스토크스의 정리

1. 개요

스토크스의 정리는 유향 다양체의 적분과 미분 형식의 외미분 사이의 관계를 나타내는 중요한 정리이다. 콤팩트하게 지지된 (n-1)차 미분 형식 ω에 대해, n차원 유향 다양체 Ω의 경계 ∂Ω에서 ω의 적분과 Ω에서 dω의 적분은 같다. 3차원 공간에서 폐곡선에 대한 선적분은 그 곡선이 둘러싼 곡면에서 벡터장의 회전의 면적분과 같다는 켈빈-스토크스 정리와 2차원 평면에서 폐곡선에 대한 선적분과 이중적분 사이의 관계를 나타내는 그린 정리, 그리고 부피 형식에 대한 스토크스 정리의 특수한 형태인 발산 정리가 있다. 스토크스 정리는 비회전장과 보존력, 맥스웰 방정식 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 정의

Ω가 경계를 가진 n차원 유향 다양체이고, ω가 Ω 위에 정의된 (n-1)차 미분 형식이며, 콤팩트 지지를 가진다고 하자. ∂Ω를 Ω의 경계라고 하면, 다음 등식이 성립한다. 이 등식을 스토크스의 정리라고 한다.

:$\backslash int\_\backslash Omega\; \backslash mathrm\; \{d\}\backslash omega\; =\; \backslash oint\_\{\backslash partial\; \backslash Omega\}\; \backslash omega$

여기서 $\backslash mathrm\; \{d\}$는 미분 형식의 외미분이다.

미적분학의 기본정리는 구간 [a, b] 위의 함수 f의 적분은 f의 부정적분 F를 찾는 것으로 계산할 수 있다는 정리이다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\; dx\; =\; F(b)\; -\; F(a)$

스토크스의 정리는 이 정리를 다음과 같이 일반화한다.

* F가 $\backslash scriptstyle\; \backslash frac\{dF\}\{dx\}=f(x)$ 로 결정되는 것에서, 미분 형식의 관점에서 보면 f(x)dx는 0-형식(0-form)의 외미분이 된다. 즉, 함수 F에 대해 dF = f dx이다. 일반화된 스토크스 정리는 F 대신 더 높은 차수의 미분 형식에도 적용 가능하다.
* 폐구간 [a, b]는 경계를 갖는 일차원 매끄러운 다양체의 간단한 예이다. 경계는 두 점 a, b로 이루어진 집합이다. 구간 위의 함수 f를 적분하는 것은 고차원 다양체 위에서 미분 형식을 적분하는 것으로 일반화할 수 있다. 다양체가 방향을 가져야 하고, 적분이 잘 정의되기 위해 미분 형식은 콤팩트 지지이어야 한다는 두 가지 기술적인 조건이 필요하다.
* 두 점 a, b는 구간 [a, b]의 경계이다. 더 일반적으로, 스토크스의 정리는 경계를 갖는 유향 다양체 M에 적용된다. M의 경계인 ∂M은 그 자체로 다양체가 되고, M이 방향성을 가짐에 따라 자연스럽게 유향 다양체를 이룬다. 예를 들어 주어진 구간의 방향은 두 경계점의 방향을 준다. 직관적으로, 점 a는 점 b 방향으로 방향을 가진다고 볼 수 있다.

그러므로 기본정리는 다음과 같이 해석된다.

:$\backslash int\_\{[a,\; b]\}\; f(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash int\_\{[a,\; b]\}\; dF\; =\; \backslash int\_\{\backslash \{a\backslash \}^-\; \backslash cup\; \backslash \{b\backslash \}^+\}\; F\; =\; F(b)\; -\; F(a).$

