정준변환

3. 표기법

'''q'''는 회전 하에서 벡터처럼 변환될 필요가 없는 일반 좌표 목록을 나타내며, 마찬가지로 '''p'''는 대응하는 일반화 운동량을 나타낸다. 예를 들면 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\mathbf{q} &\equiv \left (q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N-1}, q_{N} \right )\\

\mathbf{p} &\equiv \left (p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{N-1}, p_{N} \right ).

\end{align}

변수 또는 목록 위에 점은 시간 미분을 나타낸다. 예를 들어,

$$\backslash dot\{\backslash mathbf\{q\}\}\; \backslash equiv\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{q\}\}\{dt\}$$이며, 등식은 모든 좌표에 대해 만족하는 것으로 읽는다. 예를 들어:$$\backslash dot\{\backslash mathbf\{p\}\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{q\}\}\backslash quad\; \backslash Longleftrightarrow\; \backslash quad\; \backslash dot\; =\; -\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; \{q\_i\}\}\; \backslash quad\; (i\; =\; 1,\backslash dots,N).$$

두 개의 동일한 수의 좌표 목록 간의 내적 표기는 해당 구성 요소의 곱의 합을 줄여서 표현한 것이다. 예를 들어,

$$\backslash mathbf\{p\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{q\}\; \backslash equiv\; \backslash sum\_\{k=1\}^\{N\}\; p\_\{k\}\; q\_\{k\}.$$

내적 ("내부 곱"이라고도 함)은 두 좌표 목록을 하나의 단일 숫자 값을 나타내는 하나의 변수로 매핑한다. 변환된 후의 좌표는 변환된 일반화 좌표에 대해 '''Q'''로, 변환된 일반화 운동량에 대해 '''P'''로 유사하게 표시된다.

해밀턴 역학에서, 일반화 좌표와 대응하는 일반화 운동량의 조(組)로 이루어진, 정준 변수가 독립적인 변수가 된다.

위상 공간 상의 운동은, 정준 변수와 시간의 함수인 해밀토니안를 사용하여, 해밀턴의 운동 방정식

:$$

\begin{align}

\dot{q_i} &= \frac{\partial H}{\partial p_i} \\

\dot{p_i} &= -\frac{\partial H}{\partial q_i}

\end{align}



에 의해 기술된다. 단, 점(dot) 기호는 시간 미분을 나타낸다.^[21]

4. 제한된 정준 변환의 조건

제한된 정준 변환은 변환된 좌표 Q와 P가 시간에 명시적으로 의존하지 않는 좌표 변환이다. 즉, $\backslash mathbf\; Q=\backslash mathbf\; Q(\backslash mathbf\; q,\backslash mathbf\; p)$ 및 $\backslash mathbf\; P=\backslash mathbf\; P(\backslash mathbf\; q,\backslash mathbf\; p)$와 같이 표현된다.

일반적으로 변환은 해밀턴 방정식의 형태를 보존하지 않지만, 변환에 시간 의존성이 없는 경우 몇 가지 단순화가 가능하다. 이 경우 새로운 해밀토니안(Kamiltonian^[1]이라고도 함)은 생성자 함수의 편미분으로 표현될 수 있다.

:$$K(\backslash mathbf\; Q,\; \backslash mathbf\; P,\; t)=\; H(q(\backslash mathbf\; Q,\backslash mathbf\; P),p(\backslash mathbf\; Q,\backslash mathbf\; P),t)\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; G\}\{\backslash partial\; t\}(t)$$

여기서 G는 생성자라고 알려진 함수이며, 제한된 정준 변환에서는 시간만의 함수로 축소된다.

이러한 형태는 해밀토니안의 형태를 변경하지 않을 뿐만 아니라, 해밀턴의 운동 방정식에서 변경되지 않은 해밀토니안을 사용할 수 있게 해준다.

