극한 비교 판정법
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2. 정의와 증명
두 양의 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n 과 \sum_{n=0}^\infty b_n (a_n,b_n>0\forall n\ge0 )이 주어졌을 때, 극한 \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\in(0,\infty) 발산 한다. 이를 극한 비교 판정법이라고 한다. 극한 비교 판정법은 비교 판정법 의 따름정리이며, 상극한과 하극한을 이용하여 일반화할 수 있다.
2. 1. 극한 비교 판정법
두 양의 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n 과 \sum_{n=0}^\infty b_n 이 주어졌다고 하자 (a_n,b_n>0\forall n\ge0 ). 또한, 극한 \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\in(0,\infty) 발산 한다. 이를 '''극한 비교 판정법'''이라고 한다.비교 판정법 의 따름정리다. 가정에 따라, 충분히 큰 n 에 대하여\frac 12L<\frac{a_n}{b_n}<2L n 에 대하여\frac12Lb_n\sum_{n=n_0}^\infty a_n 이 수렴한다면, 비교 판정법 에 따라 \sum_{n=n_0}^\infty\frac12Lb_n 역시 수렴하며, 따라서 \sum_{n=n_0}^\infty b_n 은 수렴한다. 반대로, 만약 \sum_{n=n_0}^\infty b_n 이 수렴한다면, \sum_{n=n_0}^\infty2Lb_n 역시 수렴하며, 비교 판정법 에 따라 \sum_{n=n_0}^\infty a_n 역시 수렴한다. 즉, 두 급수의 수렴 여부는 동치 다.실수 항 a_n,b_n\ge0 의 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n 과 \sum_{n=0}^\infty b_n 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 항상 상극한과 하극한\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L'\in[0,\infty] \liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L''\in[0,\infty] L''\le L' 이다. 그렇다면, 다음이 성립한다.만약 L'<\infty 이며, \sum_{n=0}^\infty b_n 이 수렴한다면, \sum_{n=0}^\infty a_n 역시 수렴한다. 만약 L''>0 이며, \sum_{n=0}^\infty a_n 이 수렴한다면, \sum_{n=0}^\infty b_n 역시 수렴한다. 0라면, 두 급수의 수렴 여부는 같다. 만약 극한 L 이 존재한다면, L=L'=L'' 이다. 따라서 이는 이전 결과를 일반화한다.2. 2. 일반화된 극한 비교 판정법
두 음이 아닌 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n 과 \sum_{n=0}^\infty b_n (a_n,b_n\ge0\forall n\ge0 )이 주어졌을 때, 상극한과 하극한을 이용하여 두 급수의 수렴성을 비교할 수 있다.\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L'\in[0,\infty] \liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L''\in[0,\infty] L''\le L' 이다.L'<\infty 이고 \sum_{n=0}^\infty b_n 이 수렴하면, \sum_{n=0}^\infty a_n 도 수렴한다.L''>0 이고 \sum_{n=0}^\infty a_n 이 수렴하면, \sum_{n=0}^\infty b_n 도 수렴한다.0라면 두 급수의 수렴 여부는 같다. 만약 극한 L 이 존재하면 L=L'=L'' 이므로, 이는 극한 비교 판정법을 일반화한 것이다.2. 2. 1. 상세 내용
상극한을 사용하여 극한 비교 판정법의 일종을 나타낼 수 있다. 모든 n 에 대해 a_n, b_n \geq 0 이라고 하자. 만약 \limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c 이고 0 \leq c < \infty 이며, \Sigma_n b_n 가 수렴하면, 반드시 \Sigma_n a_n 도 수렴한다.n 에 대해 a_n = \frac{1-(-1)^n}{n^2} 및 b_n = \frac{1}{n^2} 이라고 하자. 그러면\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}(1-(-1)^n) 은 존재하지 않으므로 표준 비교 판정법을 적용할 수 없다. 그러나\limsup_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \limsup_{n\to\infty}(1-(-1)^n) =2\in [0,\infty) 이고 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} 이 수렴하므로 단측 비교 판정법에 의해 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2} 이 수렴한다.n 에 대해 a_n, b_n \geq 0 이라고 하자. 만약 \Sigma_n a_n 이 발산하고 \Sigma_n b_n 이 수렴한다면, 반드시 \limsup_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\infty 이며, 즉, \liminf_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}= 0 이다. 여기서 핵심적인 내용은 어떤 의미에서 숫자 a_n 이 숫자 b_n 보다 크다는 것이다. f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n 이 단위 원판 D = \{ z\in\mathbb{C} : |z|<1\} 에서 해석적이고 유한한 면적의 상을 갖는다고 하자. 파르세발의 등식에 의해, f 의 상의 면적은 \sum_{n=1}^{\infty} n|a_n|^2 에 비례한다. 또한, \sum_{n=1}^{\infty} 1/n 은 발산한다. 따라서, 비교 판정법의 역에 의해, 다음을 얻는다. \liminf_{n\to\infty} \frac{n|a_n|^2}{1/n}= \liminf_{n\to\infty} (n|a_n|)^2 = 0 , 즉, \liminf_{n\to\infty} n|a_n| = 0 .2. 3. 증명
두 양의 실수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n 과 \sum_{n=0}^\infty b_n 이 주어졌다고 하자 (a_n,b_n>0\forall n\ge0 ). 또한, 극한 \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\in(0,\infty) 발산 한다.비교 판정법 의 따름정리다. 가정에 따라, 충분히 큰 n 에 대하여\frac 12L<\frac{a_n}{b_n}<2L n 에 대하여\frac12Lb_n\sum_{n=n_0}^\infty a_n 이 수렴한다면, 비교 판정법 에 따라 \sum_{n=n_0}^\infty\frac12Lb_n 역시 수렴하며, 따라서 \sum_{n=n_0}^\infty b_n 은 수렴한다. 반대로, 만약 \sum_{n=n_0}^\infty b_n 이 수렴한다면, \sum_{n=n_0}^\infty2Lb_n 역시 수렴하며, 비교 판정법 에 따라 \sum_{n=n_0}^\infty a_n 역시 수렴한다. 즉, 두 급수의 수렴 여부는 동치 다.실수 항 a_n,b_n\ge0 의 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n 과 \sum_{n=0}^\infty b_n 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 항상 상극한과 하극한\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L'\in[0,\infty] \liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L''\in[0,\infty] L''\le L' 이다. 그렇다면, 다음이 성립한다.만약 L'<\infty 이며, \sum_{n=0}^\infty b_n 이 수렴한다면, \sum_{n=0}^\infty a_n 역시 수렴한다. 만약 L''>0 이며, \sum_{n=0}^\infty a_n 이 수렴한다면, \sum_{n=0}^\infty b_n 역시 수렴한다. 0라면, 두 급수의 수렴 여부는 같다. 만약 극한 L 이 존재한다면, L=L'=L'' 이다.n 에 대하여\frac12L''<\frac{a_n}{b_n}<2L' 비교 판정법 으로부터 증명될 수 있다.
