꼭짓점
1. 개요
꼭짓점은 기하학, 그래프 이론, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 사용되는 용어이다. 기하학에서 꼭짓점은 각, 다각형, 다면체 등에서 두 변 또는 면이 만나는 점을 의미한다. 그래프 이론에서는 그래프를 구성하는 기본 단위인 노드를, 컴퓨터 그래픽스에서는 객체를 표현하는 데 사용되는 삼각화된 다면체의 점을 가리킨다. 또한, 오일러 지표와 관련하여 다면체의 꼭짓점 수와 변, 면의 수 사이의 관계를 나타내는 데 사용되기도 한다.
-
그래프 이론 -
다이어그램
다이어그램은 2차원 기하학적 기호를 사용하여 정보를 시각적으로 표현하는 기술로, 과학, 공학, IT, 비즈니스 등 다양한 분야에서 활용되며 정보를 간략하게 나타내고 시각적 사고를 돕는다. -
그래프 이론 -
쾨니히스베르크의 다리 문제
쾨니히스베르크의 다리 문제는 프레겔 강에 놓인 7개의 다리를 한 번씩만 건너 출발점으로 되돌아올 수 있는지 묻는 문제로, 오일러에 의해 그래프 이론적으로 분석되어 해결되었으며 그래프 이론의 탄생에 기여했다. -
다포체 -
라세미산
-
다포체 -
단체 (수학)
단체는 n+1개의 꼭짓점을 가지며, 꼭짓점 집합이 유일한 면에 속하는 n차원 폴리토프이며, 위상수학에서는 중심 좌표나 단위 분할로 정의되는 표준적인 형태를 가지는 도형이다. -
유클리드 기하학 -
결정계
결정계는 결정 구조의 대칭성에 따라 7가지(삼사, 단사, 사방, 정방, 삼방, 육방, 입방)로 분류되며, 각 결정계는 고유한 대칭 요소와 점군의 대칭성을 갖는다. -
유클리드 기하학 -
퐁슬레-슈타이너 정리
퐁슬레-슈타이너 정리는 자와 주어진 원(중심 포함)만 사용하여 자와 컴퍼스로 작도 가능한 모든 것을 작도할 수 있다는 기하학적 정리이다.
2. 기하학에서의 꼭짓점
기하학에서 꼭짓점은 도형의 형태와 성질을 결정하는 핵심적인 요소이다.
--
--
* 각뿔과 원뿔에서 꼭짓점은 보통 밑면에 대한 꼭짓점을 말한다. 즉, 각뿔 측면에 있는 각 삼각형의 공통인 꼭짓점을 각뿔의 꼭짓점, 원뿔의 밑면 위에 없는 축의 끝점을 원뿔의 꼭짓점이라 한다.
* 포물선에서 꼭짓점은 포물선과 그 축과의 교점이다.
* 쌍곡선에서 꼭짓점은 2개의 초점을 지나는 직선과 곡선과의 교점이며, 2개를 가진다.
* 타원에서 꼭짓점은 장축과 단축이 곡선과 만나는 4점이다.
* 다각형 · 다면체와 같은 폴리토프에서 꼭짓점은 n차원 폴리토프의 n개 이상의 (n-1)차원 (초)면들이 교차하는 점이다. 다각형의 경우, 꼭짓점의 수로 분류한다. 예를 들어, n다각형은 n개의 꼭짓점을 갖는다.
2.1. 각의 꼭짓점
평면 위의 한 점 O를 끝점으로 하는 두 개의 반직선 OA, OB를 그 평면 위에 그었을 때, ∠AOB의 점 O를 각의 꼭짓점이라 한다. 또, 두 개의 반직선 OA, OB를 각의 변이라 한다. 다각형에서는 둘레의 두 변이 만나는 점이 꼭짓점이며, 한 개의 꼭짓점에서 만나는 두 개의 변이 이루는 내부의 각을 내각이라 한다. 내각을 때로는 꼭지각이라고도 한다.
