정준좌표

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1. 개요

정준 좌표는 고전역학 및 미분기하학에서 사용되는 좌표계로, 특히 해밀턴 역학에서 일반화 좌표와 켤레 운동량으로 구성된다. 정준 좌표는 푸아송 괄호 관계를 만족하며, 라그랑주 역학의 일반화 좌표로부터 르장드르 변환을 통해 얻거나 정준 변환을 통해 다른 정준 좌표로 변환될 수 있다. 또한, 다양체의 여접다발 위에서 정의되며, 운동량 함수를 통해 표현된다.

정준좌표

일반 정보

정의	위상 공간에서 물리 시스템을 설명하는 데 사용할 수 있는 좌표 집합이다.
다른 이름	정규 좌표 카노니컬 변수 해밀턴 변수 위상 공간 변수

설명

개요	정준 좌표는 고전 역학, 양자 역학, 통계 역학에서 물리 시스템의 상태를 기술하는 데 사용되는 특정 종류의 좌표 집합이다.
특징	해밀토니안이 간단한 형태로 표현되도록 선택된다. 물리량의 진화가 쉽게 계산될 수 있다.
중요성	정준 좌표를 사용하면 복잡한 물리 시스템을 분석하고 이해하는 데 도움이 된다.

수학적 정의

정의	위치 좌표 qᵢ와 일반화된 운동량 pᵢ의 집합으로 정의된다. 푸아송 괄호 관계식을 만족해야 한다.
푸아송 괄호 관계식	{qᵢ, qⱼ} = 0, {pᵢ, pⱼ} = 0, {qᵢ, pⱼ} = δᵢⱼ (여기서 δᵢⱼ는 크로네커 델타)

예시

단순 조화 진동자	위치 좌표 q와 운동량 p로 표현된다. 해밀토니안은 H = p²/2m + kq²/2로 표현된다 (여기서 m은 질량, k는 스프링 상수).
회전 운동	각도 θ와 각운동량 L로 표현된다. 해밀토니안은 H = L²/2I로 표현된다 (여기서 I는 관성 모멘트).

응용

고전 역학	해밀턴 역학의 기초를 이룬다.
양자 역학	정준 양자화의 기초를 이룬다.
통계 역학	앙상블 이론에서 사용된다.

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1. 개요
2. 고전역학에서의 정의
3. 여접다발 위에서의 정의
4. 형식 전개
5. 일반화 좌표
6. 관련 항목

2. 고전역학에서의 정의

위상공간에서 해밀턴 형식화에 사용되는 좌표 ${\displaystyle q_{i}}$ (일반화 좌표)와 ${\displaystyle p_{i}}$ (켤레 운동량)를 정준좌표라 한다. 정준좌표는 기본적 푸아송 괄호 관계를 만족한다.

:${\displaystyle \{q_{i},q_{j}\}=0\qquad \{p_{i},p_{j}\}=0\qquad \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}$

일반적 직교좌표 ${\displaystyle q_{i}}$와 운동량의 성분들 ${\displaystyle p_{i}}$가 정준좌표의 전형적인 사례이다. 때문에 ${\displaystyle p_{i}}$를 일반적으로 "켤레운동량(conjugate momenta)"이라고 한다.

정준좌표는 라그랑주 형식화의 일반화 좌표로부터 르장드르 변환을 통해 얻어내거나 다른 정준좌표를 정준변환함으로써 얻을 수 있다.

2.1. 푸아송 괄호

위상공간에서 해밀턴 형식화에 사용되는 좌표 ${\displaystyle q_{i}}$, ${\displaystyle p_{i}}$를 정준좌표라 한다. 정준좌표는 기본적 푸아송 괄호 관계를 만족한다.

:${\displaystyle \{q_{i},q_{j}\}=0\qquad \{p_{i},p_{j}\}=0\qquad \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}$

일반적 직교좌표 ${\displaystyle q_{i}}$와 운동량의 성분들 ${\displaystyle p_{i}}$가 정준좌표의 전형적인 사례이다. 때문에 ${\displaystyle p_{i}}$를 일반적으로 "켤레운동량(conjugate momenta)"이라고 한다.

정준좌표는 라그랑주 형식화의 일반화 좌표로부터 르장드르 변환을 통해 얻어내거나 다른 정준좌표를 정준변환함으로써 얻을 수 있다.

