미분 등급 대수

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1. 개요

미분 등급 대수는 가환환 위의 사슬 복합체 또는 코사슬 복합체 구조를 갖는 대수로, 곱 규칙을 만족한다. 미분 등급 대수는 등급 다항환과 그 위의 미분 사상의 쌍으로 정의되며, 멱영성과 곱 규칙을 만족해야 한다. 가환 미분 등급 대수는 가환성의 등급 버전을 만족하는 미분 등급 대수이다. 미분 등급 대수는 직접곱, 몫, 코호몰로지 등의 연산을 가지며, 모형 범주 구조를 갖는다. 주요 종류로는 가환 미분 등급 대수, 미분 등급 리 대수 등이 있으며, 드람 대수, 특이 코호몰로지, 코쥘 복합체 등이 예시로 제시된다. 미분 등급 대수의 모델은 주어진 DGA에 대한 다른 DGA이며, 최소 모델과 설리번 최소 모델이 존재한다.

미분 등급 대수

정의

유형	대수 구조
분야	호몰로지 대수학
관련 개념	미분 등급 리 대수 A-무한대 대수 코체인 복합체

추가 정보

영어 명칭	Differential graded algebra
일본어 명칭	次数付き微分代数 (지스우즈키비분다이스우)
한국어 명칭	미분 등급 대수

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2. 정의

가환환 $K$ 가 주어졌다고 하자. $(A,d)$ 가 미분 등급 대수라는 것은, $d$ 가 미분이며, $A$ 에 사슬 복합체 또는 코사슬 복합체의 구조(차수에 따라 다름)를 부여하고, 등급 라이프니츠 규칙을 만족한다는 것을 의미한다. 균일 원소 $a\in A_i$ 의 "차수"는 $|a| = i$ 로 나타낸다. 구체적으로, $d$ 는 다음 조건을 만족한다.

* $d \circ d = 0$ , 종종 $d^2=0$ 로 표기한다.
* $d(a \cdot b) = (da) \cdot b + (-1)^$

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a \cdot (db).

미분을 생략하고 단순히

A

로 DGA

(A,d)

를 지칭하는 경우가 많다.

선형 사상

f: (A_\bullet,d_A) \to (B_\bullet,d_B)

는 등급 벡터 공간 사이의 사상으로,

f(A_i) \subseteq B_{i+n}

for all

i

일 때 차수 n이라고 한다. (코)사슬 복합체를 고려할 때는, 사슬 사상에만 집중하며, 즉, 미분과 교환하는 차수 0의 사상

f \circ d_A = d_B \circ f

를 사용한다. DGA 범주의 사상은 또한 대수 준동형사상인 사슬 사상이다.

미분 등급 대수(differential graded algebra) 또는 줄여서 DG 대수는 등급 다항환 와 그 위의 또는 중 어느 하나인 사상 의 쌍 이며, 다음 성질을 만족한다.

#

d \circ d=0

.
#

d(a \cdot b)=(da) \cdot b + (-1)^{\operatorname{deg}(a)}a \cdot (db)

, 단 는 각 제차원의 등급을 나타낸다.

미분 등급 augmented algebra^영어 (DGA 대수, 첨가 DG 대수, DGA)란, 계수환으로의 DG 사상을 갖춘 미분 등급 대수를 말한다(이 용어법은 앙리 카르탕에 의한 것이다).

K

에 대한 미분 등급 대수

(A, \mathrm d)

는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

*

\textstyle A=\bigoplus_{i\in\mathbb N}A_i

는 결합

K

-등급 대수이다.
*

d\colon A_i\to A_{i+1}

는 등급이 1인

K

-선형 변환이다.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

* (멱영성)

\mathrm d^2=0

. 즉,

(A,\mathrm d)

는 공사슬 복합체이다.
* (곱 규칙) 모든 동차 원소

a,b\in A

에 대하여,

\mathrm d(ab)=(\mathrm da)b+(-1)^{\deg a}a(\mathrm db)

K

에 대한 가환 미분 등급 대수는 (자연수 등급의) 미분 등급 대수 가운데,

(-)^{\deg}

에 대한 등급 교환 법칙을 따르는 것이다. 즉,
:

ab=(-1)^{\deg a\deg b}ba

이다.

