대당 사각형

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1. 개요

대당 사각형은 형식 논리학에서 주어와 술어를 공유하면서 질과 양을 달리하는 두 정언적 판단 사이의 관계를 나타낸다. 아리스토텔레스는 이 관계를 모순, 반대, 소반대, 대소 대당의 네 가지로 분류했으며, 이를 시각적으로 표현한 것이 대당 사각형이다. 대당 사각형은 A, E, I, O의 네 가지 명제 간의 관계를 보여주며, 각 명제의 참/거짓 여부에 따라 다른 명제의 진리값을 추론할 수 있게 한다. 이러한 관계는 논리적 오류를 파악하고, 추론의 타당성을 평가하는 데 활용된다. 현대 논리학에서는 존재 함축 문제와 관련된 논의를 거쳐, 불(Boole)과 프레게(Frege) 등에 의해 대당 사각형이 재해석되었으며, 논리 육각형과 같은 확장된 형태로 발전하였다.

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대당 사각형

2. 대당 관계의 종류

대당관계는 형식 논리학에서 주사(주어)와 빈사(술어)를 공유하면서 질과 양을 달리하는 두 정언적 판단(명제) 간의 참과 거짓의 관계이다. 대당관계에는 모순 대당, 반대 대당, 소반대 대당, 대소 대당의 네 가지 경우가 있다.^[1]

2. 1. 모순 대당

논리학에서 주사(주어)와 빈사(술어)를 공유하면서 질과 양을 달리하는 두 정언적 판단(명제) 간의 참과 거짓의 관계인 대당관계에는 모순 대당, 반대 대당, 소반대 대당, 대소 대당의 네 가지 경우가 있다.^[1]

2. 2. 반대 대당

형식 논리학에서 주어와 술어를 공유하면서 질과 양을 달리하는 두 정언 명제 간의 참과 거짓 관계를 대당관계라고 한다. 대당관계에는 모순 대당, 반대 대당, 소반대 대당, 대소 대당의 네 가지 경우가 있다.^[1]

2. 3. 소반대 대당

형식 논리학에서 주어와 술어를 공유하면서 질과 양을 달리하는 두 정언적 판단(명제) 간의 참과 거짓 관계인 대당관계에는 네 가지 경우가 있는데, 그중 하나가 소반대 대당이다.^[1]

2. 4. 대소 대당

대소 대당은 형식 논리학에서 주사(주어)와 빈사(술어)를 공유하면서 질과 양을 달리하는 두 정언적 판단(명제) 간의 참과 거짓의 관계 중 하나이다. 대소 대당은 대당관계의 한 종류이다.

3. 명제의 양과 질

전통 논리에서 명제는 언어 행위의 주장을 의미하며, 현대 철학에서처럼 주장의 의미는 아니다. 범주 명제는 주어(S)와 술어(P) 두 개의 용어를 포함하는 단순 명제로서, 술어가 주어에 대해 주장되거나 부정된다.

모든 범주 명제는 네 가지 논리 형식 중 하나로 표현될 수 있다. 긍정 명제에는 라틴어 affirmo|아피르모|나는 단언한다^la에서 따온 A, I가 사용되고, 부정 명제에는 nego|네고|나는 부정한다^la에서 따온 E, O가 사용된다.

형식	문장구조(표준명제)	양(Quantity)	질(Quality)
A	모든 S는 P 이다	전칭(universal)	긍정 (affirmatio\|아피르마티오^la)
E	모든 S는 P 가 아니다	전칭(universal)	부정 (nego\|네고^la)
I	어떤 S는 P 이다	특칭(particular)	긍정 (affirmatio\|아피르마티오^la)
O	어떤 S는 P 가 아니다	특칭(particular)	부정 (nego\|네고^la)

각 명제는 양(Quantity)과 질(Quality)에 따라 구분된다. 양은 주어의 범위를 나타내며, 전칭(universal)과 특칭(particular)으로 나뉜다. 질은 술어가 주어에 대해 긍정되는지 부정되는지를 나타내며, 긍정(affirmative)과 부정(negative)으로 나뉜다.

