교곱

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1. 개요

교곱은 위상 공간과 가환환에 대해 정의되는 선형 변환으로, 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지 사이의 연산이다. 캡 곱은 특이 사슬을 특이 코사슬로 수축시키는 연산으로 정의되며, 컵 곱과의 관계, 경계 연산과의 관계 등 다양한 성질을 갖는다. 또한, 캡 곱은 기본류와 푸앵카레 쌍대성을 정의하는 데 중요한 역할을 한다. 에두아르트 체흐가 1936년에 처음 도입했으며, 해슬러 휘트니가 독립적으로 재발견했다.

교곱

개요

종류	대수적 위상수학 방법
분야	대수적 위상수학
관련 개념	컵 곱

역사

발명자	에두아르트 체흐, 해슬러 휘트니

정의

정의	만약 $\langle f, [v_0, \dots, v_p] \rangle = f([v_0, \dots, v_p])$ 가 코체인 $f$와 체인 $[v_0, \dots, v_p]$의 쌍대성을 나타낸다면, 특이 코호몰로지의 컵 곱은 다음과 같이 주어진다. $\langle f \smile g, [v_0, \dots, v_{p+q}] \rangle = f([v_0, \dots, v_p])g([v_p, \dots, v_{p+q}])$
설명	이 공식은 코호몰로지류의 곱셈을 체인의 곱셈으로 나타낸다. 컵 곱은 대수적 위상수학에서 중요한 도구이며, 공간의 위상적 성질을 연구하는 데 사용된다.

응용

응용 분야	대수적 위상수학 다양체의 연구 호모토피 이론

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 캡 곱 (Cap Product)
- 2.2. 경사곱 (Slant Product)
3. 성질
4. 기본류 (Fundamental Class)
5. 푸앵카레 쌍대성 (Poincaré Duality)
6. 역사

2. 정의

교곱(cap product^영어)은 위상 공간에서 정의되는 연산으로, 특이 호몰로지와 코호몰로지를 연결하는 쌍선형 사상이다.

교곱은 특이 호몰로지 군과 특이 코호몰로지 군 사이의 연산으로 정의된다.

: $\frown\colon\operatorname H_p(X;R)\times\operatorname H^q(X;R) \to\operatorname H_{p-q}(X;R)\qquad(p\ge q)$

여기서 $\operatorname H_p(X;R)$ 는 $R$ 계수를 갖는 $X$ 의 특이 호몰로지이고, $\operatorname H^q(X;R)$ 는 $R$ 계수를 갖는 $X$ 의 특이 코호몰로지이다.

경사곱(Slant Product)은 캡 곱과 유사하지만, 두 위상 공간의 곱에 대한 코호몰로지와 한 위상 공간의 호몰로지 사이의 연산이라는 점에서 차이가 있다.

2.1. 캡 곱 (Cap Product)

X가 위상 공간이고, R가 가환환이라고 하자. 그렇다면 $R$ 계수의 교곱 $\frown$ 은 다음과 같은 $R$ -선형 변환이다.

: $\frown\colon\operatorname H_p(X;R)\times\operatorname H^q(X;R) \to\operatorname H_{p-q}(X;R)\qquad(p\ge q)$

여기서 $\operatorname H_\bullet(X;R)$ 및 $\operatorname H^\bullet(X;R)$ 는 각각 $R$ 계수의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지이다.

이 연산은 다음과 같이 정의된다. 임의의 특이 쌍대사슬 $\psi\in C^q(X;R)$ 및 특이 단체 $\sigma\colon\triangle^p \to\ X$ 에 대하여,

: $\sigma \frown \psi \stackrel{\text{def}}= \psi(\sigma\circ\iota_{\{0,\dots,q\}}) \cdot \sigma\circ\iota_{\{q, \dots, p\}}$

여기서

: $\iota_S\colon\triangle^{|S|-1}\hookrightarrow\triangle^{p+q}$

( $S \subset \{0,1,...,p+q \}$ )는 $|S|-1$ 차원 표준 단체를 꼭짓점들이 $\{0,1,\dots,p+q\}$ 인 $p+q$ 차원 표준 단체의, $S$ 에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 포함시키는 함수이다.

캡 곱은 특이 호몰로지와 코호몰로지에 대한 쌍선형 사상이며, 다음과 같이 정의된다.

: $\frown\;: H_p(X;R)\times H^q(X;R) \rightarrow H_{p-q}(X;R).$

이는 특이 사슬 $\sigma : \Delta\ ^p \rightarrow\ X$ 를 특이 코사슬 $\psi \in C^q(X;R)$ 로 수축하여 다음과 같은 공식을 따른다.

: $\sigma \frown \psi = \psi(\sigma|_{[v_0, \ldots, v_q]}) \sigma|_{[v_q, \ldots, v_p]}.$

여기서, 표기 $\sigma|_{[v_0, \ldots, v_q]}$ 는 심플렉스 사상 $\sigma$ 를 기저 벡터로 뻗어있는 면으로 제한하는 것을 나타내며, 자세한 내용은 단순체를 참고한다.