가환 미분 등급 대수(또는 CDGA)는 가환성의 등급 버전을 만족하는 미분 등급 대수

(A_\bullet, d)

이다. 즉,
:

a \cdot b = (-1)^

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b \cdot a
여기서

a \in A_i, b \in A_j

는 동차 원소이다. 수학에서 흔히 접하는 많은 DGA는 미분 형식의 드람 대수를 포함하여 CDGA이다.

2.1. 추상적 정의

가환환 K 위의 음이 아닌 차수 공사슬 복합체의 아벨 범주 $\operatorname{Ch}^{\ge0}(\operatorname{Mod}_K)$ 를 생각하자. 이는 텐서곱에 대하여 대칭 모노이드 범주를 이루며, 따라서 모노이드 대상과 가환 모노이드 대상을 정의할 수 있다.

미분 등급 대수는 $\operatorname{Ch}^{\ge0}(\operatorname{Mod}_K)$ 의 모노이드 대상이다. 가환 미분 등급 대수(可換微分等級代數, commutative differential graded algebra^영어, CDGA)는 $\operatorname{Ch}^{\ge0}(\operatorname{Mod}_K)$ 의 가환 모노이드 대상이다. 이들의 범주를 각각 $\operatorname{DGA}^{\ge0}_K$ 및 $\operatorname{CDGA}^{\ge0}_K$ 이라고 표기한다.

음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 대신, 모든 정수 차수의 공사슬 복합체를 사용할 수도 있다. 이들을 사용하여 얻는 범주를 각각 $\operatorname{DGA}^{\mathbb Z}_K$ 및 $\operatorname{CDGA}^{\mathbb Z}_K$ 라고 표기한다.

범주론을 사용하여 DGA를 더 추상적으로 정의할 수 있다. 객체가 체인 복합체이고 사상이 체인 맵인, 종종 $\operatorname{Ch}_k$ 로 표시되는 체인 복합체의 범주가 체 $k$ 위에 있다. 체인 복합체 $(V,d_V)$ 와 $(W,d_W)$ 의 텐서 곱을 다음과 같이 정의한다.
: $(V \otimes W)_n = \bigoplus_{i+j=n} V_i \otimes W_j$
미분은 다음과 같다.
: $d (v \otimes w) = (d_V v) \otimes w - (-1)^$

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v \otimes (d_W w)
이 연산은

\operatorname{Ch}_k

를 대칭 모노이드 범주로 만든다. 그런 다음, 차분 등급 대수를

\operatorname{Ch}_k

의 모노이드 객체로 동등하게 정의할 수 있다.

미분 등급 대수(differential graded algebra) 또는 줄여서 DG 대수는 등급 다항환 와 그 위의 등급 또는 중 어느 하나인 사상 의 쌍 이며, 다음 성질을 만족한다.

#

d \circ d=0

.
#

d(a \cdot b)=(da) \cdot b + (-1)^{\operatorname{deg}(a)}a \cdot (db)

, 단 는 각 제차원의 등급을 나타낸다.

이 정의를 더 간결하게 표현하면, 미분 등급 대수는 사슬 복합체 전체가 이루는 모노이드 범주에서의 모노이드 대상을 말한다. 미분 등급 대수 사이의 미분 등급 준동형 (DG 사상)이란 미분 와 호환되는 등급 다항환의 준동형을 의미한다.

미분 등급 augmented algebra^영어 (DGA 대수, 첨가 DG 대수, DGA)란, 계수환으로의 DG 사상을 갖춘 미분 등급 대수를 말한다(이 용어법은 앙리 카르탕에 의한 것이다).

