고틀로프 프레게

3. 업적

프레게는 교육과 초기의 수학적 연구에서 주로 기하학에 집중했지만, 곧 그의 연구는 논리학으로 전환되었다. 그의 《개념 표기법》은 논리학 역사에서 전환점을 표시했다. ''개념 표기법''은 함수와 변수에 대한 엄격한 처리를 포함하여 새로운 지평을 열었다.^[15] 프레게의 목표는 수학이 논리에서 비롯된다는 것을 보여주는 것이었고, 그렇게 하면서 그는 아리스토텔레스의 삼단논법과는 다른 기술을 고안했지만 스토아 학파의 명제 논리에 매우 가까워졌다.

프레게는 공리화된 술어 논리를 발명했는데, 이는 주로 양화 변수를 발명한 덕분이며, 이는 결국 수학과 논리에서 널리 사용되었고, 다중 일반성의 문제를 해결했다. 이전의 논리는 '그리고', '또는', '만약... 그렇다면...', '아니다', '어떤' 및 '모든'과 같은 논리 상수를 다루었지만, 이러한 연산의 반복, 특히 "어떤"과 "모든"은 거의 이해되지 않았다.

유클리드 정리와 같은 수학적 명제를 아리스토텔레스의 논리로는 표현할 수 없다는 점이 자주 언급된다. 그러나 프레게의 "개념 표기법"은 그러한 추론을 표현할 수 있다.^[16] 쿠르트 괴델의 불완전성 정리, 알프레드 타르스키의 진리 이론은 궁극적으로 프레게에 기인한다.

프레게가 밝힌 목적 중 하나는 진정으로 논리적인 추론의 원리를 분리하여 수학적 증명의 적절한 표현에서 "직관"에 호소하는 부분이 없도록 하는 것이었다. 직관적인 요소가 있다면, 그것은 분리되어 공리로서 별도로 표현되어야 했다. 프레게의 더 큰 목적은 산술이 논리의 한 분야라는 논리주의를 옹호하는 것이었다. 기하학과 달리 산술은 "직관"에 기반을 두지 않고, 비논리적 공리가 필요하지 않다는 것을 보여주는 것이었다. 이미 1879년 ''개념 표기법''에서 삼분법의 법칙의 일반화된 형태와 같은 중요한 예비 정리가 프레게가 순수 논리로 이해한 것 안에서 도출되었다.

이 아이디어는 그의 ''산술의 기초''에서 비기호적인 용어로 공식화되었다. 이후 그의 ''산술의 기본 법칙''에서 프레게는 그의 기호법을 사용하여 산술의 모든 법칙을 그가 논리적이라고 주장한 공리에서 도출하려고 시도했다. 이 공리들 대부분은 그의 ''개념 표기법''에서 가져온 것이지만, 몇 가지 중요한 변경이 있었다.

버트런드 러셀은 1903년에 ''Grundgesetze'' 2권이 출판되려 할 때 프레게에게 편지를 보내 프레게의 기본 법칙 V에서 러셀의 역설을 도출할 수 있음을 보여주었다. 프레게는 2권에 서둘러 부록을 써서 모순을 인정하고, 기본 법칙 V를 수정하여 이를 제거할 것을 제안했다.

프레게가 제안한 해결책은 담론의 우주에 객체가 하나만 있음을 함축하는 것으로 밝혀져 무가치하다. 그러나 최근 연구는 ''Grundgesetze''의 프로그램의 많은 부분이 다른 방식으로 구제될 수 있음을 보여주었다. 조지 불로스에 의해 기본 법칙 V를 약화시키는 방식이 제안되었고, 흄의 원리로 대체될 수 있다는 프레게의 정리도 발표되었다. 또한 2차 논리는 예언적 2차 논리로 약화될 수 있다.

프레게의 논리 연구는 1903년 러셀이 수학의 원리''에서 프레게와의 차이점을 언급하는 부록을 썼을 때까지 국제적인 관심을 거의 받지 못했다. 프레게가 사용한 도해 기호법은 이전의 것이 없었고 그 이후로 모방자도 없었다. 러셀과 화이트헤드의 ''수학 원리''(3권)가 1910–13년에 나타날 때까지, 수학적 논리에 대한 지배적인 접근 방식은 조지 불과 에른스트 슈뢰더의 것이었다. 그럼에도 불구하고 프레게의 논리적 아이디어는 그의 학생 루돌프 카르나프 및 버트런드 러셀과 루트비히 비트겐슈타인의 저술을 통해 퍼져나갔다.