:$$\backslash begin\{alignat\}\{3\}$$

\dot{\mathbf{P}} &= -\frac{\partial K}{\partial \mathbf{Q}} &&= -\left(\frac{\partial H}{\partial \mathbf{Q}}\right)_{\mathbf Q,\mathbf P,t}\\

\dot{\mathbf{Q}} &= \,\,\,\, \frac{\partial K}{\partial \mathbf{P}} &&= \,\,\,\, \, \left(\frac{\partial H}{\partial \mathbf{P}}\right)_{\mathbf Q,\mathbf P ,t}\\

\end{alignat}

정준 변환은 해밀토니안의 덜 허용적인 변환에 해당하는 위상 공간의 더 일반적인 변환 집합을 지칭하지만, 더 일반화될 수 있는 결과를 얻기 위한 더 간단한 조건을 제공한다.

4. 1. 간접 조건

5. 리우빌 정리

리우빌 정리는 위상 공간에서의 "부피"가 정준 변환 하에서 보존된다는 것을 말한다.^[9] 즉,

:$\backslash int\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{q\}\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{p\}\; =\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{Q\}\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{P\}$

미적분학에 따르면, 후자의 적분은 전자의 적분 값에 야코비 행렬의 행렬식을 곱한 것과 같아야 한다.

:$\backslash int\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{Q\}\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{P\}\; =\; \backslash int\; \backslash det\; (M)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{q\}\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{p\}$

여기서 $M\; :=\; \backslash frac\{\backslash partial\; (\backslash mathbf\{Q\},\; \backslash mathbf\{P\})\}\{\backslash partial\; (\backslash mathbf\{q\},\; \backslash mathbf\{p\})\}$이다.

야코비 행렬의 "분할" 속성을 활용하면 다음과 같다.

:$M\; \backslash equiv\; \backslash frac\{\backslash partial\; (\backslash mathbf\{Q\},\; \backslash mathbf\{P\})\}\{\backslash partial\; (\backslash mathbf\{q\},\; \backslash mathbf\{P\})\}\; \backslash left/\; \backslash frac\{\backslash partial\; (\backslash mathbf\{q\},\; \backslash mathbf\{p\})\}\{\backslash partial\; (\backslash mathbf\{q\},\; \backslash mathbf\{P\})\}\; \backslash right.$

반복 변수를 제거하면 다음과 같다.

:$M\; \backslash equiv\; \backslash frac\{\backslash partial\; (\backslash mathbf\{Q\})\}\{\backslash partial\; (\backslash mathbf\{q\})\}\; \backslash left/\; \backslash frac\{\backslash partial\; (\backslash mathbf\{p\})\}\{\backslash partial\; (\backslash mathbf\{P\})\}\; \backslash right.$

위의 간접적인 조건을 적용하면 $\backslash operatorname\{det\}(M)=1$이 된다.^[9]

위상 공간의 부피 요소

:$$

\prod_{i=1}^{n}dq_i dp_i=dq_1 dp_1 \cdots dq_n dp_n



는 정준 변환 아래에서 불변이다.

:$$

\prod_{i=1}^{n}dq_i dp_i=\prod_{i=1}^{n}dQ_i dP_i



따라서, 위상 공간의 어떤 영역 $\backslash gamma$가 정준 변환에 의해 영역 $\backslash Gamma$로 사상된다고 하면,

:$$

\int \cdots \int_{\gamma} \prod_{i=1}^{n}dq_i dp_i

=\int \cdots \int_{\Gamma}\prod_{i=1}^{n}dQ_i dP_i



가 성립한다. 즉, 영역 $\backslash gamma$의 부피는 정준 변환으로 불변하게 유지된다.

특히, 시간 발전은 정준 변환의 특별한 예이며, 영역 $\backslash gamma(t)$의 시간 발전을 고려하면, 리우빌 정리

:$$

\int \cdots \int_{\gamma(t)} \prod_{i=1}^{n}dq_i dp_i

=\operatorname{const.}



가 유도된다.

