원뿔

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 추가 용어
3. 성질
- 3.1. 측정 및 공식
4. 방정식 표현
5. 원뿔 곡선
6. 일반화
7. 투영 기하학
참조

1. 개요

원뿔은 3차원 유클리드 공간에서 정의되는 도형으로, 한 직선을 축으로 회전시켜 얻는 곡면인 원뿔면과, 원뿔면과 회전축에 수직인 평면으로 둘러싸인 입체도형을 의미한다. 원뿔은 꼭짓점, 높이, 모선, 밑면, 옆면 등의 구성 요소를 가지며, 밑면은 원 모양을 이룬다. 원뿔의 전개도는 부채꼴 형태를 띠며, 원뿔의 각도, 반각, 밑면 반지름 등 다양한 용어가 사용된다. 원뿔은 타원 원뿔과 같은 다양한 형태로 표현될 수 있으며, 그 성질은 전개도, 부피, 겉넓이, 질량 중심 등으로 나타난다. 원뿔의 부피와 겉넓이는 수학적 공식을 통해 계산되며, 미적분을 사용하거나 피라미드와의 비교를 통해 증명될 수 있다. 원뿔은 원뿔 곡선, 볼록 원뿔, 위상 원뿔 등으로 일반화될 수 있으며, 투영 기하학에서는 원기둥을 꼭짓점이 무한대에 있는 원뿔로 간주한다.

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원뿔
지도
기본 정보
유형	입체 도형
면	1개의 원형 면과 1개의 원뿔 곡면
오일러 지표	2
대칭	O(2)
겉넓이	]]r² + rℓ}}
부피	]]r²h)/3}}
관련 용어
영어	cone
일본어	円錐 (엔스이)
한국어	원뿔
錐	(기리)
추가 정보
관련 문서	원뿔 곡면

2. 정의

원뿔은 3차원 유클리드 공간에서 정의되는 도형이다.

3차원 공간에서 직선 *l*과 그 위의 점 *p*가 주어졌을 때, 점 *p*를 지나면서 직선 *l*에 평행하지도 수직하지도 않은 다른 직선을 *l*을 축으로 회전시키면 곡면이 만들어진다. 이 곡면을 '''원뿔면'''이라고 한다.

원뿔면과 회전축에 직교하는 평면 *P*로 둘러싸인, 속이 찬 유계 입체 도형을 '''직원뿔''' 또는 간단히 '''원뿔'''이라고 한다. 이때 점 *p*는 원뿔의 '''꼭짓점''', 꼭짓점과 밑면 사이의 거리는 '''높이''', 직선 *l*(과 원뿔의 공통 부분)은 '''모선'''이 된다. 원뿔과 평면 *P*의 공통 부분은 '''밑면''', 그렇지 않은 면은 '''옆면'''이다. 밑면은 회전축과 평면 *P*의 교점을 중심으로 하는 원이다. 원뿔의 전개도에서 옆면은 부채꼴이며, 이 부채꼴의 반지름이 되는 선분도 모선, 중심각은 원뿔의 '''꼭짓각'''이 된다.

평면 P 위의 원 O와 평면 P 위에 있지 않은 점 T가 주어졌을 때, O의 원주 위의 점과 T를 연결한 선분들의 자취와 원 O로 둘러싸인 입체를 '''사원뿔'''이라고 한다. 이때 원 O는 사원뿔의 '''밑면''', 점 T는 '''꼭짓점'''이다.

사원뿔에서 밑면이 아닌 면을 측면, 꼭짓점과 밑면 사이의 거리를 높이라고 부르는 것은 직원뿔과 같다. 사원뿔의 꼭짓점 T에서 평면 P에 내린 수선의 발이 원 O의 중심과 일치하면 직원뿔이 된다.

2. 1. 추가 용어

원뿔의 밑면 둘레는 "준선"이라고 하며, 준선과 꼭짓점 사이의 각 선분은 옆면의 "모선" 또는 "생성선"이다. 이러한 의미의 "준선"과 이차곡선의 준선과의 관계는 단델랭 구를 참조하면 된다.

원뿔의 "밑면 반지름"은 밑면의 반지름이며, 종종 이것은 단순히 원뿔의 반지름이라고 한다.

