내부곱

1. 개요

내부곱은 매끄러운 다양체 위의 벡터장과 미분 형식을 곱하여 미분 형식을 생성하는 연산이다. 이는 텐서 축약의 미분 형식과 벡터장으로 정의되며, 차수를 1 감소시키는 유일한 반도함수이다. 내부곱은 1차 미분 형식에 대해 벡터장과의 축약으로 나타나며, 외대수에서 곱 규칙을 따른다. 내부곱은 미분 형식의 외미분과 리 미분을 연결하는 카르탕 마법 공식에 중요한 역할을 한다. 헤르만 그라스만이 내부곱의 개념을 도입했다.

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 내부곱은 벡터장과 미분 형식을 곱하여 미분 형식을 만드는 연산으로, $X\backslash lrcorner\backslash alpha$ 또는 $\backslash iota\_X\backslash alpha$로 표기된다. 이에 대응하는 유니코드 기호는 U+2A3C ⨼이다.

2.1. 공리적 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 내부곱
:$\backslash lrcorner\backslash colon\backslash Gamma(\backslash mathrm\; TM)\backslash otimes\_\{\backslash mathbb\; R\}\backslash Omega^\backslash bullet(M)\backslash to\backslash Omega^\{\backslash bullet-1\}(M)$
:$\backslash lrcorner\backslash colon\; X\backslash otimes\backslash alpha\backslash mapsto\; X\backslash lrcorner\backslash alpha$
은 벡터장과 미분 형식을 곱하여 미분 형식을 만드는 연산이며, 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 연산이다. ($X\backslash lrcorner\backslash alpha$는 간혹 $\backslash iota\_X\backslash alpha$로 표기되기도 한다. 이에 대응하는 유니코드 기호는 U+2A3C ⨼이다.)

* (차수 −1) 벡터장 $X$ 및 동차 미분 형식 $\backslash alpha$에 대하여, $\backslash deg(X\backslash lrcorner\backslash alpha)=\backslash deg\backslash alpha-1$이다.
* (곱 규칙) 벡터장 $X$에 대하여, $(\backslash Omega^\backslash bullet(M),X\backslash lrcorner)$는 외대수 위의 미분 등급 대수를 이룬다. 즉, 임의의 $\backslash alpha\backslash in\backslash Omega^p(M)$ 및 $\backslash beta\backslash in\backslash Omega^q(M)$에 대하여, 다음이 성립한다.
*:$X\backslash lrcorner(\backslash alpha\backslash wedge\backslash beta)=(X\backslash lrcorner\backslash alpha)\backslash wedge\backslash beta+(-1)^p\backslash alpha\backslash wedge(X\backslash lrcorner\backslash beta)$
* (1차 미분 형식의 경우) 1차 미분 형식에 대하여 내부곱은 단순히 벡터장과의 축약이다. 즉, 임의의 벡터장 $X$와 1차 미분 형식 $\backslash alpha\backslash in\backslash Omega^1(M)$에 대하여, 다음이 성립한다.
*:$X\backslash lrcorner\backslash alpha=\backslash alpha(X)$

내부곱은 1차수 감소의 유일한 반도함수이며, 외대수에서 1-형식 $\backslash alpha$에 대해 다음을 만족한다.
:$$\backslash displaystyle\backslash iota\_X\; \backslash alpha\; =\; \backslash alpha(X)\; =\; \backslash langle\; \backslash alpha,\; X\; \backslash rangle,$$
여기서 $\backslash langle\; \backslash ,\backslash cdot,\; \backslash cdot\backslash ,\; \backslash rangle$는 $\backslash alpha$와 벡터 $X$ 사이의 쌍대성 쌍이다. 구체적으로, $\backslash beta$가 $p$-형식이고 $\backslash gamma$가 $q$-형식이라면, 다음이 성립한다.
:$$\backslash iota\_X(\backslash beta\; \backslash wedge\; \backslash gamma)\; =\; \backslash left(\backslash iota\_X\backslash beta\backslash right)\; \backslash wedge\; \backslash gamma\; +\; (-1)^p\; \backslash beta\; \backslash wedge\; \backslash left(\backslash iota\_X\backslash gamma\backslash right).$$
위 관계는 내부곱이 차수별 라이프니츠 규칙을 따른다는 것을 나타낸다. 선형성과 라이프니츠 규칙을 만족하는 연산을 도함수라고 한다.

