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위상 공간 (물리학)

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1. 개요

위상 공간은 역학계의 상태를 나타내는 수학적 개념으로, 시스템의 모든 가능한 상태를 모아 만든 집합이다. 시스템의 상태 변수를 좌표로 하는 공간으로, 시간의 흐름에 따라 상태가 변화하는 궤적을 그린다. 물리학, 특히 고전 역학, 통계 역학, 혼돈 이론, 양자 역학 등 다양한 분야에서 사용되며, 시스템의 동역학적 거동을 분석하고 시각화하는 데 유용하다.

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위상 공간 (물리학)
개요
종류상미분 방정식 또는 역학계의 해
정의계(系)가 가질 수 있는 모든 가능한 상태들의 공간
다른 이름상태 공간
상세 정보
설명역학계의 가능한 모든 상태를 나타내는 추상적인 공간
각 상태는 이 공간의 한 점에 해당
차원계의 자유도에 따라 결정됨
예: 단진자의 경우 2차원 (위치와 운동량)
표현 방식위치와 운동량을 축으로 하는 좌표계 사용
일반화 좌표와 일반화 운동량을 사용하기도 함
활용계의 시간적 변화를 시각적으로 표현
계의 안정성, 주기성 등 분석
혼돈 이론 연구
예시단진자: 타원 궤적
감쇠 진동: 나선 궤적
혼돈계: 복잡하고 예측 불가능한 궤적
관련 개념
포텐셜 에너지계의 위치 에너지
해밀토니안계의 총 에너지 (운동 에너지 + 위치 에너지)
리우빌 정리상공간 내에서 부피 보존
푸앵카레 단면고차원 상공간을 저차원으로 축소하여 분석
주의 사항
고전역학입자의 위치와 운동량을 정확히 알 수 있다고 가정
양자역학불확정성 원리에 의해 상공간의 개념이 모호해짐

2. 역사적 배경

위상 공간 개념은 19세기 말 통계역학의 발전과 함께 등장했다. 앙리 푸앵카레푸앵카레-벤딕손 정리를 통해 위상 공간 차원과 궤도 형상 사이의 관계를 밝혔다.

2. 1. 위상 공간의 종류

일반적인 역학계(특히 위상 역학계)에서는 위상 공간을 위상 공간으로 설정한다. 다만, 순수한 위상 공간으로 설정하면 자세한 결과를 얻을 수 없다. 실제로는 거리 공간 등 몇 가지 전제를 위상 공간에 부여하여 논의한다. 특히 위상 공간이 콤팩트라고 가정할 수 있다면, 위상 역학계에 관한 많은 결과를 얻을 수 있으며, 일반적인 틀을 논할 수 있다.

역학계에서 시스템의 상태는 여러 개의 실수 짝으로 표시되는 경우가 많으며, 이 때 공간은 유클리드 공간 또는 그 부분 집합으로 간주된다. 역학계의 궤도는 특정 다양체 위에 제한되기도 하며, 더 일반적으로는 위상 공간이 다양체가 된다. 다양체로 제한함으로써, 각 다양체가 갖는 위상적인 성질을 이용할 수도 있다. 단진자를 예로 들면, 각속도는 실수이지만 진동각의 정의역은 이며, 이는 기하학적으로 원주와 동일하다. 따라서 단진자 계의 위상 공간은 원주 또는 과 직선의 직적 집합으로, 기하학적으로는 무한히 긴 원기둥면이 된다. 그러나 몇 가지 주의를 기울이면 위상 공간을 또는 그 부분 집합으로 가정해도 대부분의 경우 일반성을 잃지 않는다.

로트카-볼테라 방정식에서 위상 평면 상의 벡터장과 궤도


미분 가능한 역학계에서 위상 공간은 미분 구조를 가지며, 벡터장으로 정해지는 연속 역학계가 그 전형적인 예이다. 상태 변수를 , 시간을 로 할 때, 역학계가 연립 일계 미분 방정식

로 주어지면, 위상 공간의 각 점에는 벡터 가 대응된다. 이때 는 해 곡선의 접벡터와 일치하며, 각 점이 시간 경과에 따라 움직이는 방향과 크기를 나타낸다.

