광추
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1. 개요
광원뿔은 특수 상대성 이론과 일반 상대성 이론에서 빛의 시간적 진화를 나타내는 개념이다. 사건 E에서 발생한 빛의 파동이 시공간상에서 퍼져나가는 형태를 묘사하며, E의 미래 광원뿔은 E에서 빛의 속도로 도달 가능한 모든 사건들의 집합, 과거 광원뿔은 E에 빛의 속도로 영향을 줄 수 있는 모든 사건들의 집합을 의미한다. 광원뿔은 인과율의 개념을 정의하는 데 중요한 역할을 하며, 광원뿔 내부의 사건들은 서로 인과적으로 연결될 수 있지만, 외부의 사건들은 서로 영향을 주고받을 수 없다. 이러한 개념은 민코프스키 공간과 굽은 시공간 모두에서 적용되며, 중력 렌즈 효과와 같은 현상으로 인해 광원뿔의 형태가 변형될 수 있다.
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| 광추 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 유형 | 시공간 내의 인과적 구조 |
| 정의 | 주어진 사건과 광학적으로 연결된 시공간 내의 사건 집합 |
| 관련 개념 | 절대 과거, 절대 미래, 코시 지평선 |
| 설명 | |
| 광추 | 사건을 중심으로 빛이 이동할 수 있는 모든 경로를 나타내는 초원뿔 |
| 과거 광추 | 현재 사건에 영향을 미칠 수 있는 모든 과거 사건의 집합 |
| 미래 광추 | 현재 사건이 영향을 미칠 수 있는 모든 미래 사건의 집합 |
| 광추 내부 | 시간꼴 간격 (시간처럼 보이는 간격) |
| 광추 외부 | 공간꼴 간격 (공간처럼 보이는 간격) |
2. 상세
빛이 2차원 평면에서 퍼져나간다고 가정하면, 사건 E 발생 후 빛은 원 모양으로 퍼져나간다. 시간 축을 수직으로 하는 그래프에서 이 원을 그리면 미래 광원뿔이 된다. 과거 광원뿔은 미래 광원뿔과 반대로, 빛의 속도로 반지름이 줄어들어 사건 E의 위치와 시간에 한 점으로 수렴한다. 실제로는 3개의 공간 차원이 존재하므로, 빛은 3차원 공간에서 구를 형성하며, 광원뿔은 단면이 3차원 구인 4차원 원뿔이다. (단면이 2차원 원인 일반적인 3차원 원뿔과 유사). 그러나 공간 차원을 3개에서 2개로 줄이면 시각화가 더 쉽다.
이러한 특수 상대성 이론 관점은 알베르트 아인슈타인의 교수였던 헤르만 민코프스키가 제안했으며, 민코프스키 공간으로 알려져 있다. 이는 모든 관찰자에게 불변하는 시공간을 만들기 위함이었다. 인과율 유지를 위해 민코프스키는 시공간을 비유클리드 쌍곡 기하학으로 제한했다.[1]
신호와 인과적 영향은 빛보다 빠를 수 없으므로(특수 상대성 이론 참조), 광원뿔은 인과율을 정의하는 데 중요하다. 사건 E의 과거 광원뿔 경계 또는 내부에 있는 사건은 E에 영향을 줄 수 있는 신호를 보낼 시간이 있다. 예를 들어, E보다 10년 전, E 과거 광원뿔의 모든 사건은 E 발생 위치 중심의 10광년 반경 구(2D: 원반) 안에 있다. 이 구 경계 또는 내부의 지점은 빛의 속도나 그보다 느리게 신호를 보내 E에 영향을 줄 수 있지만, 구 외부 지점은 E에 영향을 줄 수 없다. E의 ''미래'' 광원뿔 경계 또는 내부 사건은 E 위치와 시간에서 보낸 신호를 받을 수 있으므로, 미래 광원뿔은 E에 의해 영향을 받을 수 있는 모든 사건을 포함한다. E의 과거 또는 미래 광원뿔에 속하지 않는 사건은 E에 영향을 주거나 받을 수 없다.[2]
평탄한 시공간에서, 사건의 미래 광원뿔은 인과적 미래의 경계이고, 과거 광원뿔은 인과적 과거의 경계이다.
굽은 시공간에서는, 를 가정할 때, 사건의 미래 광원뿔이 인과적 미래의 경계 를 포함한다(과거도 마찬가지). 그러나 중력 렌즈 효과로 광원뿔 일부가 자체 내부로 접혀, 광원뿔 일부가 인과적 미래(또는 과거) 경계가 아닌 내부가 될 수 있다.