아리스토텔레스는 이 네 가지 명제들 사이에 특정한 논리적 관계가 있다고 보았다. 그는 모든 긍정에는 그에 상응하는 부정이 있으며, 이 둘은 '모순' 관계에 있어 항상 하나는 참이고 다른 하나는 거짓이라고 주장했다.

3. 1. 전칭 긍정 명제 (A 명제)

전통 논리에서 A 명제는 전칭 긍정 명제(universalis affirmativa)로, 라틴어 형식은 'omne S est P'이며, 일반적으로 '모든 S는 P이다'로 번역된다. 예를 들어, "모든 사람은 죽는다"와 같은 문장이 이에 해당한다.

A 명제는 다음과 같은 특징을 갖는다.

문장 구조: "모든 S는 P이다."
양(Quantity): 전칭(universal) - 주어(S)의 모든 대상을 포함한다.
질(Quality): 긍정(affirmative) - 술어(P)가 주어(S)에 대해 긍정된다. 라틴어 affirmo|나는 단언한다^la의 첫 번째 모음에서 유래했다.

다음은 아리스토텔레스의 네 가지 명제를 나타내는 표이다.

아리스토텔레스의 네 가지 명제
이름	기호	라틴어	한국어 번역	연상 기호
보편적 긍정	A	Omne S est P.	모든 S는 P이다.	affirmo\|나는 단언한다^la
보편적 부정	E	Nullum S est P.	어떤 S도 P가 아니다.	nego\|나는 부정한다^la
특수 긍정	I	Quoddam S est P.	어떤 S는 P이다.	affirmo\|나는 단언한다^la
특수 부정	O	Quoddam S nōn est P.	어떤 S는 P가 아니다.	nego\|나는 부정한다^la

A 명제는 대당 사각형에서 다른 명제들과 다음과 같은 관계를 맺는다.^[6]

E 명제 (반대): A가 참이면 E는 거짓이다.
I 명제 (하위 교대): A가 참이면 I는 참이다.
O 명제 (모순): A가 참이면 O는 거짓이고, A가 거짓이면 O는 참이다.

3. 2. 전칭 부정 명제 (E 명제)

전통 논리에서 전칭 부정 명제(E 명제)는 "어떤 S도 P가 아니다"라는 형식을 취한다. 이는 라틴어 'nullum S est P'로 표현되며, 주어(S)와 술어(P)의 관계를 부정하는 명제이다.

E 명제의 특징은 다음과 같다.

양(Quantity): 전칭(universal) - 주어 집합 전체에 대해 술어를 부정한다.
질(Quality): 부정(negative) - 주어와 술어 간의 관계를 부정한다. (라틴어 n'''E'''go의 첫 모음에서 유래)

예를 들어, "어떤 사람도 완벽하지 않다"라는 문장은 전칭 부정 명제에 해당한다. 여기서 '사람'은 주어(S)이고, '완벽하다'는 술어(P)이다. 이 문장은 모든 사람에 대해 완벽함을 부정하고 있다.

아리스토텔레스는 그의 저서 ''해석에 관하여''(Περὶ Ἑρμηνείας)에서 E 명제가 다른 명제들과 맺는 논리적 관계를 설명했다. 특히, E 명제는 A 명제(전칭 긍정)와 반대(contrary) 관계에 있어, 둘 다 동시에 참일 수 없다. 예를 들어, "모든 사람은 완벽하다"(A 명제)와 "어떤 사람도 완벽하지 않다"(E 명제)는 동시에 참일 수 없다.

