이등분

1. 개요

이등분은 기하학에서 대상(선분, 각, 다각형 등)을 두 개의 동일한 부분으로 나누는 것을 의미한다.

선분의 이등분선은 선분의 중점을 지나며, 특히 수직으로 만나는 경우 수직이등분선이라고 한다. 수직이등분선은 자와 컴퍼스를 사용하여 작도할 수 있으며, 선분 위의 모든 점에서 선분의 양 끝점까지의 거리가 같다.

각의 이등분선은 각을 두 개의 동일한 크기로 나누는 선이며, 자와 컴퍼스로 작도할 수 있다. 삼각형, 사각형과 같은 다각형의 이등분선은 면적, 둘레, 대각선 등을 이등분하는 데 사용된다. 삼각형의 면적 이등분선은 무한히 많으며, 중선을 포함한다. 사각형의 대각선은 서로를 이등분하며, 평행사변형의 대각선은 서로를 이등분한다. 사면체의 부피 이등분선은 사면체의 이중 중앙선을 포함하는 평면이다.

2. 선분의 이등분선

어떤 선분의 이등분선은 그 선분의 중점을 지나는 선이다. 특히, 선분과 수직으로 만나는 이등분선을 수직이등분선이라고 한다.

브라마굽타의 정리에 따르면, 원에 내접하는 사각형의 대각선이 직각으로 교차하는 경우, 대각선의 교점에서 사각형의 한 변에 수선을 그어 만들어지는 직선은 해당 사각형의 대변을 이등분한다.

2.1. 수직이등분선의 성질

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선분의 수직 이등분선 위의 각 점은 대상 선분의 양쪽 끝점으로부터의 거리가 같다는 특징을 갖는다. 따라서, 보로노이 다이어그램에서 영역의 경계선은 각 모점의 이등분선의 일부가 된다.

* 선분 $AB$의 수직 이등분선은 또한 각 점 $X$가 선분 AB의 끝점으로부터 등거리에 있다는 속성을 갖는다.
(D)$\backslash quad\; |XA|\; =\; |XB|$.

증명은 $$와 피타고라스 정리로부터 유도된다.
:$|XA|^2=|XM|^2+|MA|^2=|XM|^2+|MB|^2=|XB|^2\; \backslash ;\; .$

속성 (D)는 일반적으로 수직 이등분선의 작도에 사용된다.

고전 기하학에서, 이등분은 컴퍼스와 자 작도이며, 이는 동일한 반지름과 다른 중심을 가진 호를 그릴 수 있는 능력에 달려 있다.

선분 $AB$는 반지름 $r>\backslash tfrac\; 1\; 2\; |AB|$인 교차하는 원을 그림으로써 이등분되며, 이 원의 중심은 선분의 양 끝점이다. 두 원의 교차점에 의해 결정되는 선은 선분의 수직 이등분선이다. 이등분선의 작도는 선분의 중점 $M$을 알지 못하는 상태에서 수행되므로, 이 작도는 이등분선과 선분의 교차점으로 $M$을 결정하는 데 사용된다.

이 작도는 실제로 "주어진 점" $P$에서 주어진 선 $g$에 수직인 선을 작도할 때 사용된다. 중심이 $P$이고 선 $g$와 두 점 $A,B$에서 교차하는 원을 그리면, 작도될 수직선은 선분 $AB$를 이등분하는 선이다.

자, 컴퍼스에 의한 작도가 가능하다. 선분의 양쪽 끝점을 중심으로 동일한 반지름의 원호를 그리고, 각 원호의 교점과 선분을 연결한다. 원호 위의 교점과 선분의 각 끝점에 의해 만들어지는 삼각형이 합동이므로, 원호 위의 교점을 연결하는 직선이 수직 이등분선이 된다. (그림 1.)

2.2. 수직이등분선의 작도

선분의 수직이등분선을 작도하는 방법은 다음과 같다. 선분의 양 끝에서 반지름의 길이가 같은 원호를 두 개 그린다. 이때 호의 반지름은 선분의 길이의 반보다 커야 하며, 중심각은 두 호가 두 점에서 만날 수 있을 정도로 커야 한다. 두 호의 교점 둘을 잇는 직선이 선분의 수직이등분선이다.

