극점 (복소해석학)

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1. 개요

극점은 복소해석학에서 정칙 함수가 특정 점에서 특이성을 갖는 유형을 나타내는 개념이다. 함수 f가 복소 평면의 점 z₀에서 극점을 갖는다는 것은, 어떤 양의 정수 k에 대해 (z - z₀)ᵏf(z)가 z₀에서 제거 가능한 특이점을 갖는다는 의미이며, k를 극점의 계수라고 한다. 극점의 계수가 1인 경우 단순극이라고 부른다. 무한대에서도 극점의 개념을 정의할 수 있으며, 복소 다양체 위의 함수로 확장될 수 있다. 극점은 복소함수의 특성을 분석하고, 제어 이론 등 공학 분야에서 시스템의 안정성을 분석하는 데 활용된다.

극점 (복소해석학)

정의

영점	복소함수 f의 영점은 f(z₀) = 0을 만족하는 복소수 z₀임
극점	복소함수 f의 극점은 1/f가 극점을 갖는 점 z₀임
참고 사항	함수 1/f는 z₀에서 정의되지 않지만, z₀에 임의의 값을 할당하여 f가 z₀에서 극점을 갖도록 할 수 있음. 이 경우 f는 z₀에서 무한대 값을 가짐

상세 내용

해석적 함수	f가 z₀에서 해석적이면 z₀의 어떤 근방 U의 모든 z에 대해 f(z) ≠ 0임
극점과 함수의 역수	f가 z₀에서 극점을 가지면 1/f는 z₀에서 영점을 가짐. f가 z₀에서 영점을 가지면 1/f는 z₀에서 극점을 가짐
특이점	f가 z₀에서 극점을 가지면 z₀는 f의 고립 특이점임
로랑 급수	f가 z₀에서 극점을 가지면 z₀를 중심으로 하는 로랑 급수를 가짐
주요 부분	로랑 급수의 주요 부분은 유한함
극의 차수	극의 차수는 로랑 급수에서 사라지지 않는 가장 낮은 차수의 항의 지수의 음수값임
본질적 특이점	극점은 본질적 특이점과 대조됨

예시

함수	1/zⁿ은 z = 0에서 n차의 극점을 가짐
삼각함수	코탄젠트 함수 cot(z) = cos(z)/sin(z)는 sin(z)의 영점에서 극점을 가짐
감마 함수	감마 함수는 음이 아닌 모든 정수에서 극점을 가짐

영점	영점
고립 특이점	고립 특이점
해석 함수	해석 함수

2. 정의

$U\subset\mathbb C$ 가 복소평면의 열린 부분집합이고, 정칙함수 $f\colon U\setminus\{z_0\}\to\mathbb C$ 가 주어졌다고 하자. 어떤 정수 $k$ 에 대하여, $(z-z_0)^kf(z)$ 가 $z=z_0$ 에서 제거 가능 특이점을 갖는지 여부를 생각할 수 있다. 다시 말해, 정칙함수 $g\colon U\to\mathbb C$ 가 존재하여 모든 $z\ne z_0$ 에서 $g(z)=(z-z_0)^kf(z)$ 가 성립하는지 여부이다. 만약 이러한 성질을 만족시키는 최소의 $k$ 가 양의 정수라면, $f$ 가 $z_0$ 에서 극점을 갖는다고 한다. 이때, 이 성질을 만족시키는 최소의 양의 정수 $k$ 를 극점 $z_0$ 의 계수(order^영어)라고 한다.

복소변수 함수가 열린 집합에서 정칙 함수라는 것은 그 집합의 모든 점에서 미분 가능하다는 것을 의미한다. 만약 $f$ 가 복소 평면의 점 $z_0$ 의 근방에서 유리형 함수라면, 다음을 만족하는 정수 $n$ 이 존재한다.
: $(z-z_0)^n f(z)$
이는 $z_0$ 의 근방에서 정칙이고 0이 아니다. 만약 $n>0$ 이면, $z_0$ 는 $f$ 의 차수 $n$ 의 극점이다.

2.1. 단순극

계수가 1인 극점을 단순극(單純極, simple pole^영어)이라고 한다.