프레게는 아리스토텔레스 이래의 전통 논리학에 혁명을 일으켜, 수학의 철학인 논리주의를 제창했다.^[32] 혁명적인 『개념 표기』는 1879년에 출판되어 아리스토텔레스 이래 2,000년 동안 변함없이 이어져 온 전통 논리학을 일소하고 논리학의 새 시대를 열었다. 오늘날 수학에서 정착된 ∀(임의의)나 ∃(존재)와 같은 양화는 프레게의 업적에 기초한다.

프레게는 명제 논리와 술어 논리의 공리화를 최초로 행한 인물이며, 특히 술어 논리는 그 자체가 프레게의 발명이다. 그러나 그 지나친 선진성, 독창성 때문에 프레게의 동시대에는 그 의의가 충분히 이해되지 못했다. 그의 개념이 널리 퍼진 것은 주세페 페아노나 버트런드 러셀 등에 의한 바가 크다. 루트비히 비트겐슈타인, 에드문트 후설, 루돌프 카르나프는 프레게의 영향을 크게 받은 철학자들이다.

또한 프레게는 언어 철학과 분석 철학의 기초를 확립한 인물 중 한 명으로 꼽힌다. "의미와 뜻에 관하여"에서의 의미와 뜻의 구분, 개념과 대상과의 구분 등으로 알려져 있다.

프레게는 논리주의의 첫 번째 주요 논객이었으며, 그의 『산술의 기본 법칙』은 자연수론 및 실수론을 논리에서 이끌어내려는 시도였다. 그러나 러셀이 『산술의 기본 법칙』의 공리계가 러셀의 역설을 일으킨다는 것을 발견하여 지적했기 때문에, 2권의 보충에 이 모순에 대해 인정하는 문구가 붙어 있다. 프레게는 모순을 회피하는 방법을 모색했지만, 1938년에 스타니스와프 레시니에프스키에 의해 프레게의 수정안에도 결함이 있다는 것이 제시되었다.

프레게의 체계에 모순이 생긴 원인은 오랫동안 그의 제5법칙에 있었다. 그러나 찰스 파슨스, 조지 부로스, 리처드 헥 등에 의해 제5법칙에 호소하지 않고도, "흄의 원리"에서 모순을 낳는 자연수론이 도출 가능하다는 것이 제시되었다. 이로 인해 최근에는 프레게의 논리주의를 재평가하는 움직임이 강해지고 있다.

3. 1. 《개념 표기법》 (1879)

개념	《개념 표기법》 표기	현대 표기
부정		$\backslash lnot\; A$
함의		$B\backslash implies\; A$
전칭 기호	--|]]	$\backslash forall\; x\backslash colon\; F(x)$
존재 기호	--|]]	$\backslash exists\; x\backslash colon\; F(x)$
동치	$A\backslash equiv\; B$	$A\backslash iff\; B$

버트런드 러셀의 기술 이론(theory of description)과 버트런드 러셀과 앨프리드 노스 화이트헤드의 《수학 원리》의 중요한 핵심이 되는 양화(quantification)가 바로 술어논리를 표현하기 위하여 고안한 프레게의 개념이다.^[15] 그의 업적은 당시에는 거의 인정받지 않았으나, 그의 생각에 영향을 받은 주세페 페아노, 버트런드 러셀 등에 의해 세상에 알려지기 시작했다. 루트비히 비트겐슈타인과 에드문트 후설도 프레게의 영향을 받았다.

사실상 프레게는 공리화된 술어 논리를 발명했는데, 이는 주로 양화 변수를 발명한 덕분이며, 이는 결국 수학과 논리에서 널리 사용되었고, 다중 일반성의 문제를 해결했다. 이전의 논리는 논리 상수인 '그리고', '또는', '만약... 그렇다면...', '아니다', '어떤' 및 '모든'을 다루었지만, 이러한 연산의 반복, 특히 "어떤"과 "모든"은 거의 이해되지 않았다. "모든 소년은 어떤 소녀를 사랑한다"와 "어떤 소녀는 모든 소년의 사랑을 받는다"와 같은 문장의 구별조차 매우 인위적으로 표현될 수 있었던 반면, 프레게의 형식주의는 "모든 소년이 어떤 소년을 사랑하는 어떤 소녀를 사랑하는 어떤 소녀" 및 유사한 문장의 서로 다른 의미를, 예를 들어 "모든 소년은 어리석다"와 같은 그의 처리 방식과 완전히 병행하여 표현하는 데 아무런 어려움이 없었다.