고전 기하학에서, 이등분은 간단한 컴퍼스와 자 작도이며, 이는 동일한 반지름과 다른 중심을 가진 호를 그릴 수 있는 능력에 달려 있다.

선분 $AB$는 반지름 $r>\backslash tfrac\; 1\; 2\; |AB|$인 교차하는 원을 그림으로써 이등분되며, 이 원의 중심은 선분의 양 끝점이다. 두 원의 교차점에 의해 결정되는 선은 선분의 수직이등분선이다. 이등분선의 작도는 선분의 중점 $M$을 알지 못하는 상태에서 수행되므로, 이 작도는 이등분선과 선분의 교차점으로 $M$을 결정하는 데 사용된다.

이 작도는 실제로 "주어진 점" $P$에서 주어진 선 $g$에 수직인 선을 작도할 때 사용된다. 중심이 $P$이고 선 $g$와 두 점 $A,B$에서 교차하는 원을 그리면, 작도될 수직선은 선분 $AB$를 이등분하는 선이다.

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수직이등분선은 자, 컴퍼스에 의한 작도가 가능하다. 선분의 양쪽 끝점을 중심으로 동일한 반지름의 원호를 그리고, 각 원호의 교점과 선분을 연결한다. 원호 위의 교점과 선분의 각 끝점에 의해 만들어지는 삼각형이 합동이므로, 원호 위의 교점을 연결하는 직선이 수직이등분선이 된다.

2.3. 수직이등분선의 방정식

선분 $AB$의 수직 이등분선은 각 점 $X$가 선분 AB의 끝점으로부터 등거리에 있다는 속성을 갖는다.
:(D) $\backslash quad\; |XA|\; =\; |XB|$.

이는 피타고라스 정리로부터 유도된다.
:$|XA|^2=|XM|^2+|MA|^2=|XM|^2+|MB|^2=|XB|^2\; \backslash ;\; .$

속성 (D)는 일반적으로 수직 이등분선의 작도에 사용된다.
만약 $\backslash vec\; a,\backslash vec\; b$가 두 점 $A,B$의 위치 벡터라면, 그 중점은 $M:\; \backslash vec\; m=\backslash tfrac\{\backslash vec\; a+\backslash vec\; b\}\{2\}$이고 벡터 $\backslash vec\; a\; -\backslash vec\; b$는 수직 이등분선의 법선 벡터이다. 따라서 벡터 방정식은 $(\backslash vec\; x-\backslash vec\; m)\backslash cdot(\backslash vec\; a-\backslash vec\; b)=0$이다. $\backslash vec\; m\; =\backslash cdots$을 대입하고 방정식을 전개하면 다음의 벡터 방정식이 된다.

:(V) $\backslash quad\; \backslash vec\; x\backslash cdot(\backslash vec\; a-\backslash vec\; b)=\backslash tfrac\; 1\; 2\; (\backslash vec\; a^2-\backslash vec\; b^2)\; .$

$A=(a\_1,a\_2),B=(b\_1,b\_2)$를 사용하면 좌표 형태의 방정식을 얻을 수 있다.

:(C) $\backslash quad\; (a\_1-b\_1)x+(a\_2-b\_2)y=\backslash tfrac\; 1\; 2\; (a\_1^2-b\_1^2+a\_2^2-b\_2^2)\; \backslash ;\; .$

또는 명시적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
:(E) $\backslash quad\; y\; =\; m(x\; -\; x\_0)\; +y\_0$,
여기서 $\backslash ;\; m\; =\; -\; \backslash tfrac\{b\_1\; -\; a\_1\}\{b\_2\; -\; a\_2\}$, $\backslash ;x\_0\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}(a\_1\; +\; b\_1)\backslash ;$, 그리고 $\backslash ;y\_0\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}(a\_2\; +\; b\_2)\backslash ;$이다.

2.4. 수직이등분선의 응용

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수직 이등분선은 탈레스 원의 중심, 삼각형의 방심 중심을 찾거나 보로노이 다이어그램의 경계를 구성하는 등 다양한 기하학적 문제를 해결하는 데 사용된다.