3. 무한대에서의 극점

함수 $z \mapsto f(z)$ 가 무한대에서 극점을 갖는다는 것은 $\frac{1}{z}$ 를 변수로 하는 함수 $f\left(\frac{1}{z}\right)$ 가 $z$ ^영어=0에서 극점을 갖는다는 것을 의미한다. 사상 $z \mapsto \frac{1}{z}$ 을 이용하면 무한대에서의 극점에 대한 정의를 내릴 수 있다.

정의에 따라, 무한대의 근방에서 정칙인 함수 $f$ 는 함수 $f\left(\frac{1}{z}\right)$ 가 $z$ ^영어 = 0에서 극점을 가지면, 무한대에서 극점을 갖는다. 이때 $z$ ^영어 = 0에서 $f\left(\frac{1}{z}\right)$ 의 극점 차수는 $f$ 의 무한대에서의 극점 차수와 같다.

4. 예시

* 다음 함수는 리만 구 전체에서 유리형 함수이다.
: $f(z) = \frac{3}{z}$
:는 $z=0$ 에서 1차 극점(단순 극점)을 가지며, 무한대에서 단순 영점을 갖는다.

* 다음 함수는 리만 구 전체에서 유리형 함수이다.
: $f(z) = \frac{z+2}{(z-5)^2(z+7)^3}$
:는 $z=5$ 에서 2차 극점을, $z = -7$ 에서 3차 극점을 갖는다. 또한 $z=-2$ 에서 단순 영점을 가지며, 무한대에서 4차 영점을 갖는다.

* 다음 함수는 복소 평면 전체에서 유리형 함수이지만, 무한대에서는 아니다.
: $f(z) = \frac{z-4}{e^z-1}$
:는 $z=2\pi ni$ ( $n$ 은 정수)에서 1차 극점을 갖는다. 이는 원점을 중심으로 $e^z$ 의 테일러 급수를 작성하여 확인할 수 있다.

* 다음 함수는 무한대에서 1차 극점 하나를 가지며, 원점에서 영점 하나를 갖는다.
: $f(z) = z$

* 리만 제타 함수는 $z=1$ 에서 차수 1의 단일 극점을 갖는다.

5. 복소 다양체 위의 함수의 극점

복소해석적 다양체인 복소 곡선 위의 함수에서 영점과 극점의 개념은 자연스럽게 확장될 수 있다. 리만 곡면은 이러한 곡선의 간단한 예시이다. 이러한 확장은 해석적 동형사상인 차트를 통해 구조와 속성을 전달함으로써 이루어진다.

어떤 함수 f가 복소 곡선 M에서 복소수로의 함수라고 할 때, 차트 $\phi$ 가 존재하여 $f \circ \phi^{-1}$ 가 $\phi(z)$ 의 근방에서 정칙(또는 유리형)이면, 함수 f는 M의 점 z의 근방에서 정칙(또는 유리형)이다. 만약 $\phi(z)$ 에 대해서도 마찬가지라면, z는 차수 n의 극점 또는 영점이 된다.

곡선이 콤팩트 공간이고, 함수 f가 전체 곡선에서 유리형이면, 영점과 극점의 수는 유한하며, 극점의 차수의 합은 영점의 차수의 합과 같다. 이것은 리만-로흐 정리와 관련된 기본적인 사실 중 하나이다.

복소다양체 M 위의 점 a의 근방 U에서 정칙인 함수 $f \colon M \rightarrow \mathbb{C}$ 가, a에서 n차의 극을 갖는다는 것은, 차트 $\phi \colon U \rightarrow \mathbb{C}$ 가 존재하여, 함수 $f \circ \phi^{-1} \colon \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ 가 $\phi(a)$ 에서 n차의 극을 갖는 것이다(적절한 차트를 선택하면, $φ(a) = 0$ 으로 할 수 있다).

무한원점에서의 극은 이 정의의 가장 단순하면서도 중요한 예시이며, M을 리만 구면으로 하고, 좌표 변환은 $\phi(z) = 1/z$ 로 한다.

6. 응용

극점은 복소함수의 특성을 분석하고 분류하는 데 중요한 역할을 한다. 유리형 함수는 극점만을 특이점으로 갖는 함수이며, 제어 이론 등 공학 분야에서 시스템의 안정성을 분석하는 데 활용된다. 예를 들어 극점-영점 도표를 통해 시스템의 안정성을 파악할 수 있다.

대한민국의 여러 공학 분야(전기, 전자, 기계 등)에서 라플라스 변환, 푸리에 변환 등을 이용한 시스템 해석에 극점의 개념이 활용된다.