적분 판정법

1. 개요

적분 판정법은 급수의 수렴 여부를 판별하는 데 사용되는 방법으로, 감소하는 양의 실수 값을 갖는 함수와 관련된 급수와 이상 적분의 수렴성을 연결한다. 이 판정법은 급수 ∑f(n) 가 수렴하는 것과 이상 적분 ∫f(x)dx 가 수렴하는 것이 동치임을 보여준다. 또한, p-급수와 일반화된 p-급수와 같은 특정 급수의 수렴성을 판별하는 데 활용되며, 조화 급수와 리만 제타 함수를 예시로 들 수 있다.

2. 정의와 증명

음이 아닌 실수 값 감소함수
:$f\backslash colon[0,\backslash infty)\backslash to[0,\backslash infty)$
:$\backslash forall\; x,y\backslash in[0,\backslash infty)\backslash colon\; x\backslash le\; y\backslash implies\; f(x)\backslash ge\; f(y)$
가 주어졌다고 하자. (특히, $f$는 임의의 $[0,a]\backslash subseteq[0,\backslash infty)$에서 리만 적분 가능하다.) 적분 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; f(n)$는 수렴한다.
* 이상 적분 $\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)\backslash ,dx$은 수렴한다.
또한, (수렴 여부와 관계 없이) 다음 부등식이 성립한다.
:$\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)\backslash ,dx\backslash le\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; f(n)\backslash le\; f(0)+\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)\backslash ,dx$
음이 아닌 실수 항 급수의 합과 음이 아닌 실수 값 리만 적분 가능 함수의 이상 적분의 값은 음이 아닌 확장된 실수로서 항상 존재하며, 이들의 수렴 여부는 합이나 적분 값의 유한한지 여부와 동치이다. 임의의 $n\backslash in\backslash \{0,1,2,\backslash dots\backslash \}$ 및 $n\backslash le\; x\backslash le\; n+1$에 대하여,
:$f(n+1)\backslash le\; f(x)\backslash le\; f(n)$
이다. $[n,n+1]$ 위의 리만 적분을 취하면
:$f(n+1)\backslash le\backslash int\_n^\{n+1\}f(x)\backslash ,dx\backslash le\; f(n)$
이 된다. $n\backslash in\backslash \{0,1,2,\backslash dots\backslash \}$에 대한 급수를 취하면
:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; f(n)\backslash le\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)\backslash ,dx\backslash le\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; f(n)$
이 된다. 이는
:$\backslash begin\{align\}$
\sum_{n=0}^\infty\int_n^{n+1}f(x)\,dx
&=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\int_i^{i+1}f(x)\,dx\\
&=\lim_{n\to\infty}\int_0^{n+1}f(x)\,dx\\
&=\int_0^\infty f(x)\,dx
\end{align}

임에 따른다. 따라서, 만약
:
라면
:
이며, 만약
:
라면
:
이다. 즉, 수렴 여부가 동치다.
정수 $N$과 무한 구간 $[N,\; \backslash infty)$에서 정의된 함수 $f$가 주어지며, 이 구간에서 함수는 단조 감소 함수이다. 그러면 무한 급수
:$\backslash sum\_\{n=N\}^\backslash infty\; f(n)$
는 다음의 부정 적분이
:$\backslash int\_N^\backslash infty\; f(x)\backslash ,dx$
유한할 필요충분조건으로 실수로 수렴한다. 특히, 적분이 발산하면 급수 또한 발산한다.
적분 판정법의 증명은 비교 판정법을 사용하여 $f(n)$이라는 항을 구간 $[n-1,n)$과 $[n,n+1)$에서 $f$의 적분과 각각 비교한다.
단조 함수 $f$는 거의 어디에서나 연속이다. 이를 증명하기 위해,
:$D=\backslash \{\; x\backslash in\; [N,\backslash infty)\backslash mid\; f\backslash text\{는\; \}x\backslash text\{에서\; 불연속\}\; \backslash \}$라고 하자.
모든 $x\backslash in\; D$에 대해, $\backslash mathbb\; Q$의 조밀 집합에 의해, $c(x)\backslash in\backslash left[\backslash lim\_\{y\backslash downarrow\; x\}\; f(y),\; \backslash lim\_\{y\backslash uparrow\; x\}\; f(y)\backslash right]$를 만족하는 $c(x)\backslash in\backslash mathbb\; Q$가 존재한다.
이 집합은 $f$가 $x$에서 불연속일 때 정확히 열린 집합인 비어 있지 않은 구간을 포함한다. 위 조건을 만족하고, 열거 $\backslash mathbb\; N\backslash to\backslash mathbb\; Q$에서 가장 작은 인덱스를 가진 유리수로 $c(x)$를 고유하게 식별할 수 있다. $f$가 단조 함수이므로, 이는 단사 함수 함수 $c:D\backslash to\backslash mathbb\; Q,\; x\backslash mapsto\; c(x)$를 정의하며, 따라서 $D$는 가산 집합이다. 따라서 $f$는 거의 어디에서나 연속이다. 이는 리만 적분 가능성에 충분하다.
$f$가 단조 감소 함수이므로, 다음을 알 수 있다.
:$$
f(x)\le f(n)\quad\text{모든 }x\in[n,\infty)\text{에 대해}