2.2. 경사곱 (Slant Product)

두 위상 공간 $X$ , $Y$ 및 가환환 $R$ 위의 가군 $M$ , $N$ 이 주어졌을 때, $R$ 계수의 경사곱(傾斜-, slant product^영어) $\backslash_R$ 은 다음과 같은 $R$ -선형 변환이다.
: $\backslash_R\colon \operatorname H_p(X;M)\times\operatorname H^q(X\times Y;N)\to\operatorname H^{q-p}(Y;M\otimes_R)\qquad(q\ge p)$

구체적으로, 사슬 복합체 사이에 다음과 같은 사상이 존재한다.
: $f\colon C_p(X;M)\times C_q(Y;N)\to C_{p+q}(X\times Y;M\otimes_RN)$
만약 세포 호몰로지를 사용할 경우 이는 두 CW 복합체의 곱공간 위의 표준적인 세포 구조이다. 만약 특이 호몰로지를 사용할 경우, 이는
: $\alpha\colon\triangle^p\to X$
: $\beta\colon\triangle^q\to Y$
에 대하여, 단체의 곱공간 $\triangle^p\times\triangle^q$ 위에 부여한 임의의 단체 복합체 구조 아래 기본류를 나타내는 특이 순환
: $\gamma=\sum_{i\in I}r_i\gamma_i\in C_{p+q}(\triangle^p\times \triangle^q;R)$
: $\gamma_i\colon\triangle^{p+q}\to\triangle^p\times \triangle^q$
을 골랐을 때
: $f\colon (\alpha,\beta)\mapsto\sum_{i\in I} r_i\left((\alpha,\beta)\circ\gamma_i\right)$
이다.

그렇다면, 경사곱은 다음과 같다.
: $\backslash_R\colon \operatorname H_p(X;M)\times\operatorname H^q(X\times Y;N)\to\operatorname H^{q-p}(Y;M\otimes_RN)$
: $\alpha\backslash_R\beta\colon\sigma\mapsto \beta(f(\alpha,\sigma))$

Künneth 공식을 이용한 컵 곱의 해석과 유사하게, 캡 곱의 존재를 다음과 같은 방식으로 설명할 수 있다. CW 근사를 사용하여 $X$ 가 CW-복합체이고 $C_\bullet(X)$ (그리고 $C^\bullet(X)$ )가 세포 사슬(또는 코사슬)의 복합체라고 가정할 수 있다. 그런 다음 다음 합성을 고려한다.
$C_\bullet(X) \otimes C^\bullet(X) \overset{\Delta_* \otimes \mathrm{Id}}{\longrightarrow} C_\bullet(X) \otimes C_\bullet(X) \otimes C^\bullet(X) \overset{\mathrm{Id} \otimes \varepsilon}{\longrightarrow} C_\bullet(X)$
여기서 우리는 사슬 복합체의 텐서 곱을 취하고, $\Delta \colon X \to X \times X$ 는 사상을 유도하는 대각 사상이다.
$\Delta_* \colon C_\bullet(X)\to C_\bullet(X \times X)\cong C_\bullet(X)\otimes C_\bullet(X)$
사슬 복합체에, 그리고 $\varepsilon \colon C_p(X) \otimes C^q(X) \to \mathbb{Z}$ 는 평가 사상이다( $p=q$ 를 제외하면 항상 0).

이 합성은 몫으로 전달되어 캡 곱 $\frown \colon H_\bullet(X) \times H^\bullet(X) \to H_\bullet(X)$ 을 정의하고, 위의 합성을 주의 깊게 살펴보면 실제로 $\frown \colon H_p(X) \times H^q(X) \to H_{p-q}(X)$ 형태의 사상을 취하며, 이는 $p < q$ 에 대해 항상 0이다.
위 논의에서 $X\times X$ 를 $X\times Y$ 로 대체하면, 다음과 같은 매핑에서 시작하여 (부분적으로) 복제할 수 있다.
$C_\bullet(X\times Y) \otimes C^\bullet(Y)\cong C_\bullet(X) \otimes C_\bullet(Y) \otimes C^\bullet(Y) \overset{\mathrm{Id} \otimes \varepsilon}{\longrightarrow} C_\bullet(X)$
그리고
$C^\bullet(X\times Y) \otimes C_\bullet(Y)\cong C^\bullet(X) \otimes C^\bullet(Y) \otimes C_\bullet(Y) \overset{\mathrm{Id} \otimes \varepsilon}{\longrightarrow} C^\bullet(X)$

각각 슬랜트 곱 $/$ 을 얻을 수 있다.
$H_p(X\times Y;R) \otimes H^q(Y;R) \rightarrow H_{p-q}(X;R)$ 그리고
$H^p(X\times Y;R) \otimes H_q(Y;R) \rightarrow H^{p-q}(X;R).$

X = Y인 경우, 첫 번째는 대각 사상에 의해 캡 곱과 관련이 있다: $\Delta_*(a)/\phi = a\frown \phi$ .

