아이디얼

3. 역사

에른스트 쿠머는 소인수 분해가 실패하는 수 링에서 "누락된" 인수로 작용하는 아이디얼 수의 개념을 발명했다. 여기서 "아이디얼"이라는 단어는 무한대의 점과 같은 기하학의 "아이디얼" 객체와 유사하게 상상 속에만 존재하는 것을 의미한다.^[1]

1876년, 리하르트 데데킨트는 디리클레의 책 ''Vorlesungen über Zahlentheorie''의 세 번째 판에서 쿠머의 정의되지 않은 개념을 구체적인 수 집합, 즉 아이디얼이라고 부르는 집합으로 대체했다.^[1][2][3]

나중에 이 개념은 다비트 힐베르트와 특히 에미 뇌터에 의해 수 링을 넘어 다항식 링 및 기타 가환 링의 설정으로 확장되었다.

다음은 통설에 따라 아이디얼의 성립사를 설명한다. 19세기의 독일 수학자 쿠머는 페르마의 마지막 정리를 증명하려 연구했다. 그 과정에서 그는 대수적 정수에 관해 유리 정수의 경우와 같은 소인수 분해의 유일성이 반드시 성립하지 않는다는 문제에 직면했다.

유리 정수환 에서는 2 × 3이고, 순서 변경 (3 × 2)을 제외하고 다른 소인수 분해는 존재하지 않는다. 그러나 대수적 정수의 경우에는 그렇지 않다.

쿠머가 다룬 것은 홀수 소수 p에 대한 -분체의 정수환의 경우였지만, 이하에서는 보다 간단한 예로 다음과 같은 환을 생각한다. 단, i는 허수 단위이다.

:$R\; =\; \backslash mathbb\{Z\}[\backslash sqrt\{5\}\backslash ,i]\; =\; \backslash left\backslash \{a+b\backslash sqrt\{5\}\backslash ,i\backslash mid\; a,b\backslash in\backslash mathbb\{Z\}\backslash right\backslash \}$

이 환에는 6의 분해가 2가지 존재한다.

• 6 = 2 × 3
• 6 = (1 + i ) × (1 - i )

• 2 = A × B
• 3 = C × D
• 1 + i = A × C
• 1 - i = B × D

• A = 2R + (1 + i)R,
• B = 2R + (1 - i)R,
• C = 3R + (1 + i)R,
• D = 3R + (1 - i)R

• 6R = A × B × C × D

• 2R = A × B,
• 3R = C × D,
• (1 + i)R = A × C,
• (1 - i)R = B × D,

4. 종류

• '''진 아이디얼'''(眞ideal, proper ideal): 환 전체가 아닌 아이디얼이다.
• '''영 아이디얼'''(零ideal, zero ideal): 덧셈 항등원만으로 이루어진 아이디얼이다. 즉, $\backslash \{0\backslash \}$으로 표시된다.
• '''주 아이디얼'''(主ideal, principal ideal): 한 원소에 의해 생성되는 아이디얼이다.
• '''극대 아이디얼'''(maximal ideal): 다른 진 아이디얼에 포함되지 않는 진 아이디얼이다.
• '''소 아이디얼'''(prime ideal): 환 ''R''의 원소 $a,\; b$에 대해 $ab$가 아이디얼에 속하면 $a$ 또는 $b$가 아이디얼에 속하는 성질을 갖는 진 아이디얼이다.
• '''으뜸 아이디얼'''(primary ideal): 환 $R$의 원소 $a,\; b$가 $ab\; \backslash in\; I$를 만족할 때, $a\; \backslash notin\; I$라면 $b^n\; \backslash in\; I$가 적당한 양의 정수 $n$에 대해 성립하는 아이디얼이다.
• '''멱영 아이디얼'''(nilpotent ideal): 거듭제곱이 영 아이디얼이 되는 아이디얼이다.
• '''소근기'''(prime radical): 소 아이디얼들의 교집합이다.
• '''기약 아이디얼'''(irreducible ideal): 두 아이디얼의 교집합으로 표현될 수 없는 아이디얼이다.
• '''서로소 아이디얼'''(comaximal ideal): 두 아이디얼 $I,\; J$에 대해 $I\; +\; J\; =\; R$이 되는 아이디얼이다.
• '''정칙 아이디얼'''(regular ideal)
• '''멱영원 아이디얼'''(nil ideal): 모든 원소가 멱영원인 아이디얼이다.
• '''매개변수 아이디얼'''(parameter ideal)
• '''완전 아이디얼'''(perfect ideal)
• '''순수 아이디얼'''(pure ideal)
• '''분수 아이디얼'''(fractional ideal)
• '''가역 아이디얼'''(invertible ideal)
• '''일차 아이디얼'''(primary ideal)