그리고
:$$
f(n)\le f(x)\quad\text{모든 }x\in[N,n]\text{에 대해}.

따라서, 모든 정수 $n\; \backslash ge\; N$에 대해,
:$$
\int_n^{n+1} f(x)\,dx
\le\int_{n}^{n+1} f(n)\,dx
=f(n)
그리고, 모든 정수 $n\; \backslash ge\; N\; +\; 1$에 대해,
:$$
f(n)=\int_{n-1}^{n} f(n)\,dx
\le\int_{n-1}^n f(x)\,dx.

$N$에서 어떤 더 큰 정수 $M$까지의 모든 $n$에 대해 합하면,
:$$
\int_N^{M+1}f(x)\,dx=\sum_{n=N}^M\underbrace{\int_n^{n+1}f(x)\,dx}_{\le\,f(n)}\le\sum_{n=N}^Mf(n)

그리고
:$$
\begin{align}
\sum_{n=N}^Mf(n)&=f(N)+\sum_{n=N+1}^Mf(n)\\
&\leq f(N)+\sum_{n=N+1}^M\underbrace{\int_{n-1}^n f(x)\,dx}_{\ge\,f(n)}\\
&=f(N)+\int_N^M f(x)\,dx.
\end{align}

이 두 추정치를 결합하면 다음과 같다.
:$\backslash int\_N^\{M+1\}f(x)\backslash ,dx\backslash le\backslash sum\_\{n=N\}^Mf(n)\backslash le\; f(N)+\backslash int\_N^M\; f(x)\backslash ,dx.$
$M$을 무한대로 보내면, 경계와 결과가 도출된다.

2.1. 상세 증명

음이 아닌 실수 값 감소함수 $f\backslash colon[0,\backslash infty)\backslash to[0,\backslash infty)$가 주어졌을 때, $f$는 임의의 $[0,a]\backslash subseteq[0,\backslash infty)$에서 리만 적분 가능하다. 이때, 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; f(n)$가 수렴하는 것과 이상 적분 $\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)\backslash ,dx$가 수렴하는 것은 서로 동치이다.

음이 아닌 실수 항 급수의 합과 음이 아닌 실수 값 리만 적분 가능 함수의 이상 적분의 값은 음이 아닌 확장된 실수로서 항상 존재하며, 이들의 수렴 여부는 합이나 적분 값의 유한한지 여부와 동치이다. 임의의 $n\backslash in\backslash \{0,1,2,\backslash dots\backslash \}$ 및 $n\backslash le\; x\backslash le\; n+1$에 대하여, $f(n+1)\backslash le\; f(x)\backslash le\; f(n)$이 성립한다. $[n,n+1]$ 위의 리만 적분을 취하면, $f(n+1)\backslash le\backslash int\_n^\{n+1\}f(x)\backslash ,dx\backslash le\; f(n)$이 된다. $n\backslash in\backslash \{0,1,2,\backslash dots\backslash \}$에 대한 급수를 취하면, $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; f(n)\backslash le\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)\backslash ,dx\backslash le\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; f(n)$이 된다. 이는
:$\backslash begin\{align\}$
\sum_{n=0}^\infty\int_n^{n+1}f(x)\,dx
&=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\int_i^{i+1}f(x)\,dx\\
&=\lim_{n\to\infty}\int_0^{n+1}f(x)\,dx\\
&=\int_0^\infty f(x)\,dx
\end{align}

임에 따른다.

따라서, 라면 이며, 라면 이다. 즉, 수렴 여부가 동치이다.

또한, (수렴 여부와 관계 없이) 다음 부등식이 성립한다.
:$\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)\backslash ,dx\backslash le\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; f(n)\backslash le\; f(0)+\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)\backslash ,dx$

이 증명은 비교 판정법을 사용하여 $f(n)$이라는 항을 구간 $[n-1,n)$과 $[n,n+1)$에서 $f$의 적분과 각각 비교하여 얻을 수 있다. $f$가 단조 감소 함수이므로, 다음이 성립한다.

