뺄셈

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 계산법
- 4.1. 한국의 뺄셈 교육
5. 정수와 실수의 뺄셈
6. 기타
참조

1. 개요

뺄셈은 두 수 사이의 관계를 나타내는 연산으로, 빼기 기호 "−"를 사용하여 표현하며, 덧셈의 역연산으로 정의된다. 뺄셈은 피감수에서 감수를 빼는 연산으로, 결과는 차라고 불린다. 뺄셈은 반교환법칙과 결합 법칙이 성립하지 않으며, 덧셈의 성질을 따른다. 뺄셈은 받아내림, 암산, 덧셈 활용 등 다양한 방법으로 계산할 수 있으며, 한국 초등학교 수학 교육과정에서 1학년 때 처음 배우는 개념이다. 뺄셈은 정수와 실수 범위에서 정의되며, 컴퓨터 과학, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다.

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뺄셈
빼기
뺄셈	5 − 2 = 3
영어	subtraction
설명	b를 a에서 뺀다.
용어	minuend(빼지는 수) subtrahend(빼는 수) difference(차이)
문화어	덜기
연산
덧셈	term + term = sum
뺄셈	term − term = difference
곱셈	factor × factor = product
나눗셈	dividend ÷ divisor = quotient

2. 정의

뺄셈은 두 수 사이의 관계를 나타내는 연산이다. 예를 들어 점 a와 c가 양끝에 있고 길이가 b가 있는 선분이 있을때, a + b = c로 표현될 수 있다. 같은 선분에서 점 c에서 점 a로 가려면 다시 b의 길이를 지나가야 하는데, 이때는 왼쪽 방향으로 지나가게 된다. 이것은 뺄셈이라고 하고 c - b = a 로 표현할 수 있다.

일반적으로 뺄셈은 항 사이에 빼기 기호 "−"를 중위 표기법으로 사용하여 표기하며, 결과는 등호를 사용하여 표현한다.

$2 - 1 = 1$ (2에서 1을 빼면 1이다)
$4 - 2 = 2$ (4에서 2를 빼면 2이다)
$6 - 3 = 3$ (6에서 3을 빼면 3이다)
$4 - 6 = -2$ (4에서 6을 빼면 -2이다)

형식적으로 빼지는 숫자를 '''피감수''',^[4]^[5] 빼는 숫자를 '''감수'''라^[4]^[5] 하며, 그 결과는 '''차'''라고^[4]^[5]^[2]^[6] 한다. 즉,

:

{\rm 피감수} - {\rm 감수} = {\rm 차}

이다.

"Subtraction"은 라틴어 동사 ''subtrahere''에서 유래한 영어 단어이며, 이는 ''sub''("아래에서")과 ''trahere''("끌다")의 합성어이다. 따라서 뺄셈은 "아래에서 끌어내다" 또는 "제거하다"를 의미한다.^[7]

뺄셈은 덧셈의 역연산으로 정의할 수 있다. 즉, a + b = c라는 덧셈식이 있을 때, c - a = b와 c - b = a라는 두 뺄셈식이 성립한다. 예를 들어, 2 + 3 = 5 이므로, 5 - 3 = 2, 5 - 2 = 3 이 성립한다.

수 a 에 대해 덧셈에 관한 a의 역원(additive inverse) 또는 반수(opposite) 를 -a라고 할때, a - a = 0 이라는 관계가 성립한다. 어떤 수 c 에서 a 를 빼는 연산은 c - a = c + (-a) 로 바꿀 수 있다. 즉, 뺄셈은 감수의 역원의 덧셈으로 다룰 수 있다. 다만 이러한 계산은 a의 덧셈의 역원 -a 가 정의될 때에만 가능하며, 자연수의 범위에서는 (0을 제외하고) 그러한 수는 존재하지 않는다.