아리스토텔레스의 네 가지 명제^[1]
이름	기호	라틴어	영어	연상 기호	현대 형식
보편적 긍정	A	Omne S est P.	모든 S는 P이다.	affirmo^la (나는 단언한다)	$\forall x (Sx \rightarrow Px)$
보편적 부정	E	Nullum S est P.	어떤 S도 P가 아니다.	nego^la (나는 부정한다)	$\forall x (Sx \rightarrow \neg Px)$
특수 긍정	I	Quoddam S est P.	어떤 S는 P이다.	affirmo^la (나는 단언한다)	$\exist x (Sx \land Px)$
특수 부정	O	Quoddam S nōn est P.	어떤 S는 P가 아니다.	nego^la (나는 부정한다)	$\exist x (Sx \land \neg Px)$

3. 3. 특칭 긍정 명제 (I 명제)

전통 논리에서 특칭 긍정 명제(I 명제)는 "어떤 S는 P이다"라는 형식을 가진다. 이는 라틴어 'quoddam S est P'로 표현되며, aff'''I'''rmatio^la(나는 단언한다)의 두 번째 모음에서 따온 'I'로 나타낸다.^[1]

아리스토텔레스의 네 가지 명제
이름	기호	라틴어	영어	연상 기호	현대 형식
특수 긍정	I	Quoddam S est P.	어떤 S는 P이다. (S는 때때로 P이다.)	affirmo^la (나는 단언한다)	$\exists x (Sx \land Px)$

I 명제는 양적으로는 특칭(particular)이고, 질적으로는 긍정(affirmative)이다. I 명제가 참이면, E 명제는 거짓이 되고, A와 O 명제는 불확정적이다.^[6] I 명제가 거짓이면 A는 거짓, E는 참, O는 참이다.^[6]

3. 4. 특칭 부정 명제 (O 명제)

어떤 S는 P가 아니다.

전통 논리에서 특칭 부정(particularis negativa) 명제이며, 라틴어로는 'quoddam nōn est|논 에스트^la P'로 표현된다. 이는 일반적으로 '어떤 S는 P가 아니다'로 번역된다. 명제의 네 가지 논리 형식 중 하나인 O 명제는 라틴어 'neg'''O'''|네고^la'(나는 부정한다)의 두 번째 모음에서 따온 것이다.^[1]

아리스토텔레스의 네 가지 명제
이름	기호	라틴어	영어*	연상 기호	현대 형식
특수 부정	O	Quoddam nōn est\|논 에스트^la P.	어떤 S는 P가 아니다. (S는 항상 P가 아니다.)	{lang\|la\|nego'\|네고}} (나는 부정한다)	$\exist x (Sx \land \neg Px)$

O 명제는 "때때로 S는 P가 아니다." 및 "어떤 S는 P가 아니다." (문자 그대로 라틴어 'Quoddam nōn est|논 에스트^la P.')의 형태를 취하기도 한다.^[2]

보편적 긍정(A)과 특수 부정 (O)은 모순 관계이다. 어떤 S가 P가 아니라면, 모든 S가 P인 것은 아니다. ^[6]

4. 대당 사각형

대당관계(對當關係)는 형식 논리학에서 주사(주어)와 빈사(술어)를 공유하면서 질과 양을 달리하는 두 정언적 판단(명제) 간의 참과 거짓 관계이다. 모순 대당, 반대 대당, 소반대 대당, 대소 대당의 네 가지 경우가 있다.

표준 정언명제 A, E, I, O는 주명사(주어)와 빈명사(술어)를 공유하며, 각 명제의 양과 질에 따라 서로 대당관계를 갖는다. 이러한 대당관계는 대칭과 반대 입장을 형성하여 사각형 틀을 이룬다.^[6]

아리스토텔레스의 네 가지 명제
이름	기호	라틴어	영어*	연상 기호	현대 형식^[1]
보편적 긍정	A	Omne S est P.	모든 S는 P이다. (S는 항상 P이다.)	{lang\|la\|a'ffirmo}}(나는 단언한다)	$\forall x (Sx \rightarrow Px)$
보편적 부정	E	Nullum S est P.	어떤 S도 P가 아니다. (S는 결코 P가 아니다.)	{lang\|la\|ne'go}}(나는 부정한다)	$\forall x (Sx \rightarrow \neg Px)$
특수 긍정	I	Quoddam S est P.	어떤 S는 P이다. (S는 때때로 P이다.)	{lang\|la\|affi'rmo}}(나는 단언한다)	$\exist x (Sx \land Px)$
특수 부정	O	Quoddam S nōn est P.	어떤 S는 P가 아니다. (S는 항상 P가 아니다.)	{lang\|la\|nego'}}(나는 부정한다)	$\exist x (Sx \land \neg Px)$