2.2. 구체적 정의

$K$ 에 대한 미분 등급 대수 $(A, \mathrm d)$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* $\textstyle A=\bigoplus_{i\in\mathbb N}A_i$ 는 결합 $K$ -등급 대수이다.
* $d\colon A_i\to A_{i+1}$ 는 등급이 1인 $K$ -선형 변환이다.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

* (멱영성) $\mathrm d^2=0$ . 즉, $(A,\mathrm d)$ 는 공사슬 복합체이다.
* (곱 규칙) 모든 동차 원소 $a,b\in A$ 에 대하여, $\mathrm d(ab)=(\mathrm da)b+(-1)^{\deg a}a(\mathrm db)$

$K$ 에 대한 가환 미분 등급 대수는 (자연수 등급의) 미분 등급 대수 가운데, $(-)^{\deg}$ 에 대한 등급 교환 법칙을 따르는 것이다. 즉,
: $ab=(-1)^{\deg a\deg b}ba$
이다.

가환 미분 등급 대수(또는 CDGA)는 가환성의 등급 버전을 만족하는 미분 등급 대수 $(A_\bullet, d)$ 이다. 즉,
: $a \cdot b = (-1)^$

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b \cdot a
여기서

a \in A_i, b \in A_j

는 동차 원소이다. 수학에서 흔히 접하는 많은 DGA는 미분 형식의 드람 대수를 포함하여 CDGA이다.

미분 등급 augmented algebra^영어|첨가 대수}} (DGA 대수, 첨가 DG 대수, DGA)란, 계수환으로의 DG 사상을 갖춘 미분 등급 대수를 말한다(이 용어법은 앙리 카르탕에 의한 것이다).

3. 연산

3.1. 직접곱

가환환 $K$ 위의 (유한 개 또는 무한 개의) 미분 등급 대수들의 족 $(A^{(i)})_{i\in I}$ 이 주어졌을 때, 이들의 곱집합
: $A_n = \prod_{i\in I}A_n^{(i)}$
: $A = \bigoplus_{n\in\mathbb N}A_n$
은 미분 등급 대수를 이룬다.

3.2. 몫

가환환 $K$ 위의 미분 등급 대수 $A$ 의 미분 등급 아이디얼(differential graded ideal^영어) $\mathfrak a\subseteq A$ 는 다음 세 조건들을 모두 만족시키는 부분 집합이다.
* $A$ 의 양쪽 아이디얼이다.
* 등급 벡터 공간이다. 즉, 임의의 $a\in\mathfrak a$ 에 대하여, $\textstyle a=\sum_ia_i$ , $a_i\in A_i$ 라면, 모든 $i\in\mathbb N$ 에 대하여 $a_i\in \mathfrak a$ 이다.
* 공사슬 복합체이다. 즉, 임의의 $a\in\mathfrak a$ 에 대하여, $\mathrm da\in\mathfrak a$ 이다.
미분 등급 아이디얼 $\mathfrak a$ 가 주어졌을 때, 몫 미분 등급 대수(quotient differential graded algebra^영어) $A/\mathfrak a$ 를 정의할 수 있다. 반대로, 임의의 미분 등급 대수의 준동형 $A\to B$ 의 핵은 미분 등급 아이디얼을 이룬다.

3.3. 코호몰로지

미분 등급 대수의 코호몰로지 $\operatorname H^\bullet(A,\mathrm d)$ 는 $\mathrm d=0$ 인 미분 등급 대수를 이룬다. 모든 미분 등급 대수는 스스로의 코호몰로지로 가는 미분 등급 대수 준동형
: $[-]_A\colon A\to \operatorname H(A)$
을 갖는다.

임의의 미분 등급 대수 준동형 $f\colon A\to B$ 은 그 코호몰로지의 미분 등급 대수 준동형
: $f_* \colon \operatorname H(A)\to \operatorname H(B)$
을 유도한다.

만약 미분 등급 대수 준동형 $f$ 에 대하여, $f_*$ 가 동형 사상이라면, $f$ 를 유사동형(類似同型, quasi-isomorphism^영어)이라고 한다.

만약 $[-]_A\colon A\to \operatorname H(A)$ 가 유사동형이라면, $A$ 를 형식적 미분 등급 대수(形式的微分等級代數, formal differential graded algebra^영어)라고 한다.