3. 성질

뺄셈은 반교환법칙을 따른다. 즉, 차의 항을 좌우로 바꾸면 결과는 원래 결과의 음수가 된다. 기호로 나타내면, a와 b가 임의의 두 수일 때, ''a'' − ''b'' = −(''b'' − ''a'')이다. 뺄셈은 결합 법칙이 성립하지 않는다. 이는 반복된 뺄셈을 정의하려고 할 때 발생한다. 일반적으로 식 "''a'' − ''b'' − ''c''"은 (''a'' − ''b'') − ''c'' 또는 ''a'' − (''b'' − ''c'')로 정의될 수 있지만, 이 두 가지 가능성은 서로 다른 답을 이끈다. 이 문제를 해결하려면 연산 순서를 설정해야 하며, 서로 다른 순서에 따라 서로 다른 결과가 나온다.

기본적인 성질은 덧셈의 성질에 따른다. 임의의 두 수 사이의 뺄셈은, ''a'' − ''b'' = ''a'' + (−''b'')와 같이 감수 ''b''의 덧셈의 역원 −''b''을 이용한 덧셈으로 바꿀 수 있다. 따라서, 감수가 0인 뺄셈은 그대로 피감수를 주고, 피감수가 0인 뺄셈은 감수의 덧셈의 역원을 준다.

:''a'' − 0 = ''a'',

:0 − ''a'' = (−''a'').

또한, (''a'' − ''b'') − ''c'' = (''a'' − ''c'') − ''b'' 와 같이 바꿔 계산할수 있다.

여러 개의 뺄셈은 (''a'' − ''b'') − ''c'' = ''a'' − (''b'' + ''c'') 와 같이 하나로 정리가 가능하다.

하지만, 피감수와 감수를 바꾸는 연산은 허용되지 않는다. 즉 뺄셈에 대해서는 교환 법칙, 결합 법칙이 성립하지 않는다.

:''a'' − ''b'' ≠ ''b'' − ''a'', (''a'' ≠ ''b''),

:(''a'' − ''b'') − ''c'' ≠ ''a'' − (''b'' − ''c''), (''c'' ≠ 0).

결합에 관한 규약으로 왼쪽의 연산을 우선한다. 따라서, ''a'' − ''b'' − ''c''는 일반적으로 (''a'' − ''b'') − ''c''의 의미로 사용된다. 뺄셈을 덧셈으로 바꿈으로써 덧셈의 교환 법칙이나 결합 법칙을 이용하는 것은 가능하며, ''a'' − ''b'' = (−''b'') − (−''a''), (''a'' − ''b'') − ''c'' = ''a'' − (''b'' − (−''c''))와 같은 관계가 성립한다.

4. 계산법

뺄셈은 여러 가지 방법으로 계산할 수 있다.

'''받아내림''': 가장 일반적인 방법으로, 피감수의 각 자리에서 감수의 해당 자리를 빼는 방식이다. 만약 피감수의 자릿수가 감수의 자릿수보다 작으면, 윗자리에서 10을 빌려와서 계산한다.

'''암산''': 간단한 뺄셈은 암산으로 빠르게 계산할 수 있다.
'''덧셈 활용''': 뺄셈은 덧셈의 역연산이므로, 덧셈을 이용하여 뺄셈 결과를 구할 수 있다. 예를 들어, 10 - 3을 계산할 때, 3에 어떤 수를 더해야 10이 되는지를 생각하여 답을 구할 수 있다.
'''부분 차이법''' : 이 방법은 받아내림이나 받아올림이 필요하지 않다. 대신, 피감수(minuend)가 감수(subtrahend)보다 크거나 작은지에 따라 더하기(+) 또는 빼기(-) 부호를 붙인다. 부분 차이의 합이 최종 차이가 된다.^[18]