명제 A는 "모든 S는 P이다."로 표현된다. 그러나 명제 E는 "모든 S는 P가 아니다."로 표현될 때 모호^[2]하며, E 또는 O 명제일 수 있으므로 문맥이 필요하다. "어떤 S도 P가 아니다"라는 표준 형식이 모호하지 않아 선호된다. 명제 O는 "때때로 S는 P가 아니다." 및 "어떤 S는 P가 아니다." (라틴어 'Quoddam S nōn est P.') 형태로도 쓰인다.

아리스토텔레스는 네 가지 명제 사이에 특정 논리적 관계가 있다고 보았다. 모든 긍정에는 정확히 하나의 부정이 상응하며, 이 둘은 '대립'되어 항상 하나는 참이고 다른 하나는 거짓이다. 긍정 진술과 그 부정의 쌍을 모순이라 한다.

반대 진술은 두 진술이 동시에 참일 수 없는 진술이다. '모든 사람은 희다'와 '어떤 사람도 희지 않다'가 그 예시이다. 이들은 동시에 참일 수는 없지만, 둘 다 거짓일 수 있다.

모든 진술에는 모순되는 반대(그 부정)가 있고, 모순되는 진술은 그 반대가 거짓일 때 참이므로, 반대의 반대는 둘 다 참일 수 있지만, 둘 다 거짓일 수는 없다.

보에티우스는 중세 논리학자들이 논리적 관계를 분류하는 데 사용한 도표의 기초를 만들었다. 명제는 사각형의 네 모서리에 배치되고 관계는 선으로 표시되어 '반대 사각형'이라는 이름이 붙었다.

4. 1. 대당 사각형의 활용

표준 정언명제 A, E, I, O는 주명사(주어)와 빈명사(술어)를 공유하며, 서로 대당관계를 갖는다.

표준 정언명제 A, E, I, O는 주명사(주어)와 빈명사(술어)를 공유함으로써 각각 양과 질에서 서로 대당관계를 형성하고, 대칭과 반대 입장을 취하며 사각형 틀을 유지한다.

A 명제가 참인 경우, 반대대당인 E는 직접추론으로 확인하거나, A의 대소대당인 I의 모순대당으로 확인할 수 있다.

A 명제가 거짓일 때는 부당 반대 대당의 오류(fallacy of illicit contrary)가 발생할 수 있다. 반대대당은 명제 판단이나 주장의 질은 다르지만 양은 같은 전칭 긍정 명제와 전칭 부정 명제의 관계이다. 한쪽이 참이면 다른 쪽은 거짓이고, 한쪽이 거짓이면 다른 쪽은 참/거짓이 불분명하다. 따라서 둘 다 참일 수는 없지만 동시에 거짓일 수는 있어 불분명한 경우가 발생한다.

A, E가 전칭으로 거짓일 때, I, O는 특칭으로 진리값이 미정이어야 한다. 이는 대소대당 규칙이며, 어길 시 '부당 대소대당 오류'가 된다.

4. 2. 부당 반대 대당의 오류

A 명제가 거짓인 경우 부당 반대 대당의 오류에 빠질 수 있다. 반대대당(反對對當)은 명제의 판단이나 주장의 질은 달리하고 양을 같이하는, 전칭 긍정 명제와 전칭 부정 명제와의 관계이다. 한쪽이 참일 때 다른 쪽은 거짓이고, 한쪽이 거짓일 때 다른 한쪽은 참과 거짓이 불분명해지므로 둘 다 같이 참이 될 수 없으나 동시에 거짓이 될 수는 있기 때문에 발생하는 불분명한 경우의 오류이다.

A, E가 전칭으로 거짓일 때에는 대당관계에서 I, O는 특칭의 진리값이 미정이어야 한다. 이는 대소대당의 규칙으로, 이를 어기면 '부당 대소대당 오류'가 된다.