3. 성질

원뿔의 밑면 둘레는 "준선"이라고 하며, 준선과 꼭짓점 사이의 각 선분은 옆면의 "모선" 또는 "생성선"이다.^[1]

원뿔의 "밑면 반지름"은 밑면의 반지름을 말하며, 종종 원뿔의 반지름이라고도 한다. 정원뿔의 ''''''각도'''''''는 두 모선 사이의 최대 각도인데, 모선이 축과 θ각을 이루면 각도는 2θ이다. 광학에서 각도 θ는 원뿔의 반각이라고 한다.

꼭짓점을 포함하는 영역이 평면에 의해 잘린 원뿔을 '''''절두원뿔'''''''이라고 한다. 절단 평면이 원뿔의 밑면과 평행하면 이를 ''절두체''라고 한다.^[1] '''''타원뿔'''''''은 타원 밑면을 가진 원뿔이다.^[1]

직교 좌표계에서, 타원 원뿔은 다음 형태의 방정식의 자취이다.^[7]

:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z^2 .

이는 방정식

x^2+y^2=z^2\ .

를 갖는 정원형 ''단위 원뿔''의 아핀 영상이다. 타원 원뿔의 임의의 ''평면 단면''은 원뿔곡선이다.

원뿔의 전개도에서 원형 부채꼴은 다음과 같이 얻어진다.

반지름 ''R''

::

R = \sqrt{r^2+h^2}

호의 길이 ''L''

::

L = c = 2\pi r

중심각 ''φ'' (라디안)

::

\varphi = \frac{L}{R} = \frac{2\pi r}{\sqrt{r^2+h^2}}

3. 1. 측정 및 공식

반지름이

r

이고 높이가

h

인 원뿔의 부피와 겉넓이는 다음과 같다.

:

V=\frac{1}{3}\pi r^2h

:

A=\pi r^2+\pi r\sqrt{r^2+h^2}=\pi r(r+\sqrt{r^2+h^2})

^[6]

'''원뿔의 겉넓이'''(부채꼴의 넓이)

:

\pi \left( \sqrt{r^2+h^2} \right)^2  \cdot { {2\pi r} \over   {2 \pi \left( \sqrt{r^2+h^2} \right)}}

:

= \pi r \sqrt{r^2+h^2}

원뿔의 밑면 둘레는 "준선"이라고 하며, 준선과 꼭짓점 사이의 각 선분은 옆면의 "모선" 또는 "생성선"이다.

원뿔의 "밑면 반지름"은 밑면의 반지름이다. 정원뿔의 ''''''각도'''''''는 두 모선 사이의 최대 각도이다. 모선이 축과 θ각을 이루면 각도는 2θ이다. 광학에서 각도 θ는 원뿔의 반각이라고 한다.

꼭짓점을 포함하는 영역이 평면에 의해 잘린 원뿔을 '''''절두원뿔'''''''이라고 한다. 절단 평면이 원뿔의 밑면과 평행하면 이를 ''절두체''라고 한다.^[1] '''''타원뿔'''''''은 타원 밑면을 가진 원뿔이다.^[1]

원뿔의 부피는 지름과 높이가 같은 원기둥의 1/3과 같다는 것을 보여주는 그림

어떤 원뿔의 부피

V

는 밑면의 면적

A_B

와 높이

h

의 곱의 1/3과 같다.^[4]

:

V = \frac{1}{3}A_B h.

현대 수학에서는 미적분을 사용하여 이 공식을 쉽게 계산할 수 있다. 이는 적분

\int x^2 \, dx = \tfrac{1}{3} x^3

과 같다.

카발리에리의 원리를 적용하여 이 공식을 증명할 수 있다.

균일한 밀도를 가진 원뿔의 질량중심은 밑면의 중심과 꼭짓점을 잇는 직선상에 있으며, 밑면의 중심에서 꼭짓점 방향으로 1/4 지점에 위치한다.

직원뿔의 모선은 밑면의 원 위의 임의의 점에서 꼭짓점까지 원뿔의 겉면을 따라 이어지는 선분의 길이이다. 모선의 길이는

\sqrt{r^2+h^2}

로 주어지는데, 여기서

r

은 밑면의 반지름이고

h

는 높이이다. 이는 피타고라스 정리에 의해 증명될 수 있다.