수직 이등분선 위의 각 점은 대상 선분의 양 끝점에서 같은 거리에 있다. 따라서 보로노이 다이어그램에서 영역의 경계선은 각 모점의 이등분선의 일부가 된다. (그림 1.)

3. 각의 이등분선

각의 이등분선은 각도를 같은 크기의 두 각으로 나누는 선이다. 각은 하나의 이등분선만 가진다.

각의 '내부 이등분선'(내각의 이등분)은 180° 미만의 각도를 두 개의 동일한 각도로 나누는 선, 반직선, 또는 선분이다. '외부 이등분선'(외각의 이등분)은 원래 각을 형성하는 한 변과 다른 변의 연장선으로 형성된 보각 (원래 각에서 180°를 뺀 값)을 두 개의 동일한 각도로 나누는 선이다.

자(도구)와 컴퍼스로 각을 이등분하려면, 꼭짓점을 중심으로 하는 원을 그린 후, 원이 각의 각 변에서 만나는 두 점을 중심으로 같은 크기의 원 두 개를 그린다. 이 두 원의 교차점(두 점)을 잇는 선이 각 이등분선이다.

이 구성의 정확성은 문제의 대칭에 의존하며 매우 직관적이다. 각의 삼등분 (각을 세 개의 동일한 부분으로 나누기)은 자와 컴퍼스만으로는 불가능하며, 이는 피에르 방첼이 처음 증명하였다.

3.1. 각의 이등분선의 성질

각의 이등분선은 각도를 같은 크기의 두 각으로 나누는 선이다. 각은 하나의 이등분선만 가지며, 각의 이등분선 위의 모든 점은 각을 이루는 두 변에서 같은 거리에 있다.

각의 내부 이등분선과 외부 이등분선은 서로 수직이다.

자(도구)와 컴퍼스를 사용하여 각을 이등분하려면, 먼저 각의 꼭짓점을 중심으로 원을 그린다. 이 원은 각의 두 변과 각각 한 점에서 만나게 된다. 다음으로, 각 변과 원이 만나는 두 점을 중심으로 각각 같은 반지름의 원을 그린다. 이 두 원이 만나는 두 점을 지나는 직선이 바로 각의 이등분선이 된다.
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3.2. 각의 이등분선의 작도

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자(도구)와 컴퍼스를 사용하여 각을 이등분하려면, 먼저 각의 꼭짓점을 중심으로 원을 그려 각의 두 변과 만나는 두 점을 찾는다. 이 두 점을 각각 중심으로 하고 반지름이 같은 두 원을 그리면, 두 원이 만나는 두 점을 지나는 직선이 각의 이등분선이 된다.

이 작도 방법은 문제의 대칭성에 기반하여 직관적으로 이해할 수 있다. 각의 삼등분은 자와 컴퍼스만으로는 불가능하며, 이는 피에르 방첼이 처음 증명하였다.

3.3. 각의 이등분선의 방정식

두 직선의 방정식 $l\_1x+m\_1y+n\_1=0$과 $l\_2x+m\_2y+n\_2=0$으로 표현되는 각의 내부 및 외부 이등분선은 다음 두 방정식으로 주어진다.

:$\backslash frac\{l\_1x+m\_1y+n\_1\}\{\backslash sqrt\{l\_1^2+m\_1^2\}\}\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{l\_2x+m\_2y+n\_2\}\{\backslash sqrt\{l\_2^2+m\_2^2\}\}.$

3.4. 각의 이등분선 정리

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각의 이등분선 정리는 삼각형의 한 변이 반대 각을 이등분하는 선에 의해 나누어지는 두 선분의 상대적인 길이와 관련이 있다. 이 정리는 그들의 상대적인 길이를 삼각형의 다른 두 변의 상대적인 길이와 같다고 말한다.

