라그랑주 괄호

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 라그랑주 행렬
참조

1. 개요

라그랑주 괄호는 위상 공간의 정준 좌표를 사용하여 정의되는 수학적 개념으로, 정준 변환에 대해 불변성을 갖는 특징이 있다. 라그랑주 괄호는 심플렉틱 형식과 밀접한 관련이 있으며, 라그랑주 행렬을 통해 행렬로 확장될 수 있다. 라그랑주 행렬은 푸아송 괄호로 구성된 푸아송 행렬과 역행렬 관계를 가지며, 심플렉틱 조건을 유도하는 데 사용된다.

2. 정의

(q₁, …, q_n, p₁, …, p_n)를 위상 공간의 정준좌표라 하자. 모든 정준좌표가 두 변수 u와 v로 표현 가능할 때, 라그랑주 괄호는 다음과 같이 정의한다.

: $[ u, v ]_{p,q} = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial q_i}{\partial u} \frac{\partial p_i}{\partial v} - \frac{\partial p_i}{\partial u} \frac{\partial q_i}{\partial v} \right).$

3. 성질

라그랑주 괄호는 정준좌표의 변환에 영향을 받지 않는다. 즉, (Q_i, P_i)를 새로운 정준좌표라 하고,

: $Q_i=Q_i(q_i,p_i), P_i=P_i(q_i,p_i)$

와 같은 정준변환에 대해 라그랑주 괄호는 불변량이 된다.

: $[ u, v]_{q,p} = [u , v]_{Q,P}.$

따라서 아래첨자로 표시된 정준좌표는 자주 생략된다.

Ω를 2n차원 위상 공간 W의 심플렉틱 형식이라 하고, u₁,…,u_2n을 W상의 계의 좌표라고 하자. 이때, 정준좌표 (q_i, p_i)는 좌표 u에 대한 함수로 나타낼 수 있고, 라그랑주 괄호로 정의된 다음 행렬

:: $[ u_i, u_j ]_{p,q}, \quad 1\leq i,j\leq 2n$

은 ''Ω''를 텐서로 취급할 때 좌표 u로 기술된 성분을 의미한다. 이 행렬의 역행렬은 좌표 u 위에서 푸아송 괄호 {·,·}로 정의된 다음 행렬을 의미한다.

:: $\{u_i, u_j\}, \quad 1\leq i,j\leq 2n$

이는 다음 수식으로 표현 가능하다.

: $\sum_i^2n \{u_i, u_j\} [ u_i, u_k ]_{p,q} = \delta_{jk}$

여기서 δ_jk는 크로네커 델타이다.

''Ω''가 ''2n''차원 위상 공간 ''W''에 대한 심플렉틱 형식이고, ''u''_''1'',...,''u''_''2n''이 ''W''에서 좌표계를 형성한다면, 심플렉틱 형식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:: $\Omega = \frac 12 \Omega_{ij} du^i \wedge du^j$

여기서 행렬

:: $\Omega_{ij} = [ u_i, u_j ]_{p,q}, \quad 1\leq i,j\leq 2n$

은 좌표 ''u''에서 텐서로 간주되는 Ω의 성분을 나타낸다. 이 행렬은 푸아송 괄호로 형성된 행렬의 역행렬이다.

:: $\left(\Omega^{-1}\right)_{ij} = \{u_i, u_j\}, \quad 1 \leq i,j \leq 2n$

이는 좌표 ''u''에 대한 것이다.

위상 공간의 좌표 (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n)가 정준좌표이면 좌표 사이의 라그랑주 괄호는 다음과 같다.

:: $[Q_i, Q_j]_{p,q}=0, \quad [P_i,P_j]_{p,q}=0,\quad [Q_i, P_j]_{p,q}=-[P_j, Q_i]_{p,q}=\delta_{ij}.$

이 역 또한 참이다.

3. 1. 정준 변환 불변성

(Q_i, P_i)를 새로운 정준좌표라고 하면,

:

Q_i=Q_i(q_i,p_i), P_i=P_i(q_i,p_i)

는 정준변환이 되고, 이 변환에 대해 라그랑주 괄호는 불변량이 된다. 즉,

:

[ u, v]_{q,p} = [u , v]_{Q,P}.

이다. 따라서 아래첨자로 표시된 정준좌표는 자주 생략되기도 한다.

위상 공간의 좌표 (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n)가 정준좌표이면 좌표 사이의 라그랑주 괄호는 다음과 같다.

::

[Q_i, Q_j]_{p,q}=0, \quad [P_i,P_j]_{p,q}=0,\quad [Q_i, P_j]_{p,q}=-[P_j, Q_i]_{p,q}=\delta_{ij}.

이 명제의 역 또한 참이다.

3. 2. 심플렉틱 형식과의 관계

Omega|오메가^영어를 2n차원 위상 공간 W의 심플렉틱 형식이라 하고 u₁,…,u_2n이 W상의 계의 좌표라고 하자. 이때, 정준좌표 (q_i, p_i)는 좌표 u에 대한 함수로 나타낼 수 있고, 아래의 라그랑주 괄호로 정의된 행렬

::

[ u_i, u_j ]_{p,q}, \quad 1\leq i,j\leq 2n

은 ''Omega|오메가^영어''를 텐서로 취급할 때의 좌표 u로 기술된 성분을 의미한다. 이 행렬의 역행렬은 좌표 u 위에서 다음과 같은 푸아송 괄호 {·,·}로 정의된 행렬을 의미하게 된다.

