다듬은 정육면체

1. 개요

다듬은 정육면체는 32개의 정삼각형 면과 6개의 정사각형 면으로 이루어진 아르키메데스 다면체의 일종이다. 각 꼭짓점에는 4개의 정삼각형과 1개의 정사각형이 만나며, 꼭짓점 도형은 3⁴·4이다. 다듬은 정육면체는 키랄성을 가지며, 두 가지 거울상 형태가 존재한다. 회전 팔면체 대칭을 가지며, 쌍대 다면체는 오각 이십사면체이다. 다듬은 정육면체는 정육면체의 여섯 면을 바깥쪽으로 당겨 회전시켜 정삼각형으로 채우거나, 마름모 입방 팔면체 또는 절단된 입방 팔면체에서 파생될 수 있다.

2. 구성

깎은 정육면체는 정육면체의 여섯 면을 바깥쪽으로 당겨서 더 이상 닿지 않도록 한 다음, 각 면의 중심을 기준으로 약간 회전시켜(모두 시계 방향 또는 모두 시계 반대 방향) 그 사이의 공간을 정삼각형으로 채울 수 있도록 하여 생성할 수 있다.

깎은 정육면체는 마름모 입방 팔면체에서 정사각형 면을 비틀어 만들 수도 있다. 이때, 삼각형은 자동으로 반대 방향으로 비틀어져 다른 정사각형 면을 두 개의 정삼각형으로 채울 수 있는 빗변 사변형을 형성한다.

깎은 정육면체는 절단된 입방 팔면체에서 교대 과정을 통해 파생될 수도 있는데, 절단된 입방 팔면체의 24개의 꼭짓점은 깎은 정육면체와 위상학적으로 동등한 다면체를 형성하고, 나머지 24개의 꼭짓점은 그 거울상을 형성한다. 결과적으로 얻어진 다면체는 꼭짓점-추이이지만 균일하지 않다.

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2.1. 데카르트 좌표

데카르트 좌표계에서 다듬은 정육면체의 꼭짓점은 다음 좌표들의 짝수 순열과 홀수 홀순열로 표현된다.

:$\backslash left(\backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; \backslash frac\{1\}\{t\},\; \backslash pm\; t\; \backslash right)$

여기서 $t\; \backslash approx\; 1.83929$는 트리보나치 상수이다. 플러스 기호 개수가 홀수인 짝수 순열과 짝수인 홀수 순열은 원래 다듬은 정육면체의 거울상이다. 이들을 함께 취하면 두 다듬은 정육면체의 화합물이 된다.

이 다듬은 정육면체의 변의 길이 $\backslash alpha$는 $\backslash alpha\; =\; \backslash sqrt\{2+4t-2t^2\}$이며, 다음 방정식을 만족한다.

:$\backslash alpha^6-4\backslash alpha^4+16\backslash alpha^2-32=0$

이는 아래와 같이 표현할 수도 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
\alpha &= \sqrt{\frac{4}{3}-\frac{16}{3\beta}+\frac{2\beta}{3}}\approx 1.60972 \\
\beta &= \sqrt[3]{26+6\sqrt{33}}.
\end{align}

단위 변의 길이를 갖는 다듬은 정육면체를 얻으려면, 위의 모든 좌표를 $\backslash alpha$ 값으로 나누면 된다.

3. 성질

다듬은 정육면체는 아르키메데스 다면체 중 하나로, 32개의 정삼각형 면과 6개의 정사각형 면으로 이루어져 있다. 각 꼭짓점에는 4개의 정삼각형과 1개의 정사각형이 만나며, 꼭짓점 도형은 $3^4\; \backslash cdot\; 4$로 표현된다.

다듬은 정육면체는 키랄성을 가지는 다면체로, 서로 거울상 관계인 두 가지 형태가 존재한다. 회전 팔면체 대칭 $\backslash mathrm\{O\}$를 가지며, 쌍대 다면체는 오각 이십사면체이다.

3.1. 수치적 성질

모서리 길이가 $a$인 다듬은 정육면체의 겉넓이($A$)와 부피($V$)는 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
A &= \left(6+8\sqrt{3}\right)a^2 &\approx 19.856a^2 \\
V &= \frac{8t+6}{3\sqrt{2(t^2-3)}}a^3 &\approx 7.889a^3.
\end{align}

3.2. 그래프

깎은 정육면체의 골격은 24개의 꼭짓점과 60개의 변을 가진 그래프로 나타낼 수 있으며, 이는 아르키메데스 그래프이다.

4. 관련 다면체

깎은 정육면체는 정육면체의 여섯 면을 바깥쪽으로 당겨 더 이상 닿지 않도록 한 다음, 각 면의 중심을 기준으로 약간 회전시켜 그 사이의 공간을 정삼각형으로 채울 수 있도록 하여 생성할 수 있다.

깎은 정육면체는 또한 마름모 입방 팔면체에서 구성될 수 있는데, 파란색 정사각형 면을 비틀어 시작하여 삼각형(빨간색)이 자동으로 반대 방향으로 비틀어지도록 하여 다른 정사각형 면(흰색)을 두 개의 정삼각형으로 채울 수 있는 빗변 사변형을 형성한다.

절단된 입방 팔면체에서 교대 과정을 통해 깎은 정육면체를 파생할 수도 있다. 절단된 입방 팔면체의 24개의 꼭짓점은 깎은 정육면체와 위상학적으로 동등한 다면체를 형성하고, 나머지 24개의 꼭짓점은 그 거울상을 형성한다. 결과적으로 얻어진 다면체는 꼭짓점-추이이지만 균일하지 않다.

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