2.2. 켤레 운동량

$q_i$ 가 일반적인 데카르트 좌표이고 $p_i$ 가 운동량의 성분인 경우가 정준 좌표의 대표적인 예시이며, 이때 $p_i$ 를 켤레 운동량이라고 부른다.

2.3. 정준 좌표의 유도

3. 여접다발 위에서의 정의

정준 좌표는 다양체의 여접 번들 위의 특별한 좌표계이다. 정준 좌표는 일반적으로 좌표계 $(q^i,p_j)$ 또는 $(x^i,p_j)$ 로 표기되며, x 또는 q는 기초가 되는 다양체 위의 좌표를 나타내고, p는 공액 운동량을 나타낸다. 공액 운동량은 다양체의 점 q에서의 여접 번들 내의 1-형식이다.

일반적인 정의는 정규 1-형식을 다음과 같은 형태로 표현할 수 있는 공변접다발 상의 좌표 집합을 말한다.

: $\sum_i p_i\,\mathrm{d}q^i$

전 미분까지 포함하여 정의된다. 이 형태를 보존하는 좌표 변환은 정준 변환이며, 이는 기본적으로 심플렉틱 다양체 상의 좌표 변환인 심플렉토모르피즘의 특수한 경우이다.

다양체가 실수 다양체라고 가정하면, 접벡터에 작용하는 공변접벡터는 실수를 생성한다.

3.1. 표기법

일반적으로 정준 좌표는 $(q^i, p_j)$ 또는 $(x^i, p_j)$ 로 표기되며, $x^i$ 또는 $q^i$ 는 기본 다양체의 좌표를 나타내고, $p_j$ 는 다양체의 점 $q^i$ 에서의 공변접다발 내의 1-형식인 켤레 운동량을 나타낸다. 정준 좌표는 정규 1-형식을 $\sum_i p_i\,\mathrm{d}q^i$ 형태로 표현할 수 있는 공변접다발 상의 좌표 집합을 말한다. 이 형태를 보존하는 좌표 변환은 정준 변환이며, 이는 심플렉틱 다양체 상의 좌표 변환인 심플렉토모르피즘의 특수한 경우이다.

다음 설명에서는 다양체가 실수 다양체라고 가정하므로, 접벡터에 작용하는 공변접벡터는 실수를 생성한다.

3.2. 정규 1-형식

3.3. 정준 변환

4. 형식 전개

매끄러운 다양체 Q가 주어졌을 때, Q 위의 벡터장 X (접다발 TQ의 단면)는 접공간과 여접공간 사이의 쌍대성에 의해 여접다발에 작용하는 함수로 생각할 수 있다. 즉, 다음과 같은 함수를 정의한다.

: $P_X: T^*Q \to \mathbb{R}$

모든 여접벡터 p in $T_q^*Q$ 에 대해 다음이 성립하도록 한다.

: $P_X(q, p) = p(X_q)$

여기서, $X_q$ 는 점 q에서의 다양체 Q의 접공간 $T_qQ$ 위의 벡터이다. 함수 $P_X$ 는 X에 대응하는 운동량 함수라고 불린다.

국소 좌표계에서는, 점 q에서의 벡터장 X는,
: $X_q=\sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}$
라고 쓸 수 있다. 여기에 $\partial /\partial q^i$ 는 TQ의 좌표계이다. 공액 운동량은,
: $P_X(q,p)=\sum_i X^i(q) \;p_i$
라고 쓸 수 있다. 여기에 $p_i$ 는 벡터 운동량 함수 $\partial /\partial q^i$ 에 대응하는 운동량 함수로 정의된다.
: $p_i = P_{\partial /\partial q^i}$ .
$q^i$ 와 $p_j$ 는 모두 여접번들 $T^*Q$ 위의 좌표계를 형성한다. 이들 좌표를 정준 좌표라고 부른다.

4.1. 운동량 함수

매끄러운 다양체 Q가 주어졌을 때, Q 위의 벡터장 X (접다발 TQ의 단면)는 접공간과 여접공간 사이의 쌍대성에 의해 여접다발에 작용하는 함수로 생각할 수 있다. 즉, 다음과 같은 함수를 정의한다.

: $P_X: T^*Q \to \mathbb{R}$

모든 여접벡터 $p \in T_q^*Q$ 에 대해 다음이 성립하도록 한다.

