대기 굴절

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1. 개요

대기 굴절은 천문학에서 천체의 겉보기 위치가 실제 위치와 달라 보이는 현상으로, 빛이 대기를 통과하면서 굴절되기 때문에 발생한다. 천문 굴절은 천정에서 0°, 지평선에서 약 35.4분(각분)으로 고도가 낮아질수록 커지며, 일출/일몰 시 태양이 납작하게 보이는 원인이 된다. 지상 굴절은 측량 및 지도 제작에 영향을 미치며, 굴절 계수를 통해 계산된다. 대기 굴절은 대기 상태에 따라 변동하며, 정밀한 계산은 어렵지만 다양한 공식과 보정 방법을 통해 예측한다.

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대기 굴절

2. 천문 굴절

천문 굴절은 천체의 각 위치, 점광원으로서의 외관, 그리고 태양과 달과 같은 확장된 천체의 모양에 영향을 미친다.^[3] 별에서 오는 빛의 대기 굴절은 천정에서는 0이지만, 겉보기 고도가 낮아질수록 급격히 증가한다.

대기 굴절 때문에 별, 행성, 태양은 실제 위치보다 위쪽으로 치우쳐 보인다. 이 각도는 대기 상태에 따라 달라져 계산이 복잡하다. 정밀한 위치 관측을 하는 천문대는 자체적인 계산식이나 보정표를 만든다. 대기가 없을 때 보이는 항성의 천정거리(90° - 고도)를 $z'$ , 대기가 있을 때 실제로 관측되는 천정거리를 $z''$ 라고 하면, 대기차 R은 다음과 같다.

$R =z'-z'' = A \tan z' + B \tan ^3 z'$

지상 기온 0℃, 지상 기압 1기압(1,013.25 헥토파스칼) 조건에서 $A=60''.0615 , B=-0''.0841$ 이다. 기온과 기압 보정을 추가하면, T를 지상 기온(℃), p를 지상 기압(헥토파스칼)으로 하여 다음과 같이 계산한다.

$R=(60''.0615 \tan z' -0''.0841 \tan ^3 z')(273.15/(273.15+T))(p/1013.25)$

이 식은 $z' \le 75^\circ$ 정도에서만 성립하며, $z' = 75^\circ$ 에서 표준편차가 $1''$ 이내이다. $z'$ 가 $75^\circ$ 를 넘으면 빛의 분산으로 인해 항성을 1점으로 보고 다루기 어렵다.

2. 1. 굴절량의 변화

대기 굴절은 천체의 겉보기 위치와 모양에 영향을 미친다. 별빛의 대기 굴절은 천정에서 0이지만, 겉보기 고도가 낮아질수록 급격히 증가한다. 10 °C 및 1013.25 hPa의 가시광선 스펙트럼에서, 굴절은 고도 10°에서 5.3분, 고도 5°에서는 9.9분, 고도 2°에서는 18.4분, 지평선에서는 35.4분에 이른다.

지평선에서 굴절은 태양의 겉보기 지름보다 약간 커서, 태양 원반의 아랫부분이 지평선에 닿는 것처럼 보일 때 실제 고도는 음수이다. 일출과 일몰은 태양의 상단 가장자리가 지평선에 나타나거나 사라지는 시간을 의미하며, 이때 태양의 실제 고도 표준값은 굴절에 −34분, 태양 반지름에 −16분을 더한 −50분이다. 달의 경우, 수평 시차와 겉보기 반지름에 대한 추가 보정이 필요하다.

지평선 근처의 굴절은 지구 표면 근처의 온도 구배 변동성 때문에 매우 변동적이다. 프리드리히 베셀은 1830년에 지평선 위 2도에서 ±0.19분, 0.5도에서 ±0.50분의 굴절 변동을 발견했다.^[4] 아테네 천문대의 게오르크 콘스탄틴 부리스는 지평선의 별에 대해 최대 4°의 굴절을 측정했고,^[1] 어니스트 섀클턴 경은 인듀어런스 탐험 중 2°37분의 굴절을 기록했다.

날씨의 일일 변화는 일출, 일몰, 달의 뜨고 지는 시간에도 영향을 미치므로, 분 단위보다 더 정밀하게 시간을 제시하는 것은 의미가 없다. 대기 굴절은 지평선에서 34분, 0.5° 위에서는 29분이므로, 지는 해나 뜨는 해는 약 5분(겉보기 지름의 약 1/6) 정도 납작해 보인다.

대기 굴절 때문에 별, 행성, 태양은 실제 위치보다 위쪽으로 치우쳐 보인다. 이 각도는 대기 상태에 따라 달라져 계산이 복잡하다. 정밀한 위치 관측을 하는 천문대는 자체적인 계산식이나 보정표를 만든다. 일반적인 계산식은 다음과 같다.

대기가 없을 때 보이는 항성의 천정거리(90° - 고도)를

z'

, 대기가 있을 때 실제로 관측되는 천정거리를

z''

라고 하면, 대기차 R은 다음과 같다.

R =z'-z'' = A \tan z' + B \tan ^3 z'

지상 기온 0℃, 지상 기압 1기압(1,013.25 헥토파스칼) 조건에서

A=60''.0615 , B=-0''.0841

이다.

기온과 기압 보정을 추가하면, T를 지상 기온(℃), p를 지상 기압(헥토파스칼)으로 하여 다음과 같이 계산한다.

R=(60''.0615 \tan z' -0''.0841 \tan ^3 z')(273.15/(273.15+T))(p/1013.25)

이 식은

z' \le 75^\circ

정도에서만 성립하며,

z' = 75^\circ

에서 표준편차가

1''

이내이다.

z'

가

75^\circ

를 넘으면 빛의 분산으로 인해 항성을 1점으로 보고 다루기 어렵다.