3. 특수한 경우

미적분학의 기본정리는 구간 $[a,\; b]$ 위의 함수 $f$의 적분을 $f$의 부정적분 $F$를 통해 계산할 수 있다는 정리이다.
:$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\; dx\; =\; F(b)\; -\; F(a)$
스토크스의 정리는 이 정리를 다음과 같이 일반화한다.
* $F$가 $\backslash scriptstyle\; \backslash frac\{dF\}\{dx\}=f(x)$로 결정된다는 것은, 미분 형식의 관점에서 $f(x)\; dx$가 0-형식(0-form)의 외미분(exterior derivative)이 됨을 의미한다. 즉, 함수 $F$에 대해 $dF\; =\; f\; dx$이다. 일반화된 스토크스 정리는 $F$ 대신 더 높은 차수의 미분 형식에도 적용된다.
* 폐구간 $[a,\; b]$는 경계를 갖는 1차원 매끄러운 다양체(one-dimensional manifold with boundary)의 간단한 예이며, 경계는 두 점 $a,\; b$로 이루어진다. 구간 위 함수 $f$의 적분은 고차원 다양체 위에서 미분 형식을 적분하는 것으로 일반화 가능하다. 이때, 다양체는 방향을 가져야 하고, 적분이 잘 정의되기 위해 미분 형식은 콤팩트 지지여야 한다.
* 두 점 $a,\; b$는 구간 $[a,\; b]$의 경계를 이룬다. 일반적으로 스토크스의 정리는 경계를 갖는 유향 다양체 $M$에 적용된다. $M$의 경계 $\backslash partial\; M$은 자체로 다양체가 되며, $M$의 방향성에 따라 자연스럽게 유향 다양체가 된다. 예를 들어 구간의 방향은 두 경계점의 방향을 결정한다.

경계를 가진 n차원 유향 매끄러운 다양체 $\backslash Omega$에 대해, $\backslash omega$가 $\backslash Omega$ 위에 정의된 (n−1)차 미분 형식이고 콤팩트 지지라고 하자. $\backslash partial\backslash Omega$를 $\backslash Omega$의 경계라고 하면, 다음 등식이 성립하며, 이를 스토크스의 정리라고 한다.
:$\backslash int\_\backslash Omega\; \backslash mathrm\; \{d\}\backslash omega\; =\; \backslash oint\_\{\backslash partial\; \backslash Omega\}\; \backslash omega$
여기서 $\backslash mathrm\; \{d\}$는 미분 형식의 외미분이다.

스토크스 정리는 특정 조건에서 더 간단한 형태로 나타낼 수 있으며, 다음 항등식의 특수한 경우로 볼 수 있다.
$$\backslash oint\_\{\backslash partial\backslash Sigma\}\; (\backslash mathbf\{F\}\backslash ,\; \backslash cdot\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\{\backslash mathbf\{\backslash Gamma\}\})\backslash ,\backslash mathbf\{g\}\; =\; \backslash iint\_\{\backslash Sigma\}\backslash left[\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{\backslash Sigma\}\backslash cdot\backslash left(\; \backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{F\}-\; \backslash mathbf\{F\}\backslash times\backslash nabla\backslash right)\backslash right]\backslash mathbf\{g\},$$
여기서 $\backslash mathbf\{g\}$는 $\backslash mathbb\{R\}^3$에서 임의의 매끄러운 벡터 또는 스칼라 장이다. $\backslash mathbf\{g\}$가 균일한 스칼라 장일 때 표준적인 스토크스 정리가 얻어진다.

3.1. 켈빈-스토크스 정리

Kelvin–Stokes theorem^영어라고도 하는 켈빈-스토크스 정리는, 3차원 공간상의 폐곡선에서 수행되는 선적분은 그 폐곡선이 둘러싼 임의의 곡면에서의 회전의 면적분으로 변환될 수 있다는 정리이다. 역도 가능하다.

:$\backslash oint\_\{\backslash partial\; R\}\{\backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{r\}\}\; =\; \backslash iint\_\{R\}\{\backslash operatorname\{curl\}\backslash ,\backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{S\}\}$

좀 더 구체적으로 설명하면, 경계 $\backslash partial\; \backslash Sigma\; \backslash equiv\; \backslash Gamma$를 갖는 R^3의 매끄러운 유향 곡면 $\backslash Sigma$에 대해, 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}(x,y,z)\; =\; (F\_x(x,\; y,\; z),\; F\_y(x,\; y,\; z),\; F\_z(x,\; y,\; z))$가 정의되고 $\backslash Sigma$를 포함하는 영역에서 연속적인 1차 편도함수를 가지면 다음이 성립한다.

:$$$$
\iint_\Sigma (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot
\mathrm{d}\mathbf{\Gamma}.


이 등식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:$$$$
{\scriptstyle
\begin{align}
&\iint_\Sigma \left(\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} \right)\,\mathrm{d}y\, \mathrm{d}z +\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\, \mathrm{d}z\, \mathrm{d}x +\left (\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\right) \\
& = \oint_{\partial\Sigma} \Bigl(F_x\, \mathrm{d}x+F_y\, \mathrm{d}y+F_z\, \mathrm{d}z\Bigr).
\end{align}
}


이 정리는 3차원 공간에서 폐곡선에서의 선적분은 그 곡선이 둘러싼 곡면에서의 벡터장의 회전의 면적분과 같다는 내용을 담고 있으며, 전자기학에서 패러데이 법칙과 앙페르 법칙을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

3.2. 그린 정리

그린 정리는 2차원 평면에서 폐곡선에서의 선적분과 이중적분 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이는 켈빈-스토크스 정리의 2차원 특수한 경우에 해당하며, 유체역학, 열역학 등에서 유용하게 사용된다. 그린 정리는 2차원 다양체에 대한 스토크스 정리의 특수한 형태로 볼 수 있으며, 스토크스 정리로부터 바로 유도된다.