: $P_X(q, p) = p(X_q)$

여기서, $X_q$ 는 점 q에서 다양체 Q의 접공간 $T_qQ$ 에 있는 벡터이다. 함수 $P_X$ 는 X에 해당하는 운동량 함수라고 불린다.

국소 좌표계에서, 점 q에서의 벡터장 X는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $X_q = \sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}$

여기서 $\partial /\partial q^i$ 는 TQ의 좌표 틀이다. 그러면 켤레 운동량은 다음과 같은 식으로 표현된다.

: $P_X(q, p) = \sum_i X^i(q)\; p_i$

여기서 $p_i$ 는 벡터 $\partial /\partial q^i$ 에 해당하는 운동량 함수로 정의된다.

: $p_i = P_{\partial /\partial q^i}$

$q^i$ 는 $p_j$ 와 함께 여접다발 $T^*Q$ 위의 좌표계를 형성한다. 이 좌표들을 정준 좌표라고 한다.

4.2. 국소 좌표계 표현

매끄러운 다양체 Q가 주어졌을 때, Q 위의 벡터장 X (접다발 TQ의 단면)는 접공간과 여접공간 사이의 쌍대성에 의해 여접다발에 작용하는 함수로 생각할 수 있다. 즉, 다음과 같은 함수를 정의한다.

: $P_X: T^*Q \to \mathbb{R}$

모든 여접벡터 p in $T_q^*Q$ 에 대해 다음이 성립하도록 한다.

: $P_X(q, p) = p(X_q)$

여기서, $X_q$ 는 점 q에서 다양체 Q의 접공간 $T_qQ$ 에 있는 벡터이다. 함수 $P_X$ 는 X에 해당하는 운동량 함수라고 불린다.

국소 좌표계에서, 점 q에서의 벡터장 X는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $X_q = \sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}$

여기서 $\partial /\partial q^i$ 는 TQ의 좌표 틀이다. 그러면 켤레 운동량은 다음과 같은 식으로 표현된다.

: $P_X(q, p) = \sum_i X^i(q)\; p_i$

여기서 $p_i$ 는 벡터 $\partial /\partial q^i$ 에 해당하는 운동량 함수로 정의된다.

: $p_i = P_{\partial /\partial q^i}$

$q^i$ 는 $p_j$ 와 함께 여접다발 $T^*Q$ 위의 좌표계를 형성한다. 이 좌표들을 표준 좌표라고 한다.

4.3. 정준 좌표계

매끄러운 다양체 $Q$ 가 주어졌을 때, $Q$ 위의 벡터장 $X$ (\접다발 $TQ$ 의 단면)은 접공간과 여접공간 사이의 쌍대성에 의해 여접다발에 작용하는 함수로 생각할 수 있다. 즉, 다음과 같은 함수를 정의한다.

: $P_X: T^*Q \to \mathbb{R}$

모든 여접벡터 $p$ in $T_q^*Q$ 에 대해 다음이 성립하도록 한다.

: $P_X(q, p) = p(X_q)$

여기서, $X_q$ 는 점 $q$ 에서 다양체 $Q$ 의 접공간 $T_qQ$ 에 있는 벡터이다. 함수 $P_X$ 는 $X$ 에 해당하는 운동량 함수라고 불린다.

국소 좌표계에서, 점 $q$ 에서의 벡터장 $X$ 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $X_q = \sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}$

여기서 $\partial /\partial q^i$ 는 $TQ$ 의 좌표 틀이다. 그러면 켤레 운동량은 다음과 같은 식으로 표현된다.

: $P_X(q, p) = \sum_i X^i(q)\; p_i$

여기서 $p_i$ 는 벡터 $\partial /\partial q^i$ 에 해당하는 운동량 함수로 정의된다.

: $p_i = P_{\partial /\partial q^i}$

$q^i$ 는 $p_j$ 와 함께 여접다발 $T^*Q$ 위의 좌표계를 형성한다. 이 좌표들을 정준 좌표라고 한다.

5. 일반화 좌표

라그랑주 역학에서는 일반화 좌표 $(q^i, \dot{q}^i)$ 가 사용된다. 여기서 $q^i$ 는 일반화 위치, $\dot{q}^i$ 는 일반화 속도이다. 해밀토니안이 코탄젠트 다발 위에 정의되면, 일반화 좌표는 해밀턴-야코비 방정식을 통해 정준 좌표와 관련된다.

6. 관련 항목

* 심플렉틱 다양체
* 해밀토니안
* 심플렉틱 동상사상
* 운동량