정팔면체

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1. 개요

정팔면체는 8개의 정삼각형 면, 12개의 모서리, 6개의 꼭짓점을 갖는 다면체이다. 쌍사각뿔 또는 엇삼각기둥의 특수한 형태이며, 마주보는 면은 평행하다. 정육면체와 쌍대 관계에 있으며, 정사면체와 함께 공간을 채울 수 있다. 겉넓이는 한 모서리의 길이를 a라고 할 때 $A=2\sqrt{3}a^2$ 이고, 부피는 $V=\frac{\sqrt{2}}{3}a^3$ 이다.

정팔면체

도형 정보

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정팔면체

종류	정다면체, 델타 다면체, 팔면체
면의 수	8
면의 종류	정삼각형
변의 수	12
꼭짓점의 수	6
꼭짓점 배치	3, 3, 3, 3 3⁴

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꼭짓점 도형

비토프 기호	4 \| 2 3
슐레플리 기호	{3, 4}
대칭군	O_h
쌍대 다면체	정육면체
성질	볼록 집합

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전개도

영어 명칭	regular octahedron (레귤러 옥타히드론)

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정다면체 - 정육면체
정육면체는 합동인 정사각형 면 6개, 모서리 12개, 꼭짓점 8개로 구성된 높은 대칭성의 플라톤 입체로서, 한 변의 길이를 a라 할 때 부피는 a³, 겉넓이는 6a²이며, 정팔면체와 쌍대다면체 관계를 가진다.
정다면체 - 사면체
사면체는 기하학에서 네 개의 꼭짓점, 여섯 개의 모서리, 네 개의 면으로 이루어진 다면체이며, 정사면체를 포함하여 다양한 종류가 존재하고 부피, 겉넓이 등을 계산하는 공식이 있으며, 다양한 분야에서 응용된다.

1. 개요
2. 성질
3. 구와 정팔면체의 관계
4. 겉넓이와 부피
5. 관련 다면체

2. 성질

* 쌍사각뿔과 엇삼각기둥의 특수한 형태이다.
* 마주보는 면은 평행하다.
* 전개도는 11가지이다.
* 별모양화하면 별모양 팔면체가 된다.
* 면은 8개, 모서리는 12개, 꼭짓점은 6개이다.
* 꼭짓점 모양은 정사각형이며, 모서리 4개와 정삼각형 4개가 모인다.
* 단독으로는 공간 채움을 할 수 없지만, 정사면체와 조합하면 공간 채움이 가능하다.
* 정육면체와 쌍대 관계이다.

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3. 구와 정팔면체의 관계

정팔면체의 모서리 길이가 a일 때, 외접구(모든 꼭짓점에서 팔면체와 접촉하는 구)의 반지름은 다음과 같다.

: $r_u = \frac{\sqrt{2}}{2} a \approx 0.707a$

팔면체의 각 면에 내접하는 내접구의 반지름은 다음과 같다.

: $r_i = \frac{\sqrt{6}}{6} a \approx 0.408a$

각각의 모서리의 중앙을 지나는 구의 반지름은 다음과 같다.

: $r_m = \tfrac{1}{2} a = 0.5a$

4. 겉넓이와 부피

한 모서리의 길이가 $a$ 인 정팔면체의 겉넓이와 부피는 다음과 같다.

: $A=2\sqrt{3}a^2$
: $V=\frac{\sqrt{2}}{3}a^3$

한 모서리의 길이가 $a$ 인 정육면체에 꼭 맞게 들어가는 정팔면체의 부피는 다음과 같다.

: $V=\frac{1}{6}a^3$

5. 관련 다면체

정육면체와 쌍대 관계인 정팔면체는 정사각뿔 두 개를 맞붙인 형태로, 존슨의 다면체에 속한다. 정팔면체를 변형하여 다양한 다면체를 만들 수 있다.

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정팔면체와 관련된 다면체
이름	이미지	설명
정사각뿔	100px	정팔면체를 반으로 자른 형태
쌍사각뿔기둥	100px	정팔면체 사이에 사각 기둥을 끼운 형태
쌍사각뿔 반기둥	100px	정팔면체의 한쪽을 45° 비틀어 정사각 반기둥을 끼운 형태
쌍삼각뿔	100px	정팔면체의 뿔 모서리 개수를 줄인 형태
쌍오각뿔	100px	정팔면체의 뿔 모서리 개수를 늘린 형태
별모양 팔면체	100px	정팔면체의 변형된 형태
육팔면체		정팔면체의 꼭짓점을 깎아 만든 형태
깎은 정팔면체		정팔면체의 모서리를 깎아 만든 형태