504초)의 궤도 주기를 가지며, 케플러의 제3법칙에 따라 궤도의 긴반지름은 6,738km이다.^[1]

이 궤도와 관련된 특정 궤도 에너지는 -29.6MJ/kg이다. 잠재 에너지는 -59.2MJ/kg이고 운동 에너지는 29.6MJ/kg이다. 지표면에서의 잠재 에너지인 -62.6MJ/kg과 비교하면, 추가 잠재 에너지는 3.4MJ/kg이고 총 추가 에너지는 이다. 평균 속도는 7.7km/s이고, 이 궤도에 도달하기 위한 순 델타-v는 8.1km/s이다(실제 델타-v는 일반적으로 대기 항력과 중력 항력 때문에 1.5~ 더 높다).^[1]

미터당 증가는 4.4J/kg이다. 이 비율은 8.8m/s2의 지역 중력의 절반에 해당한다.^[1]

5. 2. 보이저 1호

보이저 1호의 궤도 수치는 다음과 같다.

태양의 표준 중력 매개변수: Standard gravitational parameter^영어 $\mu = GM$ = 132,712,440,018 km³⋅s⁻²
''r'' = 17×10⁹ km
''v'' = 17.1 km/s

따라서 고유 궤도 에너지는 다음으로 구해진다.

:

\epsilon = \epsilon_k + \epsilon_p = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r}

= 146 km²⋅s⁻² − 8 km²⋅s⁻² = 138 km²⋅s⁻²

또한, 쌍곡선 초과 속도는 16.6 km/s이다.

그러나 보이저 1호는 은하수를 떠날 만큼 충분한 속도를 가지고 있지 않다. 계산된 속도는 태양에서 멀리 떨어진 곳에 적용되지만, 은하수에 대한 위치 에너지가 거의 변하지 않고, 태양 외에 다른 천체와의 강한 상호 작용이 없는 경우에만 해당한다.

6. 추력의 적용

로켓의 추력을 어떻게 적용하느냐에 따라 고유 궤도 에너지를 효율적으로 조절할 수 있다. 로켓의 시간당 고유 궤도 에너지 변화와 단위 델타 V 변화당 고유 궤도 에너지 변화는 특정 공식으로 표현된다. 이 공식들을 통해 궤도 에너지를 가장 효율적으로 바꾸는 방법을 알 수 있다. 예를 들어, 궤도 에너지를 높이기 위해서는 델타 V를 로켓의 속도와 같은 방향으로 가해야 한다. 반대로 궤도 에너지를 낮추려면 델타 V를 속도와 반대 방향으로 가해야 한다.

이러한 효율적인 궤도 변경 방법은 오베르트 효과와도 관련이 있다. 오베르트 효과는 로켓이 행성에 가까이 접근할수록 같은 양의 연료를 써도 더 큰 속도 변화를 얻을 수 있다는 개념이다.

6. 1. 추력 방향과 효율

로켓의 시간당 고유 궤도 에너지 변화는

\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}

으로 표현할 수 있으며, 이는 운동 에너지 측의 값

\mathbf{v} \cdot (\mathbf{a}-\mathbf{g})

과 위치 에너지 측의 값

\mathbf{v} \cdot \mathbf{g}

의 합이다. 여기서,

'''a'''는 추력으로 인해 생기는 가속도로, 시간당 델타 V가 소모되는 비율이다.
'''g'''는 중력장의 세기이다.
'''v'''는 로켓의 속도이다.

로켓의 단위 델타 V 변화당 고유 궤도 에너지 변화는

\frac{\mathbf{v \cdot a}}

으로 표현되며, 이는 |'''v'''|에 '''v'''와 '''a''' 사이 각도의 코사인 값을 곱한 것과 같다.

따라서 고유 궤도 에너지를 증가시키기 위해서는 델타 V를 '''v'''의 방향과 같은 방향으로 가했을 때(가속도 '''a'''가 '''v'''의 방향과 같을 때) 가장 효율이 높다. 예를 들어 로켓을 처음 발사할 때나 더 높은 궤도로 올라갈 때처럼 '''v'''와 '''g''' 사이의 각도가 둔각일 경우, 델타 V를 최대한 빠르고 짧게 가하는 것이 가장 효율이 높다. 즉 행성을 근접 통과할 때는 행성에 가장 가까운 지점에서 분사하는 것이 가장 효율이 좋다는 뜻으로, 오베르트 효과와 같은 뜻이다.