측도론적 역학계에서는 위상 공간에 가측 구조가 부여된다. 이 경우 위상 공간 에 대해 다음을 만족하는 σ-대수 가 존재한다.


  • 이면
  • 이면


또한, 에 대해 다음을 만족하는 확률 측도 가 주어진다.

  • 이고
  • 가 서로 소이면


여기에 다음을 만족하는 보존 사상 를 결합하여 측도론적 역학계를 구성한다.

  • 이면



기호 역학계에서 위상 공간 는 기호열의 집합이다.[3] 기호가 두 종류이고 기호열이 양쪽 무한 열인 경우, 기호열 는

로 주어진다.[3] 여기서 는 기호 또는 중 하나를 취한다.[3] 이 때 위상 공간 는 모든 기호열 의 집합이며,[3] 로 표기하기도 한다. 서로 다른 사이의 거리를 정의하고, 에 적용하면 기호를 일제히 왼쪽으로 이동시키는 시프트 사상 를 도입하여 기호 역학계를 구성한다.

3. 위상 공간의 구성

위상 공간에서, 시스템의 모든 자유도 또는 매개변수는 다차원 공간의 축으로 표현된다. 1차원 시스템은 위상선, 2차원 시스템은 위상 평면이라고 한다. 시스템의 모든 가능한 상태 또는 시스템 매개변수의 허용된 값 조합에 대해 다차원 공간에 점이 포함된다. 시간이 지남에 따라 시스템의 진화하는 상태는 고차원 공간을 통과하는 경로(시스템의 '''위상 공간 궤적''')를 추적한다. 위상 공간 궤적은 모든 초기 조건에서 시작할 수 있는 상태의 집합을 나타내는 전체 위상 공간에 위치한 특정 초기 조건에서 시작하는 상태의 집합을 나타낸다. 전체적으로 위상 다이어그램은 시스템이 될 수 있는 모든 것을 나타내며, 그 모양은 그렇지 않으면 명백하지 않을 수 있는 시스템의 특성을 쉽게 설명할 수 있다.

위상 공간은 많은 차원을 포함할 수 있다. 예를 들어, 많은 분자를 포함하는 기체는 각 입자의 ''x'', ''y'', ''z'' 위치와 운동량에 대해 별도의 차원이 필요할 수 있으며(이상화된 단원자 기체의 경우 6차원), 더 복잡한 분자 시스템의 경우 분자 결합의 진동 모드와 3축 주위의 스핀을 설명하기 위해 추가 차원이 필요하다. 위상 공간은 다양한 회전 또는 변환 축을 중심으로 및 따라 움직임이 제한된 기계적 시스템의 동작을 분석할 때 사용하기가 더 쉽다. 로봇 팔의 동작 범위를 분석하거나 특정 위치/운동량 결과를 얻기 위한 최적의 경로를 결정하는 것과 같이 로봇 공학에서 사용된다.

고전 시스템의 앙상블이 위상 공간에서 진화하는 모습 (상단). 시스템은 1차원 포텐셜 우물 (빨간 곡선, 하단 그림)의 질량 입자이다. 처음에 콤팩트했던 앙상블은 시간이 지남에 따라 소용돌이친다.


단순한 시스템의 경우 자유도가 한두 개에 불과할 수 있다. 하나의 자유도는 단일 변수에서 자율 상미분 방정식 dy/dt = f(y),을 가질 때 발생하며, 결과적으로 1차원 시스템을 위상선이라고 하며, 시스템의 질적 거동은 위상선에서 즉시 볼 수 있다. 가장 단순한 비자명 예는 지수 성장 모델/붕괴(불안정/안정 평형 1개) 및 로지스틱 성장 모델(평형 2개, 안정 1개, 불안정 1개)이다.

2차원 시스템의 위상 공간은 위상 평면이라고 하며, 이는 1차원에서 움직이는 단일 입자에 대한 고전 역학에서 발생하며, 여기서 두 변수는 위치와 속도이다. 이 경우, 위상 초상의 스케치는 다이어그램에 표시된 반 데르 폴 발진기의 리미트 사이클과 같이 시스템의 동역학에 대한 질적 정보를 제공할 수 있다.