::

\{u_i, u_j\}, \quad 1\leq i,j\leq 2n

이를 수식으로 쓰면 다음과 같다.

::

\sum_i^2n \{u_i, u_j\} [ u_i, u_k ]_{p,q} = \delta_{jk}

여기서 δ_jk는 크로네커 델타이다.

3. 3. 정준 좌표 조건

위상 공간의 좌표 (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n)가 정준좌표이면 좌표 사이의 라그랑주 괄호는 다음과 같은 형태를 갖는다.

::

[Q_i, Q_j]_{p,q}=0, \quad [P_i,P_j]_{p,q}=0,\quad [Q_i, P_j]_{p,q}=-[P_j, Q_i]_{p,q}=\delta_{ij}.

이 역 또한 참이다.

4. 라그랑주 행렬

정준 변환에서 라그랑주 괄호의 개념은 라그랑주 행렬을 정의함으로써 행렬로 확장될 수 있다. 라그랑주 행렬은 특정 성질을 만족하며, 푸아송 괄호로 구성된 푸아송 행렬과 역행렬 관계를 가진다.^[1]

4. 1. 라그랑주 행렬 정의

다음 정준 변환을 고려해 보자.

:

\eta = \begin{bmatrix} q_1 \\ \vdots \\ q_N \\ p_1 \\ \vdots \\ p_N \end{bmatrix} \quad \rightarrow \quad \varepsilon = \begin{bmatrix} Q_1 \\ \vdots \\ Q_N \\ P_1 \\ \vdots \\ P_N \end{bmatrix}

M := \frac{\partial (\mathbf{Q}, \mathbf{P})}{\partial (\mathbf{q}, \mathbf{p})}

로 정의하면, 라그랑주 행렬은

\mathcal L(\eta) = M^TJM

로 정의되며, 여기서

J

는 좌표 집합을 정렬하는 데 사용된 것과 동일한 규칙에 따라 심플렉틱 행렬이다. 정의로부터 다음이 따른다.

:

\mathcal L_{ij}(\eta) = [M^TJM]_{ij} = \sum_{k=1}^{N} \left(\frac{\partial \varepsilon_k}{\partial \eta_{i}} \frac{\partial \varepsilon_{N+k}}{\partial \eta_j} - \frac{\partial \varepsilon_{N+k}}{\partial \eta_i  } \frac{\partial \varepsilon_{k}}{\partial \eta_j}\right) = \sum_{k=1}^{N} \left(\frac{\partial Q_k}{\partial \eta_{i}} \frac{\partial P_{k}}{\partial \eta_j} - \frac{\partial P_{k}}{\partial \eta_i  } \frac{\partial Q_{k}}{\partial \eta_j}\right)= [\eta_i,\eta_j]_\varepsilon

^[1]

4. 2. 라그랑주 행렬 성질

라그랑주 행렬은 다음과 같은 성질을 만족한다.

{| class="wikitable"

|-

! 성질

! 설명

|-

|

\mathcal L^T = - \mathcal L

| 라그랑주 행렬의 전치 행렬은 원래 행렬에 음수를 곱한 것과 같다.

|-

|

|\mathcal L| =

라그랑주 행렬의 행렬식은 M의 행렬식의 제곱과 같다.
$\mathcal L^{-1}(\eta) = -M^{-1} J (M^{-1})^T = - \mathcal P(\eta)$	라그랑주 행렬의 역행렬은 푸아송 행렬의 음수와 같다. 여기서 $\mathcal P(\eta)$ 는 푸아송 행렬이며, 그 요소는 푸아송 괄호에 해당한다.

또한, 다음 관계식이 성립한다.

: $\sum_{k=1}^{2N} \{\eta_i,\eta_k\}[\eta_k,\eta_j] = -\delta_{ij}$

여기서 합산은 일반화 좌표와 일반화 운동량을 포함한다.

라그랑주 괄호의 불변성은 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $[\eta_i,\eta_j]_\varepsilon=[ \eta_i,\eta_j]_\eta = J_{ij}$

이는 심플렉틱 조건 $M^TJM = J$ 를 유도한다.^[1]

4. 3. 푸아송 행렬과의 관계

라그랑주 괄호는 라그랑주 행렬을 정의함으로써 행렬로 확장될 수 있다.

다음 정준 변환을 고려해 보자.

:

\eta =\begin{bmatrix}q_1\\\vdots \\q_N\\p_1\\\vdots\\p_N\\\end{bmatrix} \quad \rightarrow \quad \varepsilon =\begin{bmatrix}Q_1\\\vdots \\Q_N\\P_1\\\vdots\\P_N\\\end{bmatrix}

M := \frac{\partial (\mathbf{Q}, \mathbf{P})}{\partial (\mathbf{q}, \mathbf{p})}

로 정의하면, 라그랑주 행렬은

\mathcal L(\eta) = M^TJM

로 정의되며, 여기서

J

는 좌표 집합을 정렬하는 데 사용된 것과 동일한 규칙에 따라 심플렉틱 행렬이다.

푸아송 행렬

\mathcal P(\eta)

는 그 요소가 푸아송 괄호에 해당하며, 다음 관계식을 만족한다.^[1]

:

\sum_{k=1}^{2N} \{\eta_i,\eta_k\}[\eta_k,\eta_j] = -\delta_{ij}

여기서 합산은 일반화 좌표와 일반화 운동량을 포함한다.^[1]

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