3.3. 발산 정리

발산 정리는 유클리드 공간에서 부피 형식(volume form)에 대한 스토크스 정리의 특수한 형태이다.

4. 증명

스토크스 정리의 증명은 일반적으로 미분 형식과 다양체의 이론을 사용하여 엄밀하게 증명할 수 있다. 하지만, 여기서는 기본적인 벡터 미적분학 지식만으로 이해할 수 있는 증명 방법을 제시한다. 증명은 다음 4단계로 구성된다. 미분 형식을 이용한 증명 방법도 존재한다.

1단계: $\backslash mathbf\{P\}(u,v)$ 정의하기

$\backslash mathbf\{P\}(u,v)\; =\; \backslash left(\backslash mathbf\{F\}(\backslash boldsymbol\{\backslash psi\}(u,v))\backslash cdot\backslash frac\{\backslash partial\backslash boldsymbol\{\backslash psi\}\}\{\backslash partial\; u\}(u,v)\backslash right)\backslash mathbf\{e\}\_u\; +\; \backslash left(\backslash mathbf\{F\}(\backslash boldsymbol\{\backslash psi\}(u,v))\backslash cdot\backslash frac\{\backslash partial\backslash boldsymbol\{\backslash psi\}\}\{\backslash partial\; v\}(u,v)\; \backslash right)\backslash mathbf\{e\}\_v$

:$\backslash mathbf\{P\}(u,v)=(\{P\}\_\{1\}(u,v),\; \{P\}\_\{2\}(u,v))$를 $\backslash mathbf\{P\}$가 "$\backslash textbf\{F\}$의 당겨옴"이 되도록 정의한다.

$\backslash mathbf\{P\}(u,v)$는 $\backslash mathbb\{R\}^\{2\}$에 값을 가지는 함수이며, 두 개의 매개변수 u , v를 갖는다.

2단계: $\{\backslash oint\}\_\{\backslash Gamma\}\; \backslash mathbf\{F\}\; d\backslash Gamma=\; \{\backslash oint\}\_\{\backslash gamma\}\; (\backslash mathbf\{F\}\backslash circ\backslash psi)\; d\backslash gamma$ 증명

$\backslash psi$와 $\backslash gamma$를 정리 섹션에서 정의한 것과 같이 변수 변환을 적용하면,

$$\backslash oint\_\{\backslash partial\backslash Sigma\}\{\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{x\})\backslash cdot\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{\backslash Gamma\}\}$$
= \oint_{\gamma}{\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{\gamma}))\cdot\,\mathrm{d}\boldsymbol{\psi}(\mathbf{\gamma})}
= \oint_{\gamma}{\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))\cdot J_{\mathbf{y}}(\boldsymbol{\psi})\,\mathrm{d}\gamma}

여기서 $J\_\{\backslash mathbf\{y\}\}(\backslash boldsymbol\{\backslash psi\})$는 $\backslash mathbf\{y\}$에서 $\backslash boldsymbol\{\backslash psi\}$의 야코비 행렬을 나타낸다.

$\backslash \{\backslash mathbf\{e\}\_u,\; \backslash mathbf\{e\}\_v\backslash \}$를 $\backslash mathbb\{R\}^2$의 좌표 방향에 대한 정규 직교 기저라고 하고, $J\_\{\backslash mathbf\{y\}\}(\backslash boldsymbol\{\backslash psi\})$의 열이 $\backslash mathbf\{y\}$에서 $\backslash boldsymbol\{\backslash psi\}$의 편도함수라는 것을 이용하여 이전 방정식을 좌표로 전개하면 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\oint_{\partial\Sigma}{\mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{\Gamma}}
&=\oint_{\gamma}{\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))J_{\mathbf{y}}(\boldsymbol{\psi})\mathbf{e}_u(\mathbf{e}_u\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{y}) + \mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))J_{\mathbf{y}}(\boldsymbol{\psi})\mathbf{e}_v(\mathbf{e}_v\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{y})} \\
&=\oint_{\gamma}{\left(\left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial u}(\mathbf{y})\right)\mathbf{e}_u + \left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial v}(\mathbf{y})\right)\mathbf{e}_v\right)\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{y}}
\end{align}