:$f(x)\backslash le\; f(n)\backslash quad\backslash text\{모든\; \}x\backslash in[n,\backslash infty)\backslash text\{에\; 대해\}$
:$f(n)\backslash le\; f(x)\backslash quad\backslash text\{모든\; \}x\backslash in[N,n]\backslash text\{에\; 대해\}.$

따라서, 모든 정수 $n\; \backslash ge\; N$에 대해, $\backslash int\_n^\{n+1\}\; f(x)\backslash ,dx\backslash le\backslash int\_\{n\}^\{n+1\}\; f(n)\backslash ,dx=f(n)$이고, 모든 정수 $n\; \backslash ge\; N\; +\; 1$에 대해, $f(n)=\backslash int\_\{n-1\}^\{n\}\; f(n)\backslash ,dx\backslash le\backslash int\_\{n-1\}^n\; f(x)\backslash ,dx$이다.

$N$에서 어떤 더 큰 정수 $M$까지의 모든 $n$에 대해 합하면,

:$\backslash int\_N^\{M+1\}f(x)\backslash ,dx=\backslash sum\_\{n=N\}^M\backslash underbrace\{\backslash int\_n^\{n+1\}f(x)\backslash ,dx\}\_\{\backslash le\backslash ,f(n)\}\backslash le\backslash sum\_\{n=N\}^Mf(n)$

:$\backslash begin\{align\}$
\sum_{n=N}^Mf(n)&=f(N)+\sum_{n=N+1}^Mf(n)\\
&\leq f(N)+\sum_{n=N+1}^M\underbrace{\int_{n-1}^n f(x)\,dx}_{\ge\,f(n)}\\
&=f(N)+\int_N^M f(x)\,dx.
\end{align}


이 두 추정치를 결합하면 $\backslash int\_N^\{M+1\}f(x)\backslash ,dx\backslash le\backslash sum\_\{n=N\}^Mf(n)\backslash le\; f(N)+\backslash int\_N^M\; f(x)\backslash ,dx$이다. $M$을 무한대로 보내면, 경계와 결과가 도출된다.

2.2. 추가 설명

많은 교과서에서는 함수 f가 양수일 것을 요구하지만, f가 음수이고 감소할 때 Σf(n)과 ∫f(x)dx 둘 다 발산하므로 이 조건은 실제로 필요하지 않다. 함수 f(x)가 증가하면 함수 -f(x)는 감소하므로 위의 정리가 적용된다.

3. 활용

적분 판정법은 다양한 급수의 수렴 여부를 판정하는 데 활용된다.

==== 예시 1: p-급수 ====
급수
:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac1\{n^p\}\backslash qquad(p\backslash in\backslash mathbb\; R)$
는 p-급수(p-series^영어)라고 불린다. 이 급수는 $p\backslash le0$이면 자명하게 발산하며, $p>0$인 경우 적분 판정법을 통해 수렴 여부를 판별할 수 있다.

적분 판정법에 따르면, p-급수의 수렴 여부는 이상 적분
:$\backslash int\_1^\backslash infty\backslash frac\{dx\}\{x^p\}$
의 수렴 여부와 동치이다.

* $p=1$일 경우,
:$\backslash int\_1^\backslash infty\backslash frac\{dx\}x=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_1^x\backslash frac\{dt\}t=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}(\backslash ln\; x-\backslash ln1)=\backslash infty$
이므로 발산한다.
* $p\backslash ne\; 1$일 경우,
:$\backslash int\_1^\backslash infty\backslash frac\{dx\}\{x^p\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_1^x\backslash frac\{dt\}\{t^p\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash left(\backslash frac\{x^\{1-p\}\}\{1-p\}-\backslash frac1\{1-p\}\backslash right)=\backslash begin\{cases\}$
\infty&p<1\\
1/(p-1)&p>1
\end{cases}

이므로, $p>1$일 때 수렴하고 일 때 발산한다.

따라서 p-급수는 $p>1$일 때 수렴하고, $p\backslash le1$일 때 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 판별할 수 없다. 라베 판정법의 증명은 이 결과를 바탕으로 한다.

예를 들어 조화 급수
:$$
\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n

는 $p=1$인 경우이므로 발산한다. 반면,
:$$
\zeta(1+\varepsilon)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1+\varepsilon}}

(리만 제타 함수 참조)는 $\backslash varepsilon\; >\; 0$에 대해 $p\; =\; 1\; +\; \backslash varepsilon\; >\; 1$이므로 수렴한다.

