꼭짓점
1. 개요
꼭짓점은 기하학, 그래프 이론, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 사용되는 용어이다. 기하학에서 꼭짓점은 각, 다각형, 다면체 등에서 두 변 또는 면이 만나는 점을 의미한다. 그래프 이론에서는 그래프를 구성하는 기본 단위인 노드를, 컴퓨터 그래픽스에서는 객체를 표현하는 데 사용되는 삼각화된 다면체의 점을 가리킨다. 또한, 오일러 지표와 관련하여 다면체의 꼭짓점 수와 변, 면의 수 사이의 관계를 나타내는 데 사용되기도 한다.
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그래프 이론 -
다이어그램
다이어그램은 2차원 기하학적 기호를 사용하여 정보를 시각적으로 표현하는 기술로, 과학, 공학, IT, 비즈니스 등 다양한 분야에서 활용되며 정보를 간략하게 나타내고 시각적 사고를 돕는다. -
그래프 이론 -
쾨니히스베르크의 다리 문제
쾨니히스베르크의 다리 문제는 프레겔 강에 놓인 7개의 다리를 한 번씩만 건너 출발점으로 되돌아올 수 있는지 묻는 문제로, 오일러에 의해 그래프 이론적으로 분석되어 해결되었으며 그래프 이론의 탄생에 기여했다. -
유클리드 기하학 -
결정계
결정계는 결정 구조의 대칭성에 따라 7가지(삼사, 단사, 사방, 정방, 삼방, 육방, 입방)로 분류되며, 각 결정계는 고유한 대칭 요소와 점군의 대칭성을 갖는다. -
유클리드 기하학 -
퐁슬레-슈타이너 정리
퐁슬레-슈타이너 정리는 자와 주어진 원(중심 포함)만 사용하여 자와 컴퍼스로 작도 가능한 모든 것을 작도할 수 있다는 기하학적 정리이다. -
다포체 -
라세미산
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다포체 -
단체 (수학)
단체는 n+1개의 꼭짓점을 가지며, 꼭짓점 집합이 유일한 면에 속하는 n차원 폴리토프이며, 위상수학에서는 중심 좌표나 단위 분할로 정의되는 표준적인 형태를 가지는 도형이다.
2. 기하학에서의 꼭짓점
기하학에서 꼭짓점은 도형의 형태와 성질을 결정하는 핵심적인 요소이다.
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* 각뿔과 원뿔에서 꼭짓점은 보통 밑면에 대한 꼭짓점을 말한다. 즉, 각뿔 측면에 있는 각 삼각형의 공통인 꼭짓점을 각뿔의 꼭짓점, 원뿔의 밑면 위에 없는 축의 끝점을 원뿔의 꼭짓점이라 한다.
* 포물선에서 꼭짓점은 포물선과 그 축과의 교점이다.
* 쌍곡선에서 꼭짓점은 2개의 초점을 지나는 직선과 곡선과의 교점이며, 2개를 가진다.
* 타원에서 꼭짓점은 장축과 단축이 곡선과 만나는 4점이다.
* 다각형 · 다면체와 같은 폴리토프에서 꼭짓점은 n차원 폴리토프의 n개 이상의 (n-1)차원 (초)면들이 교차하는 점이다. 다각형의 경우, 꼭짓점의 수로 분류한다. 예를 들어, n다각형은 n개의 꼭짓점을 갖는다.
2.1. 각의 꼭짓점
평면 위의 한 점 O를 끝점으로 하는 두 개의 반직선 OA, OB를 그 평면 위에 그었을 때, ∠AOB의 점 O를 각의 꼭짓점이라 한다. 또, 두 개의 반직선 OA, OB를 각의 변이라 한다. 다각형에서는 둘레의 두 변이 만나는 점이 꼭짓점이며, 한 개의 꼭짓점에서 만나는 두 개의 변이 이루는 내부의 각을 내각이라 한다. 내각을 때로는 꼭지각이라고도 한다.