5. 연산

유사환 $R$의 두 (왼쪽·오른쪽·양쪽) 아이디얼 $\backslash mathfrak\; a$, $\backslash mathfrak\; b$가 주어졌을 때, 이들로부터 아이디얼의 합, 곱, 교집합을 정의할 수 있다. 이는 또 다른 (왼쪽·오른쪽·양쪽) 아이디얼을 이룬다.

• '''합''' : $\backslash mathfrak\; a+\backslash mathfrak\; b=\backslash \{r+s\backslash colon\; r\backslash in\backslash mathfrak\; a,\backslash ;s\backslash in\backslash mathfrak\; b\backslash \}$
• '''곱''' : $\backslash mathfrak\; a\backslash mathfrak\; b=\backslash \{a\_1b\_1+a\_2b\_2+\backslash cdots+a\_nb\_n\backslash colon\; a\_1,\backslash dots,a\_n\backslash in\backslash mathfrak\; a;\backslash ;b\_1,\backslash dots,b\_n\backslash in\backslash mathfrak\; b;\backslash ;n=1,2,\backslash dots\backslash \}$
• '''교집합''' : $\backslash mathfrak\; a\backslash cap\backslash mathfrak\; b=\backslash \{r\backslash colon\; r\backslash in\backslash mathfrak\; a,\backslash ;r\backslash in\backslash mathfrak\; b\backslash \}$

• $\backslash mathfrak\{a\}\; +\; \backslash mathfrak\{b\}\; =\; (z,w,\; x+z,\; y+w)\; =\; (x,\; y,\; z,\; w)$ 및 $\backslash mathfrak\{a\}\; +\; \backslash mathfrak\{c\}\; =\; (z,\; w,\; x)$
• $\backslash mathfrak\{a\}\backslash mathfrak\{b\}\; =\; (z(x\; +\; z),\; z(y\; +\; w),\; w(x\; +\; z),\; w(y\; +\; w))=\; (z^2\; +\; xz,\; zy\; +\; wz,\; wx\; +\; wz,\; wy\; +\; w^2)$
• $\backslash mathfrak\{a\}\backslash mathfrak\{c\}\; =\; (xz\; +\; z^2,\; zw,\; xw\; +\; zw,\; w^2)$
• $\backslash mathfrak\{a\}\; \backslash cap\; \backslash mathfrak\{b\}\; =\; \backslash mathfrak\{a\}\backslash mathfrak\{b\}$인 반면 $\backslash mathfrak\{a\}\; \backslash cap\; \backslash mathfrak\{c\}\; =\; (w,\; xz\; +\; z^2)\; \backslash neq\; \backslash mathfrak\{a\}\backslash mathfrak\{c\}$이다.

