기계적 확대율

3. 속도비

이상적인 기계 장치는 동력 입력과 출력이 같으므로, 시스템의 입력-출력 속도비를 통해 기계적 이점을 쉽게 계산할 수 있다.

구동 풀리에 토크 ''T_A''가 가해지고 각속도 ''ω_A''로 회전하는 기어 열의 동력 입력은 ''P=T_Aω_A''이다.

동력 흐름이 일정하므로, 출력 기어의 토크 ''T_B''와 각속도 ''ω_B''는 다음 관계를 만족한다.

: $P\; =\; T\_A\; \backslash omega\_A\; =\; T\_B\; \backslash omega\_B,\; \backslash !$

따라서,

: $\backslash mathit\{MA\}\; =\; \backslash frac\{T\_B\}\{T\_A\}\; =\; \backslash frac\{\backslash omega\_A\}\{\backslash omega\_B\}.$

즉, 이상적인 기계 장치에서 입력-출력 속도비는 시스템의 기계적 이점과 같다. 이는 로봇에서 링크 기구에 이르기까지 모든 기계 시스템에 적용된다.

4. 체인 및 벨트 구동

체인 또는 벨트로 연결된 두 개의 스프로킷이나 풀리는 동력 전달 시스템에서 특정한 기계적 이점을 제공하도록 설계된다. 체인이나 벨트의 속도 ''v''는 두 스프로킷 또는 풀리와 접촉할 때 동일하며, 다음 식으로 표현된다.

:$v\; =\; r\_A\; \backslash omega\_A\; =\; r\_B\; \backslash omega\_B,\backslash !$

여기서 입력 스프로킷 또는 풀리 ''A''는 피치 반경 ''r_A''를 따라 체인 또는 벨트와 맞물리고, 출력 스프로킷 또는 풀리 ''B''는 피치 반경 ''r_B''를 따라 이 체인 또는 벨트와 맞물린다.

따라서 입력과 출력의 각속도 비는 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash frac\{\backslash omega\_A\}\{\backslash omega\_B\}\; =\; \backslash frac\{r\_B\}\{r\_A\}\; =\; \backslash frac\{N\_B\}\{N\_A\}.$

여기서 ''N_A''는 입력 스프로킷의 톱니 수이고 ''N_B''는 출력 스프로킷의 톱니 수이다. 톱니 벨트 구동의 경우, 스프로킷의 톱니 수를 사용할 수 있다. 마찰 벨트 구동의 경우 입력 및 출력 풀리의 피치 반경을 사용해야 한다.

입력 스프로킷의 톱니 수가 ''N_A''이고 출력 스프로킷의 톱니 수가 ''N_B''인 체인 구동 또는 톱니 벨트 구동 쌍의 기계적 이점은 다음과 같다.

:$\backslash mathit\{MA\}\; =\; \backslash frac\{T\_B\}\{T\_A\}\; =\; \backslash frac\{N\_B\}\{N\_A\}.$

마찰 벨트 구동의 기계적 이점은 다음과 같다.

:$\backslash mathit\{MA\}\; =\; \backslash frac\{T\_B\}\{T\_A\}\; =\; \backslash frac\{r\_B\}\{r\_A\}.$

체인과 벨트는 마찰, 늘어짐 및 마모를 통해 동력을 소모하므로 실제 출력은 입력보다 작다. 즉, 실제 시스템의 기계적 이점은 이상적인 경우보다 작다. 체인 또는 벨트 구동은 마찰 열, 변형 및 마모를 통해 시스템에서 최대 5%의 동력을 손실할 수 있으며, 이 경우 구동 효율은 95%이다.

7인치 크랭크와 26인치(지름) 바퀴가 장착된 18단 자전거를 예로 들어보자. 크랭크와 뒷바퀴의 스프라켓 크기가 같다면 지레의 법칙을 사용하여 타이어에 가해지는 출력 힘과 페달에 가해지는 입력 힘의 비율을 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$\backslash mathit\{MA\}\; =\; \backslash frac\{F\_B\}\{F\_A\}\; =\; \backslash frac\{7\}\{13\}\; =\; 0.54.$

앞 스프라켓은 28개와 52개, 뒷 스프라켓은 16개와 32개 중에서 선택할 수 있다고 가정할 때, 다양한 조합을 사용하여 앞 스프라켓과 뒷 스프라켓 간의 속도비를 계산할 수 있다.

자전거를 구동하는 힘과 페달에 가해지는 힘의 비율, 즉 자전거의 총 기계적 확대율은 속도비(또는 출력 스프라켓/입력 스프라켓의 톱니 수 비율)와 크랭크-휠 지레 비율의 곱이다.

모든 경우에 페달에 가해지는 힘이 자전거를 앞으로 밀어내는 힘보다 크다는 점에 유의해야 한다.

5. 효율

실제 기계 시스템에서는 마찰, 변형, 마모 등으로 인해 에너지 손실이 발생한다. 이러한 손실 때문에 실제 기계적 확대율(AMA)은 이상적인 기계적 확대율(IMA)보다 작아진다. 이상적인 기계적 이점(IMA)은 부품이 휘지 않고, 마찰이 없으며, 마모되지 않는다고 가정하여 계산된 값으로, 기계가 낼 수 있는 최대 성능을 의미한다.^[1]

기계의 효율(η)은 이상적인 기계적 확대율(IMA)에 대한 실제 기계적 확대율(AMA)의 비율로 정의되며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:$\backslash eta\; =\backslash frac\backslash mathit\{AMA\}\backslash mathit\{IMA\}.$