4. 3. 부당 대소 대당의 오류

모든 표준 정언명제 A, E, I, O는 주명사(주어)와 빈명사(술어)를 공유하며, 각 명제는 양과 질에서 서로 대당관계를 갖는다. 이러한 대당관계는 대칭과 반대의 입장을 형성하여 사각형의 틀을 유지한다.

A 명제가 거짓일 경우, 부당 반대 대당의 오류(fallacy of illicit contrary)가 발생할 수 있다. 반대대당은 명제의 판단이나 주장의 질은 다르지만 양은 같은 전칭 긍정 명제와 전칭 부정 명제의 관계이다. 한쪽이 참이면 다른 쪽은 거짓이지만, 한쪽이 거짓일 때 다른 쪽은 참 또는 거짓이 불분명하다. 따라서 둘 다 참일 수는 없지만 동시에 거짓일 수는 있기 때문에 불분명한 경우가 발생하여 오류가 나타난다.

A, E가 전칭으로 거짓일 때, 대당관계에서 I, O는 특칭의 진리값이 미정이어야 한다. 이는 대소대당의 규칙이며, 이를 어기면 '부당 대소 대당의 오류'가 된다.

5. 존재 함축 문제

중세 논리학자들은 '어떤 특정한 A는 B이다'(I)와 '어떤 특정한 A는 B가 아니다'(O)라는 하위 반대 관계의 명제가 둘 다 거짓일 수 없다고 보았다. 이 명제들의 모순 명제인 '어떤 A도 B가 아니다'(E)와 '모든 A는 B이다'(A)는 둘 다 참일 수 없기 때문이다. 그러나 피터 아벨라르는 '어떤 A는 B이다'가 'A인 어떤 것이 존재한다'를 함축하는 것처럼 보여 존재 함축 문제를 야기한다고 지적했다.^[8] 예를 들어 '어떤 남자는 하얗다'와 '어떤 남자는 하얗지 않다'는 명제는 모두 남자의 존재를 함축하는 것처럼 보인다. 하지만 아리스토텔레스 논리학에서는 이 두 명제 중 하나는 반드시 참이어야 한다. 아벨라르는 저서 ''변증론''에서 남자가 아예 존재하지 않을 가능성을 제기했다.^[9]

테렌스 파슨스는 고대 철학자들이 A(보편 긍정)와 I(특칭 긍정) 형식만이 존재적 함축을 가지기 때문에 존재적 함축 문제를 겪지 않았다고 주장한다. 그는 긍정 명제는 존재적 함축을 가지지만, 부정 명제는 그렇지 않다고 보았다.^[11] 파슨스는 보에티우스가 아리스토텔레스의 작품을 번역하면서 O 형식이 존재적 함축을 갖는다는 잘못된 개념을 낳았다고 지적한다.^[13]

5. 1. 아벨라르의 비판

피터 아벨라르는 대당 사각형에서 하위 반대 관계(I와 O) 명제가 둘 다 거짓일 수 없다는 전통적 견해에 문제를 제기했다. 예를 들어 "어떤 남자는 하얗다"와 "어떤 남자는 하얗지 않다"는 명제는 둘 다 남자의 존재를 함축하는 것처럼 보인다. 하지만 남자가 존재하지 않는다면 두 명제 모두 거짓이 될 수 있다.^[8]^[9]

아벨라르는 '돌인 남자'와 같이 아무것도 지칭하지 않는 주어를 포함하는 하위 반대 관계 명제는 둘 다 거짓이라고 지적했다. "모든 돌-남자는 돌이다"가 참이라면, 그 역(逆)인 "어떤 돌들은 돌-남자이다"도 참이어야 한다. 그러나 어떤 돌도 돌-남자가 될 수 없으므로 이는 거짓이다. "어떤 돌-남자는 돌이 아니다" 역시 참이라고 가정하는 것이 불가능하므로 거짓이다.^[10]

테렌스 파슨스는 고대 철학자들이 존재적 함축의 문제를 겪지 않았다고 주장한다. 긍정 명제(A와 I)만이 존재적 함축을 가졌기 때문이다. 파슨스는 부정 명제는 존재적 함축이 없으므로, 고대인들은 아리스토텔레스가 정립한 사각형의 모순을 발견하지 못했다고 보았다.^[11]

