깎은 정육면체

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1. 개요
2. 공식
3. 성질
4. 투영
- 4.1. 직교 투영
- 4.2. 구면 타일링
5. 좌표
6. 분해
7. 꼭짓점 배치
8. 관련 다면체
- 8.1. 대칭성 변형
- 8.2. 교대 절단
9. 깎은 정육면체 그래프
참조

1. 개요

깎은 정육면체는 14개의 면(6개의 정팔각형과 8개의 정삼각형)을 가진 아르키메데스 다면체이다. 겉넓이와 부피를 구하는 공식이 있으며, 외접구, 중간접구, 내접구의 반지름을 계산할 수 있다. 직교 투영, 구면 타일링, 좌표, 분해, 꼭짓점 배치 등의 특징을 가지며, 정육면체, 정팔면체 등과 관련이 있다. 또한 깎은 정육면체 그래프는 24개의 정점과 36개의 변을 가진 3차 그래프이다.

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깎은 정육면체
개요
깎은 정육면체
종류	반정다면체, 십사면체
면의 수	14
면의 종류	정삼각형: 8개, 정팔각형: 6개
변의 수	36 (3-8: 24개, 8-8: 12개)
꼭짓점의 수	24
꼭짓점 배열	3, 8² (정삼각형 1개와 정팔각형 2개가 만남)
깎은 정육면체 꼭짓점 그림
슐레플리 기호	t{4, 3}
위토프 기호	2 3 \| 4
대칭군	O_h
쌍대다면체	삼방팔면체
성질	볼록 집합
깎은 정육면체 전개도
수식
변의 길이 (a)	a
겉넓이 (A)	(12 + 8√3)a²
부피 (V)	8(1 + √2)a³
구면성 (δ_S)	+1
중간고리 반지름 (r_m)	(2 + √2)a
외접구 반지름 (R)	(√7 + 2)a
영어 명칭
영어	truncated hexahedron, truncated cube

2. 공식

한 모서리의 길이가 $a$ 인 깎은 정육면체의 겉넓이 $A$ 와 부피 $V$ 는 다음과 같다.

: $A = 2(6+6\sqrt2+\sqrt3)a^2 \approx 32.434\,6644a^2$

: $V = \frac{7}{3}(3+2\sqrt2)a^3 \approx 13.599\,6633a^3$

성질	값
외접구 반지름	$\frac{\sqrt{7+4\sqrt2}}{2}a$
중간접구 반지름	$\frac{2+\sqrt2}{2}a$
내접구 반지름 (정삼각형)	$\frac{\sqrt{51+36\sqrt2}}{6}a$
내접구 반지름 (정팔각형)	$\frac{1+\sqrt2}{2}a$
겉넓이	$2(6+6\sqrt2+\sqrt3)a^2$
부피	$\frac{21+14\sqrt2}{3}a^3$
이면각 (3-8)	125.2643897°
이면각 (8-8)	90°
별 다면체의 수	42 (표면만...15, 뒷면 사용...27)

3. 성질

성질

4. 투영

깎은 정육면체는 다섯 개의 특별한 직교 투영과 구면 타일링을 통한 정사영을 갖는다. 직교 투영은 꼭짓점, 모서리, 면을 중심으로 이루어지며, 구면 타일링을 이용한 정사영은 각도는 유지하지만 면적과 길이는 보존하지 않는다. 구면에서의 직선은 평면에서 원호로 나타난다.

4. 1. 직교 투영

깎은 정육면체는 꼭짓점, 두 종류의 모서리(3-8, 8-8), 그리고 두 종류의 면(삼각형, 팔각형)을 중심으로 하는 다섯 개의 특별한 직교 투영을 갖는다. 이 중 마지막 두 개는 B₂와 A₂ 콕서터 평면에 해당한다.

