다면체 복합체

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1. 개요
2. 정의
3. 예시
4. 부채 (Fan)
참조

1. 개요

다면체 복합체는 다음 두 조건을 만족하는 다면체의 집합 $\mathcal{K}$ 이다: $\mathcal{K}$ 안의 모든 다면체의 모든 면은 $\mathcal{K}$ 에 속하며, $\mathcal{K}$ 의 임의의 두 다면체의 교집합은 두 다면체 모두의 면이다. 단체 복합체, 보로노이 다이어그램, 스플라인, 열대 다양체 등이 다면체 복합체의 예시이다. 부채는 모든 다면체가 원점에서 원뿔로 이루어진 다면체 복합체이며, 다포체의 정규 부채, 그뢰브너 부채, 열대 버라이어티 등이 부채의 예시이다.

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다면체 복합체
개요
종류	수학적 대상
분야	기하학 위상수학
정의
정의	유한개의 볼록 다면체들의 모임
조건	두 다면체의 교집합은 공집합이거나, 두 다면체의 공통된 면이다. 각 다면체의 모든 면은 다른 다면체의 면과 쌍을 이룬다.
특징
특징	다면체 복합체는 다면체와 유사한 구조를 가지지만, 다면체보다 더 일반적인 개념이다. 다면체 복합체는 다양체가 아닐 수 있다.
예시	단순 복합체 CW 복합체
활용	컴퓨터 그래픽스 수치해석 최적화
관련 개념
관련 개념	다면체 단순 복합체 CW 복합체 다양체
참고 문헌
참고 문헌	Günter M. Ziegler, Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1995.

2. 정의

'''다면체 복합체''' $\mathcal{K}$ 는 다음 조건을 만족하는 다면체 집합이다.

:1. $\mathcal{K}$ 에 속하는 다면체의 모든 면은 $\mathcal{K}$ 에도 속한다.

:2. 임의의 두 다면체 $\sigma_1, \sigma_2 \in \mathcal{K}$ 의 교집합은 $\sigma_1$ 과 $\sigma_2$ 모두의 면이다.

공집합은 모든 다면체의 면이므로 $\mathcal{K}$ 에 있는 두 다면체의 교집합은 비어 있을 수 있다.

3. 예시

단체인 다면체 복합체인 단체 복합체(단순 복합체)가 있다.
보로노이 다이어그램.
스플라인.
특정 '균형 조건'을 충족하는 다면체 복합체인 열대 버라이어티(열대 다양체)가 있다.^[6]^[2]

4. 부채 (Fan)

부채는 모든 다면체가 원점에서 원뿔로 이루어진 다면체 복합체이다. 부채의 예는 다음과 같다.

다포체의 정규 부채.
다항식 환의 이데알의 그뢰브너 부채.^[7]^[8]
자명한 값매김으로 값매김 체에 대해 대수적 버라이어티을 열대화하여 얻은 열대 버라이어티.

참조

_[1] 서적 Lectures on Polytopes Springer-Verlag
_[2] 서적 Introduction to Tropical Geometry American Mathematical Soc.
_[3] 논문 The Gröbner fan of an ideal
_[4] 논문 Standard bases and geometric invariant theory I. Initial ideals and state polytopes
_[5] 서적 Lectures on Polytopes Springer-Verlag
_[6] 서적 Introduction to Tropical Geometry American Mathematical Soc.
_[7] 논문 The Gröbner fan of an ideal
_[8] 논문 Standard bases and geometric invariant theory I. Initial ideals and state polytopes

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