극한 비교 판정법

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1. 개요

극한 비교 판정법은 두 양의 실수 항 급수의 수렴 또는 발산 여부를 판정하는 방법이다. 두 급수의 항의 비율의 극한이 0이 아닌 양의 실수로 존재하면, 두 급수는 동시에 수렴하거나 발산한다. 이는 비교 판정법의 따름정리이며, 상극한과 하극한을 이용한 일반화된 형태도 존재한다.

극한 비교 판정법

개요

분야	수학
하위 분야	해석학
판정법 종류	수열의 급수
관련된 판정법	비교 판정법

세부 사항

전제 조건	긍정적인 항
종류	수렴 또는 발산

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1. 개요
2. 정의와 증명
3. 예

2. 정의와 증명

두 양의 실수 항 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 과 $\sum_{n=0}^\infty b_n$ ( $a_n,b_n>0\forall n\ge0$ )이 주어졌을 때, 극한
: $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\in(0,\infty)$
가 존재하고 0이 아닌 양의 실수라면, 두 급수는 모두 수렴하거나 모두 발산한다. 이를 극한 비교 판정법이라고 한다. 극한 비교 판정법은 비교 판정법의 따름정리이며, 상극한과 하극한을 이용하여 일반화할 수 있다.

2.1. 극한 비교 판정법

두 양의 실수 항 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 과 $\sum_{n=0}^\infty b_n$ 이 주어졌다고 하자 ( $a_n,b_n>0\forall n\ge0$ ). 또한, 극한
: $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\in(0,\infty)$
가 존재하며, 0이 아닌 양의 실수라고 하자. 그렇다면, 두 급수는 둘 다 수렴하거나, 둘 다 발산한다. 이를 극한 비교 판정법이라고 한다.

극한 비교 판정법은 비교 판정법의 따름정리다. 가정에 따라, 충분히 큰 $n$ 에 대하여
: $\frac 12L<\frac{a_n}{b_n}<2L$
이다. 즉, 충분히 큰 $n$ 에 대하여
: $\frac12Lb_n$
이다. 만약 $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ 이 수렴한다면, 비교 판정법에 따라 $\sum_{n=n_0}^\infty\frac12Lb_n$ 역시 수렴하며, 따라서 $\sum_{n=n_0}^\infty b_n$ 은 수렴한다. 반대로, 만약 $\sum_{n=n_0}^\infty b_n$ 이 수렴한다면, $\sum_{n=n_0}^\infty2Lb_n$ 역시 수렴하며, 비교 판정법에 따라 $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ 역시 수렴한다. 즉, 두 급수의 수렴 여부는 동치다.

보다 일반적으로, 두 음이 아닌 실수 항 $a_n,b_n\ge0$ 의 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 과 $\sum_{n=0}^\infty b_n$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 항상 상극한과 하극한
: $\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L'\in[0,\infty]$
: $\liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$ \in[0,\infty]
이 존재하며, 항상 $L$ \le L'이다. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* 만약 $L'<\infty$ 이며, $\sum_{n=0}^\infty b_n$ 이 수렴한다면, $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 역시 수렴한다.
* 만약 $L$ >0이며, $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 이 수렴한다면, $\sum_{n=0}^\infty b_n$ 역시 수렴한다.
특히, 만약 $0 \le L'<\infty$ 라면, 두 급수의 수렴 여부는 같다. 만약 극한 $L$ 이 존재한다면, $L=L'=L''$ 이다. 따라서 이는 이전 결과를 일반화한다.

2.2. 일반화된 극한 비교 판정법

두 음이 아닌 실수 항 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 과 $\sum_{n=0}^\infty b_n$ ( $a_n,b_n\ge0\forall n\ge0$ )이 주어졌을 때, 상극한과 하극한을 이용하여 두 급수의 수렴성을 비교할 수 있다.

: $\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L'\in[0,\infty]$
: $\liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$ \in[0,\infty]

이 경우 항상 $L$ \le L'이다.

* $L'<\infty$ 이고 $\sum_{n=0}^\infty b_n$ 이 수렴하면, $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 도 수렴한다.
* $L$ >0이고 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 이 수렴하면, $\sum_{n=0}^\infty b_n$ 도 수렴한다.

특히, $0 \le L'<\infty$ 라면 두 급수의 수렴 여부는 같다. 만약 극한 $L$ 이 존재하면 $L=L'=L''$ 이므로, 이는 극한 비교 판정법을 일반화한 것이다.

2.2.1. 상세 내용

상극한을 사용하여 극한 비교 판정법의 일종을 나타낼 수 있다. 모든 $n$ 에 대해 $a_n, b_n \geq 0$ 이라고 하자. 만약 $\limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c$ 이고 $0 \leq c < \infty$ 이며, $\Sigma_n b_n$ 가 수렴하면, 반드시 $\Sigma_n a_n$ 도 수렴한다.