연쇄 복합체 $(A_\bullet,d)$ 와 관련해서, 그 호몰로지에서 $d \circ d = 0$ 이므로, $\operatorname{im}(d:A_{i+1} \to A_i)$ 는 $\operatorname{ker}(d:A_i \to A_{i-1})$ 의 부분 집합이다. 따라서, 다음 몫을 구성할 수 있다.
: $H_i(A) = \operatorname{ker}(d:A_i \to A_{i-1}) / \operatorname{im}(d:A_{i+1} \to A_i)$
이것을 $i$ 번째 호몰로지 군이라고 부르며, 이들을 모두 합쳐서 $H_\bullet(A)$ 라는 등급 벡터 공간을 형성한다.

4. 성질

표수 0인 체 K 위에서, 자연수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 $\operatorname{CDGA}^{\ge0}_K$ 와 자연수 등급의 미분 등급 대수의 범주 $\operatorname{DGA}^{\ge0}_K$ 는 모형 범주 구조를 가진다. 이 구조에서 약한 동치는 유사동형이며, 올뭉치는 각 차수마다 전사 함수인 준동형이다. 모든 대상은 올대상이며, 쌍대올뭉치는 상대 설리번 대수의 왼쪽 역사상이다.

$\operatorname{DGA}^{\ge0}_K$ 의 경우, 망각 함자 $\operatorname{CDGA}^{\ge0}_K\to\operatorname{DGA}^{\ge0}_K$ 는 왼쪽 수반 함자를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자를 이룬다.

정수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 $\operatorname{CDGA}^{\mathbb Z}_K$ 의 경우에도 유사동형을 약한 동치로, 각 차수마다 전사 함수인 준동형을 올뭉치로 하는 모형 구조를 줄 수 있다.

만약 K가 표수 0이 아닐 경우, 위와 같은 정의들은 모형 범주 구조를 정의하지 못한다.

5. 종류

가환 미분 등급 대수(또는 CDGA)는 가환성의 등급 버전을 만족하는 미분 등급 대수이다. 즉,
: $a \cdot b = (-1)^$

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b \cdot a
여기서

a

와

b

는 동차 원소이다. 수학에서 흔히 접하는 많은 DGA는 미분 형식의 드람 대수를 포함하여 CDGA이다.

미분 등급 리 대수 (또는 DGLA)는 리 대수의 DG 유사체이다. 즉, 미분 등급 벡터 공간

(L_\bullet, d)

와 연산

[,]: L_i \otimes L_j \to L_{i+j}

로 구성되며, 이는 리 대수 공리의 등급 유사성을 만족한다. 즉,
* 등급 반대칭성:

[x,y] = -(-1)^

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[y,x] (균질 원소

x, y

에 대해)
* 등급 야코비 항등식:

(-1)^

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[x,[y,z]] +(-1)^

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[y,[z,x]] +(-1)^

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[z,[x,y]] = 0
* 등급 라이프니츠 규칙:

d [x,y] = [d x,y] + (-1)^

👆

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[x, d y]

DGLA의 예시는 일반 리 대수

\mathfrak{g}

와 텐서곱된 드람 대수이다. DGLA는 변형 이론에서 자주 등장하며, 표수 0인 체 위에서 "좋은" 변형 문제는 적절한 DGLA의 마우러-카르탕 원소로 설명된다.

5.1. 형식적 DGA

(코)체인 복합체 $C$ 에 대해, 이는 준동형 사상인 (코)호몰로지 $H_\bullet(C)$ (각각 H^\bullet(C))로의 체인 사상이 존재한다면 형식적이라고 한다. 미분 등급 대수(DGA) $A$ 가 준동형 사상인 DGA의 사상 $A \to H_\bullet(A)$ (각각 $A \to H^\bullet(A)$ )가 존재한다면 형식적이라고 한다. 이 개념은, 예를 들어, 유도 범주에서와 같이 준동형 체인 복합체 또는 DGA를 동치로 간주하려는 경우에 중요하다.

6. 예시

임의의 등급 대수 $A=\bigoplus\nolimits_i A_i$ 는 미분 $d=0$ 인 자명한 DGA의 구조를 갖는다. 특히, 임의의 DGA의 호몰로지/코호몰로지는 여전히 등급 대수이므로 자명한 DGA를 형성한다.