삼각형의 변의 길이를 $a,b,c$, 반둘레를 $s=(a+b+c)/2$라 하고, A가 변 $a$의 맞은편 각도라면, 각 A의 내각 이등분선의 길이는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{2\; \backslash sqrt\{bcs(s-a)\}\}\{b+c\},$

또는 삼각법 용어로,

:$\backslash frac\{2bc\}\{b+c\}\backslash cos\; \backslash frac\{A\}\{2\}.$

삼각형 ABC에서 각 A의 내각 이등분선의 길이가 $t\_a$이고 이 이등분선이 A의 맞은편 변을 길이 m과 n의 두 부분으로 나눈다면,

:$t\_a^2+mn\; =\; bc$

여기서 b와 c는 꼭짓점 B와 C의 맞은편 변의 길이이고, A의 맞은편 변은 b:c의 비율로 나뉜다.

각 A, B, C의 내각 이등분선의 길이가 $t\_a,\; t\_b,$ 및 $t\_c$라면,

:$\backslash frac\{(b+c)^2\}\{bc\}t\_a^2+\; \backslash frac\{(c+a)^2\}\{ca\}t\_b^2+\backslash frac\{(a+b)^2\}\{ab\}t\_c^2\; =\; (a+b+c)^2.$

두 개의 합동이 아닌 삼각형은 세 개의 내각 이등분선 길이의 동일한 집합을 공유하지 않는다.

4. 다각형의 이등분선

다각형의 변이나 각을 이등분하는 선에 대해 알아본다.

삼각형의 내각 이등분선은 내심에서 만나며, 외각 이등분선과 내각 이등분선도 한 점에서 만난다. 이와 관련된 점들은 특정 조건을 만족하면 한 직선 위에 존재한다. 삼각형의 중선은 꼭짓점과 마주보는 변의 중점을 연결하며 무게중심에서 만난다. 수직 이등분선은 변을 수직으로 이등분하며 외심에서 만난다.

사각형의 경우, 마주보는 변의 중점을 연결하는 두 선분은 각각 두 변을 이등분하며, "꼭짓점 무게중심"에서 만난다. 특히 마름모의 대각선은 서로 마주보는 각을 이등분한다.

4.1. 삼각형

삼각형에서 두 외각의 이등분선과 다른 내각의 이등분선은 한 점에서 만난다.

각 외각 이등분선과 반대쪽 연장 변이 만나는 세 점은 공선점이다(서로 같은 선 위에 있다).

두 내각 이등분선과 반대쪽 변의 교점, 그리고 다른 외각 이등분선과 반대쪽 연장 변의 교점, 이렇게 세 교점은 한 직선 위에 있다.

4.1.1. 중선

삼각형의 세 중선은 각각 한 꼭짓점과 그 맞은편 변의 중점을 연결하는 선분이며, 그 변을 이등분한다. 세 중선은 무게중심이라는 한 점에서 만나는데, 이는 균일한 밀도를 가진 삼각형의 질량 중심이다. 따라서 삼각형의 무게중심과 꼭짓점을 지나는 모든 선은 맞은편 변을 이등분한다. 무게중심은 각 중선을 2:1로 나눈다.

4.1.2. 수직이등분선

삼각형 변의 내부에 있는 수직 이등분선은 그 변을 수직으로 이등분하는 선의 일부로, 삼각형 내부에 완전히 위치한다. 삼각형의 세 변의 수직 이등분선은 외심(세 꼭짓점을 지나는 원의 중심)에서 만난다. 따라서 삼각형의 외심을 지나고 한 변에 수직인 모든 선은 그 변을 이등분한다.

예각삼각형에서 외심은 두 개의 가장 짧은 변의 내부에 있는 수직 이등분선을 같은 비율로 나눈다. 둔각삼각형에서 두 개의 가장 짧은 변의 수직 이등분선 (외심까지 반대쪽 삼각형 변을 넘어 연장됨)은 각 교차하는 삼각형 변에 의해 같은 비율로 나뉜다.

임의의 삼각형에 대해, 내부에 있는 수직 이등분선은 ${\displaystyle p_{a}={\tfrac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$ ${\displaystyle p_{b}={\tfrac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$ 그리고 ${\displaystyle p_{c}={\tfrac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$으로 주어지며, 여기서 변은 ${\displaystyle a\geq b\geq c}$이고 면적은 ${\displaystyle T.}$이다.

