다듬은 정육면체

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1. 개요
2. 구성
- 2.1. 데카르트 좌표
3. 성질
- 3.1. 수치적 성질
- 3.2. 그래프
4. 관련 다면체
참조

1. 개요

다듬은 정육면체는 32개의 정삼각형 면과 6개의 정사각형 면으로 이루어진 아르키메데스 다면체의 일종이다. 각 꼭짓점에는 4개의 정삼각형과 1개의 정사각형이 만나며, 꼭짓점 도형은 3⁴·4이다. 다듬은 정육면체는 키랄성을 가지며, 두 가지 거울상 형태가 존재한다. 회전 팔면체 대칭을 가지며, 쌍대 다면체는 오각 이십사면체이다. 다듬은 정육면체는 정육면체의 여섯 면을 바깥쪽으로 당겨 회전시켜 정삼각형으로 채우거나, 마름모 입방 팔면체 또는 절단된 입방 팔면체에서 파생될 수 있다.

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다듬은 정육면체
개요
스너브 큐브의 두 가지 형태
종류	아르키메데스 고체
면의 수	38
변의 수	60
꼭짓점의 수	24
대칭성	회전 정팔면체 대칭 O
각도	삼각형-삼각형: 153.23°
각도	삼각형-사각형: 142.98°
쌍대	오각이십사면체
속성	볼록 집합, 카이랄성
꼭짓점 도형	Polyhedron snub 6-8 left vertfig.svg
전개도	Polyhedron snub 6-8 left net.svg
슐레플리 기호	sr{4, 3}
위토프 기호	\| 2 3 4
명칭
영어	Snub cube
영어 (대체)	Snub cuboctahedron
일본어	変形立方体 (헨케이 릿포타이)

2. 구성

깎은 정육면체는 정육면체의 여섯 면을 바깥쪽으로 당겨서 더 이상 닿지 않도록 한 다음, 각 면의 중심을 기준으로 약간 회전시켜(모두 시계 방향 또는 모두 시계 반대 방향) 그 사이의 공간을 정삼각형으로 채울 수 있도록 하여 생성할 수 있다.

깎은 정육면체는 마름모 입방 팔면체에서 정사각형 면을 비틀어 만들 수도 있다. 이때, 삼각형은 자동으로 반대 방향으로 비틀어져 다른 정사각형 면을 두 개의 정삼각형으로 채울 수 있는 빗변 사변형을 형성한다.

깎은 정육면체는 절단된 입방 팔면체에서 교대 과정을 통해 파생될 수도 있는데, 절단된 입방 팔면체의 24개의 꼭짓점은 깎은 정육면체와 위상학적으로 동등한 다면체를 형성하고, 나머지 24개의 꼭짓점은 그 거울상을 형성한다. 결과적으로 얻어진 다면체는 꼭짓점-추이이지만 균일하지 않다.

2. 1. 데카르트 좌표

데카르트 좌표계에서 다듬은 정육면체의 꼭짓점은 다음 좌표들의 짝수 순열과 홀수 홀순열로 표현된다.

:

\left(\pm 1, \pm \frac{1}{t}, \pm t \right)

여기서

t \approx 1.83929

는 트리보나치 상수이다. 플러스 기호 개수가 홀수인 짝수 순열과 짝수인 홀수 순열은 원래 다듬은 정육면체의 거울상이다. 이들을 함께 취하면 두 다듬은 정육면체의 화합물이 된다.

이 다듬은 정육면체의 변의 길이

\alpha

는

\alpha = \sqrt{2+4t-2t^2}

이며, 다음 방정식을 만족한다.

:

\alpha^6-4\alpha^4+16\alpha^2-32=0

이는 아래와 같이 표현할 수도 있다.

:

\begin{align}\alpha &= \sqrt{\frac{4}{3}-\frac{16}{3\beta}+\frac{2\beta}{3}}\approx 1.60972 \\\beta &= \sqrt[3]{26+6\sqrt{33}}.\end{align}

단위 변의 길이를 갖는 다듬은 정육면체를 얻으려면, 위의 모든 좌표를

\alpha

값으로 나누면 된다.

3. 성질

다듬은 정육면체는 아르키메데스 다면체 중 하나로, 32개의 정삼각형 면과 6개의 정사각형 면으로 이루어져 있다. 각 꼭짓점에는 4개의 정삼각형과 1개의 정사각형이 만나며, 꼭짓점 도형은 $3^4 \cdot 4$ 로 표현된다.

다듬은 정육면체는 키랄성을 가지는 다면체로, 서로 거울상 관계인 두 가지 형태가 존재한다. 회전 팔면체 대칭 $\mathrm{O}$ 를 가지며, 쌍대 다면체는 오각 이십사면체이다.^[1]

3. 1. 수치적 성질

모서리 길이가

a

인 다듬은 정육면체의 겉넓이(

A

)와 부피(

V

)는 다음과 같다.

:

\begin{align}A &= \left(6+8\sqrt{3}\right)a^2 &\approx 19.856a^2 \\V &= \frac{8t+6}{3\sqrt{2(t^2-3)}}a^3 &\approx 7.889a^3.\end{align}

성질	값
겉넓이	$(8\sqrt{3}+6)a^2$
외접구 반지름	한 변의 길이를 2로 하면 약 2.687426747
뒤틀림 각	16.4675604003863

3. 2. 그래프

깎은 정육면체의 골격은 24개의 꼭짓점과 60개의 변을 가진 그래프로 나타낼 수 있으며, 이는 아르키메데스 그래프이다.^[1]

4. 관련 다면체

깎은 정육면체는 정육면체의 여섯 면을 바깥쪽으로 당겨 더 이상 닿지 않도록 한 다음, 각 면의 중심을 기준으로 약간 회전시켜 그 사이의 공간을 정삼각형으로 채울 수 있도록 하여 생성할 수 있다.

깎은 정육면체는 또한 마름모 입방 팔면체에서 구성될 수 있는데, 파란색 정사각형 면을 비틀어 시작하여 삼각형(빨간색)이 자동으로 반대 방향으로 비틀어지도록 하여 다른 정사각형 면(흰색)을 두 개의 정삼각형으로 채울 수 있는 빗변 사변형을 형성한다.

절단된 입방 팔면체에서 교대 과정을 통해 깎은 정육면체를 파생할 수도 있다. 절단된 입방 팔면체의 24개의 꼭짓점은 깎은 정육면체와 위상학적으로 동등한 다면체를 형성하고, 나머지 24개의 꼭짓점은 그 거울상을 형성한다. 결과적으로 얻어진 다면체는 꼭짓점-추이이지만 균일하지 않다.

참조

_[1] 서적 An Atlas of Graphs Oxford University Press
_[2] 논문 Regular-faced convex polyhedra
_[3] 서적 The Symmetries of Things https://books.google[...] CRC Press
_[4] 서적 Numbers in Minutes https://books.google[...] Hachette
_[5] 서적 Polyhedra https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[6] 서적 Multi-shell Polyhedral Clusters https://books.google[...] Springer Science+Business Media|Springer
_[7] 서적 Geometry: Our Cultural Heritage https://books.google[...] Springer Science+Business Media|Springer
_[8] 서적 Mathematical Physics: Proceedings of the 13th Regional Conference, Antalya, Turkey, 27–31 October 2010 World Scientific
_[9] 서적 The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design https://archive.org/[...] Dover Publications, Inc.

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