자주 언급되는 예는 아리스토텔레스의 논리가 유클리드 정리와 같은 수학적 명제를 표현할 수 없다는 것이다. 이는 무한히 많은 소수가 있다는 수론의 기본 명제이다. 그러나 프레게의 "개념 표기법"은 그러한 추론을 표현할 수 있다.^[16]

3. 2. 《산술의 기초》 (1884)

3. 3. 《산술의 기본 법칙》 (1893, 1903)

• 기본 법칙 V는 다른 방식으로 약화될 수 있다. 가장 잘 알려진 방식은 조지 불로스에 의한 것이다.
• 기본 법칙 V는 간단히 흄의 원리로 대체될 수 있다. 이 결과는 프레게의 정리라고 불린다.
• 2차 논리로 알려진 프레게의 논리는 소위 예언적 2차 논리로 약화될 수 있다.

3. 4. 언어철학

4. 주요 저서

마지막 세 논문(〈사고〉, 〈부정〉, 〈복합 사고〉)은 《논리 연구》(Logische Untersuchungen^de)라는 제목으로 출판될 계획이었으나, 프레게 생전에 출판되지 않았다.

5. 영향

고대 그리스(그리스 철학)의 아리스토텔레스 이래 전통 논리학에 혁명을 일으켜, 수학의 철학인 "논리주의"를 제창했다.^[32] 혁명적인 『개념 표기』(''Begriffsschrift'')는 1879년에 출판되어 아리스토텔레스 이래 2,000년 동안 변함없이 이어져 온 전통 논리학을 일소하고 논리학의 새 시대를 열었다. 오늘날 수학에서 정착된 ∀(임의의)나 ∃(존재)와 같은 양화는 프레게의 업적에 기초한다.

프레게는 명제 논리와 술어 논리의 공리화를 최초로 행한 인물이며, 특히 술어 논리는 그 자체가 프레게의 발명이다(실제로는 개념 표기는 고계 논리의 체계이며, 람다 계산의 시조라고 할 수 있는 매우 선구적인 것이다). 그러나 그 지나친 선진성, 독창성 때문에 프레게의 동시대에는 그 의의가 충분히 이해되지 못했다. 그의 개념이 널리 퍼진 것은 주세페 페아노나 버트런드 러셀 등에 의한 바가 크다. 루트비히 비트겐슈타인과 에드문트 후설은 프레게의 영향을 크게 받은 철학자이다. 루돌프 카르나프는 프레게의 수업에 참석했으며, 그의 (카르나프에 따르면 수줍어하는) 성격에 대해 기록해 놓았다.

또한 프레게는 언어 철학과 분석 철학의 기초를 확립한 인물 중 한 명으로 꼽힌다. "의미와 뜻에 관하여"에서의 의미 (Bedeutung|베도이퉁^de, meaning, reference|미닝, 레퍼런스^영어)와 뜻 (Sinn|진^de, sense|센스^영어)의 구분, 개념과 대상과의 구분 등으로 알려져 있다.

프레게는 수학은 논리에 귀착될 수 있다고 하는 논리주의의 첫 번째 주요 논객이기도 했으며, 그의 『산술의 기본 법칙』(''Grundgesetze der Arithmetik'')은 자연수론 및 실수론을 논리에서 이끌어내려는 시도였다. 그러나 러셀이 『산술의 기본 법칙』의 공리계가 모순을 일으킨다는 것 (소위 러셀의 역설)을 발견하여 지적했기 때문에, 2권의 보충에 이 모순에 대해 인정하는 문구가 붙어 있다. 프레게 자신은 어떻게든 모순을 회피하는 방법을 모색했지만, 프레게의 수정안에도 결함이 있다는 것이 1938년에 스타니스와프 레시니에프스키에 의해 제시되었다.

프레게의 체계에 모순이 생긴 원인은 오랫동안 그의 제5법칙에 귀결되어 왔다. 그러나 이후 찰스 파슨스, 조지 부로스, 리처드 헥 등에 의해 제5법칙에 호소하지 않고도, 소위 "흄의 원리"에서 모순을 낳는 자연수론이 도출 가능하다는 것이 제시되었다. 이로 인해 최근에는 프레게의 논리주의를 재평가하는 움직임이 강해지고 있다.