==== 예시 2: 일반화된 p-급수 ====
급수
:$\backslash sum\_\{n=2\}^\backslash infty\backslash frac1\{n^p\backslash ln^qn\}\backslash qquad(p,q\backslash in\backslash mathbb\; R)$
를 생각하자. $p>1$일 때 수렴하며, 일 때 발산한다. 이 급수는 비교 판정법에 의하여, $p>1$이면 수렴, 이면 발산한다.

$p=1$인 경우, 적분 판정법에 따라, 급수의 수렴 여부는 이상 적분
:$\backslash int\_2^\backslash infty\backslash frac\{dx\}\{x\backslash ln^qx\}$
의 수렴 여부와 같다.

이는
:
임에 따른다. 만약 $q=1$이라면,
:$\backslash int\_2^\backslash infty\backslash frac\{dx\}\{x\backslash ln\; x\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_2^x\backslash frac\{dt\}\{t\backslash ln\; t\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}(\backslash ln\backslash ln\; x-\backslash ln\backslash ln2)=\backslash infty$
이다. 만약 $q\backslash ne1$이라면,
:$\backslash int\_2^\backslash infty\backslash frac\{dx\}\{x\backslash ln^qx\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_2^x\backslash frac\{dt\}\{t\backslash ln^qt\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash ln^\{1-q\}x\}\{1-q\}-\backslash frac\{\backslash ln^\{1-q\}2\}\{1-q\}\backslash right)=\backslash begin\{cases\}$
\infty&q<1\\
-\ln^{1-q}2/(1-q)&q>1
\end{cases}

이다.

따라서, 이 급수는 $p>1$이거나 $p=1$, $q>1$일 때 수렴하며, $p=1$, $q\backslash le1$이거나 일 때 발산한다. 비 판정법·근 판정법·라베 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 베르트랑 판정법의 증명은 이 급수의 $(p,q)$에 따른 수렴 여부에 기반한다.

마찬가지로, 급수
:$\backslash sum\_\{n=\backslash underbrace^\backslash infty\backslash frac1\{n^\{p\_0\}(\backslash ln\; n)^\{p\_1\}\backslash cdots(\backslash underbrace\{\backslash ln\backslash cdots\backslash ln\}\_k\backslash ,n)^\{p\_k\}\}$
의 수렴 여부 또한 적분 판정법을 통하여 구할 수 있다. $\backslash mathbb\; R^\{k+1\}$ 위의 사전식 순서를 $\backslash preceq$로 적을 때, 이 급수는 $(p\_0,\backslash dots,p\_k)\backslash succ(1,\backslash dots,1)$일 때 수렴하며, $(p\_0,\backslash dots,p\_k)\backslash preceq(1,\backslash dots,1)$일 때 발산한다.

==== 예시 3: 발산과 수렴의 경계 ====
조화 급수
:$$
\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n

는 자연 로그, 그 부정적분, 미적분학의 기본 정리를 사용하여 다음과 같이 발산한다.
:$$
\int_1^M \frac 1 n\,dn = \ln n\Bigr|_1^M = \ln M \to\infty
\quad\text{for }M\to\infty.

반면에, 급수
:$$
\zeta(1+\varepsilon)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1+\varepsilon}}

(cf. 리만 제타 함수)
는 모든 $\backslash varepsilon\; >\; 0$에 대해 수렴한다.

3.1. 예시 1: p-급수

급수
:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac1\{n^p\}\backslash qquad(p\backslash in\backslash mathbb\; R)$
는 p-급수(p-series^영어)라고 불린다. 이 급수는 $p\backslash le0$이면 자명하게 발산하며, $p>0$인 경우 적분 판정법을 통해 수렴 여부를 판별할 수 있다.

적분 판정법에 따르면, p-급수의 수렴 여부는 이상 적분
:$\backslash int\_1^\backslash infty\backslash frac\{dx\}\{x^p\}$
의 수렴 여부와 동치이다.

* $p=1$일 경우,
:$\backslash int\_1^\backslash infty\backslash frac\{dx\}x=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_1^x\backslash frac\{dt\}t=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}(\backslash ln\; x-\backslash ln1)=\backslash infty$
이므로 발산한다.
* $p\backslash ne\; 1$일 경우,
:$\backslash int\_1^\backslash infty\backslash frac\{dx\}\{x^p\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_1^x\backslash frac\{dt\}\{t^p\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash left(\backslash frac\{x^\{1-p\}\}\{1-p\}-\backslash frac1\{1-p\}\backslash right)=\backslash begin\{cases\}$
\infty&p<1\\
1/(p-1)&p>1
\end{cases}

이므로, $p>1$일 때 수렴하고 일 때 발산한다.