또한, 모든 광원뿔이 평행하지 않다. 이는 시공간이 굽어 민코프스키 공간과 다르다는 것을 반영한다. 진공 영역(물질 없는 시공간 영역)에서 모든 광원뿔이 평행하지 않다는 것은 가 0이 아님을 의미한다.
2. 1. 특수 상대성 이론에서의 광원뿔
특수 상대성 이론에서 '''광원뿔'''은 민코프스키 시공간에서 빛의 섬광이 시간적으로 어떻게 진화하는지를 나타내는 표면이다. 3차원 공간에서 이를 시각화하면, 두 개의 수평축은 공간 차원을, 수직축은 시간을 나타낸다.[3]광원뿔은 다음과 같이 구성된다. 어떤 사건 ''p''를 시간 ''t''0에서의 빛의 섬광(빛 펄스)이라고 할 때, 이 펄스에 의해 ''p''로부터 도달 가능한 모든 사건들은 ''p''의 '''미래 광원뿔'''을 형성한다. 반대로, ''p''로 빛 펄스를 보낼 수 있는 모든 사건들은 ''p''의 '''과거 광원뿔'''을 형성한다.
사건 ''E''가 주어졌을 때, 광원뿔은 시공간의 모든 사건을 다음과 같이 다섯 가지 범주로 분류한다.
| 범주 | 설명 |
|---|---|
| E의 미래 광원뿔 위에 있는 사건 | |
| E의 과거 광원뿔 위에 있는 사건 | |
| E의 미래 광원뿔 내부의 사건 | E에서 방출된 물질 입자에 의해 영향을 받는 사건 |
| E의 과거 광원뿔 내부의 사건 | 물질 입자를 방출하여 E에서 일어나는 일에 영향을 줄 수 있는 사건 |
| E의 (절대적) 다른 곳에 있는 사건 | E에 영향을 미치거나 영향을 받을 수 없는 사건 |
위의 분류는 모든 기준계에서 유효하다. 즉, 한 관찰자가 어떤 사건을 광원뿔 안에 있다고 판단하면, 다른 모든 관찰자도 자신의 기준계에 관계없이 동일한 광원뿔 안에 있다고 판단한다.
이는 특정 위치와 특정 시간에 발생하는 사건을 의미한다. 한 사건이 다른 사건에 영향을 미칠 수 없다는 것은 빛이 ''특정 시간 내에'' 한 위치에서 다른 위치로 이동할 수 없음을 의미한다. 각 사건에서 나온 빛은 결국 다른 사건의 ''이전'' 위치에 도달하겠지만, 해당 사건들이 발생한 ''후''에 도달한다.
시간이 지남에 따라, 주어진 사건의 미래 광원뿔은 점점 더 많은 위치를 포함한다. (다시 말해, 특정 시간의 4차원 광원뿔의 단면을 나타내는 3D 구는 시간이 지남에 따라 더 커진다.) 반대로, 주어진 사건에서 시간을 거꾸로 돌린다고 상상하면, 사건의 과거 광원뿔도 마찬가지로 더 이른 시간에 점점 더 많은 위치를 포함한다. 더 먼 위치는 더 늦은 시간에 있다. 예를 들어, 오늘 지구에서 발생하는 사건의 과거 광원뿔을 고려하면, 10,000 광년 떨어진 별은 10,000년 이상 과거의 시간에만 과거 광원뿔 안에 있게 된다. 현재 지구에서의 사건의 과거 광원뿔은 가장자리에서 매우 먼 물체(관측 가능한 우주)를 포함하지만, 우주가 젊었을 때와 같이 오래전 모습일 뿐이다.
(특정 기준계에 따라) 동일한 시간에 서로 다른 위치에 있는 두 사건은 항상 서로의 과거 및 미래 광원뿔 밖에 있다. 빛은 즉시 이동할 수 없다. 다른 관찰자들은 서로 다른 시간과 서로 다른 위치에서 발생하는 사건을 볼 수 있지만, 어떤 식으로든 두 사건은 마찬가지로 서로의 원뿔 밖에 있는 것으로 간주될 것이다.