반대로 고유 궤도 에너지를 감소시킬 때는, '''a'''가 '''v'''와 반대 방향일 때 효율이 가장 높다. 예를 들어 착륙이나 낮은 궤도로 내려가는 경우처럼 '''v'''와 '''g''' 사이 각도가 예각인 경우에는 델타 V를 최대한 늦게 가하는 것이 효율이 높다.

만약 '''a'''의 방향이 '''v'''와 같다면 식은

\Delta \epsilon =  \int v\, d (\Delta v) = \int v\, a dt

으로 표현된다.

6. 2. 델타 V와 고유 궤도 에너지 변화

로켓의 시간당 고유 궤도 에너지 변화는

\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}

으로 표현할 수 있으며, 이는 운동 에너지 측의 값

\mathbf{v} \cdot (\mathbf{a}-\mathbf{g})

과 위치 에너지 측의 값

\mathbf{v} \cdot \mathbf{g}

의 합이다. 여기서

'''a'''는 추력으로 인해 생기는 가속도로, 시간당 델타 V가 소모되는 비율이다.
'''g'''는 중력장의 세기이다.
'''v'''는 로켓의 속도이다.

로켓의 단위 델타 V 변화당 고유 궤도 에너지 변화는

\frac{\mathbf{v \cdot a}}

으로 표현되며, 이는 |'''v'''|에 '''v'''와 '''a''' 사이 각도의 코사인 값을 곱한 것과 같다.

따라서 고유 궤도 에너지를 증가시키기 위해 델타 V를 가할 때, 가속도 '''a'''가 '''v'''의 방향과 같은 방향으로 가해졌을 때 가장 효율이 높다. '''v'''와 '''g''' 사이의 각도가 둔각일 경우(로켓을 처음 발사할 때나 더 높은 궤도로 올라갈 때), 델타 V를 최대한 빠르고 짧게 가하는 것이 가장 효율이 높다. 즉 행성을 근접 통과할 때는 행성에 가장 가까운 지점에서 분사하는 것이 가장 효율이 좋다는 뜻으로, 오베르트 효과와 같은 뜻이다.

반대로 고유 궤도 에너지를 감소시킬 때는, '''a'''가 '''v'''와 반대 방향일 때 효율이 가장 높으며, '''v'''와 '''g''' 사이 각도가 예각인 경우(착륙이나 낮은 궤도로 내려가는 경우)에는 델타 V를 최대한 늦게 가하는 것이 효율이 높다.

만약 '''a'''의 방향이 '''v'''와 같다면 식은

\Delta \epsilon =  \int v\, d (\Delta v) = \int v\, a dt

이 된다.

7. 고도별 속도와 고유 궤도 에너지의 값

궤도	거리 (중심-중심)	고도 (지구 표면)	공전 속도	공전 주기	고유 궤도 에너지
지구 자전 (비교용)	6378km	0km	465.1m	23시간 56분	-62.6 MJ/kg
지구 표면 이론 궤도 (적도)	6378km	0km	7.9km	1시간 24분 18초	-31.2 MJ/kg
지구 저궤도	6600km - 8400km	200km - 2000km		1시간 29분 - 2시간 8분	-29.8 MJ/kg
몰니야 궤도	6900km - 46300km	500km - 39900km	1.5km - 10km	11시간 58분	-4.7 MJ/kg
정지 궤도	42000km	35786km	3.1km	23시간 56분	-4.6 MJ/kg
달 궤도	363000km - 406000km	357000km - 399000km	0.97km - 1.08km	27.3일	-0.5 MJ/kg

참조

_[1] 웹사이트 Specific energy https://marspedia.or[...] 2022-08-12
_[2] 서적 Space Vehicle Dynamics and Control American Institute of Aeronautics and Astronautics
_[3] 서적 Space Vehicle Dynamics and Control https://archive.org/[...] American Institute of Aeronautics and Astronautics

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com