2.2. 구체적 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 내부곱
:$\backslash lrcorner\backslash colon\backslash Gamma(\backslash mathrm\; TM)\backslash otimes\_\{\backslash mathbb\; R\}\backslash Omega^\backslash bullet(M)\backslash to\backslash Omega^\{\backslash bullet-1\}(M)$
:$\backslash lrcorner\backslash colon\; X\backslash otimes\backslash alpha\backslash mapsto\; X\backslash lrcorner\backslash alpha$
은 벡터장과 미분 형식을 곱하여 미분 형식을 만드는 연산이다. $X\backslash lrcorner\backslash alpha$는 간혹 $\backslash iota\_X\backslash alpha$로 표기되기도 한다. 이에 대응하는 유니코드 기호는 U+2A3C ⨼이다.

$M$ 위의 내부곱은 임의의 $p$차 미분 형식 $\backslash alpha$에 대하여 다음과 같이 정의된다.
:$X\backslash lrcorner\backslash alpha\backslash colon\; (Y\_1,Y\_2,\backslash ldots,Y\_\{p-1\})\backslash mapsto\; \backslash alpha(X,Y\_1,Y\_2,\backslash ldots,Y\_\{p-1\})\backslash qquad\backslash forall\; Y\_1,Y\_2,\backslash dots,Y\_\{p-1\}\backslash in\backslash Gamma(\backslash mathrm\; TM)$

내부곱은 축약의 미분 형식과 벡터장으로 정의된다. 따라서 $X$가 다양체 $M$ 위의 벡터장이라면,
$$\backslash iota\_X\; :\; \backslash Omega^p(M)\; \backslash to\; \backslash Omega^\{p-1\}(M)$$
는 $p$-형식 $\backslash omega$를 $(p\; -\; 1)$-형식 $\backslash iota\_X\; \backslash omega$로 보내는 사상이며, 이 형식은 임의의 벡터장 $X\_1,\; \backslash ldots,\; X\_\{p-1\}$에 대해 다음 속성을 가진다.
$$(\backslash iota\_X\backslash omega)\backslash left(X\_1,\; \backslash ldots,\; X\_\{p-1\}\backslash right)\; =\; \backslash omega\backslash left(X,\; X\_1,\; \backslash ldots,\; X\_\{p-1\}\backslash right)$$

$\backslash omega$가 스칼라장(0-형식)일 때, 관례상 $\backslash iota\_X\; \backslash omega\; =\; 0$이다.

내부곱은 1차수 감소의 유일한 반도함수이며, 외대수에서 1-형식 $\backslash alpha$에 대해 다음을 만족한다.
$$\backslash displaystyle\backslash iota\_X\; \backslash alpha\; =\; \backslash alpha(X)\; =\; \backslash langle\; \backslash alpha,\; X\; \backslash rangle,$$
여기서 $\backslash langle\; \backslash ,\backslash cdot,\; \backslash cdot\backslash ,\; \backslash rangle$는 $\backslash alpha$와 벡터 $X$ 사이의 쌍대성 쌍이다. 구체적으로, $\backslash beta$가 $p$-형식이고 $\backslash gamma$가 $q$-형식이라면, 다음 식이 성립한다.
$$\backslash iota\_X(\backslash beta\; \backslash wedge\; \backslash gamma)\; =\; \backslash left(\backslash iota\_X\backslash beta\backslash right)\; \backslash wedge\; \backslash gamma\; +\; (-1)^p\; \backslash beta\; \backslash wedge\; \backslash left(\backslash iota\_X\backslash gamma\backslash right).$$
위 관계는 내부곱이 차수별 라이프니츠 규칙을 따른다는 것을 나타낸다. 선형성과 라이프니츠 규칙을 만족하는 연산을 도함수라고 한다.

3. 성질

내부곱은 반대칭성을 가지며, 동일한 벡터장에 대한 반복적인 내부곱은 0이 된다. 임의의 미분 형식 $\backslash alpha\backslash in\backslash Omega(M)$ 및 두 벡터장 $X,Y\backslash in\backslash Gamma(\backslash mathrm\; TM)$에 대하여, 다음이 성립한다.