예를 들어 모든 자연수 $n$ 에 대해 $a_n = \frac{1-(-1)^n}{n^2}$ 및 $b_n = \frac{1}{n^2}$ 이라고 하자. 그러면
$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}(1-(-1)^n)$ 은 존재하지 않으므로 표준 비교 판정법을 적용할 수 없다. 그러나
$\limsup_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \limsup_{n\to\infty}(1-(-1)^n) =2\in [0,\infty)$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 이 수렴하므로 단측 비교 판정법에 의해 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}$ 이 수렴한다.

모든 $n$ 에 대해 $a_n, b_n \geq 0$ 이라고 하자. 만약 $\Sigma_n a_n$ 이 발산하고 $\Sigma_n b_n$ 이 수렴한다면, 반드시
$\limsup_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\infty$ 이며, 즉,
$\liminf_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}= 0$ 이다. 여기서 핵심적인 내용은 어떤 의미에서 숫자 $a_n$ 이 숫자 $b_n$ 보다 크다는 것이다.

함수 $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ 이 단위 원판 $D = \{ z\in\mathbb{C} : |z|<1\}$ 에서 해석적이고 유한한 면적의 상을 갖는다고 하자. 파르세발의 등식에 의해, $f$ 의 상의 면적은 $\sum_{n=1}^{\infty} n|a_n|^2$ 에 비례한다. 또한,
$\sum_{n=1}^{\infty} 1/n$ 은 발산한다. 따라서, 비교 판정법의 역에 의해, 다음을 얻는다.
$\liminf_{n\to\infty} \frac{n|a_n|^2}{1/n}= \liminf_{n\to\infty} (n|a_n|)^2 = 0$ , 즉,
$\liminf_{n\to\infty} n|a_n| = 0$ .

2.3. 증명

두 양의 실수 항 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 과 $\sum_{n=0}^\infty b_n$ 이 주어졌다고 하자 ( $a_n,b_n>0\forall n\ge0$ ). 또한, 극한
: $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\in(0,\infty)$
가 존재하며, 0이 아닌 양의 실수라고 하자. 그렇다면, 두 급수는 둘 다 수렴하거나, 둘 다 발산한다.

극한 비교 판정법은 비교 판정법의 따름정리다. 가정에 따라, 충분히 큰 $n$ 에 대하여
: $\frac 12L<\frac{a_n}{b_n}<2L$
이다. 즉, 충분히 큰 $n$ 에 대하여
: $\frac12Lb_n$
이다. 만약 $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ 이 수렴한다면, 비교 판정법에 따라 $\sum_{n=n_0}^\infty\frac12Lb_n$ 역시 수렴하며, 따라서 $\sum_{n=n_0}^\infty b_n$ 은 수렴한다. 반대로, 만약 $\sum_{n=n_0}^\infty b_n$ 이 수렴한다면, $\sum_{n=n_0}^\infty2Lb_n$ 역시 수렴하며, 비교 판정법에 따라 $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ 역시 수렴한다. 즉, 두 급수의 수렴 여부는 동치다.

보다 일반적으로, 두 음이 아닌 실수 항 $a_n,b_n\ge0$ 의 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 과 $\sum_{n=0}^\infty b_n$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 항상 상극한과 하극한
: $\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L'\in[0,\infty]$
: $\liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$ \in[0,\infty]
이 존재하며, 항상 $L$ \le L'이다. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* 만약 $L'<\infty$ 이며, $\sum_{n=0}^\infty b_n$ 이 수렴한다면, $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 역시 수렴한다.
* 만약 $L$ >0이며, $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 이 수렴한다면, $\sum_{n=0}^\infty b_n$ 역시 수렴한다.
특히, 만약 $0 \le L'<\infty$ 라면, 두 급수의 수렴 여부는 같다. 만약 극한 $L$ 이 존재한다면, $L=L'=L$ 이다.

덜 일반적인 결과의 증명과 마찬가지로, 충분히 큰 $n$ 에 대하여
: $\frac12L$ <\frac{a_n}{b_n}<2L'
이라는 사실과 비교 판정법으로부터 증명될 수 있다.

3. 예

기하급수와 조화급수와의 비교는 하위 섹션에서 자세히 다루고 있으므로 이 섹션에서는 간단하게 언급만 한다.

급수 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+2n}$ 는 적분 판정법 또는 코시 응집 판정법을 통해 수렴함을 알 수 있는 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 와 비교하여 극한 비교 판정법을 적용할 수 있다. 자세한 풀이는 하위 섹션 "상세 예제"에서 확인할 수 있다.

급수 $\sum_{n=3}^\infty\ln\cos\frac\pi n$ 는 음의 실수 항들로 이루어진 급수이다. 이 급수는 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$ 이 수렴함을 이용하여 극한 비교 판정법을 통해 수렴함을 보일 수 있다. 자세한 풀이 역시 하위 섹션 "상세 예제"에서 확인할 수 있다.