반 데르 폴 발진기의 위상 초상


역학계란, 시스템(계)의 미래 상태가 현재 상태로부터 유일하게 결정되는 결정론적인 과정을 수학적으로 정식화한 것이다. 상공간은 역학계의 기본 구성 요소 중 하나로, 대상 시스템이 취할 수 있는 상태 전부를 모아서 만들어지는 집합이다.[1] 나아가 현재 상태로부터 다음 상태를 정하는 결정론적 법칙과 시간을 더해 역학계가 성립한다.[1] 상공간이라는 것을 도입함으로써, 공간상의 한 점을 지정하는 형태로 시스템의 상태를 논의할 수 있게 된다.[2] 즉, 상공간이란, 시스템의 상태 거동을 해석할 때, 그 시스템의 상태는 공간상에서 어떤 움직임을 보이는가라는 관점으로 전환하는 개념적인 도구라고 할 수 있다.[3]

물리적인 공간의 단진자 운동(아래 그림)을, 상공간(위 그림)의 점의 운동으로 나타낸 애니메이션. 위 그림의 가로축은 진동각, 세로축은 각속도에 해당한다.


통상, 계의 상태는 몇 개의 변수로 나타낸다.[4] 이러한 변수는 '''상태 변수''' 등으로 불린다.[4][5] 예를 들어, 역학계의 예로서, 길이가 일정하고 공기 저항이나 그 외 외부의 영향을 배제한 단진자의 운동을 생각한다. 이 시스템의 상태는 진동각과 그 각속도로 유일하게 결정되므로, (,)가 상태를 나타내는 변수이다.[6] 그리고 ,의 조합 전체로 이루어진 추상적인 공간(,를 좌표로 하는 평면)을 생각하면, 그것이 이 시스템의 '''상공간'''이다.[1][7] 상공간을 구성하는 하나하나의 요소는, 단순히 '''점'''이라고 불린다.[3][7] 점 외에, '''상''',[6] '''상점''',[6] '''위상''',[6] '''위상점''',[4] '''대표점''', '''상태'''[5] 등으로 불린다.

상공간 상의 점은, 시간 변화에 의해 상공간 내를 움직인다. 상공간 상을 점이 움직여서 생기는 경로는 궤도라고 불린다.[4] 시간을 연속적인 것으로 생각하는 역학계에서는, 궤도는 상공간 상에서 연속적인 곡선을 그린다. 한편, 시간을 이산적인 것으로 생각하는 역학계에서는, 궤도는 상공간 상에서 띄엄띄엄한 점열이 된다. 결정론적으로 상태가 정해진다는 요청에 의해, 상공간에서의 2개의 다른 궤도가 교차하는 일은 없다.[4] 어떤 역학계의 전 궤도의 개략을 상공간 상에 나타낸 그림을, '''상 그림'''(phase portrait|links=no영어)이라고 한다.[7]

역학계의 종속 변수의 개수 즉 상공간의 좌표의 수는, 상공간 또는 역학계의 '''차원'''이라고 불린다.[7] 특히 상공간은, 상태 변수가 실수 1개()일 때에는 '''상직선''', 상태 변수가 실수 2개()일 때에는 '''상평면'''이라고 불리기도 한다. 푸앵카레-벤딕손 정리에 대표되는 것처럼, 상공간의 차원과 형상은 궤도의 형상에 제한을 준다. 일반적으로, 계가 비선형이고 게다가 고차원이 될수록 계의 취급이 어려워진다. 상태가 공간적으로 연속적으로 분포하는 편미분 방정식으로 기술되는 역학계에서는, 상공간의 차원은 무한이 된다.