6. 생성 함수 접근 방식

해밀턴 역학에서 정준 변환을 유도하기 위해 생성 함수를 사용할 수 있다. 두 변수 집합 ($\backslash mathbf\{q\},\; \backslash mathbf\{p\}$와 $\backslash mathbf\{Q\},\; \backslash mathbf\{P\}$) 모두 해밀턴의 원리를 따르며, 이는 두 변분 적분이 모두 정지 상태여야 함을 의미한다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) \right] dt &= 0 \\

\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - K(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t) \right] dt &= 0

\end{align}

이를 만족시키는 한 가지 방법은 다음과 같다.

:$$\backslash lambda\; \backslash left[\; \backslash mathbf\{p\}\; \backslash cdot\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{q\}\}\; -\; H(\backslash mathbf\{q\},\; \backslash mathbf\{p\},\; t)\; \backslash right]\; =\; \backslash mathbf\{P\}\; \backslash cdot\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{Q\}\}\; -\; K(\backslash mathbf\{Q\},\; \backslash mathbf\{P\},\; t)\; +\; \backslash frac\{dG\}\{dt\}$$

여기서 $G$는 이전 정준 좌표 ($\backslash mathbf\{q\}$ 또는 $\backslash mathbf\{p\}$), 새로운 정준 좌표 ($\backslash mathbf\{Q\}$ 또는 $\backslash mathbf\{P\}$) 및 시간 $t$ 중 하나를 갖는 생성 함수이다. 일반적으로 스케일링 계수 $\backslash lambda$는 1로 설정되며, $\backslash lambda\; \backslash neq\; 1$인 경우는 '''확장된 정준 변환'''이라고 한다.

변수 선택에 따라 네 가지 기본 유형의 생성 함수가 존재하며, 각 생성 함수는 이전 정준 좌표에서 새 정준 좌표로의 변환을 정의한다. 이러한 변환은 정준 변환임을 보장한다.

다음은 네 가지 기본 정준 변환의 속성을 나타내는 표이다.^[10]

각 생성 함수에 대한 자세한 내용은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

생성 함수는 다음 행렬들이 비특이성을 가지도록 제한된다.^[12][13]

:$\backslash left[\backslash frac\{\backslash partial^2\; G\_1\}\{\backslash partial\; Q\_j\backslash partial\; q\_i\}\; \backslash right],\; \backslash left[\backslash frac\{\backslash partial^2\; G\_2\}\{\backslash partial\; P\_j\backslash partial\; q\_i\}\; \backslash right],\; \backslash left[\backslash frac\{\backslash partial^2\; G\_3\}\{\backslash partial\; p\_j\backslash partial\; Q\_i\}\; \backslash right],\; \backslash left[\backslash frac\{\backslash partial^2\; G\_4\}\{\backslash partial\; p\_j\backslash partial\; P\_i\}\; \backslash right]$

6. 1. 제1형 생성 함수

6. 2. 제2형 생성 함수

6. 3. 제3형 생성 함수

6. 4. 제4형 생성 함수

6. 5. 생성 함수의 제한

6. 6. 생성 함수의 한계

7. 정준 변환 조건

일반화 좌표 \((q_i, \; p_i , \; t)\)에서 주어진 해밀토니안 방정식은 다음과 같다.

:$$

\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}



:$$

\dot{q}_i =~~\frac{\partial H}{\partial p_i}



이를 다른 일반화 좌표 \((Q_i, \; P_i , \; t)\)로의 역변환이 가능한 좌표변환 \((q_i, \; p_i , \; t) \; \rightarrow \; (Q_i, \; P_i , \; t)\)을 생각할 수 있다. 이때, \((Q_i, \; P_i , \; t)\)의 해밀턴 방정식이 다음과 같이 주어진다면,

:$$

\dot{P}_i = -\frac{\partial H}{\partial Q_i}



:$$

\dot{Q}_i =~~\frac{\partial H}{\partial P_i}



이 좌표변환 \((q_i, \; p_i , \; t) \; \rightarrow \; (Q_i, \; P_i , \; t)\)를 '''정준 변환'''이라고 한다.