2. 2. 일출과 일몰

대기 굴절은 지평선에서 태양의 겉보기 지름보다 약간 크기 때문에, 태양 원반의 아랫부분이 지평선에 닿는 것처럼 보일 때 태양의 실제 고도는 음수이다. 관례적으로 일출과 일몰은 태양의 상단 가장자리가 지평선에 나타나거나 사라지는 시간을 의미하며, 태양의 실제 고도 표준값은 굴절에 -34분, 태양의 반지름에 -16분을 더한 -50분이다.^[3] 천체의 고도는 일반적으로 천체 원반의 중심을 기준으로 한다. 달의 경우 달의 수평 시차와 겉보기 반지름에 대한 추가 보정이 필요하며, 이 둘은 지구-달 거리에 따라 달라진다.

지평선 근처의 굴절은 지구 표면 근처의 온도 구배의 변동성과 거의 수평인 광선의 이 변동성에 대한 기하학적 민감도 때문에 매우 변동적이다. 1830년에 프리드리히 베셀은 관측자의 온도와 압력에 대한 모든 보정을 적용한 후에도 굴절의 정밀한 측정값이 지평선 위 2도에서는 ±0.19분, 지평선 위 0.5도에서는 ±0.50분으로 변동한다는 것을 발견했다.^[4] 지평선이나 지평선 아래에서는 35.4분의 공칭값보다 훨씬 높은 굴절값이 다양한 기후에서 관측되었다. 게오르크 콘스탄틴 부리스는 아테네 천문대에서 지평선의 별에 대해 최대 4°의 굴절을 측정했으며,^[1] 인듀어런스 탐험 중 어니스트 섀클턴은 2°37분의 굴절을 기록했다.

섀클턴의 기록은 다음과 같다.

“7일 전에 ‘확실히 마지막 모습’을 보였던 태양은 5월 8일 원반의 절반 이상을 지평선 위로 들어올려 우리를 놀라게 했습니다. 그날 오전 11시에 북쪽 지평선의 섬광이 태양으로 바뀌었습니다. 15분 후에 이상한 방문객은 다시 사라졌다가 오전 11시 40분에 다시 나타나 오후 1시에 지고, 오후 1시 10분에 다시 뜨고 오후 1시 20분에 천천히 졌습니다. 이러한 이상한 현상은 오후 1시 20분에 2°37분에 달하는 굴절 때문이었습니다. 온도는 약 -26.1°C였고, 우리는 굴절이 정상보다 2° 높다고 계산했습니다.”

날씨의 일일 변화는 일출과 일몰뿐만 아니라 달의 뜨고 지는 시간에도 영향을 미치므로, 일반적으로 분 단위보다 더 정밀하게 뜨고 지는 시간을 제시하는 것은 의미가 없다.

대기 굴절은 지평선에서 34분이지만, 0.5° 위에서는 29분이기 때문에 지는 해나 뜨는 해는 약 5분(겉보기 지름의 약 1/6) 정도 납작해 보인다.

2. 3. 지평선 근처의 굴절 변동성

어니스트 섀클턴 경은 남극횡단탐험 중 2°37'의 굴절을 기록한 적이 있을 정도로, 지평선 근처의 굴절은 지구 표면 근처의 온도 구배의 변동성과 거의 수평인 광선의 이 변동성에 대한 기하학적 민감도 때문에 매우 변동적이다.^[1] 1830년에 프리드리히 베셀은 관측자의 온도와 압력에 대한 모든 보정(온도 구배 제외)을 적용한 후에도 굴절의 매우 정밀한 측정값이 지평선 위 2도에서는 ±0.19분, 지평선 위 0.5도에서는 ±0.50분으로 변동한다는 것을 발견했다.^[4]

날씨의 변화는 일출과 일몰뿐만 아니라 달이 뜨고 지는 시간에도 영향을 주는데, 일반적으로 분 단위보다 더 정밀하게 뜨고 지는 시간을 제시하는 것은 의미가 없다. 더 정확한 계산은 예측할 수 없는 굴절 변화로 인해 실제 변화가 다를 수 있다는 점을 이해하는 경우, 굴절에 대한 표준값을 사용하여 발생하는 일일 뜨고 지는 시간의 변화를 결정하는 데 유용할 수 있다.

대기 굴절은 지평선에서 34분이지만, 0.5° 위에서는 29분이기에 지는 해나 뜨는 해는 약 5분(겉보기 지름의 약 1/6) 정도 납작해 보인다.

2. 4. 굴절 계산

대기 굴절은 빛이 대기를 통과하면서 굴절되어 천체의 실제 위치가 보이는 위치보다 높게 나타나는 현상이다. 이 굴절량은 대기의 상태에 따라 달라지기 때문에 정확하게 계산하기 어렵다. 빛의 경로를 따라 대기의 밀도, 온도, 습도, 성분 등 굴절과 관련된 모든 상태를 파악해야 하지만, 현실적으로 이는 불가능하다.

하지만 고층 대기는 상태 변화가 크지 않아 지상 관측 데이터를 이용해 약간의 수정을 거쳐 굴절량을 계산할 수 있다. 정밀한 위치 관측이 필요한 천문대에서는 오랜 관측 결과를 바탕으로 자체적인 계산식이나 보정표를 만들어 사용하기도 한다.

일반적으로 사용되는 계산법에는 여러 가지가 있지만, 그중 비교적 간단한 방법은 다음과 같다. 대기가 없다고 가정했을 때 보이는 항성의 천정거리(90° - 고도)를

z'

, 대기가 존재하여 실제로 관측되는 천정거리를

z''

라고 하면, 대기 굴절로 인해 항성이 떠올라 천정거리가 감소(고도가 상승)하는 각도 R (대기차)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\begin{align}R & =z'-z'' \\& = A \tan z' + B \tan ^3 z' \\\end{align}

여기서 A와 B는 상수값으로, 지상 기온 0℃, 지상 기압 1기압(1,013.25 헥토파스칼) 조건에서

A=60''.0615 , B=-0''.0841

정도의 값을 가진다.

기온과 기압에 따른 보정은 T를 지상 기온(℃), p를 지상 기압(헥토파스칼)으로 하여 다음과 같이 적용할 수 있다.

:

R=(60''.0615 \tan z' -0''.0841 \tan ^3 z')(273.15/(273.15+T))(p/1013.25) \!

