굼벨 분포

1. 개요

굼벨 분포는 극치 분포의 유형 I에 해당하는 확률 분포로, 누적 분포 함수와 확률 밀도 함수를 통해 정의된다. 최빈값, 중앙값, 평균, 표준 편차 등의 성질을 가지며, 오일러-마스케로니 상수와 관련이 있다. 표준 굼벨 분포는 μ = 0, β = 1인 경우를 말하며, 관련 분포로 곰페르츠 분포, 지수 분포, 로지스틱 분포 등이 있다. 수문학, 정수론, 기계 학습 등 다양한 분야에서 응용되며, 난수 생성에도 활용된다.

2. 정의

굼벨 분포의 누적 분포 함수는 다음과 같다.

:$F(x;\backslash mu,\backslash beta)\; =\; e^\{-e^\{-(x-\backslash mu)/\backslash beta\}\}\backslash ,$

상수 와 양의 상수 에 대해, 확률 변수 의 분포 함수 가
:
로 주어질 때, 확률 변수 는 굼벨 분포를 따른다고 한다. 이때, 대응하는 확률 밀도 함수 는
:
이다. 굼벨 분포는 극치 분포의 유형 I에 해당한다.

2.1. 표준 굼벨 분포

표준 굼벨 분포는 위치 매개변수 $\backslash mu\; =\; 0$ 이고 척도 매개변수 $\backslash beta\; =\; 1$인 경우이다. 이때 누적 분포 함수는 다음과 같다.

:$F(x)\; =\; e^\{-e^\{(-x)\}\}\backslash ,$

확률 밀도 함수는 다음과 같다.

:$f(x)\; =\; e^\{-(x+e^\{-x\})\}.$

표준 굼벨 분포의 최빈값은 0, 중앙값은 $-\backslash ln(\backslash ln(2))\; \backslash approx\; 0.3665$, 평균은 $\backslash gamma\backslash approx\; 0.5772$(오일러-마스케로니 상수), 표준 편차는 $\backslash pi/\backslash sqrt\{6\}\; \backslash approx\; 1.2825$이다.

n > 1일 때 큐뮬런트는 다음과 같다.

:$\backslash kappa\_n\; =\; (n-1)!\; \backslash zeta(n).$

3. 성질

굼벨 분포의 최빈값은 μ이고, 중앙값은 $\backslash mu-\backslash beta\; \backslash ln\backslash left(\backslash ln\; 2\backslash right)$이며, 평균은 $\backslash mu+\backslash gamma\backslash beta$이다. 여기서 $\backslash gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다. 표준 편차 $\backslash sigma$는 $\backslash beta\; \backslash pi/\backslash sqrt\{6\}$이며, 따라서 $\backslash beta\; =\; \backslash sigma\; \backslash sqrt\{6\}\; /\; \backslash pi\; \backslash approx\; 0.78\; \backslash sigma$이다.

최빈값($x\; =\; \backslash mu$)에서 $F(x;\backslash mu,\backslash beta)$의 값은 $e^\{-1\}\; \backslash approx\; 0.37$로, $\backslash beta$ 값에 관계없이 일정하다.

만약 $G\_1,\; G\_2,...$가 모든 자연수 $k$에 대해 $\backslash max\backslash \{G\_1,...,G\_k\backslash \}-\backslash beta\backslash ln\; k$가 $G\_1$과 동일한 분포를 갖는 독립 동일 분포(iid) 확률 변수라면, $G\_1$은 반드시 척도 매개변수 $\backslash beta$를 갖는 굼벨 분포를 따른다.

큐뮬런트는 n > 1에 대해 $\backslash kappa\_n\; =\; (n-1)!\; \backslash zeta(n)$이다. (ζ(n)는 리만 제타 함수)

3.1. 모멘트 생성 함수 및 특성 함수

확률 변수를 $X$라고 할 때, 모멘트 생성 함수 $M\_X\; (t)$는 다음과 같이 주어진다.

:

여기서 $\backslash Gamma\; (x)$는 감마 함수를 나타낸다.

또한, 특성 함수 $\backslash phi\_X\; (t)$는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash phi\_X\; (t)=M\_X\; (it)=e^\{i\backslash mu\; t\}\; \backslash Gamma\; (1-i\backslash eta\; t)$

3.2. iid 굼벨 확률 변수의 극값

$G\_1,\; ...,\; G\_k$가 매개변수 $(\backslash mu,\; \backslash beta)$를 갖는 독립 동일 분포(iid) 굼벨 확률 변수라면, $\backslash max\backslash \{G\_1,\; ...,\; G\_k\backslash \}$ 역시 매개변수 $(\backslash mu\; +\; \backslash beta\; \backslash ln\; k,\; \backslash beta)$를 갖는 굼벨 확률 변수이다.

4. 관련 분포

* 만약 $X$가 굼벨 분포를 따른다면, Y = −X가 양수라는 조건, 또는 동등하게 X가 음수라는 조건 하에서의 조건부 분포는 곰페르츠 분포를 따른다. Y의 누적 분포 함수(cdf) G는 X의 cdf F와 다음 공식으로 관련된다. $G(y)\; =\; P(Y\; \backslash le\; y)\; =\; P(X\; \backslash ge\; -y\; \backslash mid\; X\; \backslash le\; 0)\; =\; (F(0)-F(-y))/F(0)$, 여기서 y > 0이다. 결과적으로, 확률 밀도 함수는 $g(y)\; =\; f(-y)/F(0)$로 관련된다. 즉, 곰페르츠 밀도 함수는 양의 반직선으로 제한된 반사된 굼벨 밀도 함수에 비례한다.
* 만약 X가 평균이 1인 지수 분포를 따르는 변수라면, −log(X)는 표준 굼벨 분포를 따른다.
* 만약 $X\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Gumbel\}(\backslash alpha\_X,\; \backslash beta)$이고 $Y\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Gumbel\}(\backslash alpha\_Y,\; \backslash beta)$가 독립적이라면, $X-Y\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Logistic\}(\backslash alpha\_X-\backslash alpha\_Y,\backslash beta)\; \backslash ,$ (로지스틱 분포 참조).
* 독립적인 굼벨 확률 변수의 선형 결합 분포는 GNIG 및 GIG 분포로 근사될 수 있다.
* 일반화된 다변량 로그 감마 분포와 관련된 이론은 굼벨 분포의 다변량 버전을 제공한다.
* 다항 로짓 모델(이산 선택 이론에서 일반적)의 잠재 변수의 공식화에서는, 잠재 변수의 오차는 굼벨 분포를 따르며, 굼벨 분포를 갖는 두 확률 변수의 차이는 로지스틱 분포가 된다.

5. 응용

6. 난수 생성

굼벨 분포의 분위수 함수(역 누적 분포 함수) $Q(p)$는 다음과 같다.

:$Q(p)=\backslash mu-\backslash beta\backslash ln(-\backslash ln(p)),$

구간 $(0,1)$에서 균등 분포로부터 추출된 난수 $U$에 대해, 변량 $Q(U)$는 매개변수 $\backslash mu$와 $\backslash beta$를 갖는 굼벨 분포를 따른다.