'''여러 가지 방법''':
* '''피감수와 감수 사이의 숫자 세기''': 각 자릿수의 차이를 구하는 대신, 피감수와 감수 사이의 숫자를 세어 차이를 구할 수 있다.^[19]
* '''뺄셈을 작은 단계로 나누기''' : 암산에 유용한 또 다른 방법은 뺄셈을 작은 단계로 나누는 것이다.^[20]
* '''같은 수 변환법''' : 빼는 수와 빼지는 수에 같은 수를 더하거나 빼도 결과가 변하지 않는다는 사실을 이용한다. 빼는 수의 자릿수에 0이 되도록 필요한 값을 더하기만 하면 된다.^[21]

4. 1. 한국의 뺄셈 교육

한국의 초등학교 수학 교육과정에서는 1학년 때 처음으로 뺄셈을 배우게 된다. 초기에는 구체물을 이용하여 뺄셈의 개념을 이해하고, 점차 받아내림이 없는 뺄셈, 받아내림이 있는 뺄셈 순서로 학습한다. 2학년 이후에는 세 자릿수 이상의 뺄셈, 분수와 소수의 뺄셈 등 더욱 복잡한 뺄셈을 학습한다.

5. 정수와 실수의 뺄셈

길이가 ''b''인 선분을 생각하고, 왼쪽 끝을 ''a'', 오른쪽 끝을 ''c''라고 할 때, ''a''에서 시작하여 오른쪽으로 ''b''만큼 이동하면 ''c''에 도달한다. 이러한 오른쪽 이동은 덧셈으로 표현된다.

:''a'' + ''b'' = ''c''.

''c''에서 왼쪽으로 ''b''만큼 이동하면 ''a''로 돌아오는데, 이러한 왼쪽 이동은 뺄셈으로 표현된다.

:''c'' − ''b'' = ''a''.

위치 3에서 왼쪽으로 이동하지 않으면 3에 머무르므로 3 − 0 = 3이다. 왼쪽으로 2칸 이동하면 위치 1에 도달하므로 3 − 2 = 1이다. 하지만 위치 3에서 왼쪽으로 3칸 이동하는 경우를 나타내려면 선을 확장해야 한다.

임의의 자연수를 빼려면 모든 자연수(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)를 포함하는 선에서 시작한다. 3에서 왼쪽으로 3칸 이동하면 0에 도달하므로 3 − 3 = 0이다. 그러나 3 − 4는 선을 벗어나기 때문에 유효하지 않다. 자연수는 뺄셈에 유용한 맥락이 아니다.

정수 수직선 (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...)을 고려하면, 3에서 왼쪽으로 4칸 이동하여 −1에 도달하는 것을 표현할 수 있다.

:3 − 4 = −1.

자연수의 뺄셈은 닫혀 있지 않다. 빼는 수(감수)가 빼지는 수(피감수)보다 크거나 같지 않으면 차는 자연수가 아니다. 예를 들어 11에서 26을 뺄 수 없어 자연수가 되지 않는데, 이 경우 음수를 나타내는 정수로 답을 제시하여, 11 - 26 = -15 와 같이 계산 가능하다.

실수의 체는 덧셈과 곱셈이라는 두 가지 이항 연산과 더불어 일항 연산을 통해 덧셈 역원과 곱셈 역원을 얻는 것을 명시하여 정의할 수 있다. 그러면 한 실수(감수)를 다른 실수(피감수)에서 빼는 것은 피감수와 감수의 덧셈 역원을 더하는 것으로 정의할 수 있다. 예를 들어 3 − ''π'' = 3 + (−''π'')이다.

두 수의 부호가 같은 경우, 절댓값이 큰 수에서 절댓값이 작은 수를 뺀 후, 절댓값이 큰 수의 부호를 붙인다. 두 수의 절댓값이 같은 경우에는 차가 0이 된다. 두 수의 부호가 다른 경우에는 두 수의 절댓값을 더하고, 빼지는 수(피감수)의 부호를 붙인다.