리 대수의 코쥘 복합체나 기저가 주어진 벡터 공간 $V$ 의 텐서 대수 $\operatorname T^\bullet(V)$ 역시 미분 등급 대수의 구조를 줄 수 있다.
* Koszul complex^영어는 차수 부여된 미분환이다.
* 텐서 대수 또한 코슐 복합체와 마찬가지로 미분을 갖는 차수 부여된 미분환이 된다.
* 위상 공간의, -계수특이 코호몰로지는 다음과 같이 차수 부여된 미분환이 된다. 복합체의 미분은 짧은 완전열 에 부속하는 Bockstein homomorphism^영어에 의해 주어지고, 환의 곱셈은 컵 곱에 의해 주어진다.
* 미분 가능 다양체 위의 미분 형식의 전체에 외미분과 외적을 넣어 차수 부여된 미분을 생각할 수 있다. 드 람 코호몰로지의 항을 참조.

6.1. 드람 대수

매끄러운 다양체 $M$ 위의 미분 형식 $\Omega^\bullet(M)$ 은 외미분과 쐐기곱을 통해 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우, 외미분 $d: \Omega^i(M) \to \Omega^{i+1}(M)$ 은 미분이 되기 위한 조건을 만족시킨다. 외대곱은 등급 가환적이므로, 드람 대수는 CDGA의 한 예가 된다.

위상 공간 $X$ 의 특이 코호몰로지 환 $\operatorname H^\bullet(X)$ 은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우 $\mathrm d$ 는 복시테인 준동형이며, 연산은 코호몰로지류의 컵곱이다. 미분 가능 다양체 위의 미분 형식의 전체에 외미분과 외적을 넣어 차수 부여된 미분을 생각할 수 있다.

6.2. 자유 DGA

$V$ 를 체 $k$ 위의 벡터 공간이라고 하자. 텐서 대수 $T(V)$ 는 텐서 곱 $\otimes$ 으로 주어지는 곱셈을 통해 등급 대수가 될 수 있다. 이는 $V$ 에 대한 자유 대수이며, $V$ 의 원소에 대한 비가환 다항식의 대수로 생각할 수 있다.

텐서 대수에 DGA 구조를 부여하기 위해, 임의의 선형 사상 $f: V \to k$ 를 고려한다. 이 사상은 특정 공식에 의해 차수 $-1$ 의 $T(V)$ 의 미분으로 유일하게 확장된다. 이 때, 우변의 마이너스 부호는 코줄 부호 규칙에 따라 발생한다.

이 구성은 미분 등급 벡터 공간으로 확장될 수 있다. $(V_\bullet,d_V)$ 를 미분 등급 벡터 공간이라고 하면, 텐서 대수 $T(V)$ 에 $V$ 에 대한 DG 구조를 확장하는 DGA 구조를 부여할 수 있다. 이때, $V$ 의 원소는 $T(V)$ 에서 차수 1로 제한되지 않고, 어떤 차수든 가질 수 있다.

6.3. 자유 CDGA

등급 벡터 공간 $V_\bullet$ 가 주어지면, 다음과 같이 자유 등급 가환 대수를 정의한다.

: $S(V) = \operatorname{Sym}\left( \bigoplus_{i=2k} V_i \right) \otimes \bigwedge \left( \bigoplus_{i=2k+1} V_i \right)$

여기서 $\operatorname{Sym}$ 는 대칭 대수를 나타내고 $\bigwedge$ 는 외대수를 나타낸다. DG 벡터 공간 $(V_\bullet, d)$ (상동적으로 또는 코호몰로지적으로 등급이 매겨짐)에서 시작하면, $d$ 를 $S(V)$ 로 확장하여 $(S(V),d)$ 가 고유한 방식으로 CDGA가 되도록 할 수 있다.

6.4. 특이 코호몰로지

위상 공간 $X$ 의 특이 코호몰로지 환 $\operatorname H^\bullet(X)$ 은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우 $\mathrm d$ 는 복시테인 준동형이며, 연산은 코호몰로지류의 컵 곱이다. 계수가 $\mathbb{Z} /p\mathbb{Z}$ 인 특이 코호몰로지는 복슈타인 준동형에 의해 미분이 주어지고, 컵 곱에 의해 곱이 주어지는 미분 등급 대수이다. 이 미분 등급 대수는 Eilenberg–MacLane 공간의 코호몰로지를 계산하는 데 사용되었다.