6. 비판과 논란

더밋은 프레게 연구자로, 프레게의 일기를 읽고 자신의 영웅이 반유대주의자라는 사실에 충격을 받았다고 표현했다.^[19] 1918–19년 독일 혁명 이후 프레게의 정치적 견해는 더욱 급진적으로 변했다. 그는 76세의 나이로 생애 마지막 해에 쓴 일기에서 의회 제도, 민주주의자, 자유주의자, 가톨릭교도, 프랑스인, 그리고 유대인에 대한 반대 의견을 담았다. 특히 유대인에 대해서는 정치적 권리를 박탈하고 가능하다면 독일에서 추방해야 한다고 생각했다.^[20]

프레게는 한때 자신을 자유주의자라고 생각했고 비스마르크의 팬이었다고 고백했지만, 이후에는 루덴도르프 장군을 지지했다. 1924년 5월 5일자 일기에서 프레게는 휴스턴 스튜어트 체임벌린의 ''Deutschlands Erneuerung''(독일의 부활)에 실린 아돌프 히틀러를 칭찬하는 기사에 동의한다는 입장을 표명했다.^[21] 그는 독일 유대인들이 "사라지거나, 더 좋게는 독일에서 사라졌으면 좋겠다"는 믿음을 기록했다.^[21]

프레게는 보편적 선거권과 사회주의에 대해서도 비판적인 입장을 보였다. 그러나 실제 생활에서 그는 유대인들과 우호적인 관계를 유지했다. 그의 제자 중에는 게르숌 숄렘이 있었고,^[23][24] 루트비히 비트겐슈타인에게 버트런드 러셀에게 배우기 위해 영국으로 가도록 권유하기도 했다.^[25] 프레게의 1924년 일기는 사후인 1994년에 출판되었다.^[26]

참조

_[1] 서적 Platonism in Metaphysics https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2016-07-25
_[2] 논문 Frege's alleged realism https://aap.tandfonl[...] 1977
_[3] 논문 II. Frege as Idealist and then Realist https://www.tandfonl[...] 1979
_[4] 서적 On Foundationalism: A Strategy for Metaphysical Realism Rowman & Littlefield 2004
_[5] 문서 Frege criticized [[direct realism]] in his "[[On Sense and Reference|Über Sinn und Bedeutung]]" (see Samuel Lebens, ''Bertrand Russell and the Nature of Propositions: A History and Defence of the Multiple Relation Theory of Judgement'', Routledge, 2017, p. 34).
_[6] 웹사이트 Truth – Internet Encyclopedia of Philosophy http://www.iep.utm.e[...]
_[7] 웹사이트 Frege http://dictionary.re[...]
_[8] 간행물 Frege, Gottlob Macmillan Reference USA 2006
_[9] 서적 Gottlob Frege: Leben – Werk – Zeit Felix Meiner Verlag 2013
_[10] 문서 Ahnenliste des Mathematikers Gottlob Frege, 1848–1925 http://www.genetalog[...]
_[11] 서적 Frege: A Philosophical Biography https://books.google[...] Cambridge University Press 2019-04-04
_[12] 서적 Frege: A Philosophical Biography Cambridge University Press 2019
_[13] 서적 Frege: A Philosophical Biography https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 2019-04-04
_[14] 웹사이트 Frege, Gottlob | Internet Encyclopedia of Philosophy https://iep.utm.edu/[...]
_[15] 문서 |-
_[16] 서적 Introduction Continuum International Publishing Group 2011
_[17] 웹사이트 Frege's Logic, Theorem, and Foundations for Arithmetic, Stanford Encyclopedia of Philosophy http://plato.stanfor[...]
_[18] 서적 Fixing Frege Princeton University Press
_[19] 서적 What Is Mathematics, Really? https://books.google[...] Oxford University Press 1997
_[20] 서적 Frege; philosophy of language https://archive.org/[...] New York, Harper & Row 1973
_[21] 서적 Hitler's Philosophers https://books.google[...] Yale University Press 2013-05-21
_[22] 문서 |-
_[23] 웹사이트 Frege biography http://www-history.m[...]
_[24] 웹사이트 Frege, Gottlob – Internet Encyclopedia of Philosophy http://www.iep.utm.e[...]
_[25] 웹사이트 Juliet Floyd, The Frege-Wittgenstein Correspondence: Interpretive Themes http://www.bu.edu/ph[...]
_[26] 논문 Gottlob Freges politisches Tagebuch 1994
_[27] 서적 Frege's Lectures on Logic Open Court Publishing 2004
_[28] 간행물 Chronology of Major Events in Frege's Life https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 2019
_[29] 서적 Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten geburtstage 20. Februar 1904. Mit einem portrait, 101 abbildungen im text und 2 tafeln https://archive.org/[...] Leipzig, J.A. Barth
_[30] 서적 Essays on the Philosophical and Foundational Work of Gottlob Frege https://books.google[...] Springer
_[31] 웹인용 ネイティヴによる「Gottlob Frege」の発音 http://ja.forvo.com/[...] Forvo 2016-03-28
_[32] 논문 G.フレーゲの論理・数学・言語の哲学 国際基督教大学キリスト教と文化研究所 2016-12
_[33] 문서 비스마르는 1908년에 공식적으로 [[메클렌부르크]]에 반환되었다.