6. 성질

아이디얼은 곱셈 항등원인 1을 포함하지 않아야 환 전체가 되지 않는다.^[10] 진 아이디얼은 부분집합 포함 관계에 따라 부분 순서가 주어지며, 초른 보조정리를 통해 모든 진 아이디얼이 극대 아이디얼에 포함됨을 보일 수 있다.^[10] 모든 아이디얼은 덧셈 항등원인 0을 포함한다.^[9] 정수환 \(\mathbb Z\)의 모든 아이디얼은 주 아이디얼이며, 이는 정수환이 주 아이디얼 정역임을 의미한다.^[9]

환은 스스로의 가군으로 볼 수 있으며, 이때 아이디얼은 부분 가군과 같다.^[5] 환의 아이디얼과 합동 관계 사이에는 일대일 대응이 존재한다.^[6] 아이디얼의 임의의 합집합은 아이디얼이 아닐 수 있지만, 왼쪽 아이디얼의 상승 사슬의 합집합은 왼쪽 아이디얼이다. 환의 근기는 모듈 연구에서 아이디얼의 형태로 나타난다. 환 준동형 사상에 대해 아이디얼의 확장 및 축소 개념이 존재한다.

7. 일반화

아이디얼은 임의의 모노이드 대상으로 일반화될 수 있다. 여기서 R은 모노이드 구조가 망각된 대상이다. R의 왼쪽 아이디얼은 "R의 원소에 의한 왼쪽 곱셈을 흡수"하는 부분 대상 I이다. 즉, I는 다음 두 조건을 만족하면 왼쪽 아이디얼이다.

# I는 R의 부분 대상이다.

# 모든 r ∈ (R,⊗)와 모든 x ∈ (I, ⊗)에 대해, 곱 r ⊗ x는 (I, ⊗)에 속한다.
오른쪽 아이디얼은 "r ⊗ x ∈ (I, ⊗)" 조건을 "x ⊗ r ∈ (I, ⊗)"로 대체하여 정의된다. 양쪽 아이디얼은 왼쪽 아이디얼이면서 오른쪽 아이디얼이기도 하며, 때로는 단순히 아이디얼이라고도 한다. R이 가환 모노이드 대상인 경우, 왼쪽, 오른쪽 및 양쪽 아이디얼의 정의가 일치하며, 아이디얼이라는 용어가 단독으로 사용된다.

8. 예시

• 환 $\backslash mathbb\{Z\}$에서 짝수의 집합은 아이디얼을 이룬다. 두 짝수의 합은 짝수이고, 임의의 정수와 짝수의 곱은 항상 짝수이기 때문이다.^[9]
• 실수 계수 다항식 환에서 $x^2\; +\; 1$로 나누어 떨어지는 다항식들의 집합은 아이디얼을 이룬다.
• 행렬환에서 특정 행 또는 열이 모두 0인 행렬들의 집합은 아이디얼을 이룬다.
• 연속 함수 환에서 특정 점에서 0이 되는 함수들의 집합은 아이디얼을 이룬다.^[10]

참조

_[1] 서적 Mathematics and its history
_[2] 서적 Fermat's last theorem. A genetic introduction to algebraic number theory
_[3] 서적 An introduction to number theory
_[4] 간행물
_[5] 간행물
_[6] 간행물
_[7] 간행물
_[8] 간행물
_[9] 문서
_[10] 간행물
_[11] 문서
_[12] 서적 A First Course in Noncommutative Rings https://books.google[...]
_[13] 웹사이트 Zero ideal https://mathworld.wo[...] 2024-08-22
_[14] 서적 Commutative Ring Theory https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 1987
_[15] 간행물
_[16] 웹사이트 ideals http://www.math.uiuc[...] 2017-01-14
_[17] 웹사이트 sums, products, and powers of ideals http://www.math.uiuc[...] 2017-01-14
_[18] 웹사이트 intersection of ideals http://www.math.uiuc[...] 2017-01-14
_[19] 간행물
_[20] 문서
_[21] Google books The Story of Algebraic Numbers in the First Half of the 20th Century: From Hilbert to Tate
_[22] 서적 Vorlesungen über Zahlentheorie https://gdz.sub.uni-[...] 1871