3단계: $$
\iint_{\mathbb{S}} \nabla\times\mathbf{F}\ d\mathbb{S}
=\iint_{D} \left( \frac{\partial {P}_{2}}{\partial u} - \frac{\partial {P}_{1}}{\partial v} \right) dudv
증명

먼저, 그린 정리에 나타나는 편도함수를 곱 규칙을 통해 계산한다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\frac{\partial P_u}{\partial v} &= \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol{\psi})}{\partial v}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} + (\mathbf{F}\circ \boldsymbol\psi) \cdot\frac{\partial^2 \boldsymbol\psi}{\partial v \, \partial u} \\[5pt]
\frac{\partial P_v}{\partial u} &= \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol{\psi})}{\partial u}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v} + (\mathbf{F}\circ \boldsymbol\psi) \cdot\frac{\partial^2 \boldsymbol\psi}{\partial u \, \partial v}
\end{align}

혼합 편도함수의 등식에 의해 두 번째 항은 차이에서 사라진다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v}
&= \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol{\psi})}{\partial u}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v} - \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol{\psi})}{\partial v}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} \\[5pt]
&= \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}\cdot(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} - \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u}\cdot(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v} && \text{(체인 규칙)}\\[5pt]
&= \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}\cdot\left(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F}-{(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})}^{\mathsf{T}}\right)\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u}
\end{align}


여기서 이차 형식의 행렬 $J\_\{\backslash boldsymbol\backslash psi(u,v)\}\backslash mathbf\{F\}-(J\_\{\backslash boldsymbol\backslash psi(u,v)\}\backslash mathbf\{F\})^\{\backslash mathsf\{T\}\}$은 외적을 설명한다.

$\{(J\_\{\backslash boldsymbol\backslash psi(u,v)\}\backslash mathbf\{F\})\}$를 대입하면,

$$\backslash left(\{(J\_\{\backslash boldsymbol\backslash psi(u,v)\}\backslash mathbf\{F\})\}\; -\; \{(J\_\{\backslash boldsymbol\backslash psi(u,v)\}\backslash mathbf\{F\})\}^\{\backslash mathsf\{T\}\}\; \backslash right)\; \backslash mathbf\{x\}\; =(\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{F\})\backslash times\; \backslash mathbf\{x\},\; \backslash quad\; \backslash text\{for\; all\}\backslash ,\; \backslash mathbf\{x\}\backslash in\backslash R^\{3\}$$

편도함수의 차이를 (스칼라) 삼중 곱으로 나타낼 수 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v}
&= \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) \times \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}
\end{align}

곡면 적분의 정의에는 삼중 곱이 포함되어 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\iint_\Sigma (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \, d\mathbf{\Sigma}
&=\iint_D {(\nabla\times\mathbf{F})(\boldsymbol\psi(u,v))\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u}(u,v)\times \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}(u,v)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v}
\end{align}

따라서,

$$\backslash iint\_\backslash Sigma\; (\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{F\})\backslash cdot\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{\backslash Sigma\; \}\; =\; \backslash iint\_D\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\; P\_v\}\{\backslash partial\; u\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; P\_u\}\{\backslash partial\; v\}\; \backslash right)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}u\backslash ,\backslash mathrm\{d\}v$$

4단계: 그린 정리로 귀결

2단계와 3단계의 결과를 그린 정리에 대입하면 스토크스 정리를 얻을 수 있다.

미분 형식을 이용하면, 함수 $\backslash mathbf\{F\}$에 연관된 미분 1-형식을 $\backslash omega\_\{\backslash mathbf\{F\}\}$라고 할 때,

$$\backslash star\backslash omega\_\{\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{F\}\}=\backslash mathrm\{d\}\backslash omega\_\{\backslash mathbf\{F\}\},$$

여기서 $\backslash star$는 호지 쌍대이고 $\backslash mathrm\{d\}$는 외미분이다. 따라서 일반화된 스토크스 정리에 의해,

$$\backslash oint\_\{\backslash partial\backslash Sigma\}\{\backslash mathbf\{F\}\backslash cdot\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{\backslash gamma\}\}$$
=\oint_{\partial\Sigma}{\omega_{\mathbf{F}}}
=\int_{\Sigma}{\mathrm{d}\omega_{\mathbf{F}}}
=\int_{\Sigma}{\star\omega_{\nabla\times\mathbf{F}}}
=\iint_{\Sigma}{\nabla\times\mathbf{F}\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}}