직원뿔의 옆면의 넓이는

LSA = \pi r \ell

로 나타낼 수 있다. 여기서

r

은 원뿔 밑면의 원의 반지름이고,

\ell

은 원뿔의 모선의 길이이다.^[4] 원뿔 밑면의 넓이는 다른 원과 마찬가지로

\pi r^2

이다. 따라서 직원뿔의 전체 표면적은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

반지름과 높이

::

\pi r^2+\pi r \sqrt{r^2+h^2}

:(밑면의 넓이 + 옆면의 넓이;

\sqrt{r^2+h^2}

는 모선의 길이)

::

\pi r \left(r + \sqrt{r^2+h^2}\right)

:여기서

r

은 반지름이고

h

는 높이이다.

반지름과 모선의 길이

::

\pi r^2+\pi r \ell

::

\pi r(r+\ell)

:여기서

r

은 반지름이고

\ell

은 모선의 길이이다.

밑면의 둘레와 모선의 길이

::

\frac {c^2} {4 \pi} + \frac {c\ell} 2

::

\left(\frac c 2\right)\left(\frac c {2\pi} + \ell\right)

:여기서

c

는 밑면의 둘레이고

\ell

은 모선의 길이이다.

꼭지각과 높이

::

\pi h^2 \tan \frac{\theta}{2} \left(\tan \frac{\theta}{2} + \sec \frac{\theta}{2}\right)

::

-\frac{\pi h^2 \sin \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}-1}

:여기서

\theta

는 꼭지각이고

h

는 높이이다.

원뿔의 전개도에서 원형 부채꼴은 다음과 같이 얻어진다.

반지름 ''R''

::

R = \sqrt{r^2+h^2}

호의 길이 ''L''

::

L = c = 2\pi r

중심각 ''φ'' (라디안)

::

\varphi = \frac{L}{R} = \frac{2\pi r}{\sqrt{r^2+h^2}}

원뿔의 옆면의 넓이, 표면적, 부피는 다음과 같다.^[10]

종류	식
옆면의 넓이 S_side	$S_\mathrm{side} = \pi r c = \pi c \sqrt{c^2 - h^2 } = \frac{1}{2} b c$
표면적 S	$S = S_\mathrm{side} + B = \pi r (r + c) = \frac{1}{2} b (r + c) \,$
부피 V	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (c^2 - h^2) h = \frac{1}{3} B h$

4. 방정식 표현

원뿔은 매개변수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.^[7]

: $f(\theta,h) = (h \cos\theta, h \sin\theta, h ),$

여기서 $\theta \in [0,2\pi)$ 는 원뿔 둘레의 각도이고, $h \in \mathbb{R}$ 은 원뿔을 따르는 높이이다.

축이 $z$ 좌표축이고 꼭짓점이 원점이며 높이가 $h$ 이고 개구각이 $2\theta$ 인 직원뿔은 매개변수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $F(s,t,u) = \left(u \tan s \cos t, u \tan s \sin t, u \right)$

여기서 $s,t,u$ 는 각각 $[0,\theta)$ , $[0,2\pi)$ , $[0,h]$ 의 범위를 가진다.

음함수 형태에서, 같은 입체는 다음 부등식으로 정의된다.

: $\{ F(x,y,z) \leq 0, z\geq 0, z\leq h\},$

여기서

: $F(x,y,z) = (x^2 + y^2)(\cos\theta)^2 - z^2 (\sin \theta)^2.\,$

꼭짓점이 원점에 있고, 축이 벡터 $d$ 와 평행하며, 개구각이 $2\theta$ 인 직원뿔은 벡터 방정식 $F(u) = 0$ 으로 표현할 수 있다.

: $F(u) = (u \cdot d)^2 - (d \cdot d) (u \cdot u) (\cos \theta)^2$

: $F(u) = u \cdot d - |d| |u| \cos \theta$

여기서 $u=(x,y,z)$ 이고, $u \cdot d$ 는 내적을 의미한다.

직교 좌표계에서, ''타원 원뿔''은 다음 형태의 방정식으로 표현된다.^[7]

: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z^2 .$

이는 방정식 $x^2+y^2=z^2\ .$ 를 갖는 정원형 ''단위 원뿔''의 아핀 영상이다.

원뿔면은 적절한 직교 변환을 통해 다음과 같은 음함수로 나타낼 수 있다.