이러한 ‘곱’은 어떤 면에서 곱셈보다는 나눗셈과 더 유사하며, 이는 표기법에 반영되어 있다.

3. 성질

캡 곱은 경계 연산과 관련된 중요한 성질을 가지며, 이는 캡 곱 계산 및 응용에 중요한 역할을 한다.

: $(\sigma \frown \varphi) \frown \psi = \sigma \frown (\varphi \smile \psi)$

이 식은 $H_{\ast}(X;R)$ 를 오른쪽 $H^{\ast}(X;R)$ -가군으로 만든다.

3.1. 경계 연산과의 관계

캡 곱의 경계는 특이 호몰로지와 코호몰로지의 경계 연산자를 통해 다음과 같이 표현된다.

: $\partial(\sigma \frown \psi) = (-1)^q(\partial \sigma \frown \psi - \sigma \frown \delta \psi).$

사상 f가 주어지면, 유도된 사상은 다음을 만족한다.

: $f_*( \sigma ) \frown \psi = f_*(\sigma \frown f^* (\psi)).$

캡 곱과 컵 곱은 다음과 같은 관계를 가진다.

: $\psi(\sigma \frown \varphi) = (\varphi \smile \psi)(\sigma)$

여기서

: $\sigma : \Delta ^{p+q} \rightarrow X$ , $\psi \in C^q(X;R)$ 그리고 $\varphi \in C^p(X;R).$

만약 $\sigma$ 의 차수가 $p+q$ 보다 높도록 허용되면, 마지막 항등식은 더 일반적인 형태를 취한다.

: $(\sigma \frown \varphi) \frown \psi = \sigma \frown (\varphi \smile \psi)$

이것은 $H_{\ast}(X;R)$ 를 오른쪽 $H^{\ast}(X;R)$ -가군으로 만든다.

3.2. 사상에 대한 작용

위상 공간 사이의 사상 f가 주어지면, 유도된 사상은 다음을 만족한다.

: $f_*( \sigma ) \frown \psi = f_*(\sigma \frown f^* (\psi)).$

이는 캡 곱의 변환 성질을 나타낸다.

3.3. 컵 곱과의 관계

캡 곱과 컵 곱은 다음과 같은 관계를 갖는다.

: $\psi(\sigma \frown \varphi) = (\varphi \smile \psi)(\sigma)$

여기서 $\sigma : \Delta ^{p+q} \rightarrow X$ , $\psi \in C^q(X;R)$ , $\varphi \in C^p(X;R)$ 이다.

만약 $\sigma$ 의 차수가 $p+q$ 보다 높도록 허용되면, 위의 식은 더 일반적인 형태를 취한다.

: $(\sigma \frown \varphi) \frown \psi = \sigma \frown (\varphi \smile \psi)$

이것은 $H_{\ast}(X;R)$ 를 오른쪽 $H^{\ast}(X;R)$ -가군으로 만든다.

4. 기본류 (Fundamental Class)

임의의 점 $x$ 가 $M$ 에 있을 때, 쌍 (M, M - {x})의 호몰로지(계수는 $R$ )에서 긴 완전열을 얻는다. (상대 호몰로지 참고)

: $\cdots \to H_n(M - {x}; R) \stackrel{i_*}{\to} H_n(M; R) \stackrel{j_*}{\to} H_n (M, M - {x}; R) \stackrel{\partial}{\to} H_{n-1}(M - {x}; R) \to \cdots .$

$H_n(M; R)$ 의 원소 $[M]$ 은 $j_*([M])$ 가 $H_n (M, M - {x}; R)$ 의 생성원일 때 $M$ 의 기본류라고 한다. $M$ 이 닫혀 있고 R-가향 가능하면 $M$ 의 기본류가 존재한다. $M$ 이 닫혀 있고 연결되어 있으며 $R$ -가향 가능한 다양체라면, 사상 $H_n(M; R) \stackrel{j_*}{\to} H_n (M, M - {x}; R)$ 는 모든 $x$ in $R$ 에 대해 동형사상이므로, $H_n(M; R)$ 의 모든 생성원을 기본류로 선택할 수 있다.

5. 푸앵카레 쌍대성 (Poincaré Duality)

닫힌 $R$ -가향 $n$ -다양체 $M$ 에 대해 기본류 $[M]$ 은 $H_n(M; R)$ 에 속하며( $H_n(M; R)$ 의 임의의 생성자를 선택할 수 있음), 캡 곱은 다음과 같은 동형사상을 유도한다.

$H^k(M; R)\to H_{n-k}(M; R),\alpha\mapsto [M]\frown \alpha$

이는 모든 $k$ 에 대해 성립하며, 푸앵카레 쌍대성이라고 불린다.

6. 역사

에두아르트 체흐가 1936년에 교곱을 처음으로 도입하였으며, 1938년에 해슬러 휘트니도 독립적으로 재발견하였다. 교곱의 기호 $\frown$ 는 휘트니가 고안하였다.