5. 응용

스토크스 정리는 미적분학의 기본정리를 일반화한 것으로, 다양한 분야에 응용된다. 특히, 3차원 공간에서 폐곡선에 대한 선적분을 해당 폐곡선이 둘러싼 곡면에서의 면적분으로 변환하는 켈빈-스토크스 정리(Kelvin–Stokes theorem^영어)가 대표적이다.
:$\backslash oint\_\{\backslash partial\; R\}\{\backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{r\}\}\; =\; \backslash iint\_\{R\}\{\backslash operatorname\{curl\}\backslash ,\backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{S\}\}$
이는 그린 정리를 통해 증명될 수 있다.

스토크스 정리는 층상 벡터장(보존력장)에서 스칼라 포텐셜의 유일성을 증명하고, 전자기학에서 맥스웰 방정식의 미분형과 적분형 사이의 관계를 설명하는 데에도 사용된다.

5.1. 비회전장 (Irrotational Fields)

Irrotational Fields^영어는 라멜라 벡터장이라고도 불리며, 열린 집합 $U\backslash subseteq\backslash R^3$에서 매끄러운 벡터장 F가 $\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{F\}\; =\; 0$을 만족하는 경우를 말한다.

이러한 비회전장은 단일 연결 공간에서 보존 벡터장이 된다는 중요한 성질을 가진다. 이는 헬름홀츠 정리를 통해 설명될 수 있는데, 헬름홀츠 정리는 스토크스 정리를 활용하여 비회전장의 특성을 규명한다.

헬름홀츠 정리에 따르면, 라멜라 벡터장 F를 갖는 열린 집합의 부분 집합 $U\backslash subseteq\backslash R^3$와 조각별로 매끄러운 루프 $c\_0,\; c\_1$에 대해, 특정 조건을 만족하는 함수 $H$가 존재하면 다음이 성립한다.

:$\backslash int\_\{c\_0\}\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}c\_0=\backslash int\_\{c\_1\}\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}c\_1$

여기서 함수 $H$는 다음과 같은 조건을 만족해야 한다.
* [TLH0] $H$는 조각별로 매끄럽다.
* [TLH1] 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 0)\; =\; c\_0(t)$이다.
* [TLH2] 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 1)\; =\; c\_1(t)$이다.
* [TLH3] 모든 $s\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(0,\; s)\; =\; H(1,\; s)$이다.

이러한 관계를 호모토피라고 부르기도 하지만, 일반적인 호모토피의 정의와는 차이가 있어, "관형 호모토피"라는 용어를 사용하기도 한다.

헬름홀츠 정리는 단일 연결 공간에서 보존력에 의해 물체의 위치가 변할 때 행해지는 일이 경로에 의존하지 않는 이유를 설명해준다. 즉, 단일 연결 공간에서는 비회전장의 선적분 값이 경로에 무관하게 0이 된다.

5.2. 맥스웰 방정식

전자기학에서 맥스웰 방정식의 미분형과 적분형 사이의 관계는 스토크스 정리, 더 구체적으로는 켈빈-스토크스 정리를 통해 설명된다. 켈빈-스토크스 정리는 3차원 공간에서 폐곡선에 대한 선적분을 해당 폐곡선이 둘러싼 임의의 곡면에서의 면적분으로 변환하며, 그 반대도 가능하다.

* 패러데이 법칙: 전기장 $\backslash mathbf\{E\}$에 대한 스토크스 정리는 다음과 같다.

:$\backslash oint\_\{\backslash partial\backslash Sigma\}\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\backslash boldsymbol\{l\}=\; \backslash iint\_\backslash Sigma\; \backslash mathbf\{\backslash nabla\}\backslash times\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{S\}\; .$

* 암페어 법칙: 자기장 $\backslash mathbf\{B\}$에 대한 스토크스 정리는 다음과 같다.

:$\backslash oint\_\{\backslash partial\backslash Sigma\}\; \backslash mathbf\{B\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\backslash boldsymbol\{l\}=\; \backslash iint\_\backslash Sigma\; \backslash mathbf\{\backslash nabla\}\backslash times\; \backslash mathbf\{B\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{S\}\; .$

이러한 관계는 맥스웰 방정식의 미분형과 적분형이 서로 동등함을 보여준다.