6.5. 코쥘 복합체

가환대수와 대수기하학에서 널리 사용되는 미분 등급 대수의 예시는 코쥘 복합체이다. 이는 완전 교차의 평탄 분해를 구성하는 것을 포함하여 광범위한 응용 분야를 가지고 있으며, 유도된 관점에서 유도 임계 궤적을 나타내는 유도 대수를 제공한다.

매끄러운 다양체 $M$ 위의 미분 형식 $\Omega^\bullet(M)$ 은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우, $\mathrm d$ 는 외미분이고, 대수 연산은 쐐기곱이다.

위상 공간 $X$ 의 특이 코호몰로지 환 $\operatorname H^\bullet(X)$ 은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우 $\mathrm d$ 는 복시테인 준동형이며, 연산은 코호몰로지류의 컵곱이다.

리 대수의 코쥘 복합체나 기저가 주어진 벡터 공간 $V$ 의 텐서 대수 $\operatorname T^\bullet(V)$ 역시 미분 등급 대수의 구조를 줄 수 있다.

7. 모델

DGA $A$ 가 주어졌을 때, 다른 DGA $M$ 이 준동형 사상인 전사 DGA 사상 $p : M \to A$ 를 가지고 있다면, $M$ 은 $A$ 의 모델이라고 한다.

7.1. 최소 모델

미분 등급 대수(DGA)에서 "가장 작은" 모델을 고려하는 것이 유용하며, 이러한 모델을 최소 모델이라고 한다. DGA $(A,d,\cdot)$ 가 다음 조건을 만족하면 최소라고 한다.

* 등급 대수로서 자유롭다. 즉, $A \cong T(V)$ (여기서 $V$ 는 등급 벡터 공간)이다.
* 미분은 $d(A) \subseteq A^+ \cdot A^+$ 를 만족한다. ( $A^+ = \bigoplus\nolimits_{i>0} \mathcal{A}_i$ 는 $A$ 의 양의 차수 부분)

일부 관례(주로 대수적 위상수학에서 사용)에 따르면, $A$ 는 단순 연결되어야 한다. 즉, $A^0=k$ 이고 $A^1=0$ 이어야 한다. 이는 단순 연결 공간의 (코)호몰로지에 일어나는 일을 반영한다.

$M$ 이 최소이고 $A$ 의 모델인 경우 $M$ 을 $A$ 에 대한 최소 모델이라고 한다. 최소 모델의 기본 정리에 따르면, 주어진 DGA $A$ 에 대해 최소 모델은 동형 사상까지 고유하며, $A$ 가 단순 연결된 경우 최소 모델을 허용한다.

7.2. 설리번 최소 모델

유리 호모토피론 연구는 데니스 설리번(Dennis Sullivan)이 최소 모델을 사용하면서 매우 성공적으로 진행되었다. 단순 복합체 $X$ 가 주어지면, $\mathbb{Q}$ -계수를 갖는 "조각별 다항식" 미분 형식의 DGA $A_{PL}(X)$ 를 정의할 수 있다. 이 경우, $A(X)$ 는 체 $\mathbb{Q}$ 위에 DGA의 구조를 가지며, 코호몰로지는 $X$ 의 특이 코호몰로지와 동형이다. 특히, $X$ 가 단일 연결 위상 공간이면 $A(X)$ 는 DGA로서 단일 연결이므로 최소 모델이 존재한다.

유한 차원 유리 호몰로지 군을 갖는 단일 연결 CW 복합체 $X$ 에 대해, $A_{PL}(X)$ 의 최소 모델은 공간 $X$ 의 유리 호모토피 유형을 완전히 포착한다.

유형	대수 구조
분야	호몰로지 대수학
관련 개념	미분 등급 리 대수 A-무한대 대수 코체인 복합체

추가 정보

영어 명칭	Differential graded algebra
일본어 명칭	次数付き微分代数 (지스우즈키비분다이스우)
한국어 명칭	미분 등급 대수