:$X\backslash lrcorner(Y\backslash lrcorner\backslash alpha)+Y\backslash lrcorner(X\backslash lrcorner\backslash alpha)=0$

특히,

:$X\backslash lrcorner\; X\backslash lrcorner\backslash alpha=0$

이다.

국소 좌표 $(x\_1,...,x\_n)$에서 벡터장 $X$가 다음과 같이 주어질 경우,

:$X\; =\; f\_1\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\_1\}\; +\; \backslash cdots\; +\; f\_n\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\_n\}$

내부곱은 다음과 같이 주어진다.

:$$\backslash iota\_X\; (dx\_1\; \backslash wedge\; ...\backslash wedge\; dx\_n)\; =\; \backslash sum\_\{r=1\}^\{n\}(-1)^\{r-1\}f\_r\; dx\_1\; \backslash wedge\; ...\backslash wedge\; \backslash widehat\{dx\_r\}\; \backslash wedge\; ...\; \backslash wedge\; dx\_n,$$

여기서 $dx\_1\backslash wedge\; ...\backslash wedge\; \backslash widehat\{dx\_r\}\; \backslash wedge\; ...\; \backslash wedge\; dx\_n$는 $dx\_1\; \backslash wedge\; ...\backslash wedge\; dx\_n$에서 $dx\_r$을 생략하여 얻은 형식이다.

형식의 반대칭성에 의해,

:$$\backslash iota\_X\; \backslash iota\_Y\; \backslash omega\; =\; -\; \backslash iota\_Y\; \backslash iota\_X\; \backslash omega,$$

따라서 $\backslash iota\_X\; \backslash circ\; \backslash iota\_X\; =\; 0.$ 이는 외미분 $d$와 비교될 수 있으며, $d\; \backslash circ\; d\; =\; 0$의 성질을 갖는다.

3.1. 리 미분과의 관계

카르탕 마법 공식(Cartan’s magic formula^영어)에 따르면, 임의의 벡터장 $X\backslash in\backslash Gamma(\backslash mathrm\; TM)$와 미분 형식 $\backslash alpha\backslash in\backslash Omega(M)$에 대하여 다음이 성립한다.

:$\backslash mathcal\; L\_X\backslash alpha=\backslash mathrm\; d(X\backslash lrcorner\backslash alpha)+X\backslash lrcorner\backslash mathrm\; d\backslash alpha$

여기서 $\backslash mathcal\; L$은 리 미분이다.

또한, 임의의 두 벡터장 $X,Y\backslash in\backslash Gamma(\backslash mathrm\; TM)$ 및 미분 형식 $\backslash alpha\backslash in\backslash Omega(M)$에 대하여, 다음이 성립한다.

:$[X,Y]\backslash lrcorner\backslash alpha=\backslash mathcal\; L\_X(X\backslash lrcorner\backslash alpha)-X\backslash lrcorner\backslash mathcal\; L\_X\backslash alpha$

두 벡터장 $X,$ $Y$의 교환자와 관련된 내부곱은 다음 항등식을 만족한다.

:$$\backslash iota\_\{[X,Y]\}\; =\; \backslash left[\backslash mathcal\{L\}\_X,\; \backslash iota\_Y\backslash right]\; =\; \backslash left[\backslash iota\_X,\; \backslash mathcal\{L\}\_Y\backslash right].$$

내부곱은 미분 형식의 외미분과 리 미분을 카르탕 공식 (카르탕 항등식, 카르탕 호모토피 공식이라고도 함)으로 연결한다.

:$$\backslash mathcal\; L\_X\backslash omega\; =\; d(\backslash iota\_X\; \backslash omega)\; +\; \backslash iota\_X\; d\backslash omega\; =\; \backslash left\backslash \{\; d,\; \backslash iota\_X\; \backslash right\backslash \}\; \backslash omega.$$

여기서 반교환자가 사용되었다. 이 항등식은 외미분과 내부 미분 사이의 이중성을 정의한다. 카르탕 항등식은 심플렉틱 기하학과 일반 상대성 이론에서 중요하다. 카르탕 호모토피 공식은 엘리 카르탕의 이름을 따서 명명되었다.

4. 역사

내부곱의 개념과 용어(inner Produkt^독일어)는 헤르만 그라스만이 도입하였다.