진공에서의 빛의 속도를 정확히 1로 정의하는 단위계를 사용하면(예: 공간을 광초 단위로, 시간을 초 단위로 측정), 시간 축이 공간 축과 직교하도록 그려져 있다면, 원뿔은 시간과 공간 축을 이등분하므로 45°의 기울기를 나타낸다. 이는 빛이 1초 동안 진공에서 1 광초의 거리를 이동하기 때문이다. 특수 상대성 이론은 빛의 속도가 모든 관성 좌표계에서 동일해야 하므로, 모든 관찰자는 자신의 광원뿔에 대해 동일한 45° 각도를 가진다. 일반적으로 이 로렌츠 변환의 속성을 설명하기 위해 민코프스키 도표가 사용된다.
광원뿔 바깥의 시공간 영역은 주어진 사건(시공간의 한 점)에서 '다른 곳'이라고 불린다. 서로 '다른 곳'에 있는 사건은 서로 관찰할 수 없으며 인과적으로 연결될 수 없다.
2. 2. 광원뿔의 수학적 구성
사건 ''p''를 시간 ''t''0에서의 빛 펄스로 정의하면, 이 펄스로부터 도달 가능한 모든 사건은 ''p''의 미래 광원뿔을 형성한다. 반대로, ''p''로 빛 펄스를 보낼 수 있는 모든 사건은 ''p''의 과거 광원뿔을 형성한다.[3]어떤 사건 ''E''가 주어지면, 광원뿔은 시공간의 모든 사건을 다음과 같이 5가지 범주로 분류한다.[3]
- ''E''의 미래 광원뿔 위에 있는 사건.
- ''E''의 과거 광원뿔 위에 있는 사건.
- ''E''의 미래 광원뿔 내부의 사건. 이들은 ''E''에서 방출된 물질 입자에 의해 영향을 받을 수 있다.
- ''E''의 과거 광원뿔 내부의 사건. 이들은 물질 입자를 방출하여 ''E''에서 일어나는 일에 영향을 줄 수 있다.
- ''E''의 (절대적) 다른 곳에 있는 사건. 이들은 ''E''에 영향을 미치거나 ''E''의 영향을 받을 수 없다.
이 분류는 모든 기준 틀에서 동일하게 적용된다. 즉, 한 관찰자가 어떤 사건을 광원뿔 안에 있다고 판단하면, 다른 모든 관찰자도 자신의 기준 틀에 관계없이 그 사건을 동일한 광원뿔 안에 있다고 판단한다.[3]
진공에서의 빛의 속도를 1로 정의하는 단위계를 사용하면 (예: 거리를 광초로, 시간을 초로 측정), 광원뿔은 45° 기울기를 갖는다. 이는 빛이 1초 동안 진공에서 1 광초만큼 이동하기 때문이다. 특수 상대성 이론은 모든 관성 좌표계에서 빛의 속도가 동일해야 함을 요구하므로, 모든 관찰자는 자신의 광원뿔에 대해 동일한 45° 각도를 가져야 한다. 로렌츠 변환의 속성을 설명하기 위해 민코프스키 도표가 일반적으로 사용된다.[3]
서로 '다른 곳'에 있는 사건들은 상호 관측이 불가능하며, 인과적으로 연결될 수 없다.[3]
3. 일반 상대성 이론에서의 광원뿔
평탄한 시공간에서 사건의 미래 광원뿔은 인과적 미래의 경계이며, 과거 광원뿔은 인과적 과거의 경계이다.
굽은 시공간에서 시공간이 전역 쌍곡면이라고 가정하면, 사건의 미래 광원뿔이 인과적 미래의 경계를 포함한다는 것은 여전히 사실이다 (과거의 경우도 마찬가지). 그러나 중력 렌즈 효과로 인해 광원뿔의 일부가 안으로 접힐 수 있으며, 이로 인해 광원뿔의 일부가 경계가 아닌 인과적 미래(또는 과거)의 내부에 위치할 수 있다.
광원뿔은 모두 '평행'하게 기울어질 수 없다. 이는 시공간이 굽어 있으며 민코프스키 공간과 본질적으로 다르다는 것을 반영한다. 진공 영역(물질이 없는 시공간의 점)에서 모든 광원뿔이 평행하지 않다는 것은 바일 텐서가 0이 아님을 의미한다.[1]
참조
[1]
서적
Why does E=mc2: and why should we care?
Da Capo Press
2009
[2]
웹사이트
Singularities and Black Holes > Light Cones and Causal Structure (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
https://plato.stanfo[...]
Stanford Encyclopedia of Philosophy
2020-03-03
[3]
서적
The road to reality: a complete guide to the laws of the universe
Vintage Books
[4]
서적
The Road to Reality
Vintage Books
[5]
서적
한국천문학회 편 천문학용어집 232쪽 우단 31째줄
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