5.3. 보존력

보존력이 작용하는 공간에서 물체가 이동할 때 한 일은 경로에 무관하며, 이는 스토크스 정리를 통해 설명된다. 단일 연결 공간에서 회전이 0인 벡터장은 보존 벡터장이 되며, 그 벡터장의 선적분은 경로에 무관하다.

열린 집합 $U\backslash subseteq\backslash R^3$에서 매끄러운 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}$가 $\nabla \; \times \; \backslash mathbf\{F\}\; =\; 0$이면, 이 벡터장을 '비회전'(라멜라 벡터장)이라고 한다.

$U\backslash subseteq\backslash R^3$를 열린 집합의 부분 집합인 단일 연결 공간이라 하고, 람멜라 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}$를 갖는다고 하자. $c\_0,\; c\_1:\; [0,\; 1]\; \backslash rightarrow\; U$를 조각별로 매끄러운 루프라고 하자. 만약 다음 조건을 만족하는 함수 $H:\; [0,\; 1]\; \backslash times\; [0,\; 1]\; \backslash rightarrow\; U$가 존재한다면:

* [TLH0] $H$는 조각별로 매끄럽다.
* [TLH1] 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 0)\; =\; c\_0(t)$이다.
* [TLH2] 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 1)\; =\; c\_1(t)$이다.
* [TLH3] 모든 $s\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(0,\; s)\; =\; H(1,\; s)$이다.

다음이 성립한다.
:$\backslash int\_\{c\_0\}\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}c\_0=\backslash int\_\{c\_1\}\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}c\_1$

이러한 $c\_0$와 $c\_1$ 간의 관계를 호모토피라고 하고, 함수 $H$를 "$c\_0$와 $c\_1$ 사이의 호모토피"라고 부르기도 한다. 하지만 이는 일반적인 호모토피 정의보다 더 엄격한 조건([TLH3] 조건)을 포함하므로, 여기서는 "관형 호모토피"라고 부른다.

$U\backslash subseteq\backslash R^3$를 열린 부분 집합으로 하고, 람멜라 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}$와 조각별로 매끄러운 루프 $c\_0:\; [0,\; 1]\; \backslash rightarrow\; U$를 갖는다고 하자. 점 $\backslash mathbf\{p\}\; \backslash in\; U$를 고정하면, 다음과 같은 조건을 만족하는 호모토피 $H:\; [0,\; 1]\; \backslash times\; [0,\; 1]\; \backslash rightarrow\; U$가 존재한다고 가정하자.

* [SC0] $H$는 조각별로 매끄럽다.
* [SC1] 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 0)\; =\; c\_0(t)$이다.
* [SC2] 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 1)\; =\; \backslash mathbf\{p\}$이다.
* [SC3] 모든 $s\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(0,\; s)\; =\; H(1,\; s)\; =\; \backslash mathbf\{p\}$이다.

그러면 다음이 성립한다.
:$\backslash int\_\{c\_0\}\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}c\_0=0$

단일 연결 공간 $M\backslash subseteq\backslash R^n$은 비어 있지 않고 경로 연결되어 있으며, 모든 연속 루프 $c:\; [0,\; 1]\; \backslash rightarrow\; M$에 대해, $c$에서 고정된 점 $\backslash mathbf\{p\}\; \backslash in\; M$까지의 연속적인 관형 호모토피 $H:\; [0,\; 1]\; \backslash times\; [0,\; 1]\; \backslash rightarrow\; M$가 존재한다. 즉, 다음 조건을 만족한다.

* [SC0'] $H$는 연속적이다.
* [SC1] 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 0)\; =\; c(t)$이다.
* [SC2] 모든 $t\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(t,\; 1)\; =\; \backslash mathbf\{p\}$이다.
* [SC3] 모든 $s\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 $H(0,\; s)\; =\; H(1,\; s)\; =\; \backslash mathbf\{p\}$이다.

단일 연결 공간에서는 [SC1-3]을 만족하는 연속적인 호모토피의 존재만 보장되지만, Whitney의 근사 정리를 통해 규칙성의 간극을 메울 수 있다. 즉, 연속적인 호모토피를 조각별 매끄러운 호모토피로 근사할 수 있다.

따라서, 열린 집합 $U\backslash subseteq\backslash R^3$이 단일 연결 공간이고, 회전이 없는 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}$를 갖는다면, 모든 조각별로 매끄러운 루프 $c:\; [0,1]\; \backslash rightarrow\; U$에 대해 다음이 성립한다.
:$\backslash int\_\{c\}\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}c\; =\; 0$