이등변삼각형에서 꼭짓점이라고 할 때는 두 개의 등변이 만나는 점을 말하며, 이 꼭짓점에 대한 내각을 특히 꼭지각이라 한다.
각의 꼭짓점은 두 개의 반직선이 시작하거나 만나는 점, 두 선분이 만나거나 겹치는 점, 두 선이 교차하는 점, 또는 한 곳에서 만나는 두 개의 직선 "변"을 만들어내는 반직선, 선분 및 선의 적절한 조합이다.
--
2.2. 다각형의 꼭짓점
--
--
다각형에서 꼭짓점은 둘레의 두 변이 만나는 점이다. 1개의 꼭짓점에서 만나는 2개의 변이 이루는 내부의 각을 내각(內角)이라 하며, 내각을 꼭지각이라고도 한다. 이등변삼각형에서 두 등변이 만나는 점을 꼭짓점이라고 하며, 이 꼭짓점에 대한 내각을 특히 꼭지각이라 한다.
다각형의 꼭짓점은 내각이 π 라디안 (180°, 두 직각) 이하일 경우 "볼록"이라고 하고, 그렇지 않으면 "오목" 또는 "반사"라고 한다.
단순 다각형의 주요 꼭짓점은 '귀'와 '입'의 두 가지 유형으로 나뉜다.
* 귀: 단순 다각형의 주요 꼭짓점 $x_i$를 연결하는 대각선 $[x_{(i-1)}, x_{(i+1)}]$이 $P$ 안에 완전히 포함되어 있으면 귀라고 한다. (볼록 다각형 참조) 두 개의 귀 정리에 따르면 모든 단순 다각형은 적어도 두 개의 귀를 갖는다.
* 입: 단순 다각형의 주요 꼭짓점 $x_i$에 대해, 대각선 $[x_{(i-1)}, x_{(i+1)}]$가 $P$의 경계 바깥에 위치하면 입이라고 한다.
2.3. 다면체의 꼭짓점
다면체에서 꼭짓점은 세 개 이상의 면이 만나는 점이다. 각뿔과 원뿔에서는 밑면에 대한 꼭짓점을 말한다. 즉, 각뿔의 측면에 있는 각 삼각형의 공통인 꼭짓점을 각뿔의 꼭짓점, 원뿔의 밑면 위에 없는 축의 끝점을 원뿔의 꼭짓점이라 한다. 포물선의 꼭짓점은 포물선과 그 축과의 교점이다. 쌍곡선에서는 2개의 초점을 지나는 직선과 곡선과의 교점이 꼭짓점이며, 2개를 가진다. 타원에서는 장축과 단축이 곡선과 만나는 4점이 꼭짓점이다.
2.4. 평면 타일링의 꼭짓점
평면 타일링 또는 테셀레이션의 꼭짓점은 셋 이상의 타일이 만나는 점이다. 일반적으로 테셀레이션의 타일은 다각형이고 테셀레이션의 꼭짓점은 타일의 꼭짓점이기도 하지만, 항상 그렇지는 않다. 더 일반적으로, 테셀레이션은 다포체나 다면체의 면과 마찬가지로 일종의 위상적 세포 복합체로 볼 수 있다. 단순 복합체와 같은 다른 종류의 복합체의 꼭짓점은 0차원 면이다.
3. 그래프 이론에서의 꼭짓점
그래프는 꼭짓점과 변으로 구성되어 있는 수학적 대상이다. 다면체의 변과 꼭짓점은 그래프로 볼 수 있으므로, 이는 폴리토프의 꼭짓점 개념의 일반화이다. 그래프 이론에서 꼭짓점은 두 개 미만의 인접 모서리를 가질 수 있다. 또한 기하학적 꼭짓점과 곡선의 꼭짓점(극단적인 곡률의 점) 사이에도 관련이 있는데, 어떤 의미에서 다각형의 꼭짓점은 무한 곡률의 점이며, 다각형이 매끄러운 곡선으로 근사되면 각 다각형 꼭짓점 근처에 극단적인 곡률의 점이 있게 된다.