부호	>	<	=
a ≥ 0, b ≥ 0	−	−( − )	0
a < 0, b < 0	−( − )	−	0
a ≥ 0, b < 0	+
a < 0, b ≥ 0	−( + )

6. 기타

뺄셈은 컴퓨터 과학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 활용된다.^[9]^[10]^[11]

백분율 변화는 두 백분율 사이의 차이를 계산할 때 사용된다. 백분율 변화는 두 양 사이의 상대적 변화를 백분율로 나타낸 것이며, 백분율 포인트 변화는 단순히 두 백분율의 차이를 의미한다. 예를 들어 공장에서 생산된 위젯의 30%가 불량품이었는데, 6개월 후에는 20%가 불량품이라면, 백분율 포인트 변화는 -10%p이다.^[9]^[10]^[11]

보수법은 양수의 덧셈만을 사용하여 한 수에서 다른 수를 빼는 기법이다. 이 방법은 기계식 계산기에서 일반적으로 사용되었으며, 오늘날의 컴퓨터에서도 여전히 사용되고 있다.^[9]^[10]^[11]

보수법은 이진수(2진법)에서 특히 유용한데, 1의 보수는 각 비트를 반전( "0"을 "1"로, "1"을 "0"으로 변경)시키는 것만으로 매우 쉽게 얻을 수 있기 때문이다. 그리고 2의 보수를 얻기 위해 1을 더하는 것은 최하위 비트로 자리올림을 시뮬레이션하여 수행할 수 있다.

이진수 자릿수	1의 보수
0	1
1	0

예를 들어, 이진수 01100100 (10진수 100)에서 00010110 (10진수 22)를 빼는 경우, 01100100에 00010110의 1의 보수인 11101001을 더하고, 여기에 1을 더한다. 그 결과 101001110에서 최상위 자릿수 "1"을 버리면 01001110 (10진수 78)을 얻는다.

참조

_[1] 웹사이트 What is to Subtract? https://www.splashle[...] 2022-12-13
_[2] 웹사이트 Subtraction https://mathworld.wo[...] 2020-08-26
_[3] 서적 Computability: an introduction to recursive function theory
_[4] 서적 Decimal Computation https://archive.org/[...] John Wiley & Sons 1974
_[5] 서적 Decimal Computation Robert E. Krieger Publishing Company 1983
_[6] 웹사이트 Subtraction https://www.mathsisf[...] 2020-08-26
_[7] OED Subtraction
_[8] 일반
_[9] 서적 Teachers Versus the Public: What Americans Think about Schools and How to Fix Them Brookings Institution Press 2014
_[10] 서적 Convergence Journalism: Writing and Reporting across the News Media Rowman & Littlefield Publishers 2006
_[11] 서적 Racism and Education: Coincidence Or Conspiracy? Routledge 2008
_[12] 서적 The Teaching of Arithmetic: A Manual for Teachers https://archive.org/[...] 2016-03-11
_[13] 간행물 Subtraction in the United States: An Historical Perspective 2000
_[14] 학술지 Subtraction From a Historical Perspective
_[15] 서적 (Unspecified, likely The Teaching of Arithmetic)
_[16] 서적 The Teaching of Arithmetic https://archive.org/[...] Ginn 2016-03-11
_[17] 웹사이트 The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics - Subtraction: Trade First https://sites.google[...]
_[18] 웹사이트 Partial-Differences Subtraction and The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics - Subtraction: Partial Differences http://ouronlinescho[...]
_[19] 웹사이트 The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics - Subtraction: Counting Up https://sites.google[...]
_[20] 웹사이트 The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics - Subtraction: Left to Right Subtraction https://sites.google[...]
_[21] 웹사이트 The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics - Subtraction: Same Change Rule https://sites.google[...]
_[22] 웹사이트 The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics - Subtraction: Trade First https://sites.google[...]
_[23] 웹사이트 Partial-Differences Subtraction and The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics - Subtraction: Partial Differences http://ouronlinescho[...]
_[24] 웹사이트 The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics - Subtraction: Left to Right Subtraction https://sites.google[...]
_[25] 웹사이트 The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics - Subtraction: Same Change Rule https://sites.google[...]

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