즉, 정준 변환은 변환 전후에 해밀턴 운동 방정식이 동일하게 유지되도록 하는 변환을 의미한다.

7. 1. 정준 변환 관계

7. 2. 심플렉틱 조건 (확장)

7. 3. 푸아송 및 라그랑주 괄호의 불변성 (확장)

8. 확장된 정준 변환

확장된 정준 변환은 스케일링 변환을 포함하는 일반화된 정준 변환이다.^[16][17][18]

8. 1. 정준 변환 관계 (확장)

8. 2. 심플렉틱 조건 (확장)

8. 3. 푸아송 및 라그랑주 괄호 (확장)

반면, 라그랑주 괄호는 다음과 같이 변경된다.

따라서 푸아송 괄호는 $\backslash lambda$의 역수로 확장되는 반면, 라그랑주 괄호는 $\backslash lambda$의 인수로 확장된다.^[18]

9. 무한소 정준 변환

연속적인 매개변수 $\backslash alpha$에 의존하는 정준 변환을 고려해 보자.

$$\backslash begin\{align\}$$

& Q(q,p,t;\alpha) \quad \quad \quad & Q(q,p,t;0)=q \\

& P(q,p,t;\alpha) \quad \quad \text{with} \quad & P(q,p,t;0)=p \\

\end{align}

$\backslash alpha$가 무한소 값을 가질 때, 이 변환은 무한소 정준 변환 또는 미분 정준 변환이라고 불린다.^[19]

다음과 같은 생성 함수를 생각할 수 있다.

$G\_2(q,P,t)=\; qP\; +\; \backslash alpha\; G(q,P,t)$

$\backslash alpha=0$일 때, $G\_2\; =\; qP$는 $Q\; =\; q$ 및 $P\; =\; p$가 되는 정준 변환을 유도한다. 따라서 이 생성 함수는 $\backslash alpha$를 무한소 값으로 제한하여 무한소 정준 변환에 사용될 수 있다. 두 번째 유형의 생성기 조건으로부터 다음을 얻는다.

$$\backslash begin\{align\}$$

{p} &= \frac{\partial G_{2}}{\partial {q}} = P + \alpha \frac{\partial G}{\partial {q}} (q,P,t) \\

{Q} &= \frac{\partial G_{2}}{\partial {P}} = q + \alpha \frac{\partial G}{\partial {P}} (q,P,t) \\

\end{align}

$P\; =\; P(q,p,t;\backslash alpha)$이므로, 함수 $G$의 변수를 $G(q,p,t)$로 바꾸고 $\backslash alpha$의 고차 항을 무시하면 다음과 같다.^[19]

$$\backslash begin\{align\}$$

{p} &= P + \alpha \frac{\partial G}{\partial {q}} (q,p,t) \\

{Q} &= q + \alpha \frac{\partial G}{\partial p} (q,p,t) \\

\end{align}

9. 1. 능동적 정준 변환

9. 2. 무한소 정준 변환의 예

9. 2. 1. 시간 발전

9. 2. 2. 병진

9. 2. 3. 회전

10. 운동으로서의 정준 변환

운동 자체(또는 동등하게 시간 원점의 이동)는 정준 변환이다. 만약 $\backslash mathbf\{Q\}(t)\; \backslash equiv\; \backslash mathbf\{q\}(t+\backslash tau)$ 및 $\backslash mathbf\{P\}(t)\; \backslash equiv\; \backslash mathbf\{p\}(t+\backslash tau)$이면, 해밀턴 원리는 자동으로 만족된다.