파슨스는 윌리엄 오브 모어베케를 인용하여 긍정 명제는 항상 어떤 것을 가리키지만, 부정 명제는 항이 아무것도 가리키지 않거나 술어가 참으로 부정되는 어떤 것을 가리킨다고 주장한다. 따라서 부정 명제는 두 가지 진실의 원인을 갖는다.^[12]

또한 파슨스는 보에티우스가 아리스토텔레스의 작품을 번역하면서 O 형식이 존재적 함축을 갖는다는 잘못된 개념을 낳았다고 지적한다. 보에티우스는 "어떤 남자는 정당하지 않다"라는 문구를 사용했는데, 이는 자연스러운 라틴어 표현으로 보였을 것이다.^[13]

5. 2. 현대 논리학의 관점

피터 아벨라르(1079년 – 1142년 4월 21일)는 중세 논리학에서 하위 반대 관계(I와 O)가 둘 다 거짓일 수 없다는 점에 주목했다. 예를 들어, '어떤 남자는 하얗다'와 '어떤 남자는 하얗지 않다'는 명제는 둘 다 남자라는 존재를 함축하는 것처럼 보인다. 그러나 아리스토텔레스 논리학은 이 두 명제 중 하나가 반드시 참이어야 한다고 요구한다. 아벨라르는 ''변증론''에서 남자가 존재하지 않을 가능성을 제기하며 이 문제를 지적했다.^[8]

아벨라르는 '돌인 남자'와 같이 아무것도 지칭하지 않는 주어를 포함하는 하위 반대 관계 명제는 둘 다 거짓이라고도 지적했다.^[10]

테렌스 파슨스(1939년 출생)는 고대 철학자들이 존재적 함축 문제를 겪지 않았다고 주장한다. A (보편 긍정)와 I (특칭 긍정) 형식만이 존재적 함축을 가졌기 때문이다. 긍정 명제는 존재적 함축을 가지지만, 부정 명제는 그렇지 않으므로 고대인들은 아리스토텔레스가 정립한 사각형의 일관성 없음을 보지 못했다는 것이다.^[11]

파슨스는 윌리엄 오브 모어베케(1215–35 – 1286년경)를 인용하여, 긍정 명제에서 항은 항상 어떤 것을 가리키지만, 부정 명제에서는 항이 어떤 것을 가리키지 않거나 술어가 참으로 부정되는 어떤 것을 가리킨다고 주장한다. 따라서 부정 명제는 두 가지 진실의 원인을 갖는다고 설명한다.^[12]

또한 파슨스는 보에티우스(477년 – 524년)가 아리스토텔레스의 작품을 번역하면서 O 형식이 존재적 함축을 갖는다는 잘못된 개념을 낳았다고 지적한다.^[13]

6. 현대적 대당 사각형

아래의 ''conträr''는 오류이며, ''subconträr''로 읽어야 한다.]]

19세기 조지 불은 대당 사각형을 현대적으로 재해석했다. 현대적 대당 사각형에서 A와 O 명제, E와 I 명제는 각각 모순 관계이지만, 그 외의 반대 관계는 성립하지 않는다. 따라서 현대적 관점에서는 명제의 '대립'에 대해 논하는 것이 더 합리적이다.^[14]

고틀로프 프레게의 ''개념표기''와 알기르다스 쥘리앙 그레마스의 기호학적 사각형도 대당 사각형과 관련이 있다.^[14] 전통적 대당 사각형은 내부-외부 부정에 기초한 사각형과 자주 비교된다.^[14]

