면 (기하학)

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1. 개요
2. 다각형 면
- 2.1. 면의 종류
3. 고차원에서의 면
- 3.1. k-면의 종류
4. 일반 벡터 공간
- 4.1. 한국의 관점
참조

1. 개요

면(面)은 기하학에서 다면체의 경계를 이루는 다각형을 의미하며, 고차원 기하학에서는 다포체의 임의 차원 요소를 나타낸다. 다면체의 면은 오일러 지표를 가지며, 면의 종류는 차원에 따라 꼭짓점, 모서리, 면, 포, 패싯, 능선, 피크 등으로 구분된다. 또한, 벡터 공간에서는 볼록 집합의 면, 극점, 노출 면, 노출점 등의 개념이 정의되어 볼록 집합의 기하학적 특성을 설명하는 데 사용된다.

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면 (기하학)

2. 다각형 면

초등 기하학에서 '''면'''은 다면체의 경계를 이루는 다각형이다.^[3]^[4] 예를 들어, 정육면체는 6개의 정사각형 면으로 둘러싸여 있으며, 작은 별모양 십이면체는 오각별 면을 가진다.

슐래플리 기호에 따른 정규 예시
플라톤 다면체	케플러-푸앵소 다면체	유클리드 테셀레이션	쌍곡 테셀레이션	4-다포체
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
100px 정육면체는 꼭짓점당 3개의 정사각형 면을 가진다.	\|100px]] 작은 별모양 십이면체는 꼭짓점당 5개의 오각별 면을 가진다.	100px 유클리드 평면의 정사각형 테셀레이션은 꼭짓점당 4개의 정사각형 면을 가진다.	\|100px]] 5차 정사각 테셀레이션은 꼭짓점당 5개의 정사각형 면을 가진다.	\|100px]] 초정육면체는 모서리당 3개의 정사각형 면을 가진다.

볼록 다면체의 표면은 오일러 지표

: $V - E + F = 2,$

를 가지며, 여기서 는 꼭짓점의 수, 는 모서리의 수, 는 면의 수이다. 이 방정식은 오일러의 다면체 공식으로 알려져 있다.

2. 1. 면의 종류

3. 고차원에서의 면

고차원 기하학에서 다포체의 면은 임의의 차원의 요소를 나타낸다.^[3]^[5]^[6] 차원의 면을 -면이라고 부른다. 예를 들어, 일반적인 다면체의 다각형 면은 2-면이다. 집합론에서, 다포체의 면 집합은 다포체 자체와 공집합을 포함하며, 공집합은 일관성을 위해 "차원" -1을 갖는다. 임의의 -다포체 (-차원 다포체)에 대해, 이다.

예를 들어, 이러한 의미에서, 정육면체의 면은 정육면체 자체(3-면), 그 (정사각형) 면 (2-면), 그 (선분) 모서리 (1-면), 그 (점) 꼭짓점 (0-면), 그리고 공집합으로 구성된다.

다면체 조합론과 같은 일부 수학 분야에서, 다포체는 정의상 볼록하다. 형식적으로, 다포체 의 면은 와 내부에서 서로소인 경계를 갖는 임의의 닫힌 반공간의 교집합이다.^[7] 이 정의로부터 다포체의 면 집합은 다포체 자체와 공집합을 포함한다는 결론이 나온다.^[5]^[6]

추상 다포체와 별 다포체 이론과 같은 다른 수학 분야에서는 볼록성에 대한 요구 사항이 완화된다. 추상 이론은 여전히 면 집합이 다포체 자체와 공집합을 포함해야 한다고 요구한다.

차원 단순체 (선분 (), 삼각형 (), 사면체 (), 등)는 개의 꼭지점으로 정의되며, 공집합부터 모든 꼭지점의 집합까지, 꼭지점의 각 부분 집합에 대해 면을 갖는다.

의 값과 경우에 따라 가 다포체의 차원 에 얼마나 가까운지에 따라 -면에 대한 특정 이름이 있다.

- 차원 초다면체의 면
차원	영어	일본어
−1	∅	(공집합)
0	vertex	꼭짓점
1	edge	변
2	face	면
3	cell	포
⋮	⋮	⋮
k	k-face	k-차원 면
⋮	⋮	⋮
n − 3	peak	피크
n − 2	ridge	능선
n − 1	facet	패싯
	body	(전체)

다포체의 기본적인 요소는 점에 해당하는 꼭짓점(0-면), 두 꼭짓점을 연결하는 선분인 모서리(1-면), 그리고 다각형으로 이루어진 면(2-면)이다. 일반적으로 '면'이라고 하면 2-면을 의미한다.

4차원 다포체 또는 3차원 테셀레이션에서 다면체에 해당하는 요소는 포(3-면)라고 불린다. 예를 들어 초입방체는 모서리당 3개의 정육면체 셀(3-면)을 갖는다. 120-포체는 모서리당 3개의 정십이면체 셀(3-면)을 갖는다. 정육면체 벌집은 모서리당 4개의 셀(3-면)을 갖는다. 4차 정십이면체 벌집은 모서리당 4개의 셀(3-면)을 갖는다.