$$\backslash delta\; \backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\; \backslash left[\; \backslash mathbf\{P\}\; \backslash cdot\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{Q\}\}\; -\; K(\backslash mathbf\{Q\},\; \backslash mathbf\{P\},\; t)\; \backslash right]\; dt\; =\; \backslash delta\; \backslash int\_\{t\_1\; +\; \backslash tau\}^\{t\_2\; +\; \backslash tau\}\; \backslash left[\; \backslash mathbf\{p\}\; \backslash cdot\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{q\}\}\; -\; H(\backslash mathbf\{q\},\; \backslash mathbf\{p\},\; t+\backslash tau)\; \backslash right]\; dt\; =\; 0$$

유효한 궤적 $(\backslash mathbf\{q\}(t),\; \backslash mathbf\{p\}(t))$는 종점과 관계없이 항상 해밀턴 원리를 만족해야 하기 때문이다.

11. 예시

• 변환 Q(q, p) = q + a, P(q, p) = p + b (a, b는 상수 벡터)는 정준 변환이다. 야코비 행렬은 항등 행렬이며, 이는 심플렉틱 행렬이다: I^TJI=J.
• x=(q,p), X=(Q,P)일 때, 변환 X(x)=Rx (R ∈ SO(2)는 2차 회전 행렬)는 정준 변환이다. 특수 직교 행렬이 R^TR=I를 만족한다는 점을 고려하면, 야코비 행렬이 심플렉틱 행렬임을 쉽게 알 수 있다. 단, 이 예시는 2차원에서만 성립한다. SO(2)는 모든 행렬이 심플렉틱 행렬인 유일한 특수 직교 군이다. 여기서 회전은 (q,p)에 작용하며, q와 p에 독립적으로 작용하지 않으므로, 이는 직교 좌표계의 물리적 회전과 다르다.
• 변환 (Q(q,p), P(q,p))=(q+f(p), p) (f(p)는 p의 임의의 함수)는 정준 변환이다. 야코비 행렬은 다음과 같다.

12. 현대 수학적 기술

수학에서, 정준 좌표는 정준 1-형식이

:$$\backslash sum\_i\; p\_i\backslash ,dq^i$$

(전미분, 즉 완전 형식까지)로 표현될 수 있는, 계의 위상 공간 (코탄젠트 다발) 상의 임의의 좌표이다. 한 세트의 정준 좌표에서 다른 세트로의 변수 변환을 '''정준 변환'''이라고 한다. 여기서 일반화 좌표의 지수는 ''위첨자''($q^\{i\}$)로 표기되며, 위에서 했던 것처럼 ''아래첨자''($q\_\{i\}$)로 표기되지 않는다. 위첨자는 일반화 좌표의 반변 변환 속성을 나타내며, 좌표가 거듭제곱으로 올려지고 있다는 것을 의미하지 ''않는다''. 자세한 내용은 심플렉틱 동형사상 문서를 참조하면 된다.

13. 역사

정준 변환의 첫 번째 주요 응용은 1846년 샤를 들로네가 지구-달-태양계를 연구하면서 이루어졌다.^[1] 이 연구는 1860년과 1867년에 프랑스 과학 아카데미에 의해 두 권의 대형 볼륨인 ''회고록''으로 출판되는 결과를 낳았다.^[1]

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 서적
_[13] 서적
_[14] 서적
_[15] 서적
_[16] 서적
_[17] 서적
_[18] 서적
_[19] 서적
_[20] 웹사이트 PHY422/820: Classical Mechanics https://people.nscl.[...] 2021-12-10
_[21] 문서 並木 (1991)、§5.1
_[22] 문서 江沢 (2007)、§6.2
_[23] 문서 畑 (2014)、§7.1
_[24] 서적 H. Goldstein，C. Poole and J. Safko（2000）chapter.9
_[25] 웹사이트 正準変換 覚え書き - 簡単な場合ほど面食らう？ https://www7b.biglob[...] 2022-06-18