6. 1. 불(Boole)의 기여

19세기, 조지 불은 특칭 명제(I와 O)의 두 항 모두에 대해 존재론적 함축을 요구해야 한다고 주장했지만, 전칭 명제(A와 E)의 모든 항에는 존재론적 함축이 없도록 허용했다. 이 결정은 벤 다이어그램을 항 논리에 사용하기 특히 쉽게 만들었다. 이러한 불의 일련의 가정 하에서 대당 사각형은 종종 "현대적 대당 사각형"이라고 불린다. 현대적 대당 사각형에서 A와 O 명제는 모순 관계에 있으며, E와 I도 마찬가지이지만, 다른 모든 형태의 반대 관계는 더 이상 성립하지 않는다. 즉, 반대, 반대 하위, 하위 대체, 상위 대체는 없다. 따라서 현대적 관점에서 보면, 명제가 여러 가지 다른 반대 관계를 가지기보다는, 명제의 '대립'에 대해 이야기하는 것이 종종 더 합리적이다.^[14]

고틀로프 프레게의 ''개념표기'' 역시 고전적 사각형과 거의 동일한 방식으로 구성된 대당 사각형을 제시하며, 보편 양화, 부정 및 함축으로 구성된 네 가지 공식 간의 모순, 하위 대체 및 반대 관계를 보여준다.^[14]

알기르다스 쥘리앙 그레마스의 기호학적 사각형은 아리스토텔레스의 저작에서 파생되었다.^[14]

6. 2. 프레게(Frege)의 개념 표기

아래의 ''conträr''는 오류입니다:
''subconträr''로 읽어야 합니다.]]

고틀로프 프레게의 ''개념표기''는 고전적 사각형과 거의 동일한 방식으로 구성된 대당 사각형을 제시하며, 보편 양화, 부정 및 함축으로 구성된 네 가지 공식 간의 모순, 하위 대체 및 반대 관계를 보여준다.^[14]

7. 논리 육각형과 확장

반대 사각형은 여섯 개의 명제의 관계를 포함하는 논리 육각형으로 확장되었다. 이는 오귀스탱 세스마와 로베르 블랑셰에 의해 독립적으로 발견되었다.^[15] 사각형과 육각형은 "논리적 정육면체"에 이어 "n차원 논리적 양단순체"라고 불리는 일련의 정규 n차원 객체에 속한다는 것이 증명되었다. 이 패턴은 또한 이보다 훨씬 더 확장된다.^[16]

참조

_[1] 웹사이트 The Traditional Square of Opposition: 1.1 The Modern Revision of the Square http://plato.stanfor[...]
_[2] 서적 The Art of Reasoning: An Introduction to Logic and Critical Thinking W.W. Norton & Company, Inc. 2014
_[3] 웹사이트 Introduction to Logic - 7.2.1 Finishing the Square and Immediate Inferences https://logic.umwblo[...] 2021-08-10
_[4] 서적 Aristotelian Logic https://books.google[...] SUNY Press
_[5] 서적 Introduction to Logic https://books.google[...] Hackett Publishing
_[6] 서적 Il pensiero occidentale dalle origini a oggi Editrice La Scuola
_[7] 서적 Questioni di verità: logica di base per capire e farsi capire https://books.google[...] Liguori Editore Srl
_[8] 문서 In his Dialectica, and in his commentary on the Perihermaneias
_[9] 문서 Re enim hominis prorsus non existente neque ea vera est quae ait: omnis homo est homo, nec ea quae proponit: quidam homo non est homo
_[10] 문서 Si enim vera est: Omnis homo qui lapis est, est lapis, et eius conversa per accidens vera est: Quidam lapis est homo qui est lapis. Sed nullus lapis est homo qui est lapis, quia neque hic neque ille etc. Sed et illam: Quidam homo qui est lapis, non est lapis, falsam esse necesse est, cum impossibile ponat
_[11] 웹사이트 The Traditional Square of Opposition http://plato.stanfor[...]
_[12] 웹사이트 (SL I.72) Loux 1974, 206 http://plato.stanfor[...]
_[13] 웹사이트 The Traditional Square of Opposition http://plato.stanfor[...]
_[14] 간행물 'Classical vs. modern squares of opposition, and beyond' http://www.philosoph[...]
_[15] 웹사이트 N-Opposition Theory Logical hexagon http://alessiomorett[...]
_[16] 문서 Moretti, Pellissier
_[17] 웹사이트 octagon of prophecies - Google Search https://www.google.c[...] 2024-10-29

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