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선분의 이등분선은 해당 선분의 중점을 통과한다. 특히 대상 선분과 수직으로 교차하는 경우, 해당 이등분선을 수직 이등분선이라고 한다. 수직 이등분선 위의 각 점은 대상 선분의 양쪽 끝점으로부터의 거리가 같다는 특징을 갖는다. 따라서, 보로노이 다이어그램에서 영역의 경계선은 각 모점의 이등분선의 일부가 된다.

수직 이등분선은 자와 컴퍼스로 작도할 수 있다. 선분의 양쪽 끝점을 중심으로 동일한 반지름의 원호를 그리고, 각 원호의 교점과 선분을 연결한다. 원호 위의 교점과 선분의 각 끝점에 의해 만들어지는 삼각형이 합동이므로, 원호 위의 교점을 연결하는 직선이 수직 이등분선이 된다.

브라마굽타의 정리에 따르면, 원에 내접하는 사각형의 대각선이 직각으로 교차하는 경우, 대각선의 교점에서 사각형의 한 변에 수선을 그어 만들어지는 직선은 해당 사각형의 대변을 이등분한다.

4.2. 사각형

볼록 사각형의 마주보는 변의 중점을 연결하는 두 선분(이등분선)은 각각 두 변을 이등분한다. 두 이등분선과 대각선의 중점을 연결하는 선분은 "꼭짓점 무게중심"이라고 불리는 한 점에서 만나며, 이 점에 의해 모두 이등분된다.

4.2.1. 마름모

마름모의 각 대각선은 서로 마주보는 각을 이등분한다.

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5. 면적 및 둘레 이등분선

평행사변형의 중점을 지나는 모든 직선은 넓이와 둘레를 이등분한다. 원 또는 타원의 중심을 지나는 모든 현은 면적과 둘레를 이등분하며, 원의 경우 이는 원의 지름이다.

5.1. 삼각형

삼각형의 면적을 이등분하는 선은 무한히 많다. 그 중 세 개는 삼각형의 중선(변의 중점과 반대쪽 꼭짓점을 연결)이며, 이들은 삼각형의 무게중심에서 공점선이다. 실제로, 이들은 무게중심을 통과하는 유일한 면적 이등분선이다. 다른 세 개의 면적 이등분선은 삼각형의 변과 평행하며, 각각 다른 두 변과 교차하여 ratio^영어 1의 비율로 변을 분할한다. 이 여섯 개의 선은 세 개씩 공점선으로 만난다. 세 개의 중선이 공점선일 뿐만 아니라, 모든 중선은 두 개의 변과 평행한 면적 이등분선과 공점선이다.

무한히 많은 면적 이등분선의 포락선은 델토이드이다. 델토이드의 꼭짓점은 중선의 중점에 위치한다. 델토이드 내부의 모든 점은 세 개의 서로 다른 면적 이등분선 위에 있고, 외부의 모든 점은 단 하나의 면적 이등분선 위에 있다. 델토이드의 변은 삼각형의 연장된 변에 점근선인 쌍곡선의 호이다. 면적 이등분선의 포락선의 면적과 삼각형의 면적의 비율은 모든 삼각형에 대해 불변하며, 약 0.019860... (2% 미만)이다.

삼각형의 분할선은 삼각형의 둘레를 이등분하고 세 변 중 하나의 중점에 한 끝점을 갖는 선분이다. 세 개의 분할선은 스피커 원의 중심인 스피커 점에서 공점선이다. 이는 중심 삼각형의 내접원이다. 분할선은 각 이등분선과 평행하다.

5.2. 평행사변형

평행사변형의 중점을 지나는 모든 직선은 넓이와 둘레를 이등분한다.

5.3. 원과 타원

원 또는 타원의 중심을 지나는 모든 현은 면적과 둘레를 이등분한다. 원의 경우, 이는 원의 지름이다.

6. 대각선 이등분선

평행사변형의 대각선은 서로를 이등분한다.

6.1. 평행사변형

평행사변형의 대각선은 서로를 이등분한다.

7. 부피 이등분선

사면체의 두 대변을 주어진 비율로 나누는 평면은 사면체의 부피도 같은 비율로 나눈다. 따라서 사면체의 이중 중앙선(마주보는 변의 중점을 연결하는 선)을 포함하는 모든 평면은 사면체의 부피를 이등분한다.