: $aX^2+bY^2-cZ^2=0$

이 식의 형태에서 원뿔면은 이차곡면의 한 종류임을 알 수 있다. 또한, 원뿔면은 다음 함수로 매개변수 표현할 수 있다.

: $\begin{cases}X=a\cos(st) \\Y=b\sin(st) \\Z=ct\end{cases}$

5. 원뿔 곡선

원뿔면을 평면으로 절단했을 때, 그 단면으로 나타나는 곡선을 총칭하여 '''원뿔 곡선'''이라고 한다. 해석기하학에서는 이것이 이차곡선과 동치임이 증명된다. 원뿔의 밑면 둘레는 "준선"이라고 하며, 이러한 의미의 "준선"과 이차곡선의 준선과의 관계는 단델랭 구를 참조하면 된다.^[1]

직교 좌표계에서, ''타원 원뿔''은 다음 형태의 방정식의 자취이다.^[7]

: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z^2 .$

이는 방정식 $x^2+y^2=z^2\ .$ 를 갖는 정원형 ''단위 원뿔''의 아핀 영상이다. 원뿔곡선의 아핀 영상이 같은 유형(타원, 포물선, ...)의 원뿔곡선이라는 사실로부터 다음을 얻는다.

타원 원뿔의 임의의 ''평면 단면''은 원뿔곡선이다.

명백하게, 모든 정원형 원뿔은 원을 포함한다. 이것은 일반적인 경우에도 참이지만, 덜 명백하다(원형 단면 참조).

타원 원뿔과 동심구의 교차는 구면 원뿔이다.

6. 일반화

원뿔의 정의는 고차원으로 확장될 수 있다. 볼록 원뿔을 참고하라. 이 경우, 실수 벡터 공간 $\mathbb{R}^n$ 의 볼록 집합 ''C''가 (꼭짓점이 원점에 있는) 원뿔이라는 것은, ''C''의 모든 벡터 ''x''와 모든 음이 아닌 실수 ''a''에 대해 벡터 ''ax''가 ''C''에 속하는 경우를 말한다.^[2] 이러한 맥락에서, 원뿔의 유사체는 일반적으로 특별하지 않다. 사실, 다면체 원뿔에 관심을 갖는 경우가 많다.

더욱 일반적인 개념은 임의의 위상 공간에서 정의되는 위상 원뿔이다.

7. 투영 기하학

투영기하학에서 원기둥은 단순히 꼭짓점이 무한대에 있는 원뿔이다.^[8] 직관적으로, 밑면을 고정하고 꼭짓점이 무한대로 갈 때의 극한을 취하면 원기둥을 얻게 되는데, 옆면의 각도는 arctan 함수에 따라 증가하여 극한에서 직각을 이룬다. 이는 퇴화된 원추곡선의 정의에 유용하며, 원기둥 원추곡선을 고려해야 한다.

투영기하학에서 원기둥은 꼭짓점이 무한대에 있는 원뿔로 간주되며, 이는 원근법에서 원기둥이 하늘 방향으로 원뿔처럼 보이는 것과 시각적으로 일치합니다.

G. B. 할스테드에 따르면, 원뿔은 슈타이너 원추곡선과 유사하게 생성되지만, 슈타이너 원추곡선에 사용되는 사영 범위 대신 사영성과 사영다발(투영이 아님)을 사용한다.

"만약 두 개의 공점적이고 공직선이 아닌 축 사영다발이 사영적이지만 투영적이지 않다면, 상관된 평면들의 교선은 '2차의 원추면' 또는 '원뿔'을 형성한다."^[9]

참조

_[1] 서적 The Mathematics Dictionary https://books.google[...] Springer Science & Business Media 1992-07-31
_[2] 서적 Convex Polytopes
_[3] MathWorld Cone
_[4] 서적 Elementary Geometry for College Students https://books.google[...] Cengage Learning 2014-01-01
_[5] 서적 Geometry: Euclid and Beyond https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2013-11-11
_[6] 서적 Calculus: Single Variable https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2006-01-01
_[7] 서적 (제목 정보 없음) 1970
_[8] 서적 Projective Geometry https://archive.org/[...] McGraw-Hill book Company, Incorporated 1917-01-01
_[9] 서적 Synthetic Projective Geometry 1906
_[10] 서적 4次元以上の空間が見えるベレ出版

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