따라서 p-급수는 $p>1$일 때 수렴하고, $p\backslash le1$일 때 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 판별할 수 없다. 라베 판정법의 증명은 이 결과를 바탕으로 한다.

예를 들어 조화 급수
:$$
\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n

는 $p=1$인 경우이므로 발산한다. 반면,
:$$
\zeta(1+\varepsilon)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1+\varepsilon}}

(리만 제타 함수 참조)는 $\backslash varepsilon\; >\; 0$에 대해 $p\; =\; 1\; +\; \backslash varepsilon\; >\; 1$이므로 수렴한다.

3.2. 예시 2: 일반화된 p-급수

급수
:$\backslash sum\_\{n=2\}^\backslash infty\backslash frac1\{n^p\backslash ln^qn\}\backslash qquad(p,q\backslash in\backslash mathbb\; R)$
를 생각하자. $p>1$일 때 수렴하며, 일 때 발산한다. 이 급수는 비 판정법에 의하여, $p>1$이면 수렴, 이면 발산한다.

$p=1$인 경우, 적분 판정법에 따라, 급수의 수렴 여부는 이상 적분
:$\backslash int\_2^\backslash infty\backslash frac\{dx\}\{x\backslash ln^qx\}$
의 수렴 여부와 같다.

만약 $q=1$이라면,
:$\backslash int\_2^\backslash infty\backslash frac\{dx\}\{x\backslash ln\; x\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_2^x\backslash frac\{dt\}\{t\backslash ln\; t\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}(\backslash ln\backslash ln\; x-\backslash ln\backslash ln2)=\backslash infty$
이다. 만약 $q\backslash ne1$이라면,
:$\backslash int\_2^\backslash infty\backslash frac\{dx\}\{x\backslash ln^qx\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_2^x\backslash frac\{dt\}\{t\backslash ln^qt\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash ln^\{1-q\}x\}\{1-q\}-\backslash frac\{\backslash ln^\{1-q\}2\}\{1-q\}\backslash right)=\backslash begin\{cases\}$
\infty&q<1\\
-\ln^{1-q}2/(1-q)&q>1
\end{cases}

이다.

따라서, 이 급수는 $p>1$이거나 $p=1$, $q>1$일 때 수렴하며, $p=1$, $q\backslash le1$이거나 일 때 발산한다. 비 판정법·근 판정법·라베 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 베르트랑 판정법의 증명은 이 급수의 $(p,q)$에 따른 수렴 여부에 기반한다.

마찬가지로, 급수
:$\backslash sum\_\{n=\backslash underbrace^\backslash infty\backslash frac1\{n^\{p\_0\}(\backslash ln\; n)^\{p\_1\}\backslash cdots(\backslash underbrace\{\backslash ln\backslash cdots\backslash ln\}\_k\backslash ,n)^\{p\_k\}\}$
의 수렴 여부 또한 적분 판정법을 통하여 구할 수 있다.

3.3. 예시 3: 발산과 수렴의 경계

적분 판정법은 $\backslash sum\_\{n=N\_k\}^\backslash infty\backslash frac1\{n\backslash ln(n)\backslash ln\_2(n)\backslash cdots\; \backslash ln\_\{k-1\}(n)\backslash ln\_k(n)\}$ 형태의 급수처럼, 수렴과 발산의 경계에 있는 급수들의 수렴 여부를 판정하는 데 유용하게 사용될 수 있다. 여기서 $\backslash ln\_k(x)$는 자연 로그의 $k$-중첩 합성을 나타내며, $N\_k$는 $\backslash ln\_k(N\_k)\; \backslash ge\; 1$을 만족하는 최소의 자연수이다.

이러한 급수의 예로, 모든 자연수 $k$에 대해 다음 급수
:$$
\sum_{n=N_k}^\infty\frac1{n\ln(n)\ln_2(n)\cdots \ln_{k-1}(n)\ln_k(n)}

는 발산하며,
:$$
\sum_{n=N_k}^\infty\frac1{n\ln(n)\ln_2(n)\cdots\ln_{k-1}(n)(\ln_k(n))^{1+\varepsilon}}

는 모든 $\backslash varepsilon\; >\; 0$에 대해 수렴한다.

위 급수들의 발산과 수렴은 적분 판정법을 통해 보일 수 있다. 급수의 발산은 연쇄 법칙을 반복 적용하여 확인할 수 있으며, 급수의 수렴은 거듭제곱 규칙, 연쇄 법칙 및 적분 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

4. 역사

5. 한국의 관점

6. 같이 보기