3. 예
기하급수와 조화급수 와의 비교는 하위 섹션에서 자세히 다루고 있으므로 이 섹션에서는 간단하게 언급만 한다.\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+2n} 는 적분 판정법 또는 코시 응집 판정법을 통해 수렴함을 알 수 있는 급수 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} 와 비교하여 극한 비교 판정법을 적용할 수 있다. 자세한 풀이는 하위 섹션 "상세 예제"에서 확인할 수 있다.\sum_{n=3}^\infty\ln\cos\frac\pi n 는 음의 실수 항들로 이루어진 급수이다. 이 급수는 \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} 이 수렴함을 이용하여 극한 비교 판정법을 통해 수렴함을 보일 수 있다. 자세한 풀이 역시 하위 섹션 "상세 예제"에서 확인할 수 있다.
3. 1. 기하급수와의 비교
기하급수 \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n} 가 수렴하고, 다음이 성립한다.\begin{align}\lim_{n\to\infty} \frac{1/(2^n-n)}{1/2^n} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n-n} 는 수렴한다.3. 2. 조화급수와의 비교
급수 \(\sum_{n=1}^\infty\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\)를 생각하자. 이를 조화급수 와 비교하면 다음과 같다.\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+1/n)}{1/n} 조화급수 \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\)는 발산하므로, 원래 급수도 발산한다.\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(1/n)}{1/n} 3. 3. 기타 예제
급수 \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+2n} 는 적분 판정법 또는 코시 응집 판정법을 통해 수렴함을 알 수 있는 급수 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} 와 비교하여 극한 비교 판정법을 적용할 수 있다. 두 급수의 항의 비의 극한은 1로 수렴하므로, 원래 급수는 수렴한다.\sum_{n=3}^\infty\ln\cos\frac\pi n 는 음의 실수 항들로 이루어진 급수이다. 이 급수는 \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} 이 수렴함을 이용하여 극한 비교 판정법을 통해 수렴함을 보일 수 있다.3. 3. 1. 상세 예제
급수 \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+2n} 의 수렴 여부를 판정하기 위해, 적분 판정법 또는 코시 응집 판정법을 통해 수렴함을 알 수 있는 급수 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} 와 비교한다. 두 급수의 항의 비의 극한은 다음과 같다.\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n^2+2n)}{1/n^2} \sum_{n=3}^\infty\ln\cos\frac\pi n 는 음의 실수 항들로 이루어진다. 0으로 수렴하는 두 수열 (a_n)_{n=0}^\infty 및 (b_n)_{n=0}^\infty 에 대하여, \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1 인 경우 a_n\sim b_n 으로 표기하면, 다음이 성립한다.\begin{align}\ln\cos\frac\pi n \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} 이 수렴하므로, 극한 비교 판정법에 의해 원래 급수도 수렴한다.n 에 대해 a_n, b_n \geq 0 일 때, \limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c 이고 0 \leq c < \infty 이며, \Sigma_n b_n 가 수렴하면, \Sigma_n a_n 도 수렴한다.n 에 대해 a_n = \frac{1-(-1)^n}{n^2} 및 b_n = \frac{1}{n^2} 이라고 하자. \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}(1-(-1)^n) 은 존재하지 않으므로 표준 비교 판정법은 적용할 수 없다. 그러나 \limsup_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \limsup_{n\to\infty}(1-(-1)^n) =2\in [0,\infty) 이고 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} 이 수렴하므로 단측 비교 판정법에 의해 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2} 이 수렴한다.n 에 대해 a_n, b_n \geq 0 이고, \Sigma_n a_n 이 발산하고 \Sigma_n b_n 이 수렴한다면, \limsup_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\infty 이며, 즉 \liminf_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}= 0 이다. f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n 이 단위 원판 D = \{ z\in\mathbb{C} : |z|<1\} 에서 해석적이고 유한한 면적의 상을 갖는다고 하자. 파르세발의 등식에 의해, f 의 상의 면적은 \sum_{n=1}^{\infty} n|a_n|^2 에 비례한다. \sum_{n=1}^{\infty} 1/n 은 발산하므로, 비교 판정법의 역에 의해 다음을 얻는다. \liminf_{n\to\infty} \frac{n|a_n|^2}{1/n}= \liminf_{n\to\infty} (n|a_n|)^2 = 0 , 즉, \liminf_{n\to\infty} n|a_n| = 0 .
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