3.1. 기하급수와의 비교

기하급수 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}$ 가 수렴하고, 다음이 성립한다.

: $\begin{align}\lim_{n\to\infty} \frac{1/(2^n-n)}{1/2^n}&=\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{2^n-n}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-n/2^n}\\&=\frac{1}{1-0}\\&=1\end{align}$

따라서 급수 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n-n}$ 는 수렴한다.

3.2. 조화급수와의 비교

급수 $\sum_{n=1}^\infty\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$를 생각하자. 이를 조화급수와 비교하면 다음과 같다.
: $\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+1/n)}{1/n}&=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x\\&=\lim_{x\to0}\frac{(\ln(1+x))'}{x'}\\&=\lim_{x\to0}\frac{1/(1+x)}{1}\\&=1\end{align}$
조화급수 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$는 발산하므로, 원래 급수도 발산한다.

마찬가지로, 급수 $\sum_{n=1}^\infty\sin\frac{1}{n}$도 다음과 같은 이유로 발산한다.
: $\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(1/n)}{1/n}&=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x\\&=\lim_{x\to0}\frac{(\sin x)'}{x'}\\&=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}\\&=1\end{align}$

3.3. 기타 예제

급수 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+2n}$ 는 적분 판정법 또는 코시 응집 판정법을 통해 수렴함을 알 수 있는 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 와 비교하여 극한 비교 판정법을 적용할 수 있다. 두 급수의 항의 비의 극한은 1로 수렴하므로, 원래 급수는 수렴한다.

급수 $\sum_{n=3}^\infty\ln\cos\frac\pi n$ 는 음의 실수 항들로 이루어진 급수이다. 이 급수는 $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$ 이 수렴함을 이용하여 극한 비교 판정법을 통해 수렴함을 보일 수 있다.

3.3.1. 상세 예제

급수 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+2n}$ 의 수렴 여부를 판정하기 위해, 적분 판정법 또는 코시 응집 판정법을 통해 수렴함을 알 수 있는 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 와 비교한다. 두 급수의 항의 비의 극한은 다음과 같다.

: $\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n^2+2n)}{1/n^2}&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+2n}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac n{n+2}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac1{1+2/n}\\&=1\end{align}$

극한 비교 판정법에 따라, 원래 급수는 수렴한다.

급수 $\sum_{n=3}^\infty\ln\cos\frac\pi n$ 는 음의 실수 항들로 이루어진다. 0으로 수렴하는 두 수열 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 및 $(b_n)_{n=0}^\infty$ 에 대하여, $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1$ 인 경우 $a_n\sim b_n$ 으로 표기하면, 다음이 성립한다.

: $\begin{align}\ln\cos\frac\pi n&=\ln(1+\cos\frac\pi n-1)\\&\sim\cos\frac\pi n-1\\&=-2\sin^2\frac\pi{2n}\\&\sim-\frac{\pi^2}{2n^2}\end{align}$

$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$ 이 수렴하므로, 극한 비교 판정법에 의해 원래 급수도 수렴한다.

상극한을 사용한 극한 비교 판정법은 다음과 같다. 모든 $n$ 에 대해 $a_n, b_n \geq 0$ 일 때, $\limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c$ 이고 $0 \leq c < \infty$ 이며, $\Sigma_n b_n$ 가 수렴하면, $\Sigma_n a_n$ 도 수렴한다.

예를 들어 모든 자연수 $n$ 에 대해 $a_n = \frac{1-(-1)^n}{n^2}$ 및 $b_n = \frac{1}{n^2}$ 이라고 하자. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}(1-(-1)^n)$ 은 존재하지 않으므로 표준 비교 판정법은 적용할 수 없다. 그러나 $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \limsup_{n\to\infty}(1-(-1)^n) =2\in [0,\infty)$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 이 수렴하므로 단측 비교 판정법에 의해 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}$ 이 수렴한다.

비교 판정법의 역은 다음과 같다. 모든 $n$ 에 대해 $a_n, b_n \geq 0$ 이고, $\Sigma_n a_n$ 이 발산하고 $\Sigma_n b_n$ 이 수렴한다면, $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\infty$ 이며, 즉 $\liminf_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}= 0$ 이다.

예를 들어 함수 $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ 이 단위 원판 $D = \{ z\in\mathbb{C} : |z|<1\}$ 에서 해석적이고 유한한 면적의 상을 갖는다고 하자. 파르세발의 등식에 의해, $f$ 의 상의 면적은 $\sum_{n=1}^{\infty} n|a_n|^2$ 에 비례한다. $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n$ 은 발산하므로, 비교 판정법의 역에 의해 다음을 얻는다.

$\liminf_{n\to\infty} \frac{n|a_n|^2}{1/n}= \liminf_{n\to\infty} (n|a_n|)^2 = 0$ , 즉,
$\liminf_{n\to\infty} n|a_n| = 0$ .