고차원 기하학에서, n-다포체에서 차원이 하나 낮은 면을 패싯((n-1)-면)이라고 한다.^[8]^[9] 예를 들어 선분의 패싯은 꼭짓점이고, 다각형의 패싯은 변이다. 다면체의 패싯은 2-면, 4차원 폴리토프의 패싯은 3-면 또는 세포이다.

n-다포체에서 차원이 두 개 낮은 면은 능선((n-2)-면)이라고 하며, 정확히 두 개의 패싯을 연결한다.^[10] 예를 들어 2차원 다각형의 능선은 꼭짓점, 3차원 다면체의 능선은 변이다.

n-다포체에서 차원이 세 개 낮은 면은 피크((n-3)-면)라고 하며, 정다포체 또는 벌집 구조에서 패싯과 능선의 회전축을 포함한다. 예를 들어 3차원 다면체의 피크는 꼭짓점, 4차원 다포체의 피크는 모서리이다.

3. 1. k-면의 종류

다포체의 기본적인 요소는 점에 해당하는 꼭짓점(0-면), 두 꼭짓점을 연결하는 선분인 모서리(1-면), 그리고 다각형으로 이루어진 면(2-면)이다. 일반적으로 '면'이라고 하면 2-면을 의미한다.

4차원 다포체 또는 3차원 테셀레이션에서 다면체에 해당하는 요소는 포(3-면)라고 불린다. 예를 들어 초입방체는 모서리당 3개의 정육면체 셀(3-면)을 갖는다. 120-포체는 모서리당 3개의 정십이면체 셀(3-면)을 갖는다. 정육면체 벌집은 모서리당 4개의 셀(3-면)을 갖는다. 4차 정십이면체 벌집은 모서리당 4개의 셀(3-면)을 갖는다.

고차원 기하학에서, n-다포체에서 차원이 하나 낮은 면을 패싯((n-1)-면)이라고 한다.^[8]^[9] 예를 들어 선분의 패싯은 꼭짓점이고, 다각형의 패싯은 변이다. 다면체의 패싯은 2-면, 4차원 폴리토프의 패싯은 3-면 또는 세포이다.

n-다포체에서 차원이 두 개 낮은 면은 능선((n-2)-면)이라고 하며, 정확히 두 개의 패싯을 연결한다.^[10] 예를 들어 2차원 다각형의 능선은 꼭짓점, 3차원 다면체의 능선은 변이다.

n-다포체에서 차원이 세 개 낮은 면은 피크((n-3)-면)라고 하며, 정다포체 또는 벌집 구조에서 패싯과 능선의 회전축을 포함한다. 예를 들어 3차원 다면체의 피크는 꼭짓점, 4차원 다포체의 피크는 모서리이다.

4. 일반 벡터 공간

벡터 공간에서, 볼록 집합의 면, 극점, 노출 면, 노출점 등의 개념이 정의된다. 이 개념들은 볼록 집합의 기하학적 특성을 설명하는 데 사용된다.

벡터 공간 $V$ 안의 집합 $C\subseteq V$ 가 주어졌을 때, $C$ 의 '''면''' 또는 '''극집합'''은 $F\subseteq C$ 인 집합으로 정의된다. 이때, 만약 $x,y\in C$ 이고 $0<\theta<1$ 이며 $\theta x+(1-\theta)y\in F$ 이면, $x,y\in F$ 를 만족해야 한다. 즉, 점 $p\in F$ 가 어떤 점 $x,y\in C$ 사이에 엄격하게 위치하면 $x,y\in F$ 이다.

$C$ 의 '''극점'''은 $\{p\}$ 가 $C$ 의 면이 되는 점 $p\in C$ 이다. 이는 $p$ 가 어떤 점 $x,y\in C$ 사이에 있을 때, $x=y=p$ 임을 의미한다.

$C$ 의 '''노출 면'''은 선형 범함수가 $C$ 에서 최솟값을 달성하는 $C$ 의 부분 집합이다. 만약 $f$ 가 $V$ 에 대한 선형 범함수이고 $\alpha =\inf\{ fc\ \colon c\in C\}>-\infty$ 이면, $\{c\in C\ \colon fc=\alpha\}$ 는 $C$ 의 노출 면이다.

$C$ 의 '''노출점'''은 $\{p\}$ 가 $C$ 의 노출 면이 되는 점 $p\in C$ 이다. 즉, 모든 $c\in C\setminus\{p\}$ 에 대해 $fp > fc$ 를 만족한다.

집합 $C$ 의 극점 집합의 합집합은 $C$ 의 극점 집합과 같다.

노출면은 면이다. $C$ 가 볼록 집합이면 $C$ 의 노출면은 볼록 집합이다.

만약 $F$ 가 $C\subseteq V$ 의 면이라면, $E\subseteq F$ 가 $F$ 의 면인 것은 $E$ 가 $C$ 의 면인 것과 동치이다.

두 개의 구분되는 점은 노출점이 아닌 볼록 집합의 극점의 예시이다. 따라서 볼록 집합의 모든 볼록 면이 노출 면인 것은 아니다.

4. 1. 한국의 관점

참조

_[1] 서적 Merriam-Webster's Collegiate Dictionary Merriam-Webster
_[2] 서적 Foundations of Geometry McGraw-Hill
_[3] 간행물 Lectures in Discrete Geometry https://books.google[...] Springer
_[4] 간행물 Polyhedra https://books.google[...] Cambridge University Press
_[5] 간행물 Convex Polytopes Springer
_[6] 간행물 Lectures on Polytopes https://books.google[...] Springer
_[7] 문서
_[8] 서적 Geometries and Transformations
_[9] 문서
_[10] 문서
_[11] 서적 Merriam-Webster's Collegiate Dictionary Merriam-Webster
_[12] 서적 Geometry II Springer 1987

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