이등변삼각형에서 꼭짓점이라고 할 때는 두 개의 등변이 만나는 점을 말하며, 이 꼭짓점에 대한 내각을 특히 꼭지각이라 한다.
각의 꼭짓점은 두 개의 반직선이 시작하거나 만나는 점, 두 선분이 만나거나 겹치는 점, 두 선이 교차하는 점, 또는 한 곳에서 만나는 두 개의 직선 "변"을 만들어내는 반직선, 선분 및 선의 적절한 조합이다.
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2.2. 다각형의 꼭짓점
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다각형에서 꼭짓점은 둘레의 두 변이 만나는 점이다. 1개의 꼭짓점에서 만나는 2개의 변이 이루는 내부의 각을 내각(內角)이라 하며, 내각을 꼭지각이라고도 한다. 이등변삼각형에서 두 등변이 만나는 점을 꼭짓점이라고 하며, 이 꼭짓점에 대한 내각을 특히 꼭지각이라 한다.
다각형의 꼭짓점은 내각이 π 라디안 (180°, 두 직각) 이하일 경우 "볼록"이라고 하고, 그렇지 않으면 "오목" 또는 "반사"라고 한다.
단순 다각형의 주요 꼭짓점은 '귀'와 '입'의 두 가지 유형으로 나뉜다.
* 귀: 단순 다각형의 주요 꼭짓점 $x_i$를 연결하는 대각선 $[x_{(i-1)}, x_{(i+1)}]$이 $P$ 안에 완전히 포함되어 있으면 귀라고 한다. (볼록 다각형 참조) 두 개의 귀 정리에 따르면 모든 단순 다각형은 적어도 두 개의 귀를 갖는다.
* 입: 단순 다각형의 주요 꼭짓점 $x_i$에 대해, 대각선 $[x_{(i-1)}, x_{(i+1)}]$가 $P$의 경계 바깥에 위치하면 입이라고 한다.
2.3. 다면체의 꼭짓점
다면체에서 꼭짓점은 세 개 이상의 면이 만나는 점이다. 각뿔과 원뿔에서는 밑면에 대한 꼭짓점을 말한다. 즉, 각뿔의 측면에 있는 각 삼각형의 공통인 꼭짓점을 각뿔의 꼭짓점, 원뿔의 밑면 위에 없는 축의 끝점을 원뿔의 꼭짓점이라 한다. 포물선의 꼭짓점은 포물선과 그 축과의 교점이다. 쌍곡선에서는 2개의 초점을 지나는 직선과 곡선과의 교점이 꼭짓점이며, 2개를 가진다. 타원에서는 장축과 단축이 곡선과 만나는 4점이 꼭짓점이다.
2.4. 평면 타일링의 꼭짓점
평면 타일링 또는 테셀레이션의 꼭짓점은 셋 이상의 타일이 만나는 점이다. 일반적으로 테셀레이션의 타일은 다각형이고 테셀레이션의 꼭짓점은 타일의 꼭짓점이기도 하지만, 항상 그렇지는 않다. 더 일반적으로, 테셀레이션은 다포체나 다면체의 면과 마찬가지로 일종의 위상적 세포 복합체로 볼 수 있다. 단순 복합체와 같은 다른 종류의 복합체의 꼭짓점은 0차원 면이다.
3. 그래프 이론에서의 꼭짓점
그래프는 꼭짓점과 변으로 구성되어 있는 수학적 대상이다. 다면체의 변과 꼭짓점은 그래프로 볼 수 있으므로, 이는 폴리토프의 꼭짓점 개념의 일반화이다. 그래프 이론에서 꼭짓점은 두 개 미만의 인접 모서리를 가질 수 있다. 또한 기하학적 꼭짓점과 곡선의 꼭짓점(극단적인 곡률의 점) 사이에도 관련이 있는데, 어떤 의미에서 다각형의 꼭짓점은 무한 곡률의 점이며, 다각형이 매끄러운 곡선으로 근사되면 각 다각형 꼭짓점 근처에 극단적인 곡률의 점이 있게 된다.