3. 1. 켤레 운동량

고전역학에서 일반화 좌표 ''q''''i'' (즉, 위치 공간의 좌표)를 임의로 선택하면 켤레 운동량 ''p''''i''가 정의되며, 이들은 함께 위상 공간의 좌표를 정의한다. 더 추상적으로, 고전역학에서 위상 공간은 위치 공간의 공변접속 다발이며, 이러한 해석에서 위의 절차는 위치 공간에 대한 국소 좌표의 선택이 공변접속 공간의 표준 심플렉틱 구조에 대한 자연스러운 국소 다르부 좌표의 선택을 유도한다는 것을 나타낸다.

4. 다양한 분야에서의 응용

위상 공간은 시스템의 동역학을 분석하고 예측하는 데 사용된다. 저차원 시스템에서는 위상선과 위상 평면을 통해 시스템의 질적 거동을 파악할 수 있다.

하나의 자유도를 가지는 1차원 시스템은 위상선으로 나타낼 수 있으며, 지수 성장 모델이나 로지스틱 성장 모델과 같이 시스템의 질적 거동을 한눈에 파악할 수 있다.

두 개의 자유도를 가지는 2차원 시스템은 위상 평면으로 표현된다. 고전 역학에서 단일 입자가 1차원에서 움직일 때 위치와 속도를 변수로 하는 위상 평면을 통해, 반 데르 폴 발진기의 리미트 사이클과 같은 시스템 동역학에 대한 질적 정보를 얻을 수 있다.

간단한 진자 운동에 대한 위상 초상화 구성 방법


진자의 미분 방정식으로 지정된 위상 공간에서의 시계열 흐름. ''X''축은 진자의 위치, ''Y''축은 속도.


위상 공간은 로봇 팔의 동작 범위 분석이나 특정 위치/운동량 결과를 얻기 위한 최적 경로 결정과 같은 로봇 공학 분야에서도 활용된다.

4. 1. 통계 역학

위상 공간에서, 시스템의 앙상블 운동은 고전 통계 역학에 의해 연구된다. 이러한 시스템에서 점들의 국소 밀도는 리우빌 정리에 따라 상수로 간주될 수 있다.[2] 고전 역학의 모델 시스템의 맥락에서, 주어진 시간에 시스템의 위상 공간 좌표는 시스템의 모든 동적 변수로 구성된다. 이 때문에, 해밀턴 또는 라그랑주 운동 방정식을 적분하여 미래 또는 과거의 임의의 주어진 시간에 시스템의 상태를 계산하는 것이 가능하다.

고전 통계 역학(연속 에너지)에서 위상 공간의 개념은 분배 함수 (상태의 합)에 대한 고전적인 유사물인 위상 적분을 제공한다.[2] 볼츠만 인자를 개별적으로 떨어진 에너지 상태(각 자유도에 대한 적절한 정수 양자수로 정의됨)에 대해 합산하는 대신, 연속적인 위상 공간에 대해 적분할 수 있다. 이러한 적분은 본질적으로 두 부분, 즉 모든 자유도의 운동량 성분(운동량 공간)의 적분과 모든 자유도의 위치 성분(구성 공간)의 적분으로 구성된다. 위상 적분을 알게 되면, 단위 위상 공간당 양자 에너지 상태의 수를 나타내는 정규화 상수를 곱하여 고전 분배 함수와 관련될 수 있다. 이 정규화 상수는 단순히 시스템의 자유도 수에 해당하는 거듭제곱으로 올린 플랑크 상수의 역수이다.[3]

4. 2. 열역학

열역학 및 통계 역학에서 "위상 공간"이라는 용어는 두 가지 의미를 갖는다. 첫 번째 의미는 고전 역학에서 사용되는 것과 동일하다.

위상 공간은 압력, 온도 등 시스템의 ''거시적'' 상태로 매개변수화된 공간을 지칭할 수도 있다. 예를 들어, 압력-부피 선도 또는 온도-엔트로피 선도를 이 위상 공간의 일부를 설명하는 것으로 볼 수 있다. 이 위상 공간의 한 점은 이에 상응하여 거시 상태라고 한다. 동일한 거시 상태를 갖는 미시 상태가 하나 이상 있을 수 있다. 예를 들어, 고정된 온도에서 시스템은 미시적 수준에서 많은 동적 구성을 가질 수 있다. 이러한 의미로 사용될 때, 상은 해당 시스템이 존재하는 위상 공간의 영역이다. 예를 들어, 액체상 또는 고체상 등이 있다.