예를 들어, 6개의 로프 섹션과 약 272.16kg의 하중을 가진 도르래를 사용하는 이상적인 시스템에서 작업자는 로프를 6피트 당기고 100lbf의 힘을 가하여 하중을 1피트 들어 올릴 수 있다. 이 경우 ''F''_out / ''F''_in 및 ''V''_in / ''V''_out 비율은 IMA가 6임을 보여준다. 그러나 실제 시스템에서는 도르래의 마찰 등으로 인해 힘 출력이 약 272.16kg 미만이 되고, 에너지 손실로 인해 MA는 6보다 작은 값을 갖게 된다. 이러한 손실을 고려하여 계산된 값이 실제 기계적 확대율(AMA)이다.^[1]

6. 역사적 배경

지레는 고정된 지점이나 그 위에 부착되거나 위치한 받침점을 중심으로 회전하는 움직일 수 있는 막대이다. 지레는 받침점 또는 회전축에서 서로 다른 거리에 힘을 가하여 작동한다. 받침점의 위치는 지레의 종류를 결정한다.

''a''와 ''b''가 받침점에서 지점 ''A''와 ''B''까지의 거리이고, ''A''에 가해지는 힘 ''F_A''가 입력 힘이고 ''B''에서 가해지는 힘 ''F_B''가 출력 힘인 경우, 지점 ''A''와 ''B''의 속도 비율은 $\backslash frac\{a\}\{b\}$로 주어지므로 출력 힘 대 입력 힘의 비율, 즉 기계적 이점은 다음과 같이 주어진다.

:$$\backslash mathit\{MA\}\; =\; \backslash frac\{F\_b\}\{F\_a\}\; =\; \backslash frac\{a\}\{b\}.$$

이것은 아르키메데스가 기하학적 추론을 사용하여 공식화한 ''지레의 법칙''이다.^[2] 이는 받침점에서 입력 힘이 가해지는 지점(지점 ''A'')까지의 거리 ''a''가 받침점에서 출력 힘이 가해지는 지점(지점 ''B'')까지의 거리 ''b''보다 크면 지레가 입력 힘을 증폭한다는 것을 보여준다. 반대로 받침점에서 입력 힘까지의 거리가 받침점에서 출력 힘까지의 거리보다 작으면 지레는 입력 힘을 감소시킨다. 지레의 법칙의 심오한 의미와 실용성을 인지한 아르키메데스는 "나에게 서 있을 곳을 주면 지레로 온 세상을 움직이겠다"는 유명한 말을 한 것으로 전해진다.^[3]

7. 현대적 응용

현대 산업에서 기계적 이점은 다양한 방식으로 활용된다. 지레의 원리는 기어, 도르래, 마찰 구동 등 다양한 기계적 동력 전달 장치에 적용된다. 예를 들어, 기어 세트에서는 반경이 작은 기어를 사용하여 기계적 이점을 조절하며, 이는 입력 토크를 증폭하거나 감소시키는 데 사용된다. 이러한 원리는 '아웃러너'와 같은 특정 유형의 전기 모터 설계에도 통합된다.^[1]

기어 열에서 출력 기어가 입력 기어보다 더 많은 잇수를 갖는 경우 입력 토크가 증폭되고, 출력 기어가 더 적은 잇수를 갖는 경우에는 입력 토크가 감소된다. 출력 기어가 입력 기어보다 느리게 회전하는 기어 열은 '감속기'(힘 증폭기)라고 불리며, 입력 토크를 증폭하는 역할을 한다.^[2]

체인과 벨트를 이용한 동력 전달 시스템에서도 기계적 이점을 얻을 수 있다. 스프로킷이나 풀리의 피치 반경과 톱니 수를 조절하여 속도비를 변경하고, 이를 통해 기계적 이점을 조절한다. 하지만 마찰, 늘어짐, 마모 등으로 인해 실제 시스템의 기계적 이점은 이상적인 값보다 작을 수 있으며, 최대 5%의 동력 손실이 발생할 수 있다.^[3]

8. 한국의 관점

한국의 전통 도구와 기술에서 기계적 확대율, 즉 지레의 원리는 광범위하게 활용되었다. 예를 들어, 지렛대는 무거운 물건을 옮기거나 들어 올리는 데 사용되었으며, 도르래는 우물에서 물을 긷거나 건축 자재를 운반하는 데 사용되었다. 맷돌은 곡물을 가는 데 사용되었는데, 이는 회전형 2종 지레의 원리를 이용한 것이다.

현대 한국 산업에서도 기계적 확대율은 매우 중요한 역할을 한다. 기어와 도르래 시스템은 자동차, 선박, 건설 장비 등 다양한 기계 장치에서 힘과 속도를 조절하는 데 사용된다. 특히, 여러 개의 기어를 조합하여 더 큰 기계적 이점을 얻는 방식은 널리 활용된다.

기술 발전과 관련하여, 중도 진보적 관점에서는 기술 발전의 혜택이 사회 전체에 공정하게 분배되어야 한다는 점을 강조한다. 기계적 확대율을 이용한 자동화 기술은 생산성을 높이고 노동 환경을 개선할 수 있지만, 동시에 일자리 감소와 소득 불평등 심화 문제를 야기할 수 있다. 따라서 기술 발전과 함께 사회적 안전망 확충, 재교육 프로그램 제공 등 적극적인 정책을 통해 모든 사회 구성원이 기술 발전의 혜택을 누릴 수 있도록 해야 한다.

참조

_[1] 서적 Theory of machines and mechanisms Oxford University Press
_[2] 서적 A History of Mechanical Inventions https://books.google[...] Harvard University Press (reprinted by Dover Publications 1988) 2013-04-07
_[3] 간행물 Book of Histories (Chiliades) 2
_[4] 웹사이트 ConstructionKnowledge.net http://www.construct[...]