하지만 이 식은 고도가 매우 낮은 항성에는 적용하기 어렵고,

z' \le 75^\circ

정도에서만 유효하다.

z' = 75^\circ

에서는 표준편차가

1''

이내이다. 천정거리가

75^\circ

를 넘으면 대기 굴절률 차이로 인해 빛이 분산되어 항성이 점상이 아닌 색깔별로 길게 늘어진 모양으로 보이게 되므로, 일반적인 공식으로 대기차를 나타내기 어렵다.

2. 4. 1. 간단한 공식

조지 컴스톡은 관측 지점의 온도와 기압을 직접 통합하여 굴절을 계산하는 간단한 공식을 개발했다.^[10]

:

R = \frac {21.5 b} {273 + t} \cot h_\mathrm{a} \,,

여기서 ''R''은 아크초로 표시된 굴절, ''b''는 수은 밀리미터 단위의 기압, ''t''는 섭씨 온도이다. 컴스톡은 이 공식이 지평선 위 15°에서 천정까지 베셀의 굴절 값과 1아크초 이내의 결과를 제공한다고 생각했다.^[1]

겉보기 고도의 코탄젠트의 세제곱에 대한 추가 확장은 관측자 지점의 일반적인 조건 외에도 균질 대기의 높이인 ''H''₀를 포함한다.^[1]

:

R = (n_0 - 1)(1 -H_0) \cot h_\mathrm{a} - (n_0 - 1)[H_0 - \frac{1}{2}(n_0 - 1)]\cot^3h_\mathrm{a} .

이 공식의 한 버전은 국제천문연맹의 ''기초 천문학 표준''에 사용된다. IAU의 알고리즘과 더 엄격한 광선 추적 절차를 비교한 결과 15° 이상의 고도에서 60밀리 아크초 이내의 일치를 보였다.^[11]

Bennett는 겉보기 고도에서 굴절을 계산하기 위한 또 다른 간단한 경험적 공식을 개발했는데, 이 공식은 아크분으로 굴절 ''R''을 제공한다.

:

R = \cot \left ( h_\mathrm{a} + \frac {7.31} {h_\mathrm{a} + 4.4} \right ) \,.

이 공식은 미국 해군 천문대의 ''벡터 천문 소프트웨어''^[12]에 사용되며, Garfinkel^[13]의 더 복잡한 알고리즘과 천정에서 지평선까지 전체 범위에서 0.07′ 이내로 일치하는 것으로 보고되었다. Sæmundsson는 ''진짜'' 고도에서 굴절을 결정하기 위한 역 공식을 개발했다. 만약 ''h''가 도 단위의 진짜 고도라면, 아크분 단위의 굴절 ''R''은 다음과 같이 주어집니다.

:

R = 1.02 \cot\left ( h + \frac {10.3} {h + 5.11} \right ) \,;

이 공식은 Bennett의 공식과 0.1′ 이내로 일치한다. Bennet과 Sæmundsson의 공식은 기압 101.0 kPa와 온도 10 °C를 가정한다. 다른 기압 ''P''와 온도 ''T''의 경우, 이러한 공식에서 계산된 굴절은 다음을 곱하여 계산한다.

:

\frac {P} {101} \, \frac {283} {273 + T}

굴절은 기압이 0.9 kPa 증가할 때마다 약 1% 증가하고, 기압이 0.9 kPa 감소할 때마다 약 1% 감소한다. 마찬가지로, 굴절은 온도가 3 °C 감소할 때마다 약 1% 증가하고, 온도가 3 °C 증가할 때마다 약 1% 감소한다.

일본의 연구 결과에서는 지상 기온 0℃, 지상 기압 1기압(1,013.25 헥토파스칼) 조건에 대해

A=60''.0615 , B=-0''.0841

값을 사용하며, 대기차(''R'')은 다음과 같다.

:

R  = A \tan z' + B \tan ^3 z'

기온과 기압 보정을 추가할 때는 T를 지상 기온(℃), p를 지상 기압(헥토파스칼)으로 하여

:

R=(60''.0615 \tan z' -0''.0841 \tan ^3 z')(273.15/(273.15+T))(p/1013.25) \!

를 사용한다.

2. 4. 2. 콤스톡 공식

조지 컴스톡이 개발한 공식은 관측자 지점의 온도와 기압을 직접 통합한 초기 근사치이다.^[10]

:

R = \frac {21.5 b} {273 + t} \cot h_\mathrm{a} \,,

여기서 ''R''은 아크초로 표시된 굴절, ''b''는 수은 밀리미터 단위의 기압, ''t''는 섭씨 온도이다. 컴스톡은 이 공식이 지평선 위 15°에서 천정까지 베셀의 굴절 값과 1아크초 이내의 결과를 제공한다고 생각했다.^[1]

2. 4. 3. IAU 표준 공식

국제천문연맹은 천문 굴절을 계산하기 위한 표준 공식을 제공한다. 이 공식은 관측 지점의 온도와 기압, 천체의 ''겉보기'' 고도의 코탄젠트를 사용하며, 더 정밀한 계산을 위해 허구적인 균질 대기의 높이도 고려한다.^[1] 국제천문연맹의 알고리즘은 15° 이상의 고도에서 더 엄격한 광선 추적 절차와 비교했을 때 60밀리 아크초 이내로 일치한다.^[11]

Bennett는 겉보기 고도로부터 굴절값을 계산하는 간단한 경험 공식을 개발했다. 아크분 단위의 굴절 ''R''은 다음과 같이 주어진다.

:

R = \cot \left ( h_\mathrm{a} + \frac {7.31} {h_\mathrm{a} + 4.4} \right ) \,.

이 공식은 미국 해군 천문대의 ''벡터 천문 소프트웨어''^[12]에서 사용되며, Garfinkel^[13]의 더 복잡한 알고리즘과 비교했을 때 천정에서 지평선까지 0.07′ 이내로 일치한다.

Sæmundsson는 이와 반대로 ''실제'' 고도로부터 굴절값을 계산하는 역 공식을 개발했다. 도 단위의 실제 고도 ''h''에 대해, 아크분 단위의 굴절 ''R''은 다음과 같다.