거시 상태보다 미시 상태가 훨씬 많으므로, 첫 번째 의미의 위상 공간은 일반적으로 두 번째 의미보다 훨씬 더 큰 차원의 다양체이다. 시스템의 온도나 압력만을 지정하는 것보다 분자 또는 원자 수준까지 시스템의 모든 세부 사항을 기록하는 데 훨씬 더 많은 매개변수가 필요하다.

4. 3. 혼돈 이론

혼돈 이론에서 위상 공간은 다음과 같은 고전적인 예시들을 분석하는 데 사용된다.

  • 로렌츠 끌개
  • 개체군 성장 (예: 로지스틱 맵)
  • 만델브로 집합을 포함하는 복소 이차 다항식의 매개변수 평면.

4. 4. 양자 역학

양자역학에서 위상 공간의 좌표 ''p''와 ''q''는 일반적으로 힐베르트 공간에서 에르미트 연산자가 된다.

그러나 이들은 그로네볼트의 1946년 스타 곱을 통해 새로운 대수적 방식으로 결합되는 경우 고전적인 해석을 유지할 수 있다. 이는 양자역학의 불확정성 원리와 일치한다.[4]

모든 양자역학적 관측 가능량은 위상 공간의 고유한 함수 또는 분포에 해당하며, 그 반대의 경우도 마찬가지이다. 이는 헤르만 바일(1927), 존 폰 노이만(1931), 유진 위그너(1932), H. J. 그로네볼트(1946)에 의해 명시되었다.

J. E. 모얄(1949)은 이들을 통해 양자역학의 완전하고 논리적으로 자율적인 재구성인 '''양자역학의 위상 공간 공식'''의 기초를 완성했다.[4]

위상 공간 양자화에서의 기대값은 힐베르트 공간에서 밀도 행렬로 연산자 관측 가능량을 추적하는 것과 동형적으로 얻어진다. 즉, 위그너 준확률 분포가 척도로 효과적으로 작용하면서, 관측 가능량의 위상 공간 적분을 통해 얻어진다.

바일 맵은 양자역학을 ħ/''S''를 변형 매개변수로 갖는 고전 역학의 '''변형'''으로 인식하도록 돕는다. 여기서 ''S''는 관련 과정의 작용이다.

4. 5. 광학

광학에서 위상 공간은 비수차 광학에서 조명 시스템을 분석하는 데 널리 사용되며, 해밀턴 광학에서도 중요한 개념으로 활용된다.[5]

4. 6. 의학 및 생명공학

의학과 생명공학, 특히 생체공학 분야에서 위상 공간 방법은 다차원적인 생리학적 반응을 시각화하는 데 사용된다.[6][7]

5. 해석 역학에서의 위상 공간

해석역학(특히 해밀턴 역학)에서 다루는 위상 공간은 물체의 위치(q)와 운동량(p)을 좌표로 하는 공간이다. 이에 비해 위치(q)만을 좌표로 하는 공간은 배치 공간이라고 불린다.[1] 자유도가 n일 때, 위상 공간은 2n 차원이 된다.[2]

고전역학에서 위치에 대한 일반화 좌표 ''q''''i'' (즉, 위치 공간의 좌표)의 임의의 선택은 켤레 운동량 ''p''''i''를 정의하며, 이들은 함께 위상 공간의 좌표를 정의한다.

1차원 조화진동자의 경우, 1차원을 움직이는 입자 하나는 2차원 위상공간에서 표현할 수 있다. 그 위의 점은 x를 위치, p를 운동량으로 놓아서, (x, p)로 나타낼 수 있다. 해밀토니언은 용수철 상수가 k일 때

: H = {1 \over {2m} } {p}^2 + {1 \over 2} k x^2

로 쓸 수 있으므로, 에너지가 일정한 조건에서 진동하는 경우 위상공간에서의 1차원 조화진동자가 그리는 자취는 타원이 된다.