직교 투영
중심	꼭짓점	모서리 3-8	모서리 8-8	면 팔각형	면 삼각형
입체
와이어프레임
쌍대 다면체
투영 대칭	[2]	[2]	[2]	[4]	[6]

4. 2. 구면 타일링

깎은 정육면체는 구면 타일링으로 표현될 수도 있으며, 정사영을 통해 평면에 투영될 수 있다. 이 투영은 등각 사상으로, 각도는 보존하지만 면적이나 길이는 보존하지 않는다. 구면의 직선은 평면에서 원호로 투영된다.

--	-- 팔각형 중심	-- 삼각형 중심
--	정사영

5. 좌표

모서리 길이가 2인 깎은 정육면체의 꼭짓점 데카르트 좌표는 원점을 중심으로 하며, 다음 좌표들의 순열이다.^[1]

:(±1, ±δ_S|δs^영어, ±δ_S|δs^영어)

여기서 δ_S|δs^영어 = √2 + 1이다.

정규 깎은 정육면체의 경우, 매개변수 ''ξ'' = 1/δ_S|δs^영어를 사용하면, ''ξ''는 ±1 사이에서 변경될 수 있다. ''ξ'' = 1의 값은 정육면체를, 0은 깎은 정팔면체를, 음수 값은 자기 교차 팔각별 면을 생성한다.^[1]

팔각별의 자기 교차 부분을 제거하고 정사각형을 남기며, 삼각형을 깎아 육각형으로 만들면 깎은 정팔면체가 생성되고, 이 과정은 중앙의 정사각형이 점으로 줄어들고 정팔면체가 생성되면서 끝난다.^[1]

6. 분해

깎은 정육면체는 중앙의 정육면체와 정육면체의 각 면을 둘러싼 6개의 정사각뿔 덮개, 그리고 모서리에 있는 8개의 정사면체로 분해할 수 있다. 이 분해는 깎은 정육면체 벌집 내에서도 볼 수 있으며, 정육면체, 정사면체, 마름모육팔면체 세포가 있다.

이 분해는 정사각뿔 덮개 2개와 중앙의 정육면체를 제거하여 모든 정면을 가진 스튜어트 토로이드를 만드는 데 사용할 수 있다. 이 '''파낸 정육면체'''는 16개의 삼각형, 12개의 정사각형, 4개의 팔각형을 가지고 있다.^[1]^[2]

7. 꼭짓점 배치

깎은 정육면체는 꼭짓점 배치를 세 개의 비볼록 균일 다면체와 공유한다.

깎은 정육면체	비볼록 큰 롬비큐보깎은 정이십면체	큰 큐빅 큐보깎은 정팔면체	큰 롬비육면체
--	--	--	--

8. 관련 다면체

깎은 정육면체는 정육면체 및 정팔면체와 관련된 균일한 다면체 군에 속하며, 세 개의 비볼록 균일 다면체와 꼭짓점 배치를 공유한다.

관련 다면체
정육면체
육팔면체
깎은 정팔면체
정팔면체
--
--
--

8. 1. 대칭성 변형

이 다면체는 꼭짓점 배치가 (3.2*n*.2*n*)이고 [*n*,3] 코크서 그룹 대칭을 가지며, 깎은 정다각형 다면체 및 *n*.8.8 타일링과 위상적으로 관련되어 있다.

8. 2. 교대 절단

정육면체의 교대 정점을 깎으면 모서리 깎은 정사면체가 생성되는데, 이는 정사면체의 모서리 깎기와 같다.

깎은 삼각 엇각기둥은 정육면체 모서리 깎기에서 형성될 수 있는 또 다른 다면체이다.

9. 깎은 정육면체 그래프

수학의 그래프 이론 분야에서 '''깎은 정육면체 그래프'''는 아르키메데스 다면체 중 하나인 ''깎은 정육면체''의 정점과 변으로 이루어진 그래프이다. 이 그래프는 24개의 정점과 36개의 변을 가지며, 3차 아르키메데스 그래프이다.^[3]

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참조

_[1] 서적 Adventures Among the Toroids 1970
_[2] 웹사이트 Adventures Among the Toroids - Chapter 5 - Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1 http://www.doskey.co[...]
_[3] 서적 An Atlas of Graphs Oxford University Press

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