:

R = 1.02 \cot\left ( h + \frac {10.3} {h + 5.11} \right ) \,;

이 공식은 Bennett의 공식과 0.1′ 이내로 일치한다.

Bennett과 Sæmundsson의 공식은 기압 101.0 kPa, 온도 10 °C를 기준으로 한다. 실제 기압 ''P''와 온도 ''T''에서의 굴절값은 다음 보정식을 통해 계산할 수 있다.

:

\frac {P} {101} \, \frac {283} {273 + T}

굴절은 기압이 0.9 kPa 증가할 때마다 약 1% 증가하고, 0.9 kPa 감소할 때마다 약 1% 감소한다. 마찬가지로 온도가 3 °C 감소할 때마다 굴절은 약 1% 증가하고, 3 °C 증가할 때마다 약 1% 감소한다.

2. 4. 4. 베넷 공식

천문 굴절을 계산하기 위해 여러 가지 공식이 개발되었다. 이 공식들은 지평선 부근에서는 몇 분 정도 차이가 나지만, 천정에 가까워질수록 매우 잘 일치한다. 더 간단한 공식들은 관측자 위치의 온도와 기압, 천체의 ''겉보기'' 고도의 코탄젠트 값, 그리고 고차항에서는 균질 대기의 높이만을 고려했다.^[6]^[7] Smart가 천정에서 45° 이내에서만 정확하다고 본 이 공식의 가장 간단한 버전은 다음과 같다.

:

R = (n_0 - 1) \cot h_\mathrm{a} \,,

여기서 ''R''은 라디안으로 표시된 굴절, ''n''₀는 관측자 위치의 굴절률(온도, 기압, 습도에 따라 다름), ''h_a''는 천체의 ''겉보기'' 고도각이다.

조지 컴스톡은 관측자 위치의 온도와 기압을 직접 고려한 초기 근사식을 개발했다.^[10]

:

R = \frac {21.5 b} {273 + t} \cot h_\mathrm{a} \,,

여기서 ''R''은 아크초로 표시된 굴절, ''b''는 수은 밀리미터 단위의 기압, ''t''는 섭씨 온도이다. 컴스톡은 이 공식이 지평선 위 15°에서 천정까지 베셀의 굴절 값과 1아크초 이내의 결과를 제공한다고 판단했다.^[1]

겉보기 고도의 코탄젠트의 세제곱을 포함하는 더 확장된 공식은, 관측자 위치의 조건 외에 균질 대기의 높이인 ''H''₀를 추가로 고려한다.^[1]

:

R = (n_0 - 1)(1 -H_0) \cot h_\mathrm{a} - (n_0 - 1)[H_0 - \frac{1}{2}(n_0 - 1)]\cot^3h_\mathrm{a} .

이 공식의 한 버전은 국제천문연맹의 ''기초 천문학 표준''에 사용된다. IAU의 알고리즘과 더 엄격한 광선 추적 절차를 비교한 결과, 15° 이상의 고도에서 60밀리 아크초 이내로 일치했다.^[11]

Bennett는 겉보기 고도로부터 굴절을 계산하는 간단한 경험 공식을 개발했는데, 아크분 단위의 굴절 ''R''은 다음과 같다.

:

R = \cot \left ( h_\mathrm{a} + \frac {7.31} {h_\mathrm{a} + 4.4} \right ) \,.

이 공식은 미국 해군 천문대의 ''벡터 천문 소프트웨어''^[12]에 사용되며, Garfinkel^[13]의 더 복잡한 알고리즘과 천정에서 지평선까지 0.07′ 이내로 일치한다고 보고되었다. Sæmundsson는 ''진짜'' 고도에서 굴절을 결정하기 위한 역 공식을 개발했다. ''h''가 도 단위의 진짜 고도라면, 아크분 단위의 굴절 ''R''은 다음과 같다.

:

R = 1.02 \cot\left ( h + \frac {10.3} {h + 5.11} \right ) \,;

이 공식은 Bennett의 공식과 0.1′ 이내로 일치한다. Bennet과 Sæmundsson의 공식은 기압 와 온도 10°C를 가정한다. 다른 기압 ''P''와 온도 ''T''에서의 굴절은 다음 값을 곱하여 계산한다.

:

\frac {P} {101} \, \frac {283} {273 + T}

굴절은 기압이 0.9kPa 증가할 때마다 약 1% 증가하고, 0.9kPa 감소할 때마다 약 1% 감소한다. 마찬가지로, 굴절은 온도가 3°C 감소할 때마다 약 1% 증가하고, 3°C 증가할 때마다 약 1% 감소한다.

2. 4. 5. 세먼드슨 역 공식

세먼드슨(Sæmundsson)은 실제 고도에서 굴절을 결정하기 위한 역 공식을 개발했다. 만약 ''h''가 도 단위의 실제 고도라면, 아크분 단위의 굴절 ''R''은 다음과 같이 주어진다.

:

R = 1.02 \cot\left ( h + \frac {10.3} {h + 5.11} \right ) \,;

이 공식은 베넷(Bennett)의 공식과 0.1′ 이내로 일치한다. 베넷과 세먼드슨의 공식은 기압 101.0 kPa와 온도 10 °C를 가정한다. 다른 기압 ''P''와 온도 ''T''의 경우, 이러한 공식에서 계산된 굴절은 다음 값을 곱하여 계산한다.

:

\frac {P} {101} \, \frac {283} {273 + T}

굴절은 기압이 0.9 kPa 증가할 때마다 약 1% 증가하고, 기압이 0.9 kPa 감소할 때마다 약 1% 감소한다. 마찬가지로, 굴절은 온도가 3°C 감소할 때마다 약 1% 증가하고, 온도가 3°C 증가할 때마다 약 1% 감소한다.

2. 5. 난류 효과 (Random refraction effects)

지구 대기의 난류는 별빛을 산란시켜 밀리초 단위의 시간 척도에서 별이 더 밝아졌다 어두워졌다 하는 것처럼 보이게 만든다. 이러한 변동의 가장 느린 요소는 반짝임(섬광이라고도 함)으로 볼 수 있다.