위상 공간에서, 시스템의 모든 자유도 또는 매개변수는 다차원 공간의 축으로 표현된다. 시스템의 모든 가능한 상태 또는 시스템 매개변수의 허용된 값 조합에 대해 다차원 공간에 점이 포함된다.

6. 비자율계와 확장 위상 공간

time영어를 명시적으로 포함하지 않는 미분 방정식계는 자율계라고 하며, 이는 역학계의 결정론적 사고방식과 일치한다. 반면, time영어를 명시적으로 포함하는 미분 방정식계는 비자율계라고 한다. 비자율계에서는 시간에 따라 변화가 일어나기 때문에 위상 공간에서 궤도가 교차할 수 있다.

이러한 궤도의 교차를 없애기 위해, 원래의 상태 변수 $x$에 시간 $t$를 더한 $(x, t)$를 좌표로 하는 공간 $X \times \mathbb{R}$을 생각한다. $t$를 형식적으로 $n+1$번째 상태 변수 $x_{n+1}$로 간주하면, $n+1$ 연립 일계 미분 방정식으로 표현 가능하며, 공간 $X \times \mathbb{R}$상의 각 점에는 방정식의 우변을 성분으로 하는 벡터가 유일하게 정해진다. 이러한 $n+1$ 차원 공간 $X \times \mathbb{R}$을 '''확장 위상 공간'''(extended phase space영어)이라고 한다. 확장 위상 공간에서 생각함으로써 궤도의 교차가 없어지므로, 계의 거동을 분석하기 용이하다.

만약 비자율계가 시간에 관해 주기적인 경우, 즉 특정 상수 $\tau$에 대해 $f_k(x_1, \cdots, x_n, t) = f_k(x_1, \cdots, x_n, t + \tau)$를 만족한다면, 확장 위상 공간은 $X \times \mathbb{R}$ 대신 $X \times T^1$ 공간에서 생각하는 것이 적합하다. 여기서 $T^1$은 $T^1 = \mathbb{R}/\tau\mathbb{Z}$로 정해지는 1차원 토러스이다.

7. 예시

1차원 조화 진동자는 2차원 위상 공간에서 표현할 수 있는데, 위치를 x, 운동량을 p로 놓았을 때 (x, p)로 나타낼 수 있다. 해밀토니언은 용수철 상수가 k일 때

: H = {1 \over {2m} } {p}^2 + {1 \over 2} k x^2

로 쓸 수 있다. 따라서 에너지가 일정한 조건에서 진동하는 경우 위상 공간에서의 1차원 조화진동자가 그리는 자취는 타원이 된다.

단순한 시스템의 경우 자유도가 한두 개에 불과할 수 있다. 하나의 자유도는 단일 변수에서 자율 상미분 방정식 dy/dt = f(y),을 가질 때 발생하며, 결과적으로 1차원 시스템을 위상선이라고 하며, 시스템의 질적 거동은 위상선에서 즉시 볼 수 있다.

2차원 시스템의 위상 공간은 위상 평면이라고 하며, 이는 1차원에서 움직이는 단일 입자에 대한 고전 역학에서 발생하며, 여기서 두 변수는 위치와 속도이다. 이 경우, 위상 초상의 스케치는 다이어그램에 표시된 반 데르 폴 발진기의 리미트 사이클과 같이 시스템의 동역학에 대한 질적 정보를 제공할 수 있다.

참조

[1] 논문 The tangled tale of phase space
[2] 서적 Statistical Thermodynamics: Fundamentals and Applications Cambridge University Press
[3] 웹사이트 Configuration integral http://clesm.mae.ufl[...]
[4] 논문 Quantum Mechanics in Phase Space
[5] 서적 Introduction to Nonimaging Optics, Second Edition https://books.google[...] CRC Press
[6] 논문 Biomechanical Behaviors and Degradation Properties of Multilayered Polymer Scaffolds: The Phase Space Method for Bile Duct Design and Bioengineering 2023
[7] 논문 A phase space model of hemopoiesis and the concept of stem cell renewal 2004



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