난류는 또한 별 이미지의 작고 산발적인 움직임을 일으키고 그 구조를 빠르게 왜곡시킨다. 이러한 효과는 육안으로는 볼 수 없지만 작은 망원경으로도 쉽게 볼 수 있다. 이러한 효과는 천문학적 시상 조건을 방해한다. 일부 망원경은 이러한 효과를 줄이기 위해 적응 광학을 사용한다.

대기 난류가 시야에 미치는 흔들림 효과를 보여주는 달 표면의 애니메이션 이미지

3. 지상 굴절 (Terrestrial refraction)

'''지상 굴절'''(Terrestrial refraction)은 지구상의 물체가 실제 위치와 다르게 보이는 현상으로, '''측지 굴절'''(geodetic refraction)이라고도 한다. 이는 지도와 측량에서 특히 중요하다.^[14]^[15] 지구 표면 근처를 통과하는 빛의 경로가 굴절되기 때문에 발생하며, 굴절 정도는 지표면 근처의 온도 기울기에 크게 영향을 받는다. 이 온도 기울기는 하루 중 시간, 계절, 지형, 날씨 등에 따라 달라진다.^[16]

일반적으로 지상 굴절은 빛의 광선 또는 시선의 일정한 굴곡으로 간주되며, 광선은 원형 경로를 그리는 것으로 생각할 수 있다. 예를 들어 눈에서 멀리 있는 산으로 향하는 직선이 가까운 언덕에 의해 가려질 수 있지만, 광선이 충분히 휘어져 먼 봉우리가 보일 수 있다.

3. 1. 굴절 계수

일반적으로 사용되는 굴절의 척도는 굴절 계수이다. 굴절 계수에는 두 가지 다른 정의가 있다. 하나는 지구 반지름과 시선 반지름의 비율이고,^[17] 다른 하나는 시선이 지구 중심에서 이루는 각도와 관측자에서 측정된 굴절 각도의 비율이다.^[18] 후자의 정의는 시선의 한쪽 끝에서만 광선의 굴곡을 측정하므로, 전자의 정의 값의 절반이다.

굴절 계수는 국지적인 수직 온도 기울기와 대기 온도 및 압력과 직접적으로 관련이 있다. 지구 반지름과 시선의 반지름의 비율을 측정하는 굴절 계수의 값 ''k''는 다음과 같이 주어진다.^[17]

:

k =  503 \frac{P} {T^2} \left ( 0.0343 + \frac {dT} {dh} \right ),

여기서 온도 ''T''는 켈빈 단위, 압력 ''P''는 밀리바 단위, 높이 ''h''는 미터 단위로 주어진다. 굴절각은 굴절계수와 시선의 길이에 따라 증가한다.

시정에 대한 굴절의 영향을 분석하는 편리한 방법은 지구의 유효 반지름 ''R_eff''의 증가를 고려하는 것이다.

:

R_\text{eff} = \frac {R} {1 - k} ,

여기서 ''R''은 지구의 반지름이고 ''k''는 굴절 계수이다. 이 모델에 따르면 광선은 반지름이 증가한 지구상에서 직선으로 간주될 수 있다.

각초당 미터 단위로 굴절된 광선의 곡률은 다음 관계식을 사용하여 계산할 수 있다.^[19]

:

\frac {1} {\sigma} =  16.3 \frac{P} {T^2} \left ( 0.0342 + \frac {dT} {dh} \right ) \cos \beta

여기서 1/σ는 미터당 각초 단위의 광선 곡률이고, ''P''는 밀리바 단위의 압력, ''T''는 켈빈 단위의 온도, β는 수평선에 대한 광선의 각도이다. 곡률의 절반에 광선 경로의 길이를 곱하면 관측자에서 굴절각을 얻는다. 수평선 근처 시선의 경우 cos β는 1과 거의 차이가 없으므로 무시할 수 있다. 이는 다음을 제공한다.

:

\Omega = 8.15 \frac{L P} {T^2} \left ( 0.0342 + \frac {dT} {dh} \right ),

여기서 ''L''은 미터 단위의 시선 길이이고 Ω는 각초 단위로 측정된 관측자에서의 굴절이다.

간단한 근사치는 산의 겉보기 고도(도 단위)가 눈에서의 실제 고도보다 거리(킬로미터)를 1500으로 나눈 값만큼 초과한다고 생각하는 것이다.

3. 2. 유효 지구 반지름

일반적으로 지구의 유효 반지름 ''R_eff''는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

R_\text{eff} = \frac {R} {1 - k} ,

여기서 ''R''은 지구의 반지름이고, ''k''는 굴절 계수이다. 이 모델에 따르면 광선은 반지름이 증가한 지구에서 직선으로 간주될 수 있다.

눈에서 보이는 산의 겉보기 고도(도 단위)는 실제 고도보다 거리(킬로미터)를 1500으로 나눈 값만큼 더 높게 나타난다.

3. 3. 광선 곡률

'''지상 굴절'''(Terrestrial refraction)은 지구상의 물체가 실제 위치와 다르게 보이는 현상으로, '''측지 굴절'''(geodetic refraction)이라고도 불린다. 이는 지도와 측량에서 특히 중요하다.^[14]^[15] 지구 표면 근처를 통과하는 빛의 경로가 굴절되기 때문에 발생하며, 굴절 정도는 지표면 근처의 온도 기울기에 크게 영향을 받는다. 이 온도 기울기는 하루 중 시간, 계절, 지형, 날씨 등에 따라 달라진다.^[16]

일반적으로 빛의 경로는 일정한 굴곡을 가지는 것으로 간주되며, 원형 경로를 그리는 것으로 생각할 수 있다. 굴절의 정도를 나타내는 척도는 굴절 계수인데, 이에는 두 가지 다른 정의가 있다. 하나는 지구 반지름과 빛 경로의 반지름 비율이고,^[17] 다른 하나는 빛 경로가 지구 중심에서 이루는 각도와 관측자에게서 측정한 굴절 각도의 비율이다.^[18]

굴절 계수는 수직 온도 기울기, 대기 온도 및 압력과 직접적인 관련이 있다. 굴절 계수 ''k''는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[17]

:

k =  503 \frac{P} {T^2} \left ( 0.0343 + \frac {dT} {dh} \right ),

여기서 ''T''는 켈빈 단위의 온도, ''P''는 밀리바 단위의 압력, ''h''는 미터 단위의 높이이다. 굴절각은 굴절 계수와 빛 경로의 길이에 따라 증가한다.

굴절의 영향을 분석하기 위해 지구의 유효 반지름 ''R_eff'' 개념을 사용할 수 있다.

:

R_\text{eff} = \frac {R} {1 - k} ,

여기서 ''R''은 지구 반지름, ''k''는 굴절 계수이다. 이 모델에서는 빛이 유효 반지름이 더 큰 지구에서 직선으로 이동하는 것으로 간주된다.

각초 단위로 굴절된 빛의 곡률은 다음 식으로 계산할 수 있다.^[19]

:

\frac {1} {\sigma} =  16.3 \frac{P} {T^2} \left ( 0.0342 + \frac {dT} {dh} \right ) \cos \beta

여기서 1/σ는 미터당 각초 단위의 광선 곡률, ''P''는 밀리바 단위의 압력, ''T''는 켈빈 단위의 온도, β는 수평선과 빛 경로의 각도이다. 수평선 근처에서는 cos β를 1로 간주할 수 있어, 식은 다음과 같이 단순화된다.

:

\Omega = 8.15 \frac{L P} {T^2} \left ( 0.0342 + \frac {dT} {dh} \right ),

여기서 ''L''은 미터 단위의 시선 길이, Ω는 각초 단위로 측정된 관측자에게서의 굴절이다.

간단한 근사 방법으로, 산의 실제 고도보다 겉보기 고도가 거리(킬로미터)를 1500으로 나눈 값만큼 더 높다고 생각할 수 있다.

4. 대기차에 의한 위치 변화 (일본어판 내용)

대기가 전혀 없다고 가정했을 때 보이는 항성의 천정거리(90° - 고도)를 $z'$ , 대기가 존재하기 때문에 실제로 항성이 관측되는 천정거리를 $z''$ 이라고 하자. 대기로 인해 항성이 떠올라 천정거리가 감소(고도가 상승)하는 각도를 R이라고 하면, R은 대기차이며 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.^[1]

: $\begin{align}R & =z'-z'' \\& = A \tan z' + B \tan ^3 z' \\\end{align}$

A와 B의 값은 지금까지의 연구에서 지상 기온 0℃, 지상 기압 1기압(1,013.25 헥토파스칼) 조건에 대해 $A=60''.0615 , B=-0''.0841$ 정도로 구해졌다.^[1]

기온과 기압 보정을 추가할 때는 T를 지상 기온(℃), p를 지상 기압(헥토파스칼)으로 하여 다음 식을 사용한다.^[1]

: $R=(60''.0615 \tan z' -0''.0841 \tan ^3 z')(273.15/(273.15+T))(p/1013.25) \!$

습도와 관측 지점의 고도를 고려한 식도 있지만, 어느 쪽이든 대기 상태는 일정하지 않으므로 정확한 식은 존재하지 않는다. 예를 들어 위 식은 고도가 매우 낮은 항성에는 적용할 수 없으며, $z' \le 75^\circ$ 정도에서만 성립한다. $z' = 75^\circ$ 에서 표준편차가 $1''$ 이내 정도이다.^[1]

천정거리가 $75^\circ$ 를 넘으면 일반식으로 대기차를 나타내기 어렵다. 대기의 굴절률 차이에 따라 빛의 분산이 일어나 항성은 점상이 아니라 색에 따라 상하로 길게 늘어진 모양으로 보인다. 지평선에 가까운 항성을 1점으로 보고 식으로 다루는 것은 무의미하다.^[1]

4. 1. 대기차 계산의 어려움

대기 굴절 때문에 별, 행성, 태양은 실제 위치보다 위쪽으로 치우쳐 보인다. 이 각도의 계산은 대기 상태에 따라 편차 각도가 달라져 간단하게 계산하기 어렵다. 정확하게 계산하려면 빛의 경로를 따라 대기의 밀도, 온도, 습도, 대기 성분 등 빛의 굴절과 관련된 모든 상태를 알아야 하지만, 현실적으로 불가능하다.

다행히 고층 대기는 상태가 크게 변하지 않으므로 지상 관측 데이터로 약간의 수정을 통해 대처하는 경우가 많다. 정밀한 위치 관측을 하는 천문대에서는 각 천문대가 오랜 관측 결과를 바탕으로 자체에 적합한 독자적인 계산식이나 보정표를 만드는 경우가 많다. 일반적인 계산법도 여러 가지가 있지만, 그중 비교적 간단한 것을 보여준다.

대기가 전혀 없다고 가정했을 때 보이는 항성의 천정거리(90° - 고도)를

z'

, 대기가 존재하기 때문에 실제로 항성이 관측되는 천정거리를

z''

이라고 하자. 대기로 인해 항성이 떠올라 천정거리가 감소(고도가 상승)하는 각도를 R이라고 하자. 이 R이 대기차이며, 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}R & =z'-z'' \\& = A \tan z' + B \tan ^3 z' \\\end{align}

A, B의 값은 지금까지의 연구에서 지상 기온 0℃, 지상 기압 1기압(1013.25hPa) 조건에 대해

A=60''.0615 , B=-0''.0841

정도로 구해졌다.

기온과 기압 보정을 추가할 때는 T를 지상 기온(℃), p를 지상 기압(hPa)으로 하여

:

R=(60''.0615 \tan z' -0''.0841 \tan ^3 z')(273.15/(273.15+T))(p/1013.25) \!

를 사용한다. 습도와 관측 지점의 고도를 고려한 식도 있지만, 어느 쪽이든 대기 상태는 일정하지 않으므로 정확한 식은 존재하지 않는다. 예를 들어 위 식은 고도가 매우 낮은 항성에는 적용할 수 없으며,

z' \le 75^\circ

정도에서만 성립한다.

z' = 75^\circ

에서 표준편차가

1''

이내 정도이다.

천정거리가

75^\circ

를 넘으면 일반식으로 대기차를 나타내기 어렵다. 대기의 굴절률 차이에 따라 빛의 분산이 일어나 항성은 점상이 아니라 색에 따라 상하로 길게 늘어진 모양으로 보인다. 지평선에 가까운 항성을 1점으로 보고 식으로 다루는 것은 무의미해진다.

4. 2. 천문대의 보정

대기 굴절 때문에 별, 행성, 태양은 실제 위치보다 위쪽으로 치우쳐 보인다. 이 각도의 계산은 대기 상태에 따라 편차 각도가 달라져 간단하게 계산하기 어렵다. 정확하게 계산하려면 빛의 경로를 따라 대기의 밀도, 온도, 습도, 대기 성분 등 빛의 굴절과 관련된 모든 상태를 알아야 하지만, 현실적으로 불가능하다.

다행히 고층 대기는 상태가 크게 변하지 않으므로 지상 관측 데이터로 약간의 수정을 통해 대처하는 경우가 많다. 정밀한 위치 관측을 하는 천문대에서는 각 천문대가 오랜 관측 결과를 바탕으로 자체에 적합한 독자적인 계산식이나 보정표를 만드는 경우가 많다. 일반적인 계산법도 여러 가지가 있지만, 그중 비교적 간단한 것을 보여준다.

대기가 전혀 없다고 가정했을 때 보이는 항성의 천정거리(90° - 고도)를

z'

, 대기가 존재하기 때문에 실제로 항성이 관측되는 천정거리를

z''

이라고 하자. 대기로 인해 항성이 떠올라 천정거리가 감소(고도가 상승)하는 각도를 R이라고 하자. 이 R이 대기차이며, 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}R & =z'-z'' \\& = A \tan z' + B \tan ^3 z' \\\end{align}

A, B의 값은 지금까지의 연구에서 지상 기온 0℃, 지상 기압 1기압(1,013.25 헥토파스칼) 조건에 대해

A=60''.0615 , B=-0''.0841

정도로 구해졌다.

기온과 기압 보정을 추가할 때는 T를 지상 기온(℃), p를 지상 기압(헥토파스칼)으로 하여

:

R=(60''.0615 \tan z' -0''.0841 \tan ^3 z')(273.15/(273.15+T))(p/1013.25) \!

를 사용한다. 습도와 관측 지점의 고도를 고려한 식도 있지만, 어느 쪽이든 대기 상태는 일정하지 않으므로 정확한 식은 존재하지 않는다. 예를 들어 위 식은 고도가 매우 낮은 항성에는 적용할 수 없으며,

z' \le 75^\circ

정도에서만 성립한다.

z' = 75^\circ

에서 표준편차가

1''

이내 정도이다.

천정거리가

75^\circ

를 넘으면 일반식으로 대기차를 나타내기 어렵다. 대기의 굴절률 차이에 따라 빛의 분산이 일어나 항성은 점상이 아니라 색에 따라 상하로 길게 늘어진 모양으로 보인다. 지평선에 가까운 항성을 1점으로 보고 식으로 다루는 것은 무의미해진다.

4. 3. 일반적인 계산식

대기 굴절 때문에 별, 행성, 태양은 실제 위치보다 위쪽으로 치우쳐 보인다. 이 각도의 계산은 대기 상태에 따라 편차 각도가 달라져 간단하게 계산하기 어렵다. 정확하게 계산하려면 빛의 경로를 따라 대기의 밀도, 온도, 습도, 대기 성분 등 빛의 굴절과 관련된 모든 상태를 알아야 하지만, 현실적으로 불가능하다.

다행히 고층 대기는 상태가 크게 변하지 않으므로 지상 관측 데이터로 약간의 수정을 통해 대처하는 경우가 많다. 정밀한 위치 관측을 하는 천문대에서는 각 천문대가 오랜 관측 결과를 바탕으로 자체에 적합한 독자적인 계산식이나 보정표를 만드는 경우가 많다. 일반적인 계산법도 여러 가지가 있지만, 그중 비교적 간단한 것을 보여준다.

대기가 전혀 없다고 가정했을 때 보이는 항성의 천정거리(90° - 고도)를

z'

, 대기가 존재하기 때문에 실제로 항성이 관측되는 천정거리를

z''

이라고 하자. 대기로 인해 항성이 떠올라 천정거리가 감소(고도가 상승)하는 각도를 R이라고 하자. 이 R이 대기차이며, 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}R & =z'-z'' \\& = A \tan z' + B \tan ^3 z' \\\end{align}

A, B의 값은 지금까지의 연구에서 지상 기온 0℃, 지상 기압 1기압(1,013.25 헥토파스칼) 조건에 대해

A=60''.0615 , B=-0''.0841

정도로 구해졌다.

기온과 기압 보정을 추가할 때는 T를 지상 기온(℃), p를 지상 기압(헥토파스칼)으로 하여

:

R=(60''.0615 \tan z' -0''.0841 \tan ^3 z')(273.15/(273.15+T))(p/1013.25) \!

를 사용한다. 습도와 관측 지점의 고도를 고려한 식도 있지만, 어느 쪽이든 대기 상태는 일정하지 않으므로 정확한 식은 존재하지 않는다. 예를 들어 위 식은 고도가 매우 낮은 항성에는 적용할 수 없으며,

z' \le 75^\circ

정도에서만 성립한다.

z' = 75^\circ

에서 표준편차가

1''

이내 정도이다.

4. 4. 기온과 기압 보정

대기 굴절로 인해 별, 행성, 태양은 실제 위치보다 위쪽으로 치우쳐 보인다. 이 각도는 대기 상태에 따라 달라지므로 간단하게 계산하기 어렵다. 정확하게 계산하려면 빛의 경로를 따라 대기의 밀도, 온도, 습도, 대기 성분 등 빛의 굴절과 관련된 모든 상태를 알아야 하지만, 현실적으로 불가능하다.

고층 대기는 상태가 크게 변하지 않으므로 지상 관측 데이터로 약간 수정하여 대처하는 경우가 많다. 정밀한 위치 관측을 하는 천문대에서는 각 천문대가 오랜 관측 결과를 바탕으로 자체에 적합한 독자적인 계산식이나 보정표를 만들기도 한다.

대기가 전혀 없다고 가정했을 때 보이는 항성의 천정거리(90° - 고도)를

z'

, 대기가 존재하기 때문에 실제로 항성이 관측되는 천정거리를

z''

라고 하자. 대기로 인해 항성이 떠올라 천정거리가 감소(고도가 상승)하는 각도를 R이라고 하면, R은 대기차이며 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}R & =z'-z'' \\& = A \tan z' + B \tan ^3 z' \\\end{align}

A, B의 값은 지상 기온 0℃, 지상 기압 1기압(1,013.25 헥토파스칼) 조건에서

A=60''.0615 , B=-0''.0841

정도이다.

기온과 기압 보정을 추가할 때는 T를 지상 기온(℃), p를 지상 기압(헥토파스칼)으로 하여

:

R=(60''.0615 \tan z' -0''.0841 \tan ^3 z')(273.15/(273.15+T))(p/1013.25) \!

를 사용한다. 이 식은 고도가 매우 낮은 항성에는 적용할 수 없으며,

z' \le 75^\circ

정도에서만 성립한다.

z' = 75^\circ

에서 표준편차가

1''

이내 정도이다.

4. 5. 대기차 계산의 한계

대기 굴절 때문에 별, 행성, 태양은 실제 위치보다 위쪽으로 치우쳐 보인다. 이 각도의 계산은 대기 상태에 따라 편차 각도가 달라져 간단하게 계산하기 어렵다. 정확하게 계산하려면 빛의 경로를 따라 대기의 밀도, 온도, 습도, 대기 성분 등 빛의 굴절과 관련된 모든 상태를 알아야 하지만, 현실적으로 불가능하다.

다행히 고층 대기는 상태가 크게 변하지 않으므로 지상 관측 데이터로 약간의 수정을 통해 대처하는 경우가 많다. 정밀한 위치 관측을 하는 천문대에서는 각 천문대가 오랜 관측 결과를 바탕으로 자체에 적합한 독자적인 계산식이나 보정표를 만드는 경우가 많다. 일반적인 계산법도 여러 가지가 있지만, 그중 비교적 간단한 것을 보여준다.

대기가 전혀 없다고 가정했을 때 보이는 항성의 천정거리(90° - 고도)를

z'

, 대기가 존재하기 때문에 실제로 항성이 관측되는 천정거리를

z''

이라고 하자. 대기로 인해 항성이 떠올라 천정거리가 감소(고도가 상승)하는 각도를 R이라고 하자. 이 R이 대기차이며, 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

\begin{align}R & =z'-z'' \\& = A \tan z' + B \tan ^3 z' \\\end{align}

A, B의 값은 지금까지의 연구에서 지상 기온 0℃, 지상 기압 1기압(1013.25hPa) 조건에 대해

A=60''.0615 , B=-0''.0841

정도로 구해졌다.

기온과 기압 보정을 추가할 때는 T를 지상 기온(℃), p를 지상 기압(hPa)으로 하여

:

R=(60''.0615 \tan z' -0''.0841 \tan ^3 z')(273.15/(273.15+T))(p/1013.25) \!

를 사용한다. 습도와 관측 지점의 고도를 고려한 식도 있지만, 어느 쪽이든 대기 상태는 일정하지 않으므로 정확한 식은 존재하지 않는다. 예를 들어 위 식은 고도가 매우 낮은 항성에는 적용할 수 없으며,

z' \le 75^\circ

정도에서만 성립한다.

z' = 75^\circ

에서 표준편차가

1''

이내 정도이다.

천정거리가

75^\circ

를 넘으면 일반식으로 대기차를 나타내기 어렵다. 대기의 굴절률 차이에 따라 빛의 분산이 일어나 항성은 점상이 아니라 색에 따라 상하로 길게 늘어진 모양으로 보인다. 지평선에 가까운 항성을 1점으로 보고 식으로 다루는 것은 무의미해진다.

참조

_[1] 문서 It is common in studies of refraction to use the term ''height'' to express vertical distance above the ground, or ''[[Geodetic datum#Vertical datum|vertical datum]]'' and ''[[horizontal coordinate system|altitude]]'' to express angular height above the [[horizon]].
_[2] 웹사이트 The Swimming Moon https://www.eso.org/[...] 2016-11-28
_[3] 서적 Geodesy Oxford University Press
_[4] 간행물 Astronomical Refraction at Low Altitudes in Marine Navigation The Institute of Navigation 1952
_[5] 간행물 The nautical almanac for the year 1988 United States Naval Observatory / Her Majesty's Stationery Office 1986
_[6] 간행물 Astronomical Refraction at Low Altitudes in Marine Navigation 1952
_[7] 간행물 Astronomical refraction: formulas for all zenith distances 1997
_[8] 서적 Text-Book on Spherical Astronomy Cambridge University Press
_[9] 서적 Spherical Astronomy Academic Press 1966
_[10] 간행물 A Simple Approximate Formula for Refraction 1890
_[11] 간행물 Standards Of Fundamental Astronomy; SOFA Astrometry Tools http://www.iausofa.o[...] International Astronomical Union 2016-06-23
_[12] 컴퓨터프로그램 NOVAS Fortran source code, Vers. F3.1 U. S. Naval Observatory 2011-03-21
_[13] 간행물 Astronomical Refraction in a Polytropic Atmosphere 1967
_[14] 서적 Geodesy Oxford University Press
_[15] 서적 Geodetic Refraction : Effects of Electromagnetic Wave Propagation Through the Atmosphere Springer Berlin Heidelberg
_[16] 서적 Spherical Astronomy Academic Press 1966
_[17] 간행물 Monitoring of the refraction coefficient in the lower atmosphere using a controlled setup of simultaneous reciprocal vertical angle measurements 2010
_[18] 서적 Geodesy Oxford